2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型11 綜合探究題 類型2 與動點(diǎn)有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）（教師版）

PAGE類型二與動點(diǎn)有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形SKIPIF1<0中（頂點(diǎn)SKIPIF1<0按逆時針方向排列），SKIPIF1<0為銳角，且SKIPIF1<0．

(1)如圖1，求SKIPIF1<0邊上的高SKIPIF1<0的長．(2)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的一動點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0同時繞點(diǎn)SKIPIF1<0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在射線SKIPIF1<0上時，求SKIPIF1<0的長．②當(dāng)SKIPIF1<0是直角三角形時，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)8(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，最后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)；第二種：SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)；第三種，SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)，但此種情況不成立，故最終有兩個答案．【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（2）①如圖1，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．由旋轉(zhuǎn)知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②由旋轉(zhuǎn)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．情況一：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)時，如圖2．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0延長線上．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情況二：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)時，如圖3．

設(shè)SKIPIF1<0與射線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情況三：當(dāng)以SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的延長線上，不符合題意．綜上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動．（1）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖1，求SKIPIF1<0的長；（2）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長；（3）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，M是高SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形SKIPIF1<0的邊長為3，E是邊SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形SKIPIF1<0，其中點(diǎn)F、G都在直線SKIPIF1<0上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為______，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】（1）1；（2）3；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0即可；（2）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在A處時，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．可得點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動的路徑的長SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．可求點(diǎn)SKIPIF1<0所經(jīng)過的路徑的長SKIPIF1<0；（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的SKIPIF1<0上運(yùn)動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即，可求SKIPIF1<0，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為SKIPIF1<0長=SKIPIF1<0，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為SKIPIF1<0的長SKIPIF1<0．【詳解】解:（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在A處時，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合．∴點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動的路徑的長SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，∴點(diǎn)SKIPIF1<0所經(jīng)過的路徑的長SKIPIF1<0；（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的SKIPIF1<0上運(yùn)動，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為SKIPIF1<0長=SKIPIF1<0，點(diǎn)H在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長為直徑的弧SKIPIF1<0上運(yùn)動，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為SKIPIF1<0的長度，∵點(diǎn)G運(yùn)動圓周的四分之一，∴點(diǎn)H也運(yùn)動圓周的四分一，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為SKIPIF1<0的長=SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90°圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵．3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知SKIPIF1<0是等邊三角形，點(diǎn)SKIPIF1<0是射線SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)，延長SKIPIF1<0至點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交射線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，猜測線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的延長線上時，①線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0，理由見解析(2)①成立，理由見解析②SKIPIF1<0【分析】（1）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論．（2）①過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)已知條件推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的長，利用四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0，理由如下：∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）①成立，理由如下：∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，

由①知：SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②可得：SKIPIF1<0（負(fù)值已舍去），經(jīng)檢驗(yàn)SKIPIF1<0是原方程的根，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題的綜合性強(qiáng)，難度大，屬于中考壓軸題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，全等和相似三角形．4.（2021·浙江中考真題）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0．（1）如圖1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖2所示．若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．（3）如圖3，若SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0？若存在，請直接寫出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）見解析；（3）存在，SKIPIF1<0【分析】（1）先解直角三角形ABC得出SKIPIF1<0，從而得出SKIPIF1<0是等邊三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的長，進(jìn)而得出BC的長；（2）連結(jié)SKIPIF1<0，先利用AAS證出SKIPIF1<0，得出AE=2PE，AC=DE，再得出SKIPIF1<0是等邊三角形，然后由SAS得出SKIPIF1<0，得出AE=BC即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接BE，過C作CG⊥AB于G，過E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再證明SKIPIF1<0，從而得出SKIPIF1<0得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．【詳解】（1）解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）證明：連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）存在這樣的SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接BE，過C作CG⊥AB于G，過E作EN⊥AB于N，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，∵SKIPIF1<0，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，SKIPIF1<0，∴∠EAN=∠CBG∵AE=BC，AB=BA，∴SKIPIF1<0∴AC=BE，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是合理添加輔助線，有一定的難度．5．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，將SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0．”小紅：“若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，給出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的長，就可求出SKIPIF1<0的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上時，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成SKIPIF1<0的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；問題2：SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得SKIPIF1<0，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得SKIPIF1<0，即可得證；（2）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，勾股定理求得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0即可求解；問題2：連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)已知條件可得SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，勾股定理求得SKIPIF1<0，根據(jù)三線合一得出SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理求得SKIPIF1<0的長，即可求解．【詳解】（1）∵等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如圖所示，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，

