第09講全等三角形的概念性質(zhì)和判定（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（滬教版）（解析版）

第09講全等三角形的概念性質(zhì)和判定（核心考點(diǎn)講與練）一．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號(hào)“全等”用符號(hào)“≌”表示．注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上．（4）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．二．全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等說明：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角與對(duì)角的概念，一般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言，而對(duì)邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)邊，對(duì)角是指邊的對(duì)角．三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．一．全等圖形（共3小題）1．（2020秋?恩施市期末）下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等 C．完全重合的兩個(gè)三角形全等 D．所有的等邊三角形全等【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形狀相同的兩個(gè)三角形全等，說法錯(cuò)誤，應(yīng)該是形狀相同且大小也相同的兩個(gè)三角形全等；B、面積相等的兩個(gè)三角形全等，說法錯(cuò)誤；C、完全重合的兩個(gè)三角形全等，說法正確；D、所有的等邊三角形全等，說法錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等形的概念．2．（2017春?順德區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．兩個(gè)等邊三角形一定全等 B．腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等 C．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 D．全等三角形的面積一定相等【分析】根據(jù)全等圖形的判定和性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：兩個(gè)等邊三角形邊長不一定相等，所以不一定全等，A錯(cuò)誤；腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以不一定全等，B錯(cuò)誤；形狀相同的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊不一定相等，所以不一定全等，C錯(cuò)誤；全等三角形的面積一定相等，所以D正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等圖形的判定和性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)圖形確定，全等形的周長和面積相等．3．（2021?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）一個(gè)小正方形，外面有4個(gè)全等的長方形，拼成一個(gè)大正方形．問：可以得到什么結(jié)論？【分析】根據(jù)正方形的面積公式得到大正方形的面積為（a+b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，利用面積相等推導(dǎo)出（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【解答】解：∵大正方形的面積為（a+b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，4個(gè)全等的長方形面積和為4ab，∴得到結(jié)論：大正方形面積減去四個(gè)長方形面積＝小正方形的面積，即：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等圖形，正方形的面積，完全平方公式的幾何意義；熟練掌握正方形的面積公式是解題的關(guān)鍵．二．全等三角形的性質(zhì)（共5小題）4．（2021春?奉賢區(qū)期末）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α度數(shù)是（）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等解答即可．【解答】解：∵兩個(gè)三角形全等，∴α＝50°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，確定出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以v厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，v的值為（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【分析】分兩種情況討論：①若△BPD≌△CPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系即可求得；②若△BPD≌△CQP，則CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出v＝3．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝6厘米，若△BPD≌△CPQ，則需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：6÷3＝2（s），∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，則需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，∴v＝3，∴v的值為：2.25或3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．6．（2020春?虹口區(qū)期末）如圖，已知△ABC與△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝72度．【分析】△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠C＝63°，那么∠C＝∠E．根據(jù)相等的角是對(duì)應(yīng)角，相等的邊是對(duì)應(yīng)邊得出△ABC≌△DFE，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可求得∠D．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝72°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝63°，∵∠E＝63°，∴∠C＝∠E．∵△ABC與△DEF全等，BC＝10，EF＝10，∴△ABC≌△DFE，∴∠D＝∠A＝72°，故答案為72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)；注意：題目條件中△ABC與△DEF全等，但是沒有明確對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．得出△ABC≌△DFE是解題的關(guān)鍵．7．