2015年杭州市中考數(shù)學試題答案解析

2015年杭州市各類高中招生文化考試數(shù)學——解析版仔細選一選（本題有10小題，每小題3分，共30分）下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的。注意可以用多種不同的方法來選取正確答案。1.統(tǒng)計顯示，2013年底杭州各類高中在校學生人數(shù)是11.4萬人，將11.4萬人用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（）A.B. C.D.【答案】C.【考點】科學記數(shù)法.【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.在確定n的值時，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1.當該數(shù)大于或等于1時，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當該數(shù)小于1時，－n為它第一個有效數(shù)字前0的個數(shù)（含小數(shù)點前的1個0）.因此，∵11.4萬=114000一共6位，∴11.4萬=114000=1.14×105.故選C.2.下列計算正確的是()A.23+24=27 B.23?24=C.23×24=27D.23÷24=21【答案】C.【考點】有理數(shù)的計算.【分析】根據(jù)有理數(shù)的運算法則逐一計算作出判斷：A.，選項錯誤；B.，選項錯誤；C.，選項正確；D.，選項錯誤.故選C.3.下列圖形是中心對稱圖形的是() A.B.C.D.【答案】A．【考點】中心對稱圖形．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.因此，A、∵該圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴該圖形是中心對稱圖形；B、∵該圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴該圖形不是中心對稱圖形；C、∵該圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴該圖形不是中心對稱圖形；D、∵該圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴該圖形不是中心對稱圖形．故選A．4.下列各式的變形中，正確的是() A.(?x?y)(?x+y)=x2?y2 B. C.x2?4x+3=(x?2)2+1 D.x÷(x2+x)=+1【答案】A．【考點】代數(shù)式的變形.【分析】根據(jù)代數(shù)式的運算法則逐一計算作出判斷：A.，選項正確；B.，選項錯誤；C.，選項錯誤；D.，選項錯誤.故選A．5.圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，則∠C=() A.20° B.30° C.70° D.110°【答案】D．【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).【分析】∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，∴根據(jù)圓內(nèi)接四邊形互補的性質(zhì)，得∠C=110°.故選D．6.若k<<k+1(k是整數(shù))，則k=()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D．【考點】估計無理數(shù)的大小.【分析】∵，∴k=9.故選D．7.某村原有林地108公頃，旱地54公頃，為保護環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地占林地面積的20%，設(shè)把x公頃旱地改為林地，則可列方程()A.54?x=20%×108 B.54?x=20%×(108+x) C.54+x=20%×162 D.108?x=20%(54+x)【答案】B.【考點】由實際問題列方程.【分析】根據(jù)題意，旱地改為林地后，旱地面積為公頃，林地面積為公頃，等量關(guān)系為“旱地占林地面積的20%”，即.故選B.8.如圖是某地2月18日到23日PM2.5濃度和空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的統(tǒng)計圖(當AQI不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”)，由圖可得下列說法：①18日的PM2.5濃度最低；②這六天中PM2.5濃度的中位數(shù)是112μg/cm2；③這六天中有4天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”；④空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與PM2.5濃度有關(guān)，其中正確的說法是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】C.【考點】折線統(tǒng)計圖；中位數(shù).【分析】根據(jù)兩個折線統(tǒng)計圖給出的圖形對各說法作出判斷：①18日的PM2.5濃度最低，原說法正確；②這六天中PM2.5濃度按從小到大排列為：25，66，67，92，144，158，中位數(shù)是第3，4個數(shù)的平均數(shù)，為μg/cm2，原說法錯誤；③這六天中有4天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”，原說法正確；④空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與PM2.5濃度有關(guān)，原說法正確.∴正確的說法是①③④.故選C.9.如圖，已知點A，B，C，D，E，F(xiàn)是邊長為1的正六邊形的頂點，連接任意兩點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，取到長度為的線段的概率為()A. B. C. D.【答案】B.【考點】概率；正六邊形的性質(zhì).【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.因此，如答圖，∵正六邊形的頂點，連接任意兩點可得15條線段，其中6條的連長度為：AC、AE、BD、BF、CE、DF，∴所求概率為.故選B.10.