中考數(shù)學(xué)考點大串講（北師大版）：專題03 概率的進一步認識（考點清單）（解析版）

專題03概率的進一步認識(考點清單)考點一用樹狀圖或表格求概率【考試題型1】幾何概率都相同，那么它停在△AOB上的概率是()·投擲飛鏢1次(假設(shè)每次飛鏢均落在游戲板上),擊中有顏色的小正方形(陰影部分)的概率為【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值.【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1,則總面積為9,其中陰影部分面積為5,域表示所求事件(A);然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件(A)發(fā)生的概率.形形成的圖案.ABCDE備用圖(1)一粒米隨機落在圖中所示的某個方格中(每個方格除顏色外完全一樣),求米粒落在陰影部分的概率；【分析】(1)直接利用概率公式計算得出答案；(2)直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合概率公式得出答案.【詳解】(1)圖中共有9個方格，其中4個方格是陰影，(2)把空白中的C或B涂黑，新圖案是軸對稱圖形.【點睛】此題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案以及幾何概率，正確應(yīng)用概率公式是解題關(guān)鍵.【考試題型2】列舉法求概率【典例2】有四根細木棒，長度分別為3cm,5cm,7cm,9cm,則隨機抽出三根木棒，能夠組成三角形的概率是【點睛】本題主要考查了列舉法求概率、三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識點，通過的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率是解【專訓(xùn)2-1】(2023·全國·九年級假期作業(yè))從1,2,4這三個數(shù)中任取兩個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，那么組成的兩位數(shù)是奇數(shù)的概率為.【分析】利用列舉法進行求解即可.【詳解】解：從1,2,4這三個數(shù)中任取兩個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有：12,14,21,24,41,42,6種等可能的結(jié)果，其中組成的兩位數(shù)是奇數(shù)的有41,21,2種等可能的結(jié)果；·【點睛】本題考查列舉法求概率.準確的列舉出所有等可能的結(jié)果，是解題的關(guān)鍵.則小麗獲勝(指針指到線上則重轉(zhuǎn)).求：(2)這個游戲公平嗎?請你說明理由【分析】(1)列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而求出指針指向數(shù)字為3的概率；(2)分別求出媽媽獲勝和小麗獲勝的概率，通過比較得出結(jié)論.【詳解】(1)解：將轉(zhuǎn)盤隨機轉(zhuǎn)一次，指針指向的數(shù)字所有可能的結(jié)果有2,4,6,8,10,12,共六種，(2)這個游戲公平，理由如下：能夠被4整除的結(jié)果數(shù)有3種，所有等可能的結(jié)果數(shù)有6種，【點睛】本題考查隨機事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解決問題的前提.【考試題型3】列表法或樹狀圖法求概率【典例3】現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋擲2次、乙拋擲3次，則乙擲出正面向上的次數(shù)大于甲擲出正面向上的次數(shù)的概率為()【詳解】甲拋擲2次，正面朝上的可能次數(shù)為0次，1次，2次，乙拋擲3次，正面朝上的可能次數(shù)為0次，1次，2次，3次，=>>><=>><<=>總的情況有12種，其中乙擲出正面向上的次數(shù)大于甲擲出正面向上的次數(shù)的情況有6種，總的情況有12種，其中乙擲出正面向上的次數(shù)大于甲擲出正面向上的次數(shù)的情況有6種，鍵.∵共有16種等可能的結(jié)果，兩次抽出的卡片所標數(shù)字不同的有12種情況，【答案】(1)40,30,36(2)根據(jù)(1)中求出的C等級的人數(shù)求出總?cè)藬?shù)；【詳解】(1)解：8÷20%=40(人),C等級的人數(shù)為：40-4-8-16=12(人),故答案為：40,30,36;獲獎情況條形統(tǒng)計圖獲獎情況條形統(tǒng)計圖(3)畫出樹狀圖如下：獲獎情況扇形統(tǒng)計圖第1人共有12種等可能的結(jié)果，其中選擇一男一女，共有6種等可能的結(jié)果，【點睛】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，樹狀圖法求概率.從統(tǒng)計圖中有效的獲取信息，是解題的【考試題型4】游戲公平性【典例4】小穎、小明兩人做游戲，擲一枚硬幣，雙方約定：正面朝上小穎勝，反面朝上小明勝，則這個游A.公平B.對小穎有利C.對小明有利D.無法確定【分析】先利用概率公式計算出小穎勝的概率,【詳解】解：擲一枚硬幣，共有2種等可能的結(jié)果，其中正面朝上的結(jié)果數(shù)為1,反面朝上的結(jié)果數(shù)為1,,,【點睛】本題考查了游戲公平性和概率公式，判斷游戲公平性需要先計算每個事件【分析】分別求出小紅和小軍獲勝的概率，然后進行比較即可.:·,故答案為：不公平.