2019年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)試卷

2019年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.（3分）2019的相反數(shù)是（）

A.-2019B.2019C.--1—D.—?—

20192019

2.（3分）十年來，我國知識產(chǎn)權(quán)戰(zhàn)略實施取得顯著成就，全國著作權(quán)登記量已達(dá)到274.8

萬件.數(shù)據(jù)274.8萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.748X102B.274.8X1045C.2.748X106D.0.2748X107

3.（3分）如圖所示的幾何體是由六個大小相同的小正方體組合而成的，它的俯視圖為（）

4.（3分）下面計算正確的是（）

A.3。-2。=1B.2搭4a2=6/

C.(x3)D.

5.（3分）如圖，點C在乙408的邊。4上,用尺規(guī)作出了CP〃OB,作圖痕跡中，F(xiàn)G是

A.以點C為圓心、。。的長為半徑的弧

B.以點C為圓心、。用的長為半徑的弧

C.以點E為圓心、DM的長為半徑的弧

D.以點E為圓心、。。的長為半徑的弧

6.（3分）在從小到大排列的五個整數(shù)中，中位數(shù)是2,唯一的眾數(shù)是4,則這五個數(shù)和的

最大值是（）

A.11B.12C.13D.14

7.（3分）等腰三角形一邊長為2,它的另外兩條邊的長度是關(guān)于x的一元二次方程?-6x+k

=0的兩個實數(shù)根，則無的值是（）

A.8B.9C.8或9D.12

8.（3分）如圖，二次函數(shù)y=a?+bx+c（aW0）的圖象過點（-2,0）,對稱軸為直線x=l.有

以下結(jié)論：

①“bc>0；

②8“+c>0；

③若A（xi,m）,B（%2,m）是拋物線上的兩點，當(dāng)x=xi+%2時，y=c；

④點M,N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P,使得PM

LPN,則a的取值范圍為

⑤若方程〃（x+2）（4-x）=-2的兩根為xi,X2,且xi<x2,則-2WXI<X2<4.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

9.（3分）因式分解：2?-8/+8X=.

10.（3分）在函數(shù)y=Ylz紅中,自變量X的取值范圍是

X

11.（3分）有5張無差別的卡片，上面分別標(biāo)有-1,0,1,&,n,從中隨機(jī)抽取1張,

3

則抽出的數(shù)是無理數(shù)的概率是.

（

12.（3分）關(guān)于x的不等式組|2x-4>0的解集是2Vx<4,則“的值為.

13.（3分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,OE是AB的垂直平分線，AO恰好平分NBAC.若

DE=\,則BC的長是.

14.（3分）如圖，點4在雙曲線），=2（x>0）上，過點4作ABLr軸于點B,點C在線

X

段A8上且8C：CA=1：2,雙曲線y=&（x>0）經(jīng)過點C,則上=

15.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,C分別在x軸、y軸上，四邊形ABC。是邊

長為4的正方形，點。為AB的中點，點尸為OB上的一個動點，連接OP,AP,當(dāng)點P

滿足OP+4P的值最小時，直線AP的解析式為.

16.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=1,以0A為一邊，在第一象限作菱形0A48,

并使/AO2=60°,再以對角線OAi為一邊，在如圖所示的一側(cè)作相同形狀的菱形

OA1A2B1,再依次作菱形OA2A382,。43A4&,.，則過點82018,82019，A2019的圓的

三、解答題（本大題共2小題，共16分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（8分）先化簡，再求代數(shù)式的值：包二￡.——,其中x=3cos60°.

x+1x-lx-2x+l

18.（8分）在下面的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,ZVIBC的三個頂點都是網(wǎng)格線

的交點，已知B,C兩點的坐標(biāo)分別為（-3,0）,（-1,-1）.

（1）請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系，并直接寫出點A的坐標(biāo).

（2）將△ABC繞著坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△4'B'C'.

四、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（10分）為紀(jì)念“五四運動”100周年，某校舉行了征文比賽，該校學(xué)生全部參加了比

賽.比賽設(shè)置一等、二等、三等三個獎項，賽后該校對學(xué)生獲獎情況做了抽樣調(diào)查，并

將所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）本次抽樣調(diào)查學(xué)生的人數(shù)為.

（2）補(bǔ)全兩個統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中4所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù).

（3）若該校共有840名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計獲得三等獎的人數(shù).

參加比賽獲獎情況的扇形統(tǒng)計圖

A:獲得一等獎

B:獲得二等獎

C:獲得三等獎

D:未獲得獎項

20.（10分）如圖所示,甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，分別把轉(zhuǎn)盤A,8分成3等份和1等

份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)?/p>

區(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)時，甲獲勝；當(dāng)數(shù)字之積為偶數(shù)時，乙獲勝.如果指針恰好在分

割線上時，則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

（1）利用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率.

（2）這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你在轉(zhuǎn)盤

A上只修改一個數(shù)字使游戲公平（不需要說明理由）.

五、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

21.（10分）甲、乙兩同學(xué)的家與某科技館的距離均為4000%甲、乙兩人同時從家出發(fā)去

科技館，甲同學(xué)先步行80S”，然后乘公交車，乙同學(xué)騎自行車.已知乙騎自行車的速度

是甲步行速度的4倍，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)晚

到2.5〃”〃.求乙到達(dá)科技館時，甲離科技館還有多遠(yuǎn).

22.（10分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°，點。在A8上，以AO為直徑的。。與

邊8c相切于點E,與邊AC相交于點G,且靠=窟，連接G。并延長交00于點F,連

接BF.

(1)求證:

①AO=AG.

②BF是00的切線.

（2）若80=6,求圖形中陰影部分的面積.

六、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

23.Q0分）如圖，在某街道路邊有相距10〃1、高度相同的兩盞路燈（燈桿垂直地面），小

明為了測量路燈的高度，在地面A處測得路燈PQ的頂端仰角為14°,向前行走25機(jī)到

達(dá)B處，在地面測得路燈MN的頂端仰角為24.3°,已知點A,B,Q,N在同一條直線

上，請你利用所學(xué)知識幫助小明求出路燈的高度.（結(jié)果精確到0」，〃.參考數(shù)據(jù)：sinl40

比0.24,cosl4°g0.97,tanl4°^0.25,sin24.3°g0.41,cos24.3°^0.91,tan24.3°心

0.45）

24.（10分）某服裝超市購進(jìn)單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于

每件30元，不高于每件60元.銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為60元時，平均每月

銷售量為80件，而當(dāng)銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件.同時，在銷售

過程中，每月還要支付其他費用450元.設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為），件.

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？

（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

七、解答題（本大題共1小題，共12分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

25.（12分）已知：在△ABC外分別以A8,4c為邊作△AEB與

（1）如圖1,△AEB與△/1八；分別是以AB,AC為斜邊的等腰直角三角形，連接EF.以

EF為直角邊構(gòu)造RtZ\EFG,且EF=FG,連接8G,CG,EC.

求證：?/\AEF^/\CGF.

②四邊形8GCE是平行四邊形.

（2）小明受到圖1的啟發(fā)做了進(jìn)一步探究：

如圖2,在44次:外分別以AB,AC為斜邊作RtAAEB與RtAAFC,并使//^C=/E48

=30°,取BC的中點。，連接OE,EF后發(fā)現(xiàn)，兩者間存在一定的數(shù)量關(guān)系且夾角度

數(shù)一定，請你幫助小明求出皿的值及/QEF的度數(shù).

EF

（3）小穎受到啟發(fā)也做了探究：

如圖3,在△A8C外分別以AB,AC為底邊作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC,并使

NCAF+NE4B=90°,取BC的中點。，連接OE,E尸后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)給定NEAB=a時，

兩者間也存在一定的數(shù)量關(guān)系且夾角度數(shù)一定，若AE^m,AB=n,請你幫助小穎用含

圖1圖2圖3

八、解答題（本大題共1小題，共14分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

26.（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=-H+bx+c與x軸交于8,C兩點，

2

與y軸交于點月，直線y=-L+2經(jīng)過A,C兩點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D,

2

直線MN與對稱軸交于點G,與拋物線交于M,N兩點（點N在對稱軸右側(cè)），且

x軸，MN=7.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）求點N的坐標(biāo).

（3）過點A的直線與拋物線交于點尸，當(dāng)tan/用求點尸的坐標(biāo).

2

（4）過點。作直線AC的垂線，交AC于點H,交y軸于點K,連接CN,△AHK沿射

線AC以每秒1個單位長度的速度移動，移動過程中△AHK與四邊形OGNC產(chǎn)生重疊,

設(shè)重疊面積為S,移動時間為/（OWfWjE）,請直接寫出S與「的函數(shù)關(guān)系式.

2019年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.（3分）2019的相反數(shù)是（）

A.-2019B.2019C.-D.—L_

20192019

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案

【解答】解：2019的相反數(shù)是-2019,

故選：A.

【點評】主要考查相反數(shù)的概念及性質(zhì).相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相

反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

2.（3分）十年來，我國知識產(chǎn)權(quán)戰(zhàn)略實施取得顯著成就，全國著作權(quán)登記量已達(dá)到274.8

萬件.數(shù)據(jù)274.8萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.748X102B.274.8X104C.2.748X106D.0.2748X107

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，w是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負(fù)數(shù).

【解答】解：數(shù)據(jù)274.8萬用科學(xué)記數(shù)法表示為274.8X1（）4=2.748X106.

故選：C.

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其

中l(wèi)W|a|＜10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及附的值.

3.（3分）如圖所示的幾何體是由六個大小相同的小正方體組合而成的，它的俯視圖為（）

力/

正面

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【解答】解：從上面看第一層是兩個小正方形，第二層是三個小正方形，俯視圖為:

故選：D.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

4.（3分）下面計算正確的是（）

A.3a-2a=1B.2a2+4a2=6a4

C.（x3）2=/D.X8-T-X2—X6

【分析】根據(jù)各個選項中的式子可以計算出正確的結(jié)果，本題得以解決.

【解答】解：..Fa-2a=〃，故選項A錯誤；

2a2+4a2=6a2，故選項B錯誤；

V（JC3）2=x6,故選項C錯誤；

故選項。正確；

故選：D.

【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的計算方法.

5.（3分）如圖，點C在/AOB的邊。4上，用尺規(guī)作出了CP〃08,作圖痕跡中，而是

A.以點C為圓心、0。的長為半徑的弧

B.以點C為圓心、。用的長為半徑的弧

C.以點E為圓心、DM的長為半徑的弧

D.以點E為圓心、。。的長為半徑的弧

【分析】根據(jù)平行線的判定，作一個角等于已知角的方法即可判斷.

【解答】解：由作圖可知作圖步驟為：

①以點。為圓心，任意長為半徑畫弧OM,分別交OA,0B于M,D.

②以點C為圓心，以0M為半徑畫弧EN,交。A于E.

③以點E為圓心，以0M為半徑畫弧FG,交弧EN于N.

④過點N作射線CP.

根據(jù)同位角相等兩直線平行，可得CP〃。從

故選：C.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識，屬于中考常考題型.

6.（3分）在從小到大排列的五個整數(shù)中，中位數(shù)是2,唯一的眾數(shù)是4,則這五個數(shù)和的

最大值是（）

A.11B.12C.13D.14

【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分析可得答案.

【解答】解：因為五個整數(shù)從小到大排列后，其中位數(shù)是2,這組數(shù)據(jù)的唯一眾數(shù)是4.

所以這5個數(shù)據(jù)分別是x,y,2,4,4,且x＜），V4,

當(dāng)這5個數(shù)的和最大時，整數(shù)x,），取最大值，此時x=0,y=l,

所以這組數(shù)據(jù)可能的最大的和是0+1+2+4+4=11.

故選：A.

【點評】主要考查了根據(jù)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)來確定數(shù)據(jù)的能力.將一組數(shù)據(jù)從小到大（或

從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù).注意：找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位

數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平

均數(shù).

7.（3分）等腰三角形一邊長為2,它的另外兩條邊的長度是關(guān)于x的一元二次方程?-6x+k

=0的兩個實數(shù)根，則無的值是（）

A.8B.9C.8或9D.12

【分析】根據(jù)一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時，

此時關(guān)于x的一元二次方程?-6x+k=0的有兩個相等實數(shù)根，

.?.△=36-4仁0,

：.k=9,

此時兩腰長為3,

：2+3>3,

:.k=9滿足題意，

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2時，

此時x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，

.,.4-12+Jt=0,

**?k=8,

此時另外一根為：x=4,

V2+2=4,

???不能組成三角形，

綜上所述，k=9,

故選：B.

【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及等腰

三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型.

8.(3分)如圖，二次函數(shù)y=a?+bx+c(a#O)的圖象過點(-2,0),對稱軸為直線x=l.有

以下結(jié)論：

①abc>0；

@8fl+c>0；

③若A(xi,m'),B(x2,/n)是拋物線上的兩點，當(dāng)x=xi+%2時，y=c；

④點M,N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P,使得

LPN,則a的取值范圍為

⑤若方程〃(x+2)(4-x)=-2的兩根為xi,X2,且xi〈x2,則-2WXI〈X2<4.

其中結(jié)論正確的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：①由圖象可知：?>0,c<0,

^->0,

2a

/.abc>0,故①正確；

@V拋物線的對稱軸為直線x=\,拋物線的對稱軸為直線x=\,

：._^-=1,

2a

.'.b--2a,

當(dāng)x--2時，y—4a-2b+c—O,

/.4a+4a+c=Qf

.?.8〃+c=0,故②錯誤;

③YA(xi,加)，B(x2,m)是拋物線上的兩點，

由拋物線的對稱性可知：xi+%2=1X2=2,

當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c=4a-4a+c=c,故③正確；

④由題意可知：M,N到對稱軸的距離為3,

當(dāng)拋物線的頂點到x軸的距離不小于3時，

在工軸下方的拋物線上存在點尸，使得PMLPM

即4ac-b?w_3.

4a

???8〃+c=0,

??c~~~8Q,

?:b=-2a,

?4a"(-8a)-(-2a)2/.

"W，

解得：〃*，故④錯誤；

⑤易知拋物線與x軸的另外一個交點坐標(biāo)為(4,0),

y—ax2+bx+c—a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)--2,

即方程a(x+2)(x-4)=2的兩根為xi,X2,

則xi、x2為拋物線與直線y=2的兩個交點的橫坐標(biāo)，

Vxi<x2,

.*.xi<-2<4<X2>故⑤錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

9.(3分)因式分解：2?-8JV2+8X=2X(X-2)2.

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=2x(x2-4x+4)

=2r(x-2)2.

故答案為：2x(x-2)2.

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關(guān)健.

10.(3分)在函數(shù)五中，自變量x的取值范圍是xW?且xWO.

【分析】函數(shù)關(guān)系中主要有二次根式和分式兩部分.根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,

被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

【解答】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0可知：1-2x》0,

即寸，二次根式行痘有意義.

2

又因為。做除數(shù)無意義，

所以xWO.

因此x的取值范圍為且x#0.

2

故答案為：xW工且xWO.

2

【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子小（。20）叫二次根式.性質(zhì)：

二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.當(dāng)二次根式在分母上時還

要考慮分母不等于零.

11.（3分）有5張無差別的卡片，上面分別標(biāo)有-1,0,1,n,從中隨機(jī)抽取1張,

3

則抽出的數(shù)是無理數(shù)的概率是2.

