2022-2023學年湖南省岳陽市平江縣高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年湖南省岳陽市平江縣高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合力={久|一1WxW1},B={x|3'<1},則4UB=（）

A.[-1,0）B.（-oo,0）C.[-1,1]D.（-oo,l]

2.棱長為1的正方體的外接球的表面積為（）

A.斗B,3兀C.12兀D.16TT

4

3.甲、乙、丙三人排隊，甲排在末位的概率為（）

A.；B.|C.|D.|

4.已知復數(shù)z=a+i（a€R）,若z2=3+4i,則復數(shù)W在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個班級的數(shù)學成績統(tǒng)計如下表：

班級人數(shù)平均分數(shù)方差

甲40705

乙60808

則兩個班所有學生的數(shù)學成績的方差為（）

A.6.5B.13C.30.8D,31.8

6.己知小，九為兩條不同的直線，a,￡為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.仇〃S，m//af則m〃/?

B.mu仇,九ua,m///?,n///?,則a///?

C.aC\0=I,znua,mil,則7n1/?

D.m1afm//n,a“B，則711s

7.著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家，他曾言：勤學如春起之苗，不見其增，日有所

長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧.今天，我們可以用數(shù)學觀點來對這句話重新詮釋，

我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是1%,一年后是1.01365；而把“不見其

損”量化為每天的“落后率”都是1%,一年后是0.99365.可以計算得到，一年后的“進步”

是“落后”的膽帝=1481倍.那么，如果每天的“進步率”和“落后率”都是20%,要使

0.99電

“進步”是“落后”的10000倍,大約需要經(jīng)過（旬2X0.301,匈3?0.477）（）

A.17天B.19天C.21天D.23天

8.已知M是內(nèi)的一點，且加前=2,如C*，S.T"則比+七

的最小值是（）

A.8B.4C.2D.1

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,拋擲該正四面體兩次，記

事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4"，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列

說法正確的是（）

A.事件M發(fā)生的概率為B.事件M與事件N互斥

C.事件Mn方發(fā)生的概率為gD.事件M與事件N相互獨立

10.已知復數(shù)Zi=2i,Z2=1+i,則（）

A.Z1?Z2=Z1?Z2B.若|z-z/=l,則|z|的最大值為3

D.Z1Z2-2是純虛數(shù)

11.已知函數(shù)/（%）=Asin（ajx+0）（/>>0,\（p\<］）的部

分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=/（%）的圖象關(guān)于點（一工,0）對稱

B.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線”—浮寸稱

C.函數(shù)y=f（x）在［—第一名單調(diào)遞減

D.該圖象向右平移居個單位可得y=2s譏3x的圖象

12.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面2BCD為菱形，

4DAB=60°,側(cè)面24。為正三角形，且平面P2D_L平面

ABCD,則下列說法正確的是（）

A.在棱4D上存在點M,使4。1平面PMB

B.異面直線AD與PB所成的角為90。

C.二面角P—BC—N的大小為45。

D.BD1平面PAC

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若“1<x<4”是“x<機”的充分非必要條件，則實數(shù)機的取值范圍是—.

14.某軌道交通1號線在10個車站上車人數(shù)統(tǒng)計如下：70,60,60,50,60,40,10,30,

30,40,則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與第75百分位數(shù)的和為

15.如圖，為了測量某濕地4B兩點間的距離，觀察者找到在同一條

直線上的三點C,D,E.從。點測得N4DC=67.5。，從C點測得NACD=

45°,乙BCE=75°,從E點測得NBEC=60°,若測得DC=2門,CE=

「（單位：百米），則48兩點間的距離為.

16.傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)

有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，如圖是一個圓

柱容球，。八。2為圓柱兩個底面的圓心，。為球心，EF為底面圓01

的一條直徑，若球的半徑R=2,則

①平面DEF截得球的截面面積最小值為；

②若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

某工廠為了保障安全生產(chǎn)，舉行技能測試，甲、乙、丙3名技術(shù)工人組成一隊參加技能測試,

甲通過測試的概率是0.8,乙通過測試的概率為0.9,丙通過測試的概率為0.5,假定甲、乙、

丙3人是否通過測試相互之間沒有影響.

（I）求甲、乙、丙3名工人都通過測試的概率A；

（H）求甲、乙、丙3人中恰有2人通過測試的概率P2.

18.（本小題12.0分）

（1）己知平面向量五、方，其中五=（門,-2）,若|3|=347，且五〃石，求向量3的坐標表示；

⑵已知平面向量五、詢足|初=2,|3|=1，4與3的夾角為手且@1（21一母，求

2的值.