（2017秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABE≌△ACD．（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的長；（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得出BE＝CD，根據(jù)BE＝6，DE＝2，得出CE＝4，從而得出BC的長；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠BAE＝∠CAD，即可得出∠BAD＝∠CAE，計(jì)算∠CAD﹣∠CAE即得出答案．【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，又∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC﹣DE＝BE﹣DE＝4，∴BC＝BE+EC＝10；（2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．8．（2017春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，D，A，E在同一條直線上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求（1）DE的長；（2）∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBA＝∠CAE等量代換即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm；（2）∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．全等三角形的判定（共8小題）9．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．下列條件中，不一定能推得△ABD與△ACD全等的條件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠DAC D．∠BAD＝∠CAD【分析】由AD⊥BC，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用全等三角形的判定定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵AB＝AC，AD＝AD，根據(jù)HL能判定△ABD≌△ACD；B、∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，根據(jù)SAS能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠B＝∠DAC，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，不能判定△ABD≌△ACD；D、∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，根據(jù)ASA能判定△ABD≌△ACD；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．10．（2021春?金山區(qū)期末）如圖，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一個(gè)條件可以得到△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠F C．AC∥DF D．AB∥DE【分析】利用AB＝DE，BC＝EF，則根據(jù)全等三角形的判定方法只有添加∠B＝∠DEF或AC＝DF時(shí)可判斷△ABC≌△DEF，由于AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，從而可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：∵AB＝DE，BC＝EF，∴當(dāng)∠B＝∠DEF時(shí)，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△DEF；當(dāng)AC＝DF時(shí)，根據(jù)“SSS”可判斷△ABC≌△DEF；∵由AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，∴D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了全等三角形的性質(zhì)．11．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中線，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于點(diǎn)P，CQ⊥MQ于點(diǎn)Q．（1）求證：MP⊥MQ；（2）求證：△BMP≌△MCQ．【分析】（1）利用角平分線的定義得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，則可計(jì)算出∠PMQ＝（∠AMB+∠AMC）＝90°，從而得到結(jié)論；（2）先證明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，然后根據(jù)“AAS”可判斷△BMP≌△MCQ．【解答】證明：（1）∵M(jìn)P平分∠AMB，MQ平分∠AMC，∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC＝（∠AMB+∠AMC）＝×180°＝90°，∴MP⊥MQ；（2）由（1）知，MP⊥MQ，∵BP⊥MP，∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，∴∠PBM＝∠QMC，∵AM是△ABC的中線，∴BM＝MC，在△BMP和△MCQ中，∴△BMP≌△MCQ（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．12．（2021春?閔行區(qū)校級(jí)月考）下列不能作為判定△ABC≌△DEF的條件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合題意；B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合題意；C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合題意；D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．13．（2020春?奉賢區(qū)期末）如圖，已知BE與CD相交于點(diǎn)O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO與△CEO全等嗎？為什么？【分析】根據(jù)AAS證明△BDO與△CEO全等即可．【解答】解：△BDO與△CEO全等，∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，在△BDO與△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．14．（2019春?松江區(qū)期末）如圖，已知AF與BE相交于點(diǎn)O，C、D分別是AF與BE上的兩點(diǎn)，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°．（1）請說明CD∥EF的理由；（2）分別聯(lián)結(jié)CE、DF，若OE＝OF，請說明△ECD≌△FDC的理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)就即可；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出CF＝DE，進(jìn)而利用SAS證明全等即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB，∵EF∥AB（已知），∴CD∥EF．