∵折疊，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；問題2：如圖所示，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6.（2021·浙江中考真題）問題：如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長．答案：SKIPIF1<0．探究：（1）把“問題”中的條件“SKIPIF1<0”去掉，其余條件不變．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時，求AB的長；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，求EF的長．（2）把“問題”中的條件“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）①10；②5；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）①利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義先分別求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可完成求解；

②證明出SKIPIF1<0即可完成求解；

（2）本小題由于E、F點(diǎn)的位置不確定，故應(yīng)先分情況討論，再根據(jù)每種情況，利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等建立相等關(guān)系求解即可．【詳解】（1）①如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．同理可得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，SKIPIF1<0．

②如圖2，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，同理可證SKIPIF1<0，∴?ABCD是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，SKIPIF1<0．（2）情況1，如圖3，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．情況2，如圖4，同理可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．情況3，如圖5，由上，同理可以得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上：SKIPIF1<0的值可以是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于探究型應(yīng)用題，綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、菱形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確畫出圖形，建立相等關(guān)系求解等，本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力，本題涉及到的思想方法有分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想等．7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，連接SKIPIF1<0．

(1)如圖1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長．(2)如圖2，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0上方作等邊SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．(3)在SKIPIF1<0取得最小值的條件下，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0右側(cè)作等邊SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在直線上一點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直線翻折至SKIPIF1<0所在平面內(nèi)得到SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直線翻折至SKIPIF1<0所在平面內(nèi)得到SKIPIF1<0，請直接寫出此時SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）解SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0即可求解；（2）延長SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，結(jié)合已知條件得出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得證；（3）在SKIPIF1<0取得最小值的條件下，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)題意得出點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運(yùn)動，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0在半徑為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上運(yùn)動，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，即SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時，此時如圖，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，得出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0是等邊三角形，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直線翻折至SKIPIF1<0所在平面內(nèi)得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理求得SKIPIF1<0，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：如圖所示，延長SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：如圖所示，

在SKIPIF1<0取得最小值的條件下，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直線翻折至SKIPIF1<0所在平面內(nèi)得到SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0∴點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運(yùn)動，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0在半徑為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上運(yùn)動，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，即SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時，此時如圖，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如圖所示，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是等邊三角形，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直線翻折至SKIPIF1<0所在平面內(nèi)得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點(diǎn)到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8.如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點(diǎn)E作EFSKIPIF1<0AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動時，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動；①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離．【答案】（1）見解析；（2）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF＝∠EFP，證出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出結(jié)論；（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由對稱的性質(zhì)得出CE＝BC＝5cm，在RtSKIPIF1<0CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtSKIPIF1<0APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝SKIPIF1<0cm即可；②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時AE＝1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EFSKIPIF1<0AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四邊形BFEP為菱形；（2）解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，∴CE＝BC＝5cm，在RtSKIPIF1<0CDE中，DE＝SKIPIF1<0＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在RtSKIPIF1<0APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝SKIPIF1<0cm，∴菱形BFEP的邊長為SKIPIF1<0cm；②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，如圖2：點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時AE＝1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，如圖3所示：點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm，∴點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離為2cm．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．9．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0（n為正整數(shù)），E是SKIPIF1<0邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作SKIPIF1<0的垂線交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時，興趣小組探究得出結(jié)論：SKIPIF1<0，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0，且點(diǎn)F在線段SKIPIF1<0上時，試探究線段SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段SKIPIF1<0之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為M．若SKIPIF1<0，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①SKIPIF1<0，證明過程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)F在SKIPIF1<0延長線上時，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0即可解答；（2）①過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，根據(jù)（1）中結(jié)論可得SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0；②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線SKIPIF1<0上時；當(dāng)點(diǎn)F在SKIPIF1<0延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的軌跡長度即為SKIPIF1<0的長度，可利用建系的方法表示出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出SKIPIF1<0，最后利用勾股定理即可求出SKIPIF1<0的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接SKIPIF1<0，

當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0證明：如圖，過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，

當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故線段SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系為SKIPIF1<0；②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線SKIPIF1<0上時，如圖，在SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKI