第08講 不等式的基本性質(zhì)與解法（7大考點(diǎn)）（原卷版）

第08講不等式的基本性質(zhì)與解法（7大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．要點(diǎn)：(1)不等號(hào)“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號(hào)的開口所對(duì)的數(shù)較大．(2)五種不等號(hào)的讀法及其意義：符號(hào)讀法意義“≠”讀作“不等于”它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對(duì)于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說(shuō)不等式成立，否則，不等式不成立．二、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要點(diǎn)：對(duì)不等式的基本性質(zhì)的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)不等式的基本性質(zhì)是對(duì)不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會(huì)．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變?nèi)?、一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個(gè)一元一次不等式．要點(diǎn)：(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“＝”連接，等號(hào)沒(méi)有方向．四、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.要點(diǎn)：（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用．（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．五、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．要點(diǎn)：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個(gè)范圍不等式的解集是一個(gè)集合，是一個(gè)范圍．其含義：①解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來(lái)表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式的無(wú)限個(gè)解．如圖所示：要點(diǎn)：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來(lái)，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意兩個(gè)“確定”：一是確定“邊界點(diǎn)”，二是確定方向．(1)確定“邊界點(diǎn)”：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＞a或x≥a向右畫；對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＜a或x≤a向左畫．注意：在表示a的點(diǎn)上畫空心圓圈，表示不包括這一點(diǎn)．考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：不等式的有關(guān)定義一、單選題1．（2021·浙江·八年級(jí)期末）定義：對(duì)于任意數(shù)，符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，．若，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．2．（2021·浙江·八年級(jí)期中）老師在黑板上寫了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)考點(diǎn)二：不等式的解集一、單選題1．（2020·浙江嘉興·八年級(jí)期中）下列各數(shù)中，是不等式x＞1的解的是（

）A．﹣2 B．0 C．1 D．32．（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則a的值為A．1 B． C．-1 D．考點(diǎn)三：不等式的基本性質(zhì)一、單選題1．（2020·浙江省義烏市廿三里初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（

）A．m＋2＞n＋2 B．2m＞2n C．0.5m＞0.5n D．2．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期末）若x＜y，則下列結(jié)論成立的是（

）A．x+2＞y+2 B．-2x＜-2y C．3x＞3y D．1-x＞1-y3．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期末）若，兩邊都除以-2，得（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期中）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣c B．a(chǎn)+c＜b+c C．a(chǎn)c＞bc D．5．（2020·浙江·樂(lè)清市知臨寄宿學(xué)校八年級(jí)期中）設(shè)“”、“

”、“”表示三種不同的物體．現(xiàn)用天平稱兩次，情況如圖所示，那么、、這三種物體質(zhì)量從大到小的順序排列正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）小英、小亮、小明和小華四名同學(xué)參加了“學(xué)用杯”競(jìng)賽選拔賽，小亮和小華兩個(gè)同學(xué)的得分和等于小明和小英的得分和；小英與小亮的得分和大于小明和小華的得分和，小華的得分超過(guò)小明與小亮的得分和．則這四位同學(xué)的得分由大到小的順序是（

）A．小明，小亮，小華，小英 B．小華，小明，小亮，小英C．小英，小華，小亮，小明 D．小亮，小英，小華，小明二、填空題7．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，由，兩邊同乘－1，得______8．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）若則2－3x______2－3y（填“>”或“<”或“＝”）．9．（2020·浙江·金華市南苑中學(xué)八年級(jí)期中）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的a的值___．三、解答題10．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知．(1)比較與的大小，并說(shuō)明理由．(2)若，求a的取值范圍．考點(diǎn)四：一元一次不等式概念一、單選題1．（2020·浙江·寧波咸祥中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）下列各式中，是一元一次不等式的是(

)A．5＋4＞8 B．2x－1C．2x≤5 D．－3x≥02．（2020·浙江寧波·八年級(jí)期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題3．（2021·浙江·杭州春蕾中學(xué)八年級(jí)期中）若m與3的和是正數(shù)，則可列出不等式：___．考點(diǎn)五：列一元一次不等式一、單選題1．（2020·浙江省義烏市廿三里初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某商品每件為a元，買50件這樣的商品的總費(fèi)用不高于342元，則可得關(guān)于a的不等式為（

）A．50a≤342 B．50a＜342 C．50a＞342 D．50a≥3422．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）研究表明，運(yùn)動(dòng)時(shí)將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過(guò)（220-年齡）×0.8，最低值不低于（220-年齡）×0.6．以30歲為例計(jì)算，，，1，所以30歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）一座小水電站的水庫(kù)水位在12米到20米（包括12米，不包括20米），發(fā)電機(jī)能正常工作．設(shè)水庫(kù)水位為x米．(1)用不等式表示發(fā)電機(jī)正常工作的水位范圍，并把它表示在數(shù)軸上；(2)當(dāng)水位在下列位置時(shí)，發(fā)電機(jī)能正常工作的有______．①x＝10；②x＝12；③x＝15；④x＝20．考點(diǎn)六：一元一次不等式的解集一、單選題1．（2020·浙江溫州·八年級(jí)階段練習(xí)）小馬虎同學(xué)做一道“解一元一次不等式”的作業(yè)，解答過(guò)程如下圖，在①、②、③、④四個(gè)步驟中，小馬虎同學(xué)一共做錯(cuò)了（

