初中數(shù)學(xué)直角三角形基礎(chǔ)習(xí)題含答案

第1頁（共1頁）直角三角形的性質(zhì)一．選擇題（共35小題）1．如圖是“人字形”鋼架，其中斜梁AB＝AC，頂角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD為支柱（即底邊BC的中線），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m2．如圖，等腰△ABC底邊BC上的高AD等于腰AB長度的一半，則它的頂角∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．100° D．120°3．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點(diǎn)O．如果AB＝AC，那么圖中全等的直角三角形的對(duì)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，CD⊥AB，垂足為D，則BD的長為（）A．6 B．5 C．4 D．35．如果一個(gè)直角三角形的兩邊分別是6，8，那么斜邊上的中線長為（）A．4 B．5 C．3或5 D．4或56．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，點(diǎn)P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BP的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．直角三角形的斜邊長為6cm，則斜邊上的中線長為（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm8．下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．一組銳角和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等 B．兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等 C．兩組直角邊分別對(duì)應(yīng)相等 D．斜邊和一組直角邊分別對(duì)應(yīng)相等9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．410．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，若AD＝6，則CD的長為（）A．6 B．4 C．3 D．211．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則AD與BD之比為（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：112．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小邊BC＝4cm，則最長邊AB的長為（）A．8cm B．6cm C．cm D．5cm13．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，則∠B為（）A．15° B．30° C．50° D．60°14．在直角三角形中，有一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的2倍，則這個(gè)銳角的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．40°15．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長可能是（）A．5 B．6.2 C．7.8 D．816．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D為AB的中點(diǎn)，則CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm17．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，∠A＝30°，則AC＝（）A．c B．c C．2c D．c18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，AB＝10，DE＝4，則S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．619．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，并交BC于點(diǎn)E，若ED＝3，則AC的長為（）A．3 B．3 C．6 D．920．如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于D點(diǎn)，交AB于E點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD＝BC B．AD＝DB C．DE＝DC D．BC＝AE21．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝20，S△CAD＝30，則DE的長度是（）A．6 B．8 C． D．922．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，如果CE＝8，則ED的長為（）A．2 B．3 C．4 D．623．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D，DE恰好是AB的垂直平分線，垂足為E．若BC＝6，則AB的長為（）A．3 B．4 C．8 D．1024．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若AE＝4，則EC的長是（）A．4 B．3 C．2 D．125．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，若AE＝1，則BE的長為（）A．2 B． C． D．126．如圖，CD是直角△ABC斜邊AB上的高，CB＞CA，圖中相等的角共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)27．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．則以下AE與CE的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．AE＝CE B．AE＝CE C．AE＝CE D．AE＝2CE28．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則AD的長是（）A． B．4 C． D．229．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，DE是斜邊AC的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若BD＝2，則AC的長是（）A．4 B．4 C．8 D．830．如圖，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C，M為BC的中點(diǎn)，若P（，0），則PM的最小值為（）A．3 B． C． D．31．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，CE是AB邊上的中線，AD＝3，CE＝5，則CD等于（）A．3 B．4 C． D．32．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若AB＝16，則DE的長是（）A．8 B．6 C．4 D．233．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若∠A＝26°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．42° D．52°34．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E、F為直角邊BC、AC的中點(diǎn)，且AE＝3，BF＝4，則AB＝（）A．2 B．3 C．2 D．535．到直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)（）A．是該三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) B．是斜邊上的中點(diǎn) C．在直角三角形的外部 D．在直角三角形的內(nèi)部二．填空題（共10小題）36．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝3cm，則AB＝______．37．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACD＝132°，∠A＝______．38．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∠BCD＝60°，若BD＝3cm，則AD＝______cm．39．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，垂足是點(diǎn)E，若BD＝8cm．則AC的長是______．40．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，將其折疊，E是點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)，折痕為CD，則∠EDB的度數(shù)為______．41．△ABC中，∠A＝24°，∠C＝66°，AC＝8cm，則AC邊上的中線長為______cm．42．等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長為20，則底邊上的高AD的長為______．43．如圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，A為對(duì)稱中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，則BB′的長為______．44．若直角三角形斜邊上的高是4m，斜邊上的中線是5m，則這個(gè)直角三角形的面積是______．45．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點(diǎn)F，則DF的長為______．三．解答題（共5小題）46．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．47．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的長．48．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求證：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，連結(jié)ED，求△EDC的面積．49．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，DE⊥AC，垂足為E，CD＝5，DE＝4，求△ABC的面積．50．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°．（Ⅰ）求∠BCD的度數(shù)；（Ⅱ）若BD＝a，求AB的長度（用a表示）．