（2）∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵CD//EF，∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD，∴∠ODC＝∠OCD，∴OC＝OD，∴OC+OF＝OD+OE，即CF＝DE，在△ECD和△FDC中，，∴△ECD≌△FDC（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法解答．15．（2019秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）求證：有兩個(gè)內(nèi)角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠ABC＝∠A'B'C'，BD，B'D'分別平分∠ABC和∠A'B'C'，且BD＝B'D'，求證：△ABC≌△A'B'C'作圖：證明：∵∠ABC＝∠A'B'C'，且∠ABC、∠A'B′C'的角平分線分別為BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∵在△ABD和△A′B′D′中∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）【分析】將原命題寫出已知和求證，然后進(jìn)行證明，根據(jù)角平分線定義可得∠ABD＝∠A′B′D′，然后證明△ABD≌△A′B′D′可得AB＝A′B′，再證明△ABC≌△A′B′C′即可．【解答】解：已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠ABC＝∠A'B'C'，BD，B'D'分別平分∠ABC和∠A'B'C'，且BD＝B'D'，求證：△ABC≌△A'B'C'證明：∵∠ABC＝∠A'B'C'，且∠ABC、∠A'B′C'的角平分線分別為BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∵在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．故答案為：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠ABC＝∠A'B'C'，BD，B'D'分別平分∠ABC和∠A'B'C'，且BD＝B'D'，△ABC≌△A'B'C'∵∠ABC＝∠A'B'C'，且∠ABC、∠A'B′C'的角平分線分別為BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∵在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．16．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在下列各組的三個(gè)條件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D B．∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D C．AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行判定即可．【解答】解：A、根據(jù)AC＝DF，BC＝DE，∠A＝∠D，不符合SAS，不能判斷△ABC和△DEF全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D，三個(gè)角相等不能判斷△ABC和△DEF全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不滿足AAS或ASA，不能判定△ABC和△DEF全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F，根據(jù)ASA能判斷△ABC≌△EFD，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，屬于中考常考題型．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共13小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)期末）下列語句中，正確的有（）個(gè)．①一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角；④三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角．A．1 B．2 C．3 D．4．【分析】根據(jù)全等三角形的判定可判斷出①②的說法的正誤；根據(jù)三角形的內(nèi)角和可判斷出③④的正誤．【解答】解：①一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等說法正確，可利用AAS或ASA判定兩直角三角形全等；②兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等錯(cuò)誤；如果這兩個(gè)三角形一個(gè)是銳角三角形，一個(gè)是鈍角三角形時(shí)，有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等，原說法錯(cuò)誤；③三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角，說法正確；④三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角，錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，以及三角形的內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三角形的內(nèi)角和為180°．2．（2021春?閔行區(qū)期末）下列條件不能確定兩個(gè)三角形全等的是（）A．三條邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩條邊及其中一邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等 C．兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)角及其中一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS、SAS、AAS對(duì)以下選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，并作出判斷．【解答】解：A、根據(jù)“全等三角形的判定定理SSS”可以證得三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)SSA不可以證得兩個(gè)三角形全等．故本選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)“全等三角形的判定定理SAS”可以證得兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)“全等三角形的判定定理AAS”可以證得兩個(gè)角及其中一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于點(diǎn)E，則圖中全等三角形共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【分析】從已知條件入手，結(jié)合全等的判定方法，通過分析推理，一一進(jìn)行驗(yàn)證，做到由易到難，不重不漏．【解答】解：在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（SAS）；∴∠A＝∠B，∵OA＝OB，OC＝OD，∴AC＝BD，在△CAE和△DBE中，∴△CAE≌△DBE（AAS）；∴AE＝BE，在△AOE和△BOE中，∴△AOE≌△BOE（SSS）；在△OCE和△ODE中，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2020春?