19.(本小題12.0分)

如圖，已知4411平面ABC,BB山AA、，AB=AC=3,BC=2屋,AA±=C，BBr=2c,

點E和尸分別為BC和AiC的中點.

(1)求證：EF〃平面

(2)求證：4E_L平面8c當；

(3)求直線4Bi與平面BCBi所成角的大小.

20.(本小題12.0分)

“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌天宮課堂”

是結(jié)合載人飛行任務，貫穿中國空間站建造和在軌運營系列化推出的，將由中國航天員擔任

“太空教師”，以青少年為主要對象，采取天地協(xié)同互動方式開展.2022年10月12日15時40分,

“天宮課堂”第三課在中國空間站開講.學校針對這次直播課，舉辦了“天宮課堂”知識競賽,

有100名學生代表參加了競賽，競賽后對這100名學生的成績進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)分為[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]這4組，畫出如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中zn的值；

(2)估計這100名學生競賽成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)；

(3)若該校準備對本次知識競賽成績較好的40%的學生進行嘉獎，試問被嘉獎的學生的分數(shù)不

低于多少？

21.(本小題12.0分)

在△4BC中，角4,B,C所對的邊分別a,b,c,且6cos&+acosB=2ccos4

(1)求角4的值；

(2)已知D在邊BC上，且BD=3DC,AD=3,求△ABC的面積的最大值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(久)=/+a比+b,a,bG.R,/(I)=0.

(1)若函數(shù)y=|f(x)|在［0,1］上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)尸(久)=/(|2工—1|)+磯|2久—1|—2),若函數(shù)F(x)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值

范圍；

(3)是否存在整數(shù)m,n,使得mW/(x)Wn的解集恰好是若存在，求出m,n的值；

若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：:集合4={x|-1<x<1},B-{x|3x<1}={x\x<0}=（-co,0）,

AB=（—oo,1].

故選：D.

求出集合B,利用交集定義能求出4nB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：易知，正方體的體對角線是其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R,

貝U2R=VI2+I2+I2=故R=?，

所以S=4兀/?2=4兀x（1^）2=37r.

故選：B.

根據(jù)正方體與其外接球之間的關(guān)系，求出外接球的半徑，即可得出球的表面積.

本題主要考查正方體外接球表面積的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：甲、乙、丙三人排隊，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲,

丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）},共6個基本事件；

其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）},共2個基本事件；

二甲排在末位的概率p=|=4-

故選：B.

列舉出所有基本事件，并確定滿足題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由題意可得，(a+i)2=3+4i,即十一1+2山=3+4〉

又a￡R,因此｛小一1=3,解得4=2,

則z=2+i,

所以W=2-i在復平面內(nèi)對應的點(2,-1)位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)給定條件，求出a值，即可求出復數(shù)W對應點的坐標作答.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共輾復數(shù)的定義，復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：兩個班級總的平均數(shù)為1==76,

4叱4U比+6U舞。

22

則兩個班所有學生的數(shù)學成績的方差為40*[5+(76-70)]+60x[8+(76-80)]=

40+60

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差公式，即可求解.

本題主要考查平均數(shù)和方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：對于2,,.,￡￡〃￡,m〃a,zn〃6或muS，.以錯誤；

對于8,mca,ziua,m//p,n〃￡,；.a〃￡或a,￡相交，二8錯誤；

對于C,an￡=I,mca,mJ.2,.,.無法得到m1；.C錯誤；

對于D,?；m1a,ml/n,..n1a,又戊〃。，n1/?,.，力正確.

故選：D.

根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理判斷即可.

本題考查空間中線線平行、線面平行、面面平行的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：經(jīng)過x天后，“進步”與“落后”的比藉210000,(|尸>10000,

兩邊取以10為底的對數(shù)得x-Igj>4,即x-(仞3-國2)=x(0.477-0.301)=0.176x>4,

解得x27^=22.73,

所以大于經(jīng)過23天后，“進步”是“落后”的10000倍.

故選：D.

根據(jù)題意得(|尸＞10000,根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了函數(shù)的實際應用，考查了對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?麗=2,^BAC=p

：.\AB\\AC\^2V_2>

???SNBC=11AB||~AC\sinZ-BAC=1,

11

J

?JS&MBC=2^^ABC=2

11

^LMAB+^LMAC=^LABC—^LMBC~7S"BC=7'

1

o<X<-

=X，2

則SAMAC=2~X,

1111111

.?.由柯西不等式可得，：+7--------=~+I-=2fc+I-)(%+]-%)

IJP7IJ7、-k-M--A-B-X--Xx--Xz

22式「+京.小:x)2=8,

當且僅當2.J^一%=才:.門，即"=扣寸，等號成立，

故—+的最小值是8.