直角三角形的性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共35小題）1．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，∴DE＝BD，DF＝DC，∴DE+DF＝BD+DC＝（BD+DC）BC．∴DE+DF＝BC＝×10＝5m．故選：B．2．解：∵AD⊥BC，AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AB＝AC，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故選：D．3．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；∴共有3對(duì)全等直角三角形，故選：C．4．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴BC＝AB＝8，∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝30°，BD＝BC＝4，故選：C．5．解：當(dāng)一個(gè)直角三角形的兩直角邊分別是6，8時(shí)，由勾股定理得，斜邊＝＝10，則斜邊上的中線＝×10＝5，當(dāng)8是斜邊時(shí)，斜邊上的中線是4，故選：D．6．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝＝2，∵點(diǎn)P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)P與C重合時(shí)，BP的值最小為2，故選：B．7．解：直角三角形的斜邊長為6cm，則斜邊上的中線長為3cm，故選：C．8．解：A、若一組銳角和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等，可證這兩個(gè)直角三角形全等，故選項(xiàng)A不符合題意；B、若兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等，不能證明這兩個(gè)直角三角形全等，故選項(xiàng)B符合題意；C、若兩組直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，可證這兩個(gè)直角三角形全等，故選項(xiàng)C不符合題意；D、若斜邊和一組直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，可證這兩個(gè)直角三角形全等，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．9．解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故選：B．10．解：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴DB＝DA＝6，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∴CD＝BD＝3，故選：C．11．解：∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB，∴AB＝4BD，∴AD：BD＝3：1，故選：B．12．解：設(shè)∠A、∠B、∠C分別為x、2x、3x，則x+2x+3x＝180°，解得，x＝30°，即∠A＝30°，∠C＝3x＝90°，∴AB＝2BC＝8（cm），故選：A．13．解：如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，則x+2x＝90°．x＝30°．所以2x＝60°，即∠B為60°．故選：D．14．解：設(shè)一個(gè)銳角的度數(shù)為x，則另一個(gè)銳角的度數(shù)為x，則x+x＝90°，解得，x＝60°，故選：C．15．解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不能小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的長不能大于6．故選：A．16．解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故選：C．17．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝c，由勾股定理得，AC＝＝c，故選：B．18．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE?CD＝3＝7.5，故選：B．19．解：∵DE是線段BC的垂直平分線，∴DC＝DB，DE⊥BC，∵∠C＝30°，∴BD＝DC＝2DE＝3，∴∠DBC＝∠C＝30°，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝BD＝3，∴AC＝DC+AD＝9，故選：D．20．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝2BC，∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，故B正確，不符合題意；∵DA＝DB，BD＞BC，∴AD＞BC，故A錯(cuò)誤，符合題意；∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠DBE＝∠DBC，又DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC，故C正確，不符合題意；∵AB＝2BC，AB＝2AE，∴BC＝AE，故D正確，不符合題意；故選：A．21．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝20，∴CD＝AD＝BD＝10，∵S△CAD＝30，CE⊥AB，垂足為E，∴S△CAD＝AD?CE＝30∴CE＝6，∴DE＝＝＝8，故選：B．22．解：∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE＝8．在Rt△BED中，∠B＝30°，BE＝8，∴ED＝BE＝4．故選：C．23．解：∵AD是∠CAB的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE是AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∴∠BAD＝∠DBA，∴∠BAD＝∠DBA＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠BAD＝∠DBA＝∠CAD＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得，AB2﹣AC2＝BC2，解得，AB＝4，故選：B．24．解：如圖，連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，在△ABC中，∠CBE＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣90°＝30°，∴CE＝BE＝×4＝2，故選：C．25．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，∴CE＝2AE＝2，∴BE＝2．故選：A．26．解：∵CD是直角△ABC斜邊AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，同理得：∠B＝∠ACD，∴相等的角一共有5對(duì)，故選：D．27．解：連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故選：D．28．解：連接CD，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝8，∵BD＝CD，∴∠B＝∠BCD＝30°，∴∠DCA＝60°，∵∠A＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴CD＝AD＝BD＝AB＝4，故選：B．29．解：∵∠B＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵DE是斜邊AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴∠DCB＝30°，∴DC＝2BD＝4，由勾股定理得，BC＝＝2，∴AC＝2BC＝4，故選：B．30．解：如圖，作AH⊥y軸于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．則四邊形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，設(shè)BH＝x，則AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝時(shí)，PM2有最小值，最小值為，∴PM的最小值為＝．故選：D．31．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE為AB邊上的中線，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝2，∵CD為AB邊上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝＝，故選：C．32．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，∴BC＝AB＝8，∵DE⊥AC，∠C＝90°，∴DE∥BC，∵D是AC邊的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∴AE＝BE，∴DE＝BC＝4，故選：C．33．解：∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故選：D．34．解：設(shè)BE＝EC＝x，CF＝FA＝y(tǒng)，∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，則有，解得x2＝，y2＝，∴AB＝＝＝2，故選：C．35．解：∵在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，∴直角三角形斜邊的中點(diǎn)到直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，故選：B．二．填空題（共10小題）36．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝3cm，∴AB＝2CD＝6cm．故答案為：6cm．37．解：∠ACD的△ABC的一個(gè)外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝132°﹣90°＝42°，故答案為：42°．38．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∠BCD＝60°，BD＝3cm，∴BC＝2CD，可得：BC2﹣CD2＝4CD2﹣CD2＝9，解得：CD＝cm，∴BC＝2cm，∴AC＝cm，∴AB＝4cm，∴AD＝4﹣3＝1cm．故答案為：139．解：∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD＝8cm，∴∠BDA＝∠BAD＝15°，∴∠ADC＝30°，又∵∠C＝90°，∴AC＝AD＝4cm，故答案為：4cm．40．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，∵△CDE是△CDA翻折得到，∴∠CED＝∠A＝48°，在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，即48°＝42°+∠EDB，∴∠EDB＝6°．故答案為：6°．41．解：∵∠A＝24°，∠C＝66°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴AC邊上的中線長為AC＝＝4（cm），故答案為：4．42．解：如圖所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝（180°﹣120°）＝30°，∴Rt△ABD中，AD＝AB＝×20＝10，即底邊上的高為10，故答案為：10．43．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（AB）2+1＝AB2，解得，AB＝，∵圖形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，A為對(duì)稱中心，∴BB′＝2AB＝，故答案為：．44．解：∵直角三角形斜邊上的中線長是5m，∴斜邊長為10m，∵直角三