奉賢區(qū)期末）下列說法中不正確的是（）A．各有一個(gè)角為130°，且底邊相等的兩個(gè)等腰三角形全等 B．各有一個(gè)角為50°，且底邊相等的兩個(gè)等腰三角形全等 C．各有一個(gè)角為50°，且其所對(duì)的直角邊相等的兩個(gè)直角三角形全等 D．各有一個(gè)角為50°，且有斜邊相等的兩個(gè)直角三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、各有一個(gè)角為130°，且底邊相等的兩個(gè)等腰三角形一定全等；故本選項(xiàng)正確；B、各有一個(gè)角為50°，且底邊相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、各有一個(gè)角為50°，且其所對(duì)的直角邊相等的兩個(gè)直角三角形，符合兩三角形的判定定理“AAS”；故本選項(xiàng)正確；D、各有一個(gè)角為50°，且有斜邊相等的兩個(gè)直角三角形，符合“AAS”，可判斷兩個(gè)直角三角形全等；故本選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，一般三角形全等的判定方法都適合直角三角形，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．5．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么還不能判定△ABE≌△ACD，補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB【分析】三角形中∠ABC＝∠ACB，則AB＝AC，又∠A＝∠A，由全等三角形判定定理對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【解答】解：添加A選項(xiàng)中條件可用SAS判定兩個(gè)三角形全等；添加B選項(xiàng)以后是SSA，無法證明三角形全等；添加C選項(xiàng)中條件首先根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OBC＝∠OCB，再由等式的性質(zhì)得到∠ABE＝∠ACD，最后運(yùn)用ASA判定兩個(gè)三角形全等；添加D選項(xiàng)中條件首先根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠ADC＝∠AEB，再由AAS判定兩個(gè)三角形全等；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．6．（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依據(jù)是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以寫出相應(yīng)的全等三角形，并寫出判定依據(jù)．【解答】解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2021春?靜安區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．周長相等的銳角三角形都全等 B．周長相等的直角三角形都全等 C．周長相等的鈍角三角形都全等 D．周長相等的等邊三角形都全等【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的說法可以判斷兩個(gè)三角形是否全等，從而可以解答本題．【解答】解：周長相等的銳角三角形不一定全等，因?yàn)橹荛L相等，三條邊不一定對(duì)應(yīng)相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；周長相等的直角三角形不一定全等，因?yàn)橹荛L相等，三條邊不一定對(duì)應(yīng)相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；周長相等的鈍角三角形不一定全等，因?yàn)橹荛L相等，三條邊不一定對(duì)應(yīng)相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；周長相等的等邊三角形一定全等，因?yàn)橹荛L相等，三條邊一定對(duì)應(yīng)相等，利用SSS，可以說明兩個(gè)三角形全等，故選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以對(duì)錯(cuò)誤的判斷說明理由或反例、正確的判斷說明根據(jù)．8．（2020春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，圖中全等三角形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以寫出圖中的全等三角形，本題得以解決．【解答】解：∵AO平分∠DAE，∴∠1＝∠2，在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（SAS），∴∠D＝∠E，OD＝OE；在△AOC和△AOB中，，△AOC≌△AOB（SAS）；在△COD和△BOE中，，∴△COD≌△BOE（ASA）；在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS）；由上可得，圖中全等三角形有4對(duì)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．（2020春?虹口區(qū)期中）如下，給定三角形的六個(gè)元素中的三個(gè)元素，畫出的三角形的形狀和大小完全確定的是（）①三邊；②兩角及其中一角的對(duì)邊；③兩邊及其夾角；④兩邊及其中一邊的對(duì)角．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解答】解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，∴根據(jù)SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合題意，根據(jù)AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合題意，根據(jù)SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合題意，根據(jù)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角不能作出唯一三角形，故④不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．（2020秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）下列各命題中，假命題是（）A．有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．有兩邊及第三邊上高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．有兩角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等 D．有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；B、高有可能在內(nèi)部，也有可能在外部，是不確定的，不符合全等的條件，原命題是假命題；C、有兩角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；D、有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是全等三角形的判定．11．（2020春?閔行區(qū)期末）如圖，已知∠DOB＝∠COA，補(bǔ)充下列條件后仍不能判定△ABO≌△CDO的是（）A．∠D＝∠B，OB＝OD B．