【點睛】本題主要考查了概率的計算，解題的關(guān)鍵是分別求出小紅和小軍獲勝的概率.上，甲組撲克牌是紅桃2,紅桃3和黑桃4;乙組撲克牌是黑桃5、黑桃6、紅桃7,作為十位數(shù)字，組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是_;花色相同，則黃震勝；若花色不同，則程祥獲勝，這個游戲規(guī)則是否對雙方公平?請用列表法或樹狀圖法【分析】(1)先用列表法求得所有結(jié)果數(shù)以及兩位數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后運用概率公式求解即可；(2)先用列表法求得所有結(jié)果數(shù)以及花色相同、花色不同的結(jié)果數(shù)，然后運用概率公式分別求出概率，然234567由表可得共有9種結(jié)果數(shù)，兩位數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有6個，故組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是故答案紅紅黑黑黑紅黑紅黑黑黑黑紅黑紅黑黑紅紅紅紅紅紅黑由表可得共有9種結(jié)果數(shù)，花色相同的結(jié)果數(shù)有4個，花色不同的結(jié)果數(shù)有5個，故黃震勝的概率是【點睛】本題主要考查了運用列表法求概率，根據(jù)題意正確列表是解答本題的關(guān)鍵.【考試題型5】利用概率計算隨機事件發(fā)生的平均次數(shù)【典例5】在數(shù)學(xué)活動課上，張明運用統(tǒng)計方法估計瓶子中的豆子的數(shù)量.他先取出100粒豆子，給這些豆子做上記號，然后放回瓶子中，充分搖勻之后再取出100粒豆子，發(fā)現(xiàn)其中8粒有到的數(shù)據(jù)可以估計瓶子中豆子的數(shù)量約為()粒.A.125B.1250C.250D.25【分析】設(shè)瓶子中有豆子x粒，根據(jù)取出100粒剛好有記號的8粒列出算式，再進行計算即可.【點睛】本題考查了用樣本的數(shù)據(jù)特征來估計總體的數(shù)據(jù)特征，利用樣本中的數(shù)據(jù)對【專訓(xùn)5-1】(2023秋·全國·九年級專題練習(xí))一批電子夠多時，平均來說，購買個這樣的電子產(chǎn)品，可能會出現(xiàn)1個次品.【答案】4【詳解】解：∵產(chǎn)品的抽樣合格率為75%,∴當購買該電子產(chǎn)品足夠多時，平均來說，每購4個這樣的電子產(chǎn)品，就可能會出現(xiàn)1個次品體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只白鼠隨機分成A,B兩組，每組100只，其中A組白鼠給服甲離子溶液，B組白鼠給服乙離子溶液.每只白鼠給服的溶液體積與濃度均相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在白鼠體內(nèi)離子的百分比.離子殘留百分比18給服乙離子白鼠(只數(shù))5ab(注：表中A~A?表示實驗數(shù)據(jù)x的范圍為A≤x<A?)(2)實驗室常用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表來估計數(shù)據(jù)的平均值，如對甲離子殘留百分比(3)甲、乙離子如殘留體內(nèi)會對生物體產(chǎn)生一定不良副作用，對原始數(shù)據(jù)進一步分析得到兩組數(shù)據(jù)的中位效、眾數(shù)、方差如下表所示，請根據(jù)數(shù)據(jù)分析兩種待檢藥物哪種相對更安全?請說明理由.離子殘留百分比中位數(shù)方差【答案】(1)10;35;(2)6.00;(3))由甲乙兩種離子殘留百分比的平均值估計均為6.00,甲中位數(shù)5.9<6.3,甲好，甲離子眾數(shù)6.0<6.3,甲好，從方差看甲離子方差1.38<1.8,甲好.【分析】(1)根據(jù)題意可求a+b=45,由P(A)的估計值為0.70,則(2)根據(jù)樣例給定的方法求即可；(3)由甲離子中位數(shù)5.9<6.3,甲離子眾數(shù)6.0<6.3,從甲離子方差看甲離子方差1.38<1.8做決策即可.因為P(A)的估計值為0.70,解得b=35,a=45-b=45-35=1故答案為：10;35;(3))由甲乙兩種離子殘留百分比的平均值估計均為6.00,甲中位數(shù)5.9<6.3,甲好，甲離子眾數(shù)6.0<6.3,甲離子殘留體內(nèi)會對生物體產(chǎn)生一定不良副作用小于乙離子，甲好，從方差看甲離子方差1.38<1.8說明甲【點睛】本題考查用概率估計樣本的數(shù)據(jù)，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，掌握概【考試題型6】概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用【典例6】如圖的四個轉(zhuǎn)盤中，轉(zhuǎn)盤3,4被分成8等分，若讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動一次停止后，指針落在陰影區(qū)域內(nèi)可能性從大到小排列為()A.①②④③B.③②④①C.③④②①D.