一五一

【分析】先找出無理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式可得答案.

【解答】解：在-1,0,1,TT中，無理數(shù)有泥，7T,共2個，

3

則抽出的數(shù)是無理數(shù)的概率是2.

5

故答案為：2.

5

【點評】此題主要考查了概率公式和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：隨

機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

12.（3分）關(guān)于x的不等式組|f2x二-4>0的解集是2Vx<4,則a的值為3.

【分析】分別求出不等式組中兩個不等式的解集，根據(jù)題意得到關(guān)于a的方程，解之可

得.

【解答】解：解不等式2%-4>0,得：x>2,

解不等式得：x<a+\,

???不等式組的解集為2Vx<4,

/.a+1=4,即a=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

13.（3分）如圖，在aABC中，ZC=90°,QE是AB的垂直平分線，恰好平分NBAC若

DE=1,則BC的長是3.

D

AEB

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD,再根據(jù)等

邊對等角的性質(zhì)求出ND48=N8,然后根據(jù)角平分線的定義與直角三角形兩銳角互余求

出N5=30°,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出8。，然后求

解即可.

【解答】解：:A。平分NA4C,且ZC=90°,

:.CD=DE=1,

TOE是AB的垂直平分線，

：.AD=BD,

:./B=/DAB,

ZDAB=ZCAD9

:?/CAD=/DAB=/B,

VZC=90°,

AZCAD+ZDAB+ZB=90Q,

：.ZB=30°,

：.BD=2DE=2f

：.BC=BD+CD=1+2=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了角平分線的定義和性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距

離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，

熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，點A在雙曲線>=2（x>0）上，過點A作軸于點8,點C在線

X

段4B上且BC：CA=l：2,雙曲線y=K（x>0）經(jīng)過點C,則k=2.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接0C,

?.,點A在雙曲線y=2(x>0)上，過點A作ABLx軸于點8,

X

X6=3,

2

*：BC：CA=\：2,

.*.SA(?BC=3XA=l,

3

??,雙曲線y=K(x>0)經(jīng)過點C,

x

?\S^OBC=^\k\=11

?二因=2,

:雙曲線y=K(%>0)在第一象限，

X

:.k=2.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比

例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

15.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,C分別在x軸、y軸上，四邊形ABC。是邊

長為4的正方形，點。為AB的中點，點尸為。8上的一個動點，連接QP,AP,當(dāng)點P

滿足DP+AP的值最小時，直線AP的解析式為y=-2x+8

Ax

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點A,C關(guān)于直線0B對稱，連接CD交0B于P,連接

PA,PD,則此時，PC+4P的值最小，求得直線CO的解析式為y=-2+4,由于直線

。8的解析式為y=x,解方程組得到P(g,旦)，由待定系數(shù)法即可得到結(jié)論.

33

【解答】解：?.?四邊形ABCO是正方形,

...點A,C關(guān)于直線0B對稱，

連接CD交0B于P,

連接用，PD,

則此時，PD+AP的值最小，

OC=OA=4B=4,

：.C(0,4),A(4,0),

?.?。為AB的中點，

.,.AD=^AB=2,

：.D(4,2),

設(shè)直線C￡＞的解析式為：y=kx+b,

.[4k+b=2

'lb=4

?"

,b=4

直線CD的解析式為：y=-1+4,

?.?直線OB的解析式為產(chǎn)x,

y=-^x+4

y=x

解得：x=y=—f

3

：.P（&,旦）,

33

設(shè)直線AP的解析式為：y=mx+nf

<4m+n=0

?,488，

寸=百

解得：了2,,

[n=8

...直線AP的解析式為y=-2x+8,

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的

解析式，正確的找出點P的位置是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=1,以0A為一邊，在第一象限作菱形0A4B,

并使NAOB=60°,再以對角線OAi為一邊，在如圖所示的一側(cè)作相同形狀的菱形

OA\AlB\,再依次作菱形OA2A3作,OA3A4B3,.,則過點B2018,82019,A2019的圓的

圓心坐標(biāo)為（-（正）2°艮（巫）2019）.

【分析】過A1作AiCLx軸于C,由菱形的性質(zhì)得到OA=A4i=l,/AiAC=/A08=

60°,根據(jù)勾股定理得到OAI=JOC2+A[C2=F，求得/A281A3=60°,解直角三角

形得至UB1A3=2F，A2A3—3,求得O43=05I+BIA3=3?=（F）得到菱形OAM3B2

的邊長=3=（百）2,設(shè)8143的中點為01，連接0142,。歸2,推出過點Bi,B2,42

的圓的圓心坐標(biāo)為01（0,2次），以此類推，于是得到結(jié)論.

【解答】解：過4作AiCLx軸于C,

;四邊形0A41B是菱形，

：.OA=AA\^\,ZAiAC^ZAOB=60°,

.?.4C=返,AC=A,

22

OC=OA+AC=3,

2

在RtZ\04C中，OAI=JOC2+A[C2=E，

2c=N8IA2O=30°,/&42。=120°,

3A2劭=90°,

NA281A3=60°,

.,.8IA3=2/§,AM3=3,

/.OA3=OB]+B\A3=3^/3=（F）3

菱形OAM382的邊長=3=（J5）2,

設(shè)51A3的中點為Oi,連接01A2,。1及，

于是求得，OiA2=O\B2=O]B\=y[3=（F）I

??.過點Bi,B2,A2的圓的圓心坐標(biāo)為01（0,2?）,

??,菱形OA3A4&的邊長為3?=（?）3,

.\OA4=9=（F）4,

設(shè)及44的中點為3,

連接OM3,。2與3,

同理可得，OM3=Q83=0282=3=（J5）2,

，過點B2,B3,A3的圓的圓心坐標(biāo)為02（-3,3?）,…以此類推，菱形菱形

。42019A202032019的邊長為（?）2°19,

042020=（?）2°2°,

設(shè)82018/42020的中點為。2018，連接02018/42019,0201852019，

求得，02018X2019=02（）18&（）19=3（）1852018=（?）2018，

，點O2018是過點32018,32019,A2019的圓的圓心,

V20184-12=168-2,

...點O2018在射線OB2上，

則點。2018的坐標(biāo)為（-（V3）20,8.（百）2019）,

即過點B2018,B20I9,A2019的圓的圓心坐標(biāo)為（-（百）238,（?）2019）,

故答案為：（-（?）238,（6）2019）.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，正確的作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共2小題，共16分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（8分）先化簡，再求代數(shù)式的值：其中x=3cos60°.

x+1x2-1x-2x+l

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化筒原式，再利用銳角三角函數(shù)值得出X

的值，繼而代入計算可得.

2

【解答】解：原式=2-,2（7:2）

x+1（x+1）（x-1）x-2

_2x_2x-2

x+1x+1

=2

TH?,

當(dāng)x=3cos60。=3X_L=3時，

22

原式=萬"=&.

7+15

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算

法則.

18.（8分）在下面的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,4ABC的三個頂點都是網(wǎng)格線

的交點，己知B,C兩點的坐標(biāo)分別為（-3,0）,（-1,-1）.

(1)請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系，并直接寫出點A的坐標(biāo).

(2)將AABC繞著坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的AA'B'C.

B,C；

(3)先利用勾股定理計算出OA,然后利用弧長公式計算點4所經(jīng)過的路徑長.

【解答】解：(1)如圖，4點坐標(biāo)為(-2,3)；

(2)如圖，AB'C為所作；

(2)如圖，OA=｛會2+32=713,

所以點A所經(jīng)過的路徑長=90'兀二/亙=」虱.

1802

【點評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)

角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，

找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.也考查了弧長公式.

四、解答題(本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(10分)為紀(jì)念“五四運動”100周年，某校舉行了征文比賽，該校學(xué)生全部參加了比

賽.比賽設(shè)置一等、二等、三等三個獎項，賽后該校對學(xué)生獲獎情況做了抽樣調(diào)查，并

將所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息解答下列問題：

(1)本次抽樣調(diào)查學(xué)生的人數(shù)為40.

(2)補(bǔ)全兩個統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù).

(3)若該校共有840名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計獲得三等獎的人數(shù).

參加比賽獲獎情況的扇形統(tǒng)計圖

A:獲得一等獎

B:獲得二等獎

C:獲得三等獎

D:未獲得獎項

【分析】(1)根據(jù)8的人數(shù)和所占的百分比可以求得本次抽樣調(diào)查學(xué)生人數(shù)；

(2)根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)和(1)中的結(jié)果可以將統(tǒng)計圖中所缺的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整并計算

出扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；

(3)根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計算出獲得三等獎的人數(shù).

【解答】解：(1)本次抽樣調(diào)查學(xué)生的人數(shù)為：8+20%=40,

故答案為：40；

(2)A所占的百分比為：-2_X100%=5%,

40

。所占的百分比為：^Lx100%=50%,

40

C所占的百分比為：1-5%-20%-50%=25%,

獲得三等獎的人數(shù)為：40X25%=10,

補(bǔ)全的統(tǒng)計圖如右圖所示，

扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)是360°X5%=18°；

(3)840X25%=210(人),

答：獲得三等獎的有210人.

參加匕匕賽獲獎情況的扇形統(tǒng)計圖

B:獲得二等獎

C:獲得三等獎

D:未獲得獎項

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.（10分）如圖所示，甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，分別把轉(zhuǎn)盤A,8分成3等份和1等

份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)?/p>

區(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)時，甲獲勝；當(dāng)數(shù)字之積為偶數(shù)時，乙獲勝.如果指針恰好在分

割線上時，則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

（1）利用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率.

（2）這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你在轉(zhuǎn)盤

A上只修改一個數(shù)字使游戲公平（不需要說明理由）.

【分析】（1）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式

計算可得；

（2）先計算出數(shù)字之積為偶數(shù)的概率，判斷概率是否相等即可得知游戲是否公平.

【解答】解：（1）列表如下：

-2-323

1-2-323

2-4-646

3-6-969

由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)的有4種結(jié)果，

所以甲獲勝概率為_故=工；

123

（2）?.?指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為方-=2,

123

這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平，

將轉(zhuǎn)盤4上的數(shù)字2改為1,則游戲公平.

【點評】此題考查了游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相

等就公平，否則就不公平，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

五、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

21.（10分）甲、乙兩同學(xué)的家與某科技館的距離均為4000〃?.甲、乙兩人同時從家出發(fā)去

科技館，甲同學(xué)先步行800皿，然后乘公交車，乙同學(xué)騎自行車.已知乙騎自行車的速度

是甲步行速度的4倍，公交車的速度是乙騎自行車速度的2倍，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)晚

到2.5加〃.求乙到達(dá)科技館時，甲離科技館還有多遠(yuǎn).

【分析】設(shè)甲步行的速度為x米/分，則乙騎自行車的速度為4x米/分，公交車的速度是

8x米/分鐘，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)甲步行的速度為x米/分，則乙騎自行車的速度為4x米/分，公交車

的速度是8x米/分鐘，

根據(jù)題意得400°+2.5=￡20+4000-800,

4xx8x

解得x=80.經(jīng)檢驗，x=8O是原分式方程的解.

所以2.5X8X80=1600（相）

答：乙到達(dá)科技館時，甲離科技館還有1600〃7.

【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

22.（10分）如圖，在中，NACB=90°，點。在A8上，以AO為直徑的。。與

邊BC相切于點E,與邊AC相交于點G,且前=立，連接G。并延長交。。于點尸，連

接BE

（1）求證:

①AO=AG.

②BF是00的切線.

(2)若80=6,求圖形中陰影部分的面積.

【分析】(1)①先利用切線的性質(zhì)判斷出NAC8=N0EB,再用平行線結(jié)合弧相等判斷

出NA0G=NAG。，即可得出結(jié)論；

②先判斷出aAOG是等邊三角形，進(jìn)而得出/BOF=NAOG=60°,進(jìn)而判斷出/￡。8

=60°,得出△OFB絲△OE8,得出/OF8=90°,即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出NA8C=30°,進(jìn)而得出0B=2BE,建立方程6+r=2r,繼而求出4G=6,

A8=18,AC=9,CG=3,再判斷出△OGE是等邊三角形，得出GE=0E=6,進(jìn)而利用

根據(jù)勾股定理求出CE=3我，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)證明：①如圖1,連接OE,

與BC相切于點E,

:.NOEB=90°,

,：ZACB=90°,

NACB=NOEB,

：.AC//OE,

：.NGOE=ZAGO,

VAG=EG.

ZAOG=ZGOE,

：.ZAOG^ZAGO,

：.AO=AG；

②由①知，AO=AG,

'：AO=OG,

：.NAO=OG=AG,

*'?/\AOG是等邊二角形，

AZAGO=ZAOG=ZA=60°,

：.ZBOF=ZAOG=60Q,

由①知，NGOE=NAOG=60°,

AZEOB=180°-ZAOG-ZGOE=180°-60°-60°=60°,

：.ZFOB=ZEOBf

*：OF=OE,OB=OB,

:?△OFBQAOEB(SAS),

：?/OFB=NOEB=90°,

OF±BF,

:。尸是。。的半徑，

???8/是。。的切線；

(2)如圖2,連接GE,

VZA=60°,

ZABC=90°-NA=30°,

OB=2BE,

設(shè)O。的半徑為r,

?/OB=OD+BD,

/.6+r=2r,

6,

：.AG=OA=6fAB=2r+BD=18f

：.AC=1AB=9,：.CG=AC-AG=3,

2

由(1)知，NEOB=60°,

,:OG=OE,

**./\OGE是等邊三角形，

???GE=OE=6,

根據(jù)勾股定理得，CE=JGE2_cG2=｛鏟_§2=3W，

6071-62=27?6冗

-1(6+3)X3J3-

-r―6加

2360

圖1

【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形和扇形的

面積公式，判斷出。。的半徑是解本題的關(guān)鍵.

六、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

23.（10分）如圖，在某街道路邊有相距10，〃、高度相同的兩盞路燈（燈桿垂直地面），小

明為了測量路燈的高度，在地面A處測得路燈PQ的頂端仰角為14°,向前行走25m到

達(dá)B處，在地面測得路燈MN的頂端仰角為24.3°,已知點A,B,Q,N在同一條直線

上，請你利用所學(xué)知識幫助小明求出路燈的高度.（結(jié)果精確到0.1〃?.參考數(shù)據(jù)：sin14°

■0.24,cosl4°-0.97,tanl4°七0.25,sin24.3°-0.41,cos24.3°-0.91,tan24.30%

【分析】設(shè)PQ=MN=xm,根據(jù)正切的定義分別用x表示出AQ、BN,根據(jù)題意列式計

算即可.

【解答】解：設(shè)PQ=MN=xm,

在RtZ\APQ中，tanA=世，

AQ

則AQ=--—%—--=4x,

tanA0.25

在RtZiMBN中，tanNMBN=H,

BN

則BN—___兒N___?x=2°.丫：

tanZMBN0.459

'：AQ+QN=AB+BN,

.,4+10=25+幽＞

9

解得，k?8.4,

答：路燈的高度約為84”.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

24.(10分)某服裝超市購進(jìn)單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于

每件30元，不高于每件60元.銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為60元時，平均每月

銷售量為80件，而當(dāng)銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件.同時，在銷售

過程中，每月還要支付其他費用450元.設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？

(3)當(dāng)