∠C＝∠A，OA＝OC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，OB＝OD【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可一一判斷．【解答】解：∵∠DOB＝∠COA，∴∠DOB﹣∠BOC＝∠COA﹣∠BOC，即∠DOC＝∠BOA，A、根據(jù)∠D＝∠B、OB＝OD和∠DOC＝∠BOA能推出△ABO≌△CDO（ASA），故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)∠A＝∠C、OA＝OC和∠DOC＝∠BOA能推出△ABO≌△CDO（ASA），故本選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)OA＝OC、∠DOC＝∠BOA和OB＝OD能推出△ABO≌△CDO（SAS），故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)CD＝AB、OB＝OD和∠DOC＝∠BOA不能推出△ABO≌△CDO，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．12．（2020春?浦東新區(qū)期末）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．有兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．有兩條邊及其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、有兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是“ASA”，說法正確；B、兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是“AAS”，說法正確；C、有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是“SAS”，說法正確；D、有兩條邊及其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，說法錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，是基礎(chǔ)題，熟記全等三角形判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意“SSA”不能判定三角形全等．13．（2019春?松江區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B、D、C、F在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF．補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC與△DEF全等的是（）A．∠A＝∠E B．BD＝CF C．AC∥DE D．AC＝DE【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，A、添加∠A＝∠E，利用ASA能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；B、添加BD＝CF，得出BC＝FD，利用SAS能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；C、添加AC∥DE，得出∠ACB＝∠EDF，利用AAS能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；D、添加AC＝DE，不能判定△ABC與△DEF全等，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答．二．填空題（共9小題）14．（2021春?金山區(qū)期末）如圖，已知△ABC≌△ABD，其中AC、BC的對(duì)應(yīng)邊分別是AD、BD，∠C＝60°，∠ABC＝80°，那么∠CAD＝80度．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝40°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠CAB＝40°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝60°，∠ABC＝80°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵△ABC≌△ABD，∴∠DAB＝∠CAB＝40°，∴∠CAD＝∠CAB+∠DAB＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2019?上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長是．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以將A1點(diǎn)放在左圖的C點(diǎn)上，C1點(diǎn)放在左圖的A點(diǎn)上，D1點(diǎn)對(duì)應(yīng)左圖的D點(diǎn)，從而得出BC∥B1C1，根據(jù)其性質(zhì)得出＝2，解得求出AD的長．【解答】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以將△C1A1D1與△ACD重合，如圖，∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，∴BC∥B1C1，∴＝，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴＝，解得AD＝，∴AD的長為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，證得＝是解題的關(guān)鍵．16．（2020秋?浦東新區(qū)期末）如圖，已知CA＝CD，CB＝CE，請你添加一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEC，這個(gè)條件可以是AB＝DE或∠ACB＝∠DCE（只需填寫一個(gè)）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．【解答】解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；故答案為：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．17．（2020秋?閔行區(qū)期中）如圖，已知AC＝DB，要使得三角形ABC≌△DCB，還需添加一個(gè)條件，那么這個(gè)條件可以是AB＝DC或∠ACB＝∠DBC．（只需填寫一個(gè)條件即可）【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS，SSS）判斷即可．【解答】解：添加AB＝DC，利用SSS可得△ABC≌△DCB；添加∠ACB＝∠DBC，利用SAS可得△ABC≌△DCB；故答案為：AB＝DC或∠ACB＝∠DBC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．18．（2020春?嘉定區(qū)期末）如圖：已知AB＝CD，使△ABO≌△CDO，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是∠A＝∠C．（只需一個(gè)，不添加輔助線）【分析】由圖形可知∠AOB＝∠COD，結(jié)合條件，根據(jù)全等三角形的判定方法填寫答案即可．【解答】解：∵AB＝CD，且∠AOB＝∠COD，∴當(dāng)∠B＝∠D或∠A＝∠C時(shí)，滿足AAS，可證明△ABO≌△CDO，故答案為：∠A＝∠C（∠B＝∠D）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．19．（2020春?