、4MAB

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，以及三角形面積公式，可得SAMBC=2SNBC=：，再

根據(jù)三角形之間的面積關(guān)系和柯西不等式，即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，掌握柯西不等式是解本題的關(guān)鍵，屬于難題.

9.【答案】AD

【解析】解：對于4由題意可知P(M)=|=2,故A選項正確.

對于B,若兩次投擲向下的數(shù)字都為3,3+3=6,則事件M,N同時發(fā)生，所以M與N不互斥，

故B選項錯誤.

對于C,事件斤表示：”第一次向下的數(shù)字為1或2,且兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，包含的

事件為：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),共4種，所以事件)c后發(fā)生的概率為白=J，故C選項錯

1b4

誤；

對于D,事件MCN表示：“第一次向下的數(shù)字為3或4,且兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”,包含的

事件為：(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共4種，所以事件MCN發(fā)生的概率為白=

事件N包含的事件為。,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共8種,所以P(N)=^=|,

所以P(MN)=P(M)P(N),即事件M與事件N相互獨立，故。選項正確.

故選：AD.

結(jié)合古典概型、互斥事件、對立事件、相互獨立事件的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.

本題考查古典概型、互斥事件、對立事件、相互獨立事件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：對于A：??,復數(shù)Zi=2i,z2=1+i,

???zr-z2=2i(l+i)=-2+2i,z2=—2—23

?z?——2i(l—i)=-2—23

,,,ZI,z?=Z1?z?，A;

對于B：設(shè)2=。+6，aER,bER,

則=|a+(6-2)i|=Ja2+=—2)2=1,

即小+(卜一2)2=1,且

\z\=Va2+b2=-yj1—(b-2)2+b2=V4b—3<V4x3—3=3,

即|z|的最大值為3,B正確；

對于c：言=含=需占=i+i￡R，故C錯誤；

對于D：ZiZ2-2=2i(l+i)—2=—4+2i,z/2-2不是純虛數(shù)，D錯誤.

故選：AB.

對于4：分別求出Zi?Z2，Z]?Z2來判斷;

對于8：設(shè)2=。+6，aER,bER,通過條件求出a,b關(guān)系，代入|z|中求最值;

對于C：求出?來判斷；

z2

對于D：求出Z1Z2-2,結(jié)合純虛數(shù)的定義判斷即可.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：由圖象可得f（x）的最大值為2,即4=2,7=穿=4?—專），即3=3,

所以/（%）=2sin（3x+（p）,

因為/信）=2,所以3+0=2k7r+MkeZ,

1Z4Z

所以9=2卜兀+［,keZ,因為所以8

所以/（X）=2s譏（3%+3）,

對于4因為令）=0,所以函數(shù)y=/（久）的圖象關(guān)于點（-工,。）對稱，故A正確；

對于8,因為/（—瑞）=2s譏（一兀）=0,故2錯誤；

對于C,當比6［一第一如時,3%+亨6［一年,一?，

所以函數(shù)y=f（x）在［-第-芻上不單調(diào)，故C錯誤；

對于D,該圖象向右平移居個單位可得y=2s譏［3（K-卷）+3=2s譏3久的圖象，故。正確.

1Z1Z4

故選：AD.

根據(jù)圖象求出y=/（*）的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的知識判斷48C,根據(jù)圖象的平移變換可判

斷。.

本題主要考查由y=4s譏（3X+R）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)

的平移變換，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

如圖所示，4取4。的中點M,連接PM,BM,連接對角線AC,8。相交于點。.利用正三角形、菱

形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理可得：40,平面PMB.

A由4可得：4D1平面PMB,可得4D1PB,即可得出異面直線4D與PB所成的角.

C.^BC//AD,可得BC1平面PBM,進而得出NPBM是二面角P—BC-4的平面角，利用RtAPBM

的邊角關(guān)系即可得出.

。.由于與P力不垂直，即可判斷出結(jié)論.

本題考查了正三角形、菱形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、異面直線所成的角、二面角的

平面角、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

【解答】

解：如圖所示，4取力D的中點M,連接PM,BM,連接對角線力C,BD相交于點。.

?.?側(cè)面PAD為正三角形，.?.PM1AD.

又底面力BCD為菱形，^DAB=60°,；.△4BD是等邊三角形.

