2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型4 多邊形證明（復(fù)習(xí)講義）（三角形、平行四邊形、矩形、正方形、菱形）（原卷版）

PAGE題型四多邊形證明（三角形、平行四邊形、矩形、正方形、菱形）（復(fù)習(xí)講義）【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】考點(diǎn)01三角形全等及性質(zhì)一、三角形的基礎(chǔ)知識(shí)1．三角形的概念由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形．2．三角形的三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．3．三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．4．三角形中的重要線段（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．（4）連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．二、全等三角形5．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．6．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．三、等腰三角形7．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．8．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．四、等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．（3）判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．五、直角三角形與勾股定理9．直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．10．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線．以點(diǎn)SKIPIF1<0圓心，SKIPIF1<0長(zhǎng)為半徑畫弧，與SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．2.如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD．

(1)求證：∠A=∠C；

(2)求證：AB//CD．3．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．

4.如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E.求證：∠A=∠D．5．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．6.(2022·四川省宜賓市)已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一直線上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求證：AD=CF．7.(2022·陜西省)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求證：DE=BC．8.(2022·浙江省杭州市)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°．

(1)求證：CE=CM．

(2)若AB=4，求線段FC的長(zhǎng)．9．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0．

(1)寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系(2)延長(zhǎng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．(3)在（2）的條件下，作SKIPIF1<0的平分線，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．10.（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．11.（2021·福建中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，D是邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，垂足分別為E，F(xiàn)，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．考點(diǎn)02相似六、相似三角形的判定及性質(zhì)11．定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．12．性質(zhì)（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．13．判定（1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角[用判定（1）]或再找?jiàn)A邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．七、相似多邊形14．定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．15．性質(zhì)（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．八、位似圖形16．定義如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．27．性質(zhì)（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．18．找位似中心的方法將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．19．畫位似圖形的步驟（1）確定位似中心；（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．12．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0位似，原點(diǎn)O是位似中心，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

13．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，E是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0交于點(diǎn)F．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．

14.（2021·云南中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)D，E分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)F，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)是______．15．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)D，則SKIPIF1<0的值為_(kāi)_______．

16．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上的高．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．17.如圖，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．則AEAC18．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0中，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)G是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)H，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．考點(diǎn)03多邊形十、多邊形20．多邊形的相關(guān)概念（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．（2）對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n–3)條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形；n邊形對(duì)角線條數(shù)為SKIPIF1<0．21．多邊形的內(nèi)角和、外角和（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n–2)·180°；（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.22．正多邊形（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為SKIPIF1<0，每一個(gè)外角為SKIPIF1<0．（3）正n邊形有n條對(duì)稱軸.（4）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．19．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和等于SKIPIF1<0的是（

）A．

B．

C．

D．

20.（2021·湖南岳陽(yáng)市·中考真題）下列命題是真命題的是（）A．五邊形的內(nèi)角和是SKIPIF1<0 B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊C．內(nèi)錯(cuò)角相等 D．三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)21.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022.（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，AC是正五邊形ABCDE的對(duì)角線，SKIPIF1<0的度數(shù)是（）A．72° B．36° C．74° D．88°23.（2021·四川資陽(yáng)市·中考真題）下列命題正確的是（）A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為_(kāi)____．25．（2021·浙江麗水市·中考真題）一個(gè)多邊形過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為SKIPIF1<0，則原多邊形的邊數(shù)是__________．26．（2021·湖北黃岡市·中考真題）正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是_____度．27．（2021·陜西中考真題）正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)_____．28．（2021·湖南中考真題）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)都是60°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_____．考點(diǎn)04平行四邊形十一、平行四邊形的性質(zhì)23．平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“SKIPIF1<0”表示.24．平行四邊形的性質(zhì)（1）邊：兩組對(duì)邊分別平行且相等．（2）角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．（3）對(duì)角線：互相平分．（4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱．25．注意：利用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)一些常用到的結(jié)論和方法：（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題．（3）過(guò)平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．26．平行四邊形中的幾個(gè)解題模型（1）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性，可得經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心O的線段與對(duì)角線所組成的居于中心對(duì)稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半．（3）如圖③，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如圖④，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．十二、平行四邊形的判定（1）方法一（定義法）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）方法三：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（4）方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.（5）方法五：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．十三、矩形的性質(zhì)與判定27．矩形的性質(zhì)：（1）四個(gè)角都是直角；（2）對(duì)角線相等且互相平分；（3）面積=長(zhǎng)×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）28．矩形的判定：（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）有三個(gè)角是直角；（3）對(duì)角線相等的平行四邊形．十四、菱形的性質(zhì)與判定29．菱形的性質(zhì)：（1）四邊相等；（2）對(duì)角線互相垂直、平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（3）面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半．30．菱形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；（3）四條邊都相等的四邊形．十五、正方形的性質(zhì)與判定31．正方形的性質(zhì)：（1）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；（2）對(duì)角線相等且互相垂直平分；（3）面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=2S△ABD=4S△AOB．32．正方形的判定：（1）定義法：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）一組鄰邊相等的矩形；（3）一個(gè)角是直角的菱形；（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分．十六、聯(lián)系兩組對(duì)邊分別平行；相鄰兩邊相等；有一個(gè)角是直角；（4）有一個(gè)角是直角；（5）相鄰兩邊相等；（6）有一個(gè)角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等（8）有三個(gè)角都是直角．十七、中點(diǎn)四邊形（1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.29．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且分別交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

30．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)E，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______SKIPIF1<0．

31．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)E；SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)F．求證：SKIPIF1<0．

32．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)D、E分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，點(diǎn)G、F分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形(2)SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度．33.（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，點(diǎn)C是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）如果SKIPIF1<0，求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形．34．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形SKIPIF1<0中，過(guò)對(duì)角線SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明：四邊形SKIPIF1<0是菱形．35.（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，且SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0