2023-2024學(xué)年包頭市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023-2024學(xué)年包頭市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．632．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長為A． B．C． D．3．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．5．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．136．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．7．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，，當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．9．甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．10．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．28211．如圖所示，三國時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不計(jì)，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．6412．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）函數(shù)的定義域是____________．14．某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________．15．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____．16．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓C：的一條切線，切點(diǎn)為T.若，則的長是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，，證明：．18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點(diǎn).（1）已知點(diǎn)在棱上，且平面平面，試確定點(diǎn)的位置并說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.20．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.21．（12分）傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識(shí).2、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長為，故選B．3、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減，時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),

當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對(duì)稱性和得到A和.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時(shí)需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.9、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個(gè),其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個(gè),故所求概率為,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個(gè)面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點(diǎn)，其中，，，所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題11、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。12、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【詳解】由可得，因?yàn)椋裕试诜较蛏系耐队盀椋蔬x：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．14、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

作出圖像，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知可得，，且，可解出，計(jì)算即得.【詳解】如圖，設(shè)，圓心坐標(biāo)為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點(diǎn)間的距離，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，，要證，即證，由在上單調(diào)遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調(diào)遞增，由，故當(dāng)時(shí)，，故，證畢．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等，關(guān)鍵是要對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，把根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，屬難題．18、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.19、（1）為中點(diǎn)，理由見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【解析】

(1)為中點(diǎn),可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【詳解】（1）為中點(diǎn)，證明如下：分別為中點(diǎn)，又平面平面平面又，且四邊形為平行四邊形，同理，平面，又平面平面（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)直線與平面所成角為，則取平面的法向量為則令，則所以當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運(yùn)算求解能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得，進(jìn)而求得的值；（2）根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合（1）中的值，即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求得和，進(jìn)而由正弦定理確定，代入整式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得，所以.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋杂烧叶ɡ泶牖?jiǎn)可得，由（1），代入可得，展開化簡(jiǎn)可得，根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?，所以，所以，所以為等腰三角形，且，所?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦和角公式及輔助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計(jì)總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）由樣本估計(jì)總體，出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及獨(dú)立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.22、（1），；（2）.