④③②①【詳解】解：圖1陰影部分為270°,圖2陰影部分為240°,圖3每份為45°,陰影部分共4份為180°,圖4每份為45°陰影部分共5份為225°,所以①>②>④>③,,,①全部情況的總數(shù)②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.依此即可求解.【詳解】解：∵A區(qū)域扇形的圓心角為90°【點睛】此題考查了概率公式，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)·m種結(jié)果，那么事件A的概率·方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎的機會.規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B,這兩個轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域(指針落在分割線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤),根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色(如表)決定送禮金券的多少，指針指向一紅一藍9藍色紅色紅色B款和一藍區(qū)的概率.(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠.【分析】(1)根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可；(2)先分別算出指針指在兩個紅色區(qū)域，兩個藍色區(qū)域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進行比較即可得出答案.【詳解】(1)解：列表格如下：藍藍紅藍(藍，藍)(藍，藍)(藍，紅)紅(紅，藍)(紅，藍)(紅，紅)紅(紅，藍)(紅，藍)(紅，紅)∵由表格可知，共有9種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的情況數(shù)有5種，【點睛】本題主要考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意【考試題型7】概率在比賽中的應(yīng)用能排除第1題的一個錯誤選項，第2題完全不會，他還有兩次“求助”機會(使用可去掉一個錯誤選項),為提高通關(guān)概率，他的求助使用策略為()A.兩次求助都用在第1題B.兩次求助都用在第2題C.在第1第2題各用一次求助D.兩次求助都用在第1題或都用在第2題【分析】根據(jù)題意，分類討論，列舉或畫出樹狀圖列出等可【詳解】解：①若兩次求助都用在第1題，假設(shè)D選項是第1題的正確選項，選手可以排除的是A選項，使用兩次求助時存在三種等可能的情況：..第三種：求助排除BC選項，只剩D一個選項，答對的概率是1,②若在第1第2題各用一次求助，假設(shè)D選項是第1題的正確選項，選手可以排除的是A選項，使用一次求助時存在三種等可能的情況：.,第2題使用一次求助后，還剩3個選項，其中只有一個正確選項，因此答對的概率為③兩次求助都用在第2題，l5l5和為9的情況數(shù)有4種，所以概率共有6種等可能的結(jié)果，其中該選手通關(guān)的可能只有1種，故此時該選手通關(guān)的概率為：∴兩次求助都用在第1題或都用在第2題時，該選手通關(guān)的概率大，【專訓(xùn)7-1】(2018秋·九年級單元測試)拋擲兩枚普通的正方體骰子，把兩枚骰子的點數(shù)相加，若第一枚骰子的點數(shù)為1,第二枚骰子的點數(shù)為5,則是“和為6”的一種情況，我們按順序記作(1,5),如果一個游故答案為不公平.到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之【分析】(1)畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算；開始開始開始開始錯此時小新順利通過第一關(guān)的概率事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.【考試題型8】概率的其他應(yīng)用【典例8】一個密碼箱的密碼，每個數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù).若要使不知道密碼的人一次就撥對密碼的概率小于則密碼的位數(shù)至少需要設(shè)()解答即可.【詳解】解：∵取一位數(shù)時一次就撥對密碼的概率∴密碼的位數(shù)至少需要四位，故選項B正確..【專訓(xùn)8-1】(2023秋·湖北黃石·七年級統(tǒng)考階段練習(xí))一個不透明的袋子里裝有除顏色外其他完全相同的紅、白、黃三種顏色的球各10個，至少要摸()個才能保證摸出兩個不同顏色的球，至少摸()個才能保證摸出兩個黃色的球.【分析】(1)由題意可知，袋中共有紅、白、黃三種顏色的球，最壞的情況是，取出三個球后，每種顏色的球各有一個，此時只要再任意拿出一個球，就能保證取到的球中有兩個顏色相同的球.即至少要取3+1=4個.(2)考慮最壞情況：摸出10個球都是紅種顏色，再摸出10個球都是白種顏色，再摸出2個都是黃色，即【詳解】解：(1)3+1=4(個),(2)10+10+2=22(個),答；至少要摸出4個才能保證有兩個球的顏色相同，至少要摸22個才能保證摸出兩個黃色的球.故答案為：4,22【點睛】本題考查抽屜原理，熟練掌握抽屜原理中的最壞情況進行分析是完成本題的關(guān)鍵.