金山區(qū)期末）如圖，在△ABC和△BAD中，因?yàn)锳B＝BA，∠ABC＝∠BAD，BC＝AD，根據(jù)“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．【分析】因?yàn)閵A∠ABC的兩邊分別為AB的BC，所以再加上BC＝AD，得△ABC≌△BAD（SAS）．【解答】解：∵AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，∴再加上BC＝AD，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案為：BC，AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形全等的判定方法是關(guān)鍵，三角形全等的判定方法是：①SSS②SAS③ASA④AAS．20．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠B＝∠E，AD＝CF，使△ABC≌△DEF，請?zhí)硪粋€(gè)條件可以是∠ACB＝∠F．【分析】由AD＝CF，可得出AC＝DF，又有∠B＝∠E，本題具備了一組邊、一組角對(duì)應(yīng)相等，所以根據(jù)全等三角形的判定定理添加一組對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】解：添加∠ACB＝∠F．理由如下：∵AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠ACB＝∠F．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．21．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，已知∠B＝∠C，從下列條件中選擇一個(gè)，則可以證明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么這個(gè)條件可以是①或②或③（寫出所有符合條件的序號(hào)）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：選擇①和②可與∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），選擇③可與∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），∴AB＝AC，AD＝AE，∴BE＝CD，∴△OEB≌△ODC（AAS）選擇④沒有已知的邊，不能得到△OEB≌△ODC，故答案為：①或②或③．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．22．（2019春?閔行區(qū)期末）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，還需添加一個(gè)條件，那么這個(gè)條件可以是AC＝A1C1或∠B＝∠B1（答案不為一）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定（有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等SAS）可得當(dāng)∠B＝∠B1時(shí)，可得△ABC≌△A1B1C1．根據(jù)全等三角形的判定（三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等SSS）可得當(dāng)AC＝A1C1時(shí)，可得△ABC≌△A1B1C1．【解答】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1后可分別根據(jù)SSS、SAS判定ABC≌△A1B1C1，故答案為：AC＝A1C1或∠B＝∠B1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．三．解答題（共5小題）23．（2017秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABE≌△ACD．（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的長；（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得出BE＝CD，根據(jù)BE＝6，DE＝2，得出CE＝4，從而得出BC的長；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠BAE＝∠CAD，即可得出∠BAD＝∠CAE，計(jì)算∠CAD﹣∠CAE即得出答案．【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，又∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC﹣DE＝BE﹣DE＝4，∴BC＝BE+EC＝10；（2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．24．（2020春?奉賢區(qū)期末）如圖，已知BE與CD相交于點(diǎn)O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO與△CEO全等嗎？為什么？【分析】根據(jù)AAS證明△BDO與△CEO全等即可．【解答】解：△BDO與△CEO全等，∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，在△BDO與△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．25．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中線，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于點(diǎn)P，CQ⊥MQ于點(diǎn)Q．（1）求證：MP⊥MQ；（2）求證：△BMP≌△MCQ．【分析】（1）利用角平分線的定義得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，則可計(jì)算出∠PMQ＝（∠AMB+∠AMC）＝90°，從而得到結(jié)論；（2）先證明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，然后根據(jù)“AAS”可判斷△BMP≌△MCQ．【解答】證明：（1）∵M(jìn)P平分∠AMB，MQ平分∠AMC，∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC＝（∠AMB+∠AMC）＝×180°＝90°，∴MP⊥MQ；（2）由（1）知，MP⊥MQ，∵BP⊥MP，∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，∴∠PBM＝∠QMC，∵AM是△ABC的中線，∴BM＝MC，在△BMP和△MCQ中，∴△BMP≌△MCQ（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．26．（2019?祿勸縣一模）如圖，點(diǎn)C、E、B、F在同一直線上，CE＝BF，AC∥DF，AC＝DF，求證：△ABC≌△DEF．【分析】先由CE＝BF，可得BC＝EF，繼而利用SAS可證明結(jié)論．【解答】解：∵CE＝BF，∴CE+BE＝BF+BE，即BC＝EF，又∵AC∥DF，∴∠C＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．27．（2018春?金山區(qū)期末）如圖，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，試說明△ACE≌△DCB的理由．【分析】由已知條件可知∠ACE＝∠DCB，則根據(jù)SAS可證全等．【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即：∠ACE＝∠DCB，在△ACE與△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．