設(shè)二次函數(shù)y1=a(x?x1)(x?x2)(a≠0，x1≠x2)的圖象與一次函數(shù)y2=dx+e(d≠0)的圖象交于點(x1，0)，若函數(shù)y=y2+y1的圖象與x軸僅有一個交點，則()A.a(x1?x2)=d B.a(x2?x1)=dC.a(x1?x2)2=d D.a(x1+x2)2=d【答案】B.【考點】一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題；曲線上點的坐標與方程的關(guān)系.【分析】∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴.∴.∴.又∵二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，函數(shù)的圖象與軸僅有一個交點，∴函數(shù)是二次函數(shù)，且它的頂點在軸上，即.∴..令，得，即.故選B.二．認真填一填（本題有6個小題，每小題4分，共24分）要注意認真看清題目的條件和要填寫的內(nèi)容，盡量完整地填寫答案。11.數(shù)據(jù)1，2，3，5，5的眾數(shù)是___________，平均數(shù)是_______________【答案】5；3.2.【考點】眾數(shù)；平均數(shù)【分析】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)三次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5.平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，故這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是.12.分解因式：m3n?4mn=____________________________【答案】.【考點】提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解.【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，先提取公因式后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：.13.函數(shù)y=x2+2x+1，當y=0時，x=_______________；當1<x<2時，y隨x的增大而_____________(填寫“增大”或“減小”)【答案】；增大.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).【分析】函數(shù)，當y=0時，即，解得.∵，∴二次函數(shù)開口上，對稱軸是，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大.∴當時，y隨x的增大而增大.14.如圖，點A，C，F(xiàn)，B在同一直線上，CD平分∠ECB，F(xiàn)G∥CD，若∠ECA為α度，則∠GFB為_________________________度(用關(guān)于α的代數(shù)式表示)【答案】.【考點】平角定義；平行的性質(zhì).【分析】∵度，∴度.∵CD平分∠ECB，∴度.∵FG∥CD，∴度.15.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設(shè)點P(1，t)在反比例函數(shù)y=的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP，若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點Q，則k=____________________________【答案】或【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；勾股定理；分類思想的應(yīng)用.【分析】∵點P(1，t)在反比例函數(shù)的圖象上，∴.∴P(1，2).∴OP=.∵過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP，∴Q或Q.∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點Q，∴當Q時，；Q時，16.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平，若鋪平后的圖形中有一個是面積為2的平行四邊形，則CD=_______________________________【答案】或.【考點】剪紙問題；多邊形內(nèi)角和定理；軸對稱的性質(zhì)；菱形、矩形的判定和性質(zhì)；含30度角直角三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；分類思想和方程思想的應(yīng)用.【分析】∵四邊形紙片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.如答圖，根據(jù)題意對折、裁剪、鋪平后可有兩種情況得到平行四邊形：如答圖1，剪痕BM、BN，過點N作NH⊥BM于點H，易證四邊形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°.設(shè)BN=DN=，則NH=.根據(jù)題意，得，∴BN=DN=2，NH=1.易證四邊形BHNC是矩形，∴BC=NH=1.∴在中，CN=.∴CD=.如答圖2，剪痕AE、CE，過點B作BH⊥CE于點H，易證四邊形BAEC是菱形，且∠BCH=30°.設(shè)BC=CE=，則BH=.根據(jù)題意，得，∴BC=CE=2，BH=1.在中，CH=，∴EH=.易證，∴，即.∴.綜上所述，CD=或.三．全面答一答。（本題有7個小題，共66分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟。如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以。17.（本小題滿分6分）杭州市推行垃圾分類已經(jīng)多年，但在廚余垃圾中除了廚余類垃圾還混雜著非廚余類垃圾，如圖是杭州市某一天收到的廚余垃圾的統(tǒng)計圖（1）試求出m的值（2）杭州市那天共收到廚余垃圾約200噸，請計算其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數(shù)【答案】解：（1）.（2）∵，∴其中混雜著的玻璃類垃圾約為1.8噸.【考點】扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體.【分析】（1）由扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)頻率之和等于1計算即可.