???AD1BM,

又PMCBM=M,PM,BMu平面PMB,

???4D1平面PMB,因此A正確.

A由4可得：力D1平面PMB,又PBu平面PMB,

.?.4。1PB,.?.異面直線4D與PB所成的角為90。，正確.

C?.?平面PBCCI平面ABC。=BC,BC//AD,

平面PBM,又PB、BMu平面PBM,

BC1PB,BC1BM.

NPBM是二面角P-BC-A的平面角，設(shè)力B=L貝"M=?=PM，

在RtAPBM中，tan/PBM=^=l,ZPFM=45°,因此正確.

BD與P4不垂直，二BD與平面P4C不垂直，因此。錯誤.

故選：ABC.

13.【答案】［4,+8）

【解析】解：根據(jù)題意可知1W尤<4今無<m,但x<小推不出1<x<4,

故｛%|1<x<4｝是｛x|久<m｝的真子集,

故m>4,

故答案為：［4,+8）.

根據(jù)題意得到1W久<4與％<m的包含關(guān)系，從而得到答案.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】105

【解析】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序：10,30,30,40,40,50,60,60,60,70,

因為10x50%=5,所以第50百分位數(shù)是第5項與第6項的平均數(shù)，即竺羅=45；

因為10x75%=7.5,所以第75百分位數(shù)是第8項，即60；

則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與第75百分位數(shù)的和為：45+60=105.

故答案為:105.

將數(shù)據(jù)從小到大排序，分別求出這組數(shù)據(jù)第50百分位數(shù)與第75百分位數(shù)，即可得出答案.

本題考查百分位數(shù)的計算，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】3（百米）

【解析】解：根據(jù)題意，在△4DC中，ZXCD=45°,^ADC=67.5°,DC=V-3,

貝此ZMC=180°-45°-67.5°=67.5°,則AC=DC=2c,

在△BCE中，乙BCE=75。,乙BEC=60。,CE=6,

則=180°-75°-60°=45°,

則有.EC_=BC_變形可得BC=ECxsin乙BEC=='q，

JNsinzEBCsinzBEC，乂"'Jnsin乙EBC￡2v

2

在△ABC中，AC=2AT3,BC=4,^ACB=180°-Z.ACD-Z.BCE=60°,

貝UM=AC2+BC2-2AC-BC-cos^ACB=9,

則4B=3；

故答案為：3（百米）.

根據(jù)題意，在△力DC中，分析角邊關(guān)系可得力C=DC=2「，在ABCE中，由正弦定理可得BC的

值，據(jù)此在△ABC中，利用余弦定理分析可得答案.

本題考查三角形中的幾何計算，涉及正弦、余弦定理的應用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】—7T[2+2V5,4V3]

【解析】解：①過。作。G,DO口于G,則由題可得。G=：x1^=手,

設(shè)。至U平面DEF的距離為刈，平面DEF截得球的截面圓的半徑為七，

則di<OG,r^—r2—d1=4--d1>4：—

所以平面DEF截得球的截面面積最小值為￡兀；

②由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為P',

貝1JPP'=2,PE=V22+P'E2,PF=V22+P'F2,P'E2+P'F2=16，

設(shè)t=P'E2,則te[0,42],PE+PF=V22+t+V22+16-t,

所以(PE+PF)2=(V22+t+V22+16-t)2=24+2V-t2+16t+80=24+

2J—(t-8)2+144G[24+8AT5,48].

所以PE+PF6[2+2^,4<3].

故答案為：①:兀；②[2+2/下,44司.

①由題可得。到平面DEF的距離為八式爭，進而可得平面DEF截得球的截面面積最小值；

②設(shè)P在底面的射影為P',設(shè)1=P'E2,PE+PF=V22+t+V22+16-t,然后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)可得PE+PF的取值范圍.

本題考查圓柱與球的表面積和體積，考查邏輯推理能力，是一道難題.

17.【答案】解：(I)設(shè)甲、乙、丙3人通過測試分別為事件4B,C,

則P(B)=0.9,P(C)=0.5,P(X)=0.8,

.??甲、乙、丙3名工人都通過測試的概率R=PQ4BC)=PQ4)P(B)P(C)=0.8x0.9x0.5=0.36.

(II)甲、乙、丙3人中恰有2人通過測試，等價于恰有1人未通過測試，

P2=P(4)P(B)P(C)+P(4)P(B)P(C)+P(4)P(B)P(C)=0.2X0.9X0.5+0.8x0.1X0.5+

0.8X0,9X0.5=0.49.

