2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷-第二章直線和圓的方程A卷含解析

第二章直線和圓的方程

A卷基礎(chǔ)過關(guān)必刷卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

1.已知直線，：＞=丘與圓C：/+9-6》+5=0交于A8兩點，若AA5C為等腰直角三角形,

則A的值為（）

V14

2.已知圓G：/+y2-履+2y=0與圓。2“2+丫2+0-4=0的公共弦所在直線恒過點

P（。/），且點尸在直線，京-〃y-2=0上，則加〃的取值范圍是（）

-00,—-00,——

44

3.己知4（—1,0）,8（0,2）,直線/：2x—2ay+3+4=0上存在點p,滿足|PA|+1PB|=不，則

/的傾斜角的取值范圍是（）

712萬］「人萬］一「27、F7i3乃］，八萬,「3萬、

A.B.0,-U—,KC.D.0,-U—,K

［33」L3jL3）144」I4jL4）

4.2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國

旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一

個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究,如圖,

以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，。。，OO2,OO3,。。4分別是大星中心點與

四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，a。16°,則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）

C.2'

5.已知圓C：xi+y2-lx-2y+\=Q,直線/：x+y-4=0,若在直線/上任取一點加作

圓C的切線M4,MB,切點分別為A,8,則ZACB最小時，原點。到直線A3的距離為()

A.迥B.72C.—D.2yli

22

6.直線〃x+y-l=O被圓d+y2-2x-8y+13=0所截得的弦長為26，貝!!”=()

43「.

A.—B.—C.V3D.2

34

7.已知點A(2,3),8(-3,-2)與直線/:丘-廣上+1=0,且直線/與線段AB相交，則直線/的

斜率"的取值范圍為()

33133

A.后N2或—B.kN-或—C.-4<AK—D.-WZW2

44444

8.已知直線1與單位圓0相交于A&,%)，8(%,必)兩點，且圓心。到1的距離為日，

則歸+)，||+上+%|的取值范圍是()

A.佟,6B.甸C.與#D.［立行］

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分

9.已知圓C:x2-2“x+y2+a2-1=o與圓。:丁+丁=4有且僅有兩條公共切線，則實數(shù)。的

取值可以是()

A.—3B.3C.2D.—2

10.一條斜率不為0的直線/：奴+勿+。=0,令/(x,y)=or+by+c,則直線1的方程可表

示為f(x,y)=0.現(xiàn)光線沿直線1射到x軸上的點&p,0),反射后射到y(tǒng)軸上的點B(0M),

再經(jīng)反射后沿直線g(x,y)=o射出.若/(x,y)=o和g(x,y)=0中X和y的系數(shù)相同，則下列

結(jié)論正確的是()

A.4(p,l)+pg(l,<7)=0：

B.2/(p,y)+2g(x,4)=f(x,y)+g(x,y)

C.4(/+/)="(l,l)+g(l,l)］2

D.\f(x,y)-g(x,y)|<|f(p,4)+g(p,4)|

11.設(shè)為正數(shù)，若直線面:-切+1=0被圓丁+丁+4、-2產(chǎn)1=0截得弦長為4,則()

A.a+b=\B.2。+/?=1

12.下列說法正確的是()

A.直線丫=融一34+23€/?)必過定點(3,2)

B.直線y=3x-2在y軸上的截距為_2

C.直線百x+y+l=O的傾斜角為60°

D.過點(-1,2)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y=0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.設(shè)點P是直線3x-4y+7=O上的動點，過點P引圓(x-l)2+y2=，(r>o)的切線PA,P8(切

點為A,B),若NA&?的最大值為g,則該圓的半徑r等于_

14.己知函數(shù)/(x)=VT，+Mx-2)有兩個不同的零點，則常數(shù)出的取值范圍是

15.在平面直角坐標系xOy中，已知直線/：、=丘+2與圓C:(x-lf+y2=9交于A、8兩

點，過點A、8分別作圓C的兩條切線4與4，直線4與4交于點尸，則線段PC長度的最小

值是.

16.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩

中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標系xOy中,

設(shè)軍營所在平面區(qū)域為｛(了》)|*2+/4亍，河岸線所在直線方程為x+3y-10=0.假定將軍

從點P(2』)處出發(fā)，只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則將軍可以選擇最短路程為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知圓M過C(l,-1),D(-1,1)兩點，且圓心M在x+y-2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,PB是圓M的兩條切線，A,B為切點，求四邊形

PAMB面積的最小值.