（2）根據(jù)用樣本估計總體的觀點，用計算即可.18.（本小題滿分8分）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點M、N分別在AB、AC邊上，AM=2MB，AN=2NC，求證：DM=DN【答案】證明：∵AM=2MB，AN=2NC，∴.又∵AB=AC，∴.∵AD平分∠BAC，∴.又∵AD=AD，∴.∴DM=DN.【考點】全等三角形的判定和性質(zhì).【分析】要證DM=DN只要即可，兩三角形已有一條公共邊，由AD平分∠BAC，可得，只要再有一角對應(yīng)相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC證得.19.（本小題滿分8分）如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點P′在射線OP上，滿足OP′?OP=r2，則稱點P′是點P關(guān)于⊙O的“反演點”，如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′、B′分別是點A，B關(guān)于⊙O的反演點，求A′B′的長.【答案】解：∵⊙O的半徑為4，點A′、B′分別是點A，B關(guān)于⊙O的反演點，點B在⊙O上，OA=8，∴，即.∴.∴點B的反演點B′與點B重合.如答圖，設(shè)OA交⊙O于點M，連接B′M，∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形.∵，∴B′M⊥OM.∴在中，由勾股定理得.【考點】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理.【分析】先根據(jù)定義求出，再作輔助線：連接點B′與OA和⊙O的交點M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等邊三角形，從而在中，由勾股定理求得A′B′的長.20.（本小題滿分10分） 設(shè)函數(shù)y=(x?1)[(k?1)x+(k?3)](k是常數(shù))（1）當k取1和2時的函數(shù)y1和y2的圖象如圖所示，請你在同一直角坐標系中畫出當k取0時函數(shù)的圖象（2）根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論（3）將函數(shù)y2的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)y3的圖象，求函數(shù)y3的最小值【答案】解：（1）作圖如圖：（2）函數(shù)(k是常數(shù))的圖象都經(jīng)過點（1，0）.（答案不唯一）（3）∵，∴將函數(shù)y2的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)y3為.∴當時，函數(shù)y3的最小值為.【考點】開放型；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；平移的性質(zhì).【分析】（1）當時，函數(shù)為，據(jù)此作圖.（2）答案不唯一，如：函數(shù)(k是常數(shù))的圖象都經(jīng)過點；函數(shù)(k是常數(shù))的圖象總與軸交于（1，0）；當k取0和2時的函數(shù)時得到的兩圖象關(guān)于（0，2）成中心對稱；等等.（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，左右平移時，左減右加。上下平移時，下減上加，得到平移后的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.21.（本小題滿分10分）“綜合與實踐”學習活動準備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長度為大于1且小于5的整數(shù)個單位長度（1）用記號(a，b，c)(a≤b≤c)表示一個滿足條件的三角形，如(2，3，3)表示邊長分別為2，3，3個單位長度的一個三角形，請列舉出所有滿足條件的三角形（2）用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a<b<c的三角形(用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡)【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即時滿足a<b<c.如答圖的即為滿足條件的三角形.【考點】三角形三邊關(guān)系；列舉法的應(yīng)用；尺規(guī)作圖.【分析】（1）應(yīng)用列舉法，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列舉出所有滿足條件的三角形.（2）首先判斷滿足條件的三角形只有一個：，再作圖：=1\*GB3①作射線AB，且取AB=4；=2\*GB3②以點A為圓心，3為半徑畫?。灰渣cB為圓心，2為半徑畫弧，兩弧交于點C；=3\*GB3③連接AC、BC.則即為滿足條件的三角形.22.（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E（1）若，AE=2，求EC的長（2）設(shè)點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F，C，G為頂點的三角形與△EDC有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點P，問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∴.∵，AE=2，∴，解得.（2）=1\*GB3①若，此時線段CP1為△CFG1的斜邊FG1上的中線.證明如下：∵，∴.又∵，∴.∴.∴.又∵，∴.∴.∴線段CP1為△CFG1的斜邊FG1上的中線.=2\*GB3②若，此時線段CP2為△CFG2的斜邊FG2上的高線.證明如下：∵，又∵DE⊥AC，∴.∴.∴.∴CP2⊥FG2.∴線段CP2為△CFG2的斜邊FG2上的高線.=3\*GB3③當CD為∠ACB的平分線時，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線.【考點】平行線分線段成比例的性質(zhì)；直角三角形兩銳角的關(guān)系；等腰三角形的判定；分類思想的應(yīng)用.【分析】（1）證明DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)列式求解即可.（2）分，和CD為∠ACB的平分線三種情況討