【解析】(I)根據(jù)相互獨立事件概率的性質(zhì)可解.

(U)根據(jù)相互獨立事件概率的性質(zhì)可解.

本題考查相互獨立事件概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:⑴?.*=(門,一2),a//b，

二設(shè)b=5,—2)>且|b|-3A/-2,

3|A|=3。，解得4=±/7，

b=-24)或(-2<7);

(2),.■|a|=2,|h|=1><a,b>=:，

??ct-b=-1，

又位+4方)1(2a-by

(a+2b)-(2a-b)=2a2-Afo2+(2A-l)a-b=8-A-2A+1=0>解得％=3.

【解析】本題考查了共線向量基本定理，根據(jù)向量的坐標求向量的長度的方法，非零向量垂直的

充要條件，向量數(shù)量積的運算及計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)為=(廳,一2)，五〃方即可設(shè)3=4(口,一2)，然后根據(jù)|||=3，^即可求出2的值，進而

可得出向量鈾勺坐標；

⑵可先求出五不=一1，然后根據(jù)Q+4垃1(21一3)即可得出(方+43).(2五-3)=0，然后進

行數(shù)量積的運算即可求出4的值.B.

-Kx

在AABC中，「E和F分別是BC和4c的中點，??.EF〃&B,“\

又,；&Bu平面45/4EFC平面力//&,

???￡77/平面A//4.

(2)證明：-：AB=AC,E為BC中點，：.AE1BC,

AA11平面ABC,BB1//AA1,BBr1平面ABC,

又AEu平面ABC,

BB]1AE,

又???BCCiBB1=B,BC,BB]u平面???AE1平面BCB1；

(3)解：取中點M和8傳中點N,連接&M,&N,NE,

N和E分別為B]C和BC的中點，.?.NE〃B[B旦NE=

NE〃&A且NE=.?.四邊形44EN是平行四邊形，

???ArN//AE,

■：AE_L平面BCBi，ArN_L平面BCB1，

乙4/iN即為直線A/i與平面8cBi所成角，

在△ABC中，AE=2,■■.A1N=AE=2,

vBM//AA1,BM=AAr,■■ArM//AB^.ArM=AB,

又由ABIBB],&M1BB1，

22

在中，A1B1=VBrM+ArM=4,

在Rt△A1NB1中，sinz■力i/N==:，

A]Z

因為NA/iNG(0,,

???4&B1N=

即直線A出與平面BC%所成角的大小為也

【解析】(1)連接&B,根據(jù)中位線的性質(zhì)證明根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)證明4E1BC,BB]14E,根據(jù)線面垂直的判定定理證明結(jié)論；

(3)取BBi中點M和BiC中點N,連接&M,&N,NE,可證四邊形是平行四邊形，從而

ArN//AE^.ArN=AE,進而4N1平面BCB1，乙4/iN即為直線力聲1與平面BCB1所成角，在三角

形中求解即可.

本題考查了空間中的平行、垂直關(guān)系的證明以及直線與平面所成的角的計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由圖可得(爪+5m+0.03+0.04)x10=1,解得爪=0.005；

(2)估計這100名學生競賽成績的平均數(shù)工=65x0.005x10+75x0.025x10+85x0.04x

10+95x0.03x10=84.5；

(3)設(shè)被嘉獎的學生的分數(shù)不低于x,

因為第四組的頻率為0.03x10=0.3,第三組的頻率為0.04x10=0.4,

所以久€[80,90),所以0.04X(90-%)+0.3=0.4,

得x=87.5,

即被嘉獎的學生的分數(shù)不低于87.5分.

【解析】(1)利用頻率組距直方圖各個小長方形的面積之和為1進行計算；

(2)根據(jù)直方圖數(shù)據(jù)和平均數(shù)的計算公式進行計算求解；

(3)根據(jù)題意，從高分往低分統(tǒng)計，計算出小長方形的面積之和為0.4時即可.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：(l)AABC中，bcosA+acosB=2ccosA,

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,

所以sin(A+B)=2sinCcosA,

因為4+B+C=TT,所以sinQ4+B)=sinC,

所以s譏C="ZsinCcosA,

又因為C是△ABC的內(nèi)角，所以s譏C力。，所以cos^E；

又因為4是△ABC的內(nèi)角，所以4=早

(2)因為曲=3反，所以同一通=3(前一而)，所以而="荏+,刀；

所以9=白話之+與前之+|荏?前，

16loo

BP9=+2匕？+2力。，

161616

由基本不等式得：9>lb