專題1.8二次根式材料閱讀題大題提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）-【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【浙教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題1.8二次根式材料閱讀題大題提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2022春?諸暨市月考）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知x=5+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣小敏的做法是：根據(jù)x=5+2得（x﹣2）2＝∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：（1）已知x=5-2，求代數(shù)式x2+4x﹣（2）已知x=5-12，求代數(shù)式x3﹣2【分析】（1）原式配方變形后，將x的值代入計(jì)算即可求出值；（2）求出x2的值，原式變形后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）∵x=5-∴x+2=5則原式＝（x2+4x+4）﹣14＝（x+2）2﹣14＝（5）2﹣14＝5﹣14＝﹣9；（2）∵x=5∴x2＝（5-12）2則原式＝x（x2﹣2）+1=5-12×（=5=1-5＝﹣1+1＝0．2．（2021春?東陽(yáng)市校級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：a+1-2a+a2，其中a如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程．（1）小亮的解答過(guò)程是錯(cuò)誤的；（2）錯(cuò)誤的解答過(guò)程原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：a2=-a（a＜0（3）先化簡(jiǎn)，再求值：m+2m2-6m+9，其中m＝﹣【分析】（1）根據(jù)圖中的解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)小亮的解答過(guò)程錯(cuò)誤；（2）根據(jù)題意，可知不能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)a2=-a（a＜（3）先化簡(jiǎn)，然后將m的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【解答】解：（1）由圖象中的解答過(guò)程可知：小亮的解答過(guò)程是錯(cuò)誤，故答案為：小亮；（2）錯(cuò)誤的解答過(guò)程原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：a2=-a（a＜故答案為：a2=-a（a＜（3）m+2m＝m+2(m-3＝m+2|m﹣3|，當(dāng)m＝﹣2021時(shí)，原式＝﹣2021+2×|﹣2021﹣3|＝﹣2021+2×2024＝﹣2021+4048＝2027，3．（2019秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）我們規(guī)定，對(duì)數(shù)軸上的任意點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先將點(diǎn)P表示的數(shù)乘以﹣1，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′．現(xiàn)對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)A，B進(jìn)行以上操作，分別得到點(diǎn)A′，B′．（1）若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2，則點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)x＝4．若點(diǎn)B'對(duì)應(yīng)的數(shù)是3+2，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)y＝-3（2）在（1）的條件下，求代數(shù)式1x【分析】（1）由已知可得：（﹣2）×（﹣1）+2＝4，可得A′為4．設(shè)B為m，則﹣m+2＝2+3，解得m=-（2）將x＝4，y=-3【解答】解：（1）由已知可得：x＝（﹣2）×（﹣1）+2＝4，∴A'對(duì)應(yīng)的數(shù)4；由題意﹣y+2＝2+3解得y=-3∴B對(duì)應(yīng)的數(shù)-3（2）當(dāng)x＝4，y=-3時(shí)，1x-(y+124．（2022秋?長(zhǎng)安區(qū)期中）求代數(shù)式a+a2-2a+1的值，其中a小芳：解：原式＝a+(a-1)2=a+1﹣小亮：解：原式＝a+(a-1)2=a+a﹣（1）小亮的解法是錯(cuò)誤的；（2）求代數(shù)式a+2a2-6a+9的值，其中a＝4【分析】（1）根據(jù)題意得到a﹣1＜0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，∴(a-1)2=1∴小亮的解法是錯(cuò)誤的，故答案為：小亮；（2）∵a＝4-5∴a﹣3＝4-5-3＝1-∴(a-3)2=3則a+2a＝a+2(a-3＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，當(dāng)a＝4-5時(shí)，原式＝6﹣（4-5）＝25．（2022春?武江區(qū)校級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知x=5+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根據(jù)x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4xx2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：（1）已知x=5-2，求代數(shù)式x2+4x﹣（2）已知x=5-12，求代數(shù)式x3+x【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求出x2+4x＝1，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則、完全平方公式計(jì)算，答案．