18.點E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC的中點，點M在邊AB上，S.AB=3AM,沿圖

1中的虛線DE,EF,FD將,折起使A,B,C三點重合，重合后的點記為

點P,如圖2.

(1)證明：PF±DM；

(2)若正方形ABCD的邊長為6,求點M到平面DEF的距離.

19.已知點尸在拋物線C：V=4x上，過點尸作圓M:(x-3>+y2=/(0<rw&)的兩條切

線，與拋物線C分別交于A、8兩點，切線尸4、P8與圓用分別相切于點E、尸.

(1)若點P到圓心用的距離與它到拋物線C的準線的距離相等，求點尸的坐標；

(2)若點尸的坐標為(1,2),且「=&時，求而?加的值；

(3)若點尸的坐標為(1,2),設(shè)線段A8中點的縱坐標為心求，的取值范圍.

20.如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋

BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段0A上并與BC相切的圓,且古橋兩端0和A

到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經(jīng)測量，點A位于點0正北方向60m處，點C位于

4

點0正東方向170m處（0C為河岸），tanNBCO=].

60mL

(9

（1）求新橋BC的長；

（2）當(dāng)0M多長時，圓形保護區(qū)的面積最大?

21.如圖，已知圓0的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L,直線AB.點P

是圓0上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點.

試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼?，解決下列問題：

(1)若NPAB=30°,求以MN為直徑的圓方程；

(2)當(dāng)點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓0內(nèi)的一定點.

22.已知圓(?:/+/+2乂-7=0內(nèi)一點P(-1,2),直線/過點尸且與圓C交于A,8兩點.

(1)求圓C的圓心坐標和面積；

(2)若直線/的斜率為出，求弦A8的長；

(3)若圓上恰有三點到直線/的距離等于近,求直線/的方程

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

1.已知直線/：y=心與圓C：》2+丁-6犬+5=0交于4B兩點，若AABC為等腰直角三角形,

則k的值為()

A.巫B.巫C.士巫D.土色

7227

【答案】D

【解析】

由工2+9一6工+5=0可得：(x-3)2+y2=4,

所以圓心C（3,0）,半徑廠=2,

由AABC為等腰直角三角形知，

圓心C（3,0）到直線/：y=日的距離4=#，=0,

所以“=-^^=伉解得』上，

VF+17

故選：D.

2.已知圓G：x2+y2-日+2y=0與圓。2：/+丫2+0-4=0的公共弦所在直線恒過點

P（a，b）,且點P在直線〃ir-"y-2=0上，則如?的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】

將圓G與圓C2的方程相減得公共弦所在直線的方程為a+（"2）y-4=0,即

々（x+y）-（2y+4）=0,

[2y4-4=0[x=2.、

由八，得.，即點P2,-2,

[x+y=O[y=-2

m+nY1

因此，2m+2〃-2=0,.?.加+〃=1,由基本不等式可得〃皿4|、2J

當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=g時，等號成立，

因此，如?的取值范圍是1-8,；.

故選：D.

3.己知A（T,O）,B（0,2）,直線（:2%-2做+3+a=0上存在點、P,滿足|PA|+|P3|=6,則

/的傾斜角的取值范圍是（）

712^1「,、乃]一「2》、「乃3萬D(c7r~\.,r3乃、

A.B.0,-U—,7rC.-m州彳臼

133」L3jL3J144」

【答案】D

【解析】

將A（—1,0）代入2x—2ay+3+a=0得a=-1,

將3(0,2)代入2》-2歐+3+。=0得4=1,

所以A,B不在直線1上，

又|明=6,|以|+|尸8|=/上,

所以點P在線段AB上，

直線AB的方程為:y=2x+2,xw[T,0],

y=2x+2

..2x+32x+32x+3

由《2x-2〃y+3+〃=0,解傳“-2y-l-2（2工+2）-1-41+3'