）步．解：，①②③，④A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期末）設(shè)a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，用max｛a，b｝表示a，b兩數(shù)中的較大者，例如max｛4，3｝=4，則max｛，，｝的最小值等于（

）A．-2 B．1 C．7 D．3二、填空題3．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的最大值為______．三、解答題4．（2020·浙江寧波·八年級(jí)期中）解不等式，并把它的解集表示在數(shù)軸上：(1)5x＋15<－2x-13(2)5．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）以下是小欣同學(xué)解不等式的解答過(guò)程：解：去分母，得．

…………①去括號(hào)，得．

…………②移項(xiàng)，得．

…………③合并同類項(xiàng)，得．

…………④兩邊除以－4，得．

…………⑤小欣同學(xué)的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程．考點(diǎn)七：一元一次不等式的整數(shù)解一、單選題1．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）已知x＝2不是關(guān)于x的不等式2x﹣m＞4的整數(shù)解，x＝3是關(guān)于x的不等式2x﹣m＞4的一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍為（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2二、填空題2．（2022··八年級(jí)期末）不等式的非負(fù)整數(shù)解為______．3．（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）不等式2x－3≤x的解集是________，最大正整數(shù)解是________．4．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）不等式的最小負(fù)整數(shù)解______．5．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期末）不等式2x﹣1≤6的非負(fù)整數(shù)解有_____個(gè)．三、解答題6．（2020·浙江·八年級(jí)期末）（1）解不等式．并寫出適合不等式的最大整數(shù)解；（2）某單位要制作一批宣傳材料，甲公司提出，每份材料收費(fèi)25元，另收2000元設(shè)計(jì)費(fèi)；乙公司提出，每份材料收費(fèi)35元，不收設(shè)計(jì)費(fèi)．請(qǐng)問(wèn)該單位選擇哪家公司制作這批宣傳材料更合算？7．（2020·浙江紹興·八年級(jí)期中）解不等式，并求出它的非負(fù)整數(shù)解．8．（2019·浙江杭州·八年級(jí)期末）解不等式，將解表示在數(shù)軸上，并求出不等式的正整數(shù)解．9．（2020·浙江杭州·八年級(jí)期末）若不等式的最小整數(shù)解為方程的解，求a的值．10．（2019·浙江·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足.（1）求a的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若不等式的解為.則整數(shù)a的值是多少？鞏固鞏固提升一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）不等式x≤1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．2．（2021春?東城區(qū)校級(jí)期末）下面給出了6個(gè)式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2009秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）不等式2﹣m＜（x﹣m）的解集為x＞2，則m的值為（）A．4 B．2 C． D．4．（2021秋?湖州期末）已知﹣2x＞4，則下列不等式一定成立的是（）A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＞25．（2017秋?秀洲區(qū)期中）已知a、b為常數(shù)，若ax+b＞0的解集是，則bx﹣a＜0的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜36．（2021秋?義烏市期末）x＝1是不等式x﹣b＜0的一個(gè)解，則b的值不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021秋?溫州期中）已知x＝2不是關(guān)于x的不等式2x﹣m＞4的整數(shù)解，x＝3是關(guān)于x的不等式2x﹣m＞4的一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍為（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤28．（2020秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）小麗和小華先后進(jìn)入電梯，當(dāng)小華進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而警示音響起，且這個(gè)過(guò)程中沒(méi)有其他人進(jìn)出，已知當(dāng)電梯乘載的重量超過(guò)300公斤時(shí)警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公斤，若小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260二．填空題（共9小題）9．（2020秋?衢州期中）“x與y的2倍的和是正數(shù)”用不等式可表示為．10．（2021秋?江干區(qū)校級(jí)期中）用不等式表示“5a與6b的差是非正數(shù)”．11．（2021秋?衢江區(qū)期末）寫出一個(gè)不等式，使它的解為x＞﹣1，則這個(gè)不等式可以是．12．（2020秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）某種藥品的說(shuō)明書上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用藥品的劑量設(shè)為x，則x的取值范圍是．13．（2021秋?樂(lè)清市校級(jí)月考）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，兩邊同除以（m﹣3），得x＞1，則m的取值范圍為．14．（2021秋?青田縣期末）已知關(guān)于x的不等式2x+a≤1只有3個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為．15．（2020秋?東陽(yáng)市期末）有一種感冒止咳藥品的說(shuō)明書上寫著：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用這種藥品的劑量為amg，則a的取值的范圍為．16．（2021春?冠縣期末）若（m+1）x|m|+2＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝．17．（2021秋?杭州期末）不等式x﹣3＞﹣14﹣x的最小負(fù)整數(shù)解．三．解答題（共9小題）18．（2016秋?蕭山區(qū)期中）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．19．（2021秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）已知：x，y滿足3x﹣4y＝5．（1）用含x的代數(shù)式表示y，結(jié)果為y＝；（2）若y滿足y≤x，求x的取值范圍；（3）若x，y滿足x+2y＝a，且x＞2y，求a的取值范圍．20．（2019秋?黃巖區(qū)期末）在一個(gè)含有兩個(gè)字母的代數(shù)式中，如果任意交換這兩個(gè)字母的位置，代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為二元對(duì)稱式，例如：x+y，xy，，都是二元對(duì)稱式，其中x+y，xy叫做二元基本對(duì)稱式．請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：（1）下列各代數(shù)式中，屬于二元對(duì)稱式的是（填序號(hào)）；①；②（a﹣b）2；③；④．（2