專升本高等數(shù)學二(一元函數(shù)積分學)模擬試卷3(題后含答案及解析)

專升本高等數(shù)學二（一元函數(shù)積分學）模擬試卷3(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題1．若f(x)的導函數(shù)是sinx，則函數(shù)f(x)有一個原函數(shù)是()A．1+sinxB．1一sinxC．1+cosxD．1一cosx正確答案：B解析：f’(x)=sinx，則f(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=－cosx+C，∫f(x)dx=∫(一cosx+C)dx=－sinx+Cx+C1，令C=0，C1=1，故f(x)的一個原函數(shù)為1一sinx．知識模塊：一元函數(shù)積分學2．若f’(lnx)=1+lnx，則f(t)=()A．t++CB．1+lnt+CC．tlnt＋CD．t++C正確答案：A解析：f’(lnx)=1+lnx，則f’(x)=1+x，故f(x)=x+＋C，即f(t)=t＋+C．知識模塊：一元函數(shù)積分學3．∫x2ex3dx=()A．x2ex3+CB．3x2ex3+CC．ex3+CD．3ex3+C正確答案：C解析：＋C．知識模塊：一元函數(shù)積分學4．下列各式中正確的是()A．∫01x3dx≥∫01x2dxB．∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dxC．∫abarcsinxdx=arcsinxD．∫－11dx=0正確答案：B解析：對于選項A，當0≤x≤1時，x3≤x2，則∫01x3dx≤∫01x2dx．對于選項B，當1≤x≤2時，lnx≥(lnx)2，則∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dx．對于選項C，∫abarcsinxdx=0(因∫abarcsinxdx是一個常數(shù))．對于選項D，∫－11dx=0不成立，因為當x=0時，無意義．知識模塊：一元函數(shù)積分學5．∫02sinxdx=()A．B．1C．2D．3正確答案：C解析：=2．知識模塊：一元函數(shù)積分學6．設f(x)=∫0xsintdt，則f[f()]=()A．一1B．1C．一cos1D．1一cos1正確答案：D解析：由牛頓一萊布尼茨公式有f(x)=∫0xsintdt=一cost｜0x=1一cosx，所以有=f(1)=1一cos1．故選D．知識模塊：一元函數(shù)積分學7．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a＞0)上連續(xù)，f(0)＞0，且在(0，a)上恒有f’(x)＞0，設s1=∫0af(x)dx，s2=af(0)，s1與s2的關系是()A．s1＜s2B．s1=s2C．s1＞s2D．不確定正確答案：C解析：由f’(x)＞0在(0，a)上恒成立知f(x)在(0，a)嚴格單調增加，由積分中值定理知，存在ξ∈(0，a)，使得s1=∫0af(x)dx=a．f(ξ)，由于0＜ξ＜a，則f(0)＜f(ξ)＜f(a)，即a．f(ξ)＞af(0)=s2，即s1＞s2，故選C．知識模塊：一元函數(shù)積分學8．橢圓曲線+y2=1圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積V=()A．2πB．πC．D．正確答案：C解析：V=π∫－22(1一)dx=π．(x一x3)｜－22=π．知識模塊：一元函數(shù)積分學填空題9．不定積分dx=________．正確答案：+C解析：=∫(1+lnx)2013d(lnx)=∫(1+lnx)2013d(1+lnx)=＋C．知識模塊：一元函數(shù)積分學10．∫(tanθ+cotθ)2dθ=_________．正確答案：tanθ一cotθ+C解析：∫(tanθ+cotθ)2dθ=∫(tan2θ+2+cot2θ)dθ=∫(sec2θ+csc2θ)dθ=tanθ－cotθ+C．知識模塊：一元函數(shù)積分學11．∫02｜x一1｜dx=_________．正確答案：1解析：∫02｜x一1｜dx=∫01(1一x)dx＋∫12(x－1)dx=(x－x2)｜01＋(－x)｜12=1．知識模塊：一元函數(shù)積分學12．∫12dx=________．正確答案：解析：知識模塊：一元函數(shù)積分學13．極限=_________．正確答案：解析：．知識模塊：一元函數(shù)積分學14．曲線所圍圖形的面積A=________．正確答案：πa2解析：消參后曲線方程即為x2+y2=a2，故其面積為A=πa2．知識模塊：一元函數(shù)積分學解答題15．計算不定積分．正確答案：原式=+C．涉及知識點：一元函數(shù)積分學16．求∫x2cosxdx．正確答案：∫x2cosxdx=∫x2d(sinx)=x2sinx－∫sinxd(x2)=x2sinx－2∫xsinxdx=x2sinx+2∫xd(cosx)=x2sinx+2xcosx－2∫cosxdx=x2sinx+2xcosx一2sinx+C．涉及知識點：一元函數(shù)積分學17．求dx．正確答案：涉及知識點：一元函數(shù)積分學18．計算∫xsinxcosxdx．正確答案：涉及知識點：一元函數(shù)積分學19．設f(x)=∫x0te－t2dt，求f(x)在[1，2]上的最大值．正確答案：∵f’(x)=一xe－x2，且在[1，2]上f’(x)＜0，∴f(x)在[1，2]上單調遞減，故最大值是f(1)，而f(1)=．涉及知識點：一元函數(shù)積分學20．已知f(x)=求∫－11f(x)dx．正確答案：∫－11f(x)dx=∫－10dx＋∫01dx，其中，∫－10dx=∫－10(1－)dx=1－ln(1＋ex)｜－10=ln(1＋e)－ln2，∫01dx=∫01d(x＋1)=ln(1＋x)｜01=ln2，所以∫－11f(x)dx=ln(1+e)．涉及知識點：一元函數(shù)積分學21．求反常積分∫－∞＋∞．正確答案：∫－∞＋∞．涉及知識點：一元函數(shù)積分學若當x→0時，函數(shù)f(x)=∫0x2t3－3t＋adt與x是等價無窮小量．22．求常數(shù)a的值，正確答案：由題意可知，=2a=1，得a=0；涉及知識點：一元函數(shù)積分學23．證明：≤f(2)≤8．正確答案：已知f(x)=∫0x2t3－3tdt，設g(t)=2t3－3t則令g’(t)=ln2．2t3－3t(3t2－3)=0，得t=±1，g(0)=1，g(1)=，g(2)=4，故在[0，2]上≤g(t)≤4，由估值定理得2．≤∫02g(t)dt≤2．4，即≤f(2)≤8．涉及知識點：一元函數(shù)積分學設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內大于零，并滿足xf’(x)=f(x)+x2(a為常數(shù))，又曲線y=f(x)與直線x=0，x=1，y=0所圍成圖形S的面積為2．24．求函數(shù)f(x)；正確答案：將xf’(x)=f(x)+x2化成對上式兩邊積分，由f(x)在x=0的連續(xù)性得f(x)=x2+cx，(x∈[0，1])由已知2=∫01f(x)dx=∫01，c=4一a，f(x)=x2+(4一a)x；涉及知識點：一元函數(shù)積分學25．a為何值時，圖形S繞x軸旋轉一周得到的體積最小．正確答案：V=V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01．V’(a)=，令V’(a)=0得a=一5，V’’(a)=，V’’(一5)=＞0．a=一5是