-l<x<0

直線方程2X-2沖+3+4=0,即為y=Jx+孚，

a2a

設(shè)直線/的傾斜角為a,

.14x+3.3

則nIltana=—=----=2------

a2x+32x+3

因為—lWxWO,

所以l<2x+3<3,

3

則

3

所以心廣，

即-14tana<1,

因為aw（O,萬）,

所以心(。,科耳㈤,

故選：D

4.2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國

旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一

個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究,如圖,

以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，。。，OO2,OO3,OQ,分別是大星中心點與

四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，ax16%則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為(）

A.o°B.rC.2°D.3,

【答案】C

【解析】

Q。，。3都為五角星的中心點，，。。3平分第三顆小星的一個角，

又五角星的內(nèi)角為36。，可知/BAQ=18。，

過Q作x軸平行線O,E,則NOO,E=a=16,所以直線AB的傾斜角為18°-16°=2。,

故選：C

5.己知圓C：x2+y2-2x-2y+l=0,直線/：x+y-4=0,若在直線/上任取一點M作

圓C的切線M4,MB,切點分別為A,8,則ZACB最小時，原點。到直線A3的距離為()

A.—B.72C.—D.272

22

【答案】A

【解析】

由彳2+、2_2刀_2"]=0得(*_1)2+(”1)2=],

所以圓心C(l,l),半徑廠=1,

Ar?

在RtNCAM中，cosZACM=-----=------,

MCMC

當(dāng)NACB最小時，NACM最小，cos/ACM最大，MC最小，此時MC_U,

粵昌=應(yīng)，此時cosZACM=」==也,

MC的最小值為圓心C到直線I的距離:

V1+1\J22

ZACM=-

4

因為MCLAB,所以AB〃/,所以圓心C到直線A3的距離為立,

2

所以兩平行直線/與AB之間的距離為&-等考,

因為原點o到直線I的距離為1”言,=20,

所以原點。到直線A3的距離為2&-曰=半.

故選：A

6.直線《x+y-l=0被圓x2+y2-2x-8y+13=0所截得的弦長為26,則"=()

A.—B.—C.^3D.2

34

【答案】A

【解析】

x2+y2-2x-Sy+\3=0,即(x-l)?+(y-4『=4,該圓圓心為(1,4),半徑為r=2

直線?+y-l=0截圓所得的弦長為2百，則圓心(1,4)到直線ar+y-l=0的距離為

4=爐一陰2=1

.」“：：一k1,解得q=

4-13

故選：A

7.已知點A(2,3),8(-3,-2)與直線/:玄7-無+1=0,且直線/與線段A8相交，則直線/的

斜率％的取值范圍為()

33133

A.k>2^k<—B.k>—^k<一一C.-4WAK二D.—<k<2

44444

【答案】A

【解析】

解：已知點42,3),8(-3,-2)與直線/:"一丁一斤+1=0,且直線/與線段A3相交，

直線/：履-y-《+l=O,即直線-y+l=O,它經(jīng)過定點M（U）,

3—1_o_1a

M4的斜率為―—-=2,MB的斜率為―—-=—，

2-1-3-14

3

則直線/的斜率上的取值范圍為2之2或攵4二，

4

故選：A.

8.己知直線1與單位圓0相交于8（馬,%）兩點，且圓心0到1的距離為等,

則|%+乂|+卜+%］的取值范圍是（）

A.怪nB.［屬廚C.怪石D.［&,向

【答案】A

【解析】

圓的方程為一+丁=1,

圓心到直線y=行1+8的距離為坐，交于A（x,,yJ與B（盯%）,

…或~2

由y=Gx+6與Y+y2=1聯(lián)立得

X=0回

丫2=2

x/3+l

則上+%|+區(qū)+力|=<72,排除BD；

2

的距離為平,交于A（%,*）和8優(yōu),為）

圓心到直線y=-x+回

2

?\/6+y/2,V6—^2

設(shè)）,=—+區(qū)與人號聯(lián)立得.4

成“

-2底-垃

以1

則|%+)|+區(qū)+%|=#＞百,排除D,

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分

9.已知圓C:x2-2ax+y2+/_i=。與圓。:^+丁=4有且僅有兩條公共切線，則實數(shù)”的

取值可以是()

A.—3B.3C.2D.—2

【答案】CD

【解析】

圓C方程可化為：(x—4+丁=1,則圓心C(〃,O),半徑4=1；

由圓。方程知：圓心0(0,0),半徑弓=2；

???圓C與圓。有且僅有兩條公切線，.??兩圓相交，

又兩圓圓心距4=同，.■.2-l<|a|<2+l,Bp1<|a|<3,解得：一3<a<-l或1<a<3,

可知CD中的。的取值滿足題意.