題組B能力提升練一．選擇題（共4小題）1．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）若干個(gè)正六邊形拼成的圖形中，下列三角形與△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)圖象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根據(jù)圖形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SSS），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．2．（2012春?浦東新區(qū)期末）已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周長為18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一條底邊的長等于（）A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分為兩種情況，求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分為兩種情況：①當(dāng)BC是底邊時(shí)，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，∵等腰△ABC的周長為18cm，BC＝8cm，∴△A′B′C′中一定有一條底邊B′C′的長是8cm，②BC是腰時(shí)，腰是8cm，∵等腰△ABC的周長為18cm，∴△A′B′C′中一定有一條底邊的長是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，即底邊長是8cm或2cm，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，注意：要進(jìn)行分類討論．3．（2021?普陀區(qū)二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列條件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行推理．【解答】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合題意．B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合題意．C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合題意．D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．（2020春?虹口區(qū)期末）下列四組三角形中，一定是全等三角形的是（）A．三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 B．兩條邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 C．兩條邊和其中一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 D．兩條邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形【分析】選項(xiàng)A、C、D畫出不符合的圖形即可；選項(xiàng)B，畫出圖形，延長BD到E，使BD＝DE，連接CE，延長B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，連接C′E′，根據(jù)全等三角形的判定推出△ABD≌△CED，△A′B′D′≌△C′E′D′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABD＝∠E，CE＝AB，∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，求出CE＝C′E′，根據(jù)全等三角形的判定推出△BCE≌△B′C′E′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，求出∠ABC＝∠A′B′C′，根據(jù)全等三角形的判定推出△ABC≌△A′B′C′即可．【解答】解：A．如圖所示：在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，但是△ADE和△ABC不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．如圖：延長BD到E，使BD＝DE，連接CE，延長B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，連接C′E′，∵BD是△ABC的中線，B′D′是△A′B′C′的中線，∵AD＝CD，A′D′＝C′D′，BE＝B′E′，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴∠ABD＝∠E，CE＝AB，同理∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，∵AB＝A′B′，∴CE＝C′E′，在△BCE和△B′C′E′中，∴△BCE≌△B′C′E′（SSS），∴∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，∵∠ABD＝∠E′，∠A′B′D′＝∠E′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，即∠ABC＝∠A′B′C′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本選項(xiàng)符合題意；C．如圖所示：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但是△ABC和△ABD不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D．如圖所示：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′，此時(shí)△ABC和△A′B′C′不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．二．填空題（共5小題）5．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知△ABC≌△ADE，且點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，則∠E的度數(shù)是36°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠ABD＝∠ADE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABD＝70°，求出∠DAE和∠ADE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠E即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝40°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ADE＝∠ABD＝70°，∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝114°﹣40°＝74°，∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣70°﹣74°＝36°，故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解此題的關(guān)鍵．6．（2021春?