【專訓(xùn)8-2】(2023春·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期末)在四種除顏色外都相同的小球，從袋子中摸出1個球，紅色、黃色、白色分別代表一、二、三等獎，黑色表示謝謝參與.(2)若袋中共有24個球，其中紅球3個，黃球6個，黑球9個，則1次抽獎機會中，抽中一等獎的概率為 ;抽中二等獎的概率為;中獎的概率為_;(3)現(xiàn)有足夠多的球，請你從中選15個球設(shè)計摸于摸到黑球的概率.(2)利用概率公式直接進行計算.(3)設(shè)計摸球游戲中的球總數(shù)為15,紅球和白球個數(shù)相同，且多于黑球的個數(shù)即可.(2)解：∵袋中共有24個球，其中紅球3個，黃球6個，黑球9個，且從袋子中摸出1個球，紅色、黃色球2個，其他的球都是黃色球.【點睛】本題考查隨機事件，概率公式，游戲設(shè)計，掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.球2個，其他的球都是黃色球.【點睛】本題考查隨機事件，概率公式，游戲設(shè)計，掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.考點二用頻率估計概率【考試題型1】求某事件的頻率【典例1】期中調(diào)研日期為“2023年04月20日”,其中出現(xiàn)的頻率相同的數(shù)字是()【詳解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四個數(shù)字，其中0出現(xiàn)了3次，2出現(xiàn)了3次，3出現(xiàn)了1次，4出現(xiàn)了1次，則數(shù)字0和2的頻率相同，均數(shù)字3和4的頻率相同，均為【點睛】本題考查了頻率，掌握頻數(shù)與總次數(shù)的比值(或者百分比)稱為這類數(shù)據(jù)頻數(shù)的頻率是解題關(guān)鍵.【點睛】本題主要考查頻數(shù)與頻率，頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值(或者百分比),即頻率【專訓(xùn)1-2】(2023秋·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習(xí))在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均不斷重復(fù).如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：bmmlna(3)如果袋中有15個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.6;(3)根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.6,然后利用概率公式計算其它顏色的球的個數(shù).故答案為：0.58,118;(2)由表格的數(shù)據(jù)可得，(3)15÷0.6-15=10(個),答：除白球外，還有大約10個其它顏色的小球.【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計值就是這個事件的概率.【考試題型2】由頻率估計概率【典例2】如圖是用計算機模擬拋擲一枚啤酒瓶蓋試驗的結(jié)果，下面有四個推斷，其中最合理的()0500100015002000250030003500400045005000投擲次數(shù)【分析】根據(jù)圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題.【詳解】解：A、當投擲次數(shù)是1000時，計算機記錄“凸面向上”的頻率是0.443,所以“凸面向上”的頻率是0.443,概率不一定是0.443,故A選項不符合題意；B、若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“凸面向上”的頻率不一定是面向上”的概率是0.440,故C選項符合題意；【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.的球，這a個球中只有3個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為.∴a的值約為15.故答案為：15.【點睛】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率.關(guān)鍵是根據(jù)紅球的概率計算公式列出方程.不斷重復(fù).如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：wwlna(3)如果袋中有12個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的小球?【分析】(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算得出摸到白球的頻率；(3)根據(jù)摸到白球的頻率即可求出摸到白球概率.根據(jù)口袋中白球的數(shù)量和概率即可求出口袋中球的總數(shù)，(2)解：由表可知，當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6,(3)解：12÷0.6-12=8個，答：除白球外，還有大約8個其它顏色的小球.【點睛】本題考查如何利用頻率估計概率，解題關(guān)鍵是要注意頻率和概率之間的關(guān)系.【典例3】一個不透明的袋子中有若干個白球，為估計