故選：CD.

10.一條斜率不為0的直線/：ar+6y+c=0,f{x,y)=ax+by+c,則直線1的方程可表

示為f(x,y)=0.現(xiàn)光線沿直線1射到x軸上的點A(p,0),反射后射到y(tǒng)軸上的點B(0,q),

再經(jīng)反射后沿直線g(x,加=0射出.若f(x,y)=0和g(x,y)=0中x和y的系數(shù)相同,則下列

結(jié)論正確的是()

A.4(p，i)+pg(Lq)=0'

B.2/(p,y)+2g(x,q)=f(x,y)+g(x,y)

c.4(p2+q2)="(l,l)+g(l,l)]2

D.|/(x,y)-g(x,y)\<\f(p,q)+g(p,q)\

【答案】AB

【解析】

由題意知/(x,y)=0的圖象過點(Of)和(p,0),所以直線/:產(chǎn)"-P),.f(x,y)="-

p>-pq=°，又/(x,y)=0和g(x,y)=0中x和y的系數(shù)相同，且g(x,y)=0的圖象過(0國),

所以g(x,y)=qx-py+pq=。.

對于A,qf(p,l)+pgQq)=q(qxp-pxl-pq)+p(qxl-pxq+pq)=0,所以A正確；

對于B,2/(p,y)+2g(x,q)=2(pq-py-pq)+2(qx-pq+pq)=-2py+2qx,

f(x,y)+g(x,y)=qx-py-pq+qx-py+pq=2qx-2py,所以2/(p,y)+2g(x，4)=/(x,y)+g(x,y),選

項B正確；

對于C,"(l』)+g(l,l)]2=[(g_p_pq)+g_p+pg)]2=4q—p)2w4(p2+q2),所以c錯誤；

對于D,If(x,y)-g(x,y)|=|-2pq|,|/(p,q)+g(p,q)|二O,所以D錯誤.

故選AB.

11.設(shè)。"為正數(shù)，若直線辦-刀+1=0被圓/+丁+4.2尹1=0截得弦長為4,則()

A.a+b=\B.2Q+Z?=1

a+2h

C.ab<—D.>9

8ab

【答案】BCD

【解析】

由x?+y2+4x-2y+l=0可得(x+2)2+(y-l)2=4,

故圓的直徑是4,

所以直線過圓心(-2,1),即2a+b=l,故B正確；

又“，〃均為正數(shù)，所以由均值不等式2a+b=lW2"而當(dāng)且僅當(dāng)。=：力=g時

等號成立；故C正確；

_a+2ha2h12

又-----=—+—=—+—

abababba

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=竺，即4=6,即a=b=!時，等號成立，故D正確.

ba3

故選：BCD

12.下列說法正確的是()

A.直線y=Gf-3a+2(aeR)必過定點(3,2)

B.直線y=3x-2在y軸上的截距為_2

C.直線Jix+y+l=0的傾斜角為60°

D.過點(-1,2)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y=0

【答案】ABD

【解析】

y=or-3a+2(aeR)可化為y-2=a(x—3),則直線y=or-3a+2(aeR)必過定點(3,2),

故A正確；

令x=0,則丫=-2,即直線y=3x-2在y軸上的截距為—2,故B正確；

代x+y+l=O可化為y=-Gx-l,則該直線的斜率為-內(nèi)，即傾斜角為120。，故C錯誤;

設(shè)過點(T,2)且垂直于直線x-2y+3=0的直線的斜率為々

因為直線x-2y+3=O的斜率為所以解得％=—2

貝D過點(一1,2)且垂直于直線x-2y+3=O的直線的方程為y-2=-2(x+l),即2x+y=0,故D

正確；

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.設(shè)點P是直線3x-4y+7=O上的動點，過點P引圓(》-1)2+丫2=產(chǎn)(廠＞0)的切線叢,28(切