奉賢區(qū)期末）如圖，已知AC＝DC，∠1＝∠2，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABC≌△DEC，這個(gè)條件可以是BC＝EC．【分析】添加BC＝EC，由等式的性質(zhì)可得∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，進(jìn)而可得∠ACB＝∠ECD，然后利用SAS判定△ABC≌△DEC即可．【解答】解：添加BC＝EC，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，即∠ACB＝∠ECD，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案為：BC＝EC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．7．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)G，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得△AEG≌△CEB，這個(gè)條件可以是GE＝BE（只需填寫一個(gè)）．【分析】開放型題型，根據(jù)垂直關(guān)系，可以判斷△AEG與△CEB有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，就只需要找它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEG中，∠EAG＝90°﹣∠AGE，又∵∠EAG＝∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠AGE，在Rt△AEG和Rt△CDG中，∠CGD＝∠AGE，∴∠EAG＝∠DCG，∴∠EAG＝90°﹣∠CGD＝∠BCE，所以根據(jù)AAS添加AG＝CB或EG＝EB；根據(jù)ASA添加AE＝CE．可證△AEG≌△CEB．故答案為：GE＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．8．（2017秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB＝AD，∠1＝∠2，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得△ABC≌ADE，則需要添加的條件是AE＝AC，三角形全等的理由是SAS．（只寫一種即可）．【分析】根據(jù)SAS可以條件AE＝AC即可．【解答】解：AE＝AC；SAS（答案不唯一）；理由：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）故答案為AE＝AC，SAS；【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．9．（2018春?虹口區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P在∠MON的平分線上，點(diǎn)A、B分別在角的兩邊，如果要使△AOP≌△BOP，那么需要添加的一個(gè)條件是AO＝BO（或∠OAP＝∠OBP；∠APO＝∠BPO）（只寫一個(gè)即可，不添加輔助線）．【分析】判斷兩個(gè)三角形全等的方法有“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”．此題要證△AOP≌△BOP，通過題中已知的OP為∠MON的平分線，可得∠AOP＝∠BOP，還有一條公共邊OP＝OP，若添加AO＝BO，則可根據(jù)“SAS”來判定，若添加∠OAP＝∠OBP，則可根據(jù)“AAS”來判定，若添加∠APO＝∠BPO，則可根據(jù)“ASA”來判定．綜上可得出此題的答案．【解答】解：可以添加的條件有：AO＝BO，∠OAP＝∠OBP，∠APO＝∠BPO，證明：∵OP為∠MON的平分線，∴∠AOP＝∠BOP，若添加的條件為AO＝BO，在△AOP和△BOP中，OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP．所以添加的條件為AO＝BO，能得到△AOP≌△BOP；若添加的條件為∠OAP＝∠OBP，在△AOP和△BOP中，∠OAP＝∠OBP，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP．所以添加的條件為∠OAP＝∠OBP，能得到△AOP≌△BOP；若添加的條件為∠APO＝∠BPO，在△AOP和△BOP中，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠APO＝∠BPO∴△AOP≌△BOP．所以添加的條件為∠APO＝∠BPO，能得到△AOP≌△BOP；故答案為：AO＝BO或∠OAP＝∠OBP或∠APO＝∠BPO（寫出一個(gè)即可）．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于條件開放型試題，重在考查學(xué)生全等三角形的判定，解答這類試題，需要執(zhí)果索因，逆向思維，逐步探求使結(jié)論成立的條件．解決這類問題還要注意挖掘圖形中的隱含條件，如公共邊、對(duì)頂角相等、公共角等．這類問題的答案往往不唯一，只要合理即可．三．解答題（共6小題）10．（2012春?金山區(qū)校級(jí)期末）已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分別為E、F，請說明△ADE≌△ADF的理由．解：因?yàn)镈E⊥AB、DF⊥AC（已知）所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（垂直定義）所以∠AED＝∠AFD（等量代換）因?yàn)锳D是△ABC的角平分線（已知）所以∠DAE＝∠DAF（角平分線定義）在△ADE與△ADF中∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（已證）所以△ADE≌△ADF（AAS）．【分析】求出∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴∠AED＝90°，∠AFD＝90°（垂直定義），∴∠AED＝∠AFD（等量代換），∵AD是△ABC的角平分線（已知），∴∠DAE＝∠DAF（角平分線定義），在△ADE和△ADF中∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF（已證），AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），故答案為：已知，垂直定義，等量代換，已知，角平分線定義，已證，AAS．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，角平分線定義，垂直定義的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．11．（2012春?金山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．說理過程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于AB＝A′B′，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．這是因?yàn)锳C＝A′C′，所以點(diǎn)C與C′重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意填空即可．【解答】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．這是因?yàn)锳C＝A'C'，所以點(diǎn)C與C'重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案為：AB，A'B'，AC＝A'C'，C，C'．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解填空．12．（2011春?閔行區(qū)期末）閱讀：如圖，已知在△ABC和△A′B