點為A3),若N4P3的最大值為?，則該圓的半徑r等于一

【答案】1

【解析】

設(shè)圓的圓心為C(l,0),

因為點P是直線3x-4)，+7=0上的動點，

所以當(dāng)點P到點C的距離最小時，/4P3取得最大值，此時CP與直線3x-4y+7=0垂直,

因為N4m為TT所以4PC=TJT

36

|3-0+7|

點C到直線的距離為〃==2,

"+4

在MAAPC中，r=\AC\=-d=\,

故答案為：1

14.已知函數(shù)/(x)=VT節(jié)+Mx-2)有兩個不同的零點，則常數(shù)k的取值范圍是

【答案】Q&k心

3

【解析】

由函數(shù)f（x）=5/匚P+k（x-2）有兩個不同的零點,

可知丫=5/［二7與），=-％（》-2）的圖象有兩個不同的交點,

故作出如下圖象，

當(dāng)丫=>/^7與丫=一乂》一2）的圖象相切時，=即k=±且，

yjk+\3

由圖可知-&<0,故相切時&=立，

3

因此結(jié)合圖象可知，當(dāng)04A時，丫=，37與卜=一燈》一2）的圖象有兩個不同的交點,

即當(dāng)04A邛時，函數(shù),f（x）=5/T，+Nx-2）有兩個不同的零點.

故答案為：（）44<立■.

3

15.在平面直角坐標系xOy中，已知直線/：y="+2與圓C：（x—l），y2=9交于A、B兩

點，過點A、8分別作圓C的兩條切線乙與4,直線4與4交于點尸，則線段PC長度的最小

值是.

【答案】|V5

【解析】

圓C:（x—爐+產(chǎn)=9的圓心坐標為C（l,0）,半徑為3.

直線/：丫="+2過定點G（0,2）,連接BC、AC,如圖，

???BC為圓的半徑是定值，|PC|=_忸?

11cosNPCB

.,.要使|PC|最小，貝Ijcos/PCB最大，即NPC8最小，也就是|AB|最小，此時A8_LCG,

???c(l,o),G(0,2),.-.|CG|=75.求得cosNPCB=,

39遍

線段PC長度的最小值是:萬二三一.

3

故答案為：竽

16.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩

中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標系X0，中,

設(shè)軍營所在平面區(qū)域為｛(匚丫)|/+丁4力，河岸線所在直線方程為x+3y-10=0.假定將軍

從點P(2,l)處出發(fā)，只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則將軍可以選擇最短路程為

【答案-】；7

【解析】

設(shè)點尸(2,1)關(guān)于直線x+3y-10=0的對稱點P僅力)，

a=3

解得，所以P(3,4),

2+a_b+1__b=4

------+3x---------10=0

22

將軍從P出發(fā)到達直線上點A再到營區(qū)，IM=|PA|,

所以本題問題轉(zhuǎn)化為求點P'(3,4)到營區(qū)的最短距離，

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最短距離為伊=

7

故答案為：—

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.己知圓M過C(l,-1),D(-l,1)兩點，且圓心\1在x+y-2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,PB是圓M的兩條切線，A,B為切點，求四邊形

PAMB面積的最小值.

【答案】(D(x-l)?+(y—爐=4；(2)2石.

【解析】

解:(1)設(shè)圓M的方程為：(i)2+(i)2=，(r>0),

\l-a)2+(-l-b)2=r2a=1

根據(jù)題意得(-J4+(1-療=產(chǎn)=>b=l,

a+b-2=0r=2

故所求圓M的方程為：(x-l『+(y-l)2=4；

(2)如圖,

四邊形PAMB的面積為5=久.+1網(wǎng),即S=g(|AM|P4|+忸

y.\AM\=\BM\=2,\PA\=\PB\,所以S=2|E4|,

而陷=，即S=2j|PM『Y.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

歸閘的最小值即為點時到直線3x+4y+8=0的距離

|3+4+8|=3

所以

732+42

四邊形RU仍面積的最小值為2PM『-4=2亞.

18?點E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC的中點，點M在邊AB上，且=沿圖

1中的虛線DE,EF,FD將,折起使A,B,C三點重合，重合后的點記為

點P,如圖2.

圖1圖2

(1)證明：PF±DM；

(2)若正方形ABCD的邊長為6,求點M到平面DEF的距離.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)因為A8CO是正方形，

所以折起后有PEYPF.

又PD,PE交于點、P,

所以尸■平面PDE.

又DWu平面PDE,

所以PF

(2)設(shè)點尸到平面DE5的距離為人，

因為AB=3AM,所以PE=3ME,

所以點M到平面DEF的距離為《.

又兩兩垂直,

所以平面PEF.

9

因為S△叼=5，PD=6,

19

所以%-尸痔=§XQX6=9.

927

而SQEF=SA58-SA8￡F—SAC0E-SACDF=36-耳一9一9二彳，

1I27

所以匕“產(chǎn)廣皿鼻亍……=9,

解得h-2>

所以點”到平面。斷的距離為?h=；2.

33

19.已知點尸在拋物線C：V=4x上，過點尸作圓M:(x-3)2+V=/(0<r?及)的兩條切

線，與拋物線C分別交于A、8兩點，切線尸A、PB與圓例分別相切于點E、尸.

(1)若點尸到圓心M的距離與它到拋物線C的準線的距離相等，求點尸的坐標；

(2)若點尸的坐標為(1,2),且「=&時;求麗?麗的值；

(3)若點P的坐標為(1,2),設(shè)線段A8中點的縱坐標為f,求，的取值范圍.

【答案】(1)(2,2近)或(2,-2&)；(2)3；(3)[-10,-6).

【解析】

(1)設(shè)點尸的坐標為a，y),

y2=4x(x=2(x=2

則,/——；~7,1，解得.行或.八，

yJ(x-3Y+y=|x+l|[y=2\/2[y=-2y/2

叩點尸的坐標為(2,2?)或(2,-2&)；

(2)當(dāng)點尸的坐標為0,2),且廠=&時，|=&1-3)2+22=2夜,

在直角三角形尸A陽中，|PE|=我二1=遙，且NMPE=30°,

同理，IPF1=瓜且NA/P尸=30°,

從而屋?而=|兩一|而|cosNEPF=#xnxcos60o=3；

(3)由題意知切線總、M的斜率均存在且不為零，設(shè)切線方程為y-2=《x-i),

\2k+2\

由r,得（4--?2+8&+4_/=o,

yjk2+i

記切線抬、P8的斜率分別為則/2r2-4,

用2=1

由于切線始、心的方程分別為y-2=K（x-l）、y-2=&（x-l）,

聯(lián)立[yv2-—4x,消去得37+8.=。,

44

設(shè)A&，M）、3（私力），則2+%=7,故,=7一2,

4。下曰,一乂+%_22「2化+初一16

同理,J2

k22ktk2k\k?r-4

因為。＜，4血，所以。（屋—4-2,-9士＜-!，

-8<-^F-<-4,-10<^F--2<-6.

r2-4/一4

所以17-2€[-10,-6).

廣-4

即/的取值范圍是［-10,-6）.

20.如圖，為保護河上古橋0A,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋

BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段0A上并與BC相切的圓,且古橋兩端0和A

到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經(jīng)測量，點A位于點0正北方向60m處,點C位于

4

點0正東方向170m處（0C為河岸），tanZBCO=y.

（1）求新橋BC的長；

（2）當(dāng)0M多長時，圓形保護區(qū)的面積最大?

【答案】（1）150m（2）|0M|=10m

【解析】

試題分析：本題是應(yīng)用題，我們可用解析法來解決，為此以。為原點，以向東，向北為坐標

軸建立直角坐標系.（1）C點坐標為（170,0）,A（0,60）,因此要求8c的長，就要求得

8點坐標，己知1211/8口9=；4說明直線BC斜率為4這樣直線BC方程可立即寫出，

又AB1BC,故48斜率也能得出，這樣AB方程已知，兩條直線的交點8的坐標隨之而

得；(2)實質(zhì)就是圓半徑最大，即線段上哪個點到直線8c的距離最大，為此設(shè)

由M(O,f),圓半徑r是圓心M到直線BC的距離，而求它的最大值，要考慮條件古橋兩端

。和A到該圓上任一點的距離均不少于80m,列出不等式組，可求得1的范圍，進而求得

最大值.當(dāng)然本題如果用解三角形的知識也可以解決.

試題解析：

(1)如圖，以O(shè)COA為x，y軸建立直角坐標系，則C(170,0),40,60),由題意噎=-；

直線BC方程為y---(x-170).又怎8=-丁=彳，故直線方程為y=?x+60,由

3544

4

U_170)、=80,----------——?

{3',解得{v=12(),即