【解答】解：（1）∵x=5-∴（x+2）2＝5，∴x2+4x+4＝5，∴x2+4x＝1，∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x=5∴x2＝（5-12）2則x3＝x?x2=5-1∴x3+x2+1=5-2+3-6．（2022秋?高明區(qū)月考）閱讀下列解題過(guò)程：121314……請(qǐng)你參考上面的化簡(jiǎn)方法，解決如下問(wèn)題：（1）計(jì)算：110（2）計(jì)算：（12+1+1（3）若a=12-5，求2a2+8【分析】（1）先分子和分母都乘以10-（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，得出原式＝（2-1+3-2（3）求出a，再根據(jù)完全平方公式得出2a2+8a+1＝2（a+2）2﹣7，再代入求出答案即可．【解答】解：（1）1=10=10=10-（2）（12+1+1＝（2-1+3-2＝（2022-1）×（2022+＝（2022）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a=12-5∴2a2+8a+1＝2（a2+4a+4﹣4）+1＝2（a+2）2﹣8+1＝2×（﹣2-5+2）2＝2×（-5）2﹣＝2×5﹣7＝10﹣7＝3．7．（2020春?太湖縣期末）閱讀下面的材料并解決問(wèn)題．121312+……（1）觀察上式并填空：16+5=（2）觀察上述規(guī)律并猜想：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，1n+1+n=n+1（3）請(qǐng)利用（2）的結(jié)論計(jì)算：(1【分析】（1）分子、分母都乘以6-（2）分子、分母都乘以n+1-（3）括號(hào)內(nèi)利用所得規(guī)律裂項(xiàng)相消，再乘以（2020+1【解答】解：（1）16故答案為：6-（2）1n+1故答案為：n+1-（3）原式=(2=(2020=(2020＝2020﹣1＝2019．8．（2019春?高新區(qū)期末）閱讀材料：像（(5+2)、(5-2)=3、a?a=a（a≥0）、(b+1)(b-1)=b﹣1（b≥0）……兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如3與3，2例如：123=3解答下列問(wèn)題（1）3-7與3+7互為有理化因式，將232分母有理化得（2）計(jì)算2-1（3）觀察下面的變形規(guī)律并解決問(wèn)題①12+1=2-1，13+2=3-2②計(jì)算：（12+1【分析】（1）根據(jù)互為有理化因式的定義和化簡(jiǎn)有理化因式的方法可解；（2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同類二次根式即可；（3）①利用分母有理化化簡(jiǎn)即可；②由①的結(jié)論化簡(jiǎn)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子，然后利用平方差公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）根據(jù)互為有理化因式的定義可知，3-7與3+723故答案為：3+7；2（2）2-＝2-＝2-＝2-故答案為2-7（3）①1故答案為：n+1-②（12+1＝（2-1+3-2＝（2019-1））×（2019+＝2019﹣1＝2018故原式的值為2018．9．（2018春?東湖區(qū)校級(jí)月考）小明在解決問(wèn)題：“已知a=12+3，求2a2﹣8他是這樣分析與解的：∵a=12+∴a﹣2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）求13（2）若a=1①求4a2﹣8a+1的值；②直接寫出代數(shù)式的值：a3﹣2a2+a﹣2＝22；2a2﹣5a+1a+2＝【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，將題目中的式子分母有理化，然后計(jì)算即可求得所求式子的值；（2）①根據(jù)題目中的例子，將a的分母有理化，然后即可得到a﹣1的值和a2﹣2a的值，將所求式子變形即可解答本題；②將所求式子變形，再根據(jù)a2﹣2a的值，即可解答本題．【解答】解：（1）1=12×=12×（=12×（11=1＝5；（2）①∵a=12∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝4+1＝5；②∵由①知，a2﹣2a＝1，a﹣1=2∴a3﹣2a2+a﹣2＝a（a2﹣2a）+a﹣2＝a×1+a﹣2＝a+a﹣2＝2a﹣2＝2（a﹣1）＝2×＝22，2a2﹣5a+1=2=2a(=2a×1-1+1=2a-1+1=2a＝2，故答案為：22，2．10．（2021秋?龍海市校級(jí)期中）小明在解決問(wèn)題：已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=12+3∴a﹣2=-3∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）填空：111+10=11-10（2）計(jì)算：（12+1+1（3）若a=110-3，求2a2﹣12a【分析】（1）根據(jù)分母有理化法則計(jì)算；（2）根據(jù)分母有理化法則把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，合并同類二次根式即可；（3）根據(jù)分母有理化把a(bǔ)的值化簡(jiǎn)，根據(jù)完全平方公式把原式化簡(jiǎn)，把化簡(jiǎn)后的a的值代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）1111n故答案為：11-10；（2）原式＝（﹣1+2-2+＝（﹣1+2021）?（2021+＝2021﹣1＝2020．（3）∵a=1而2a2﹣12a﹣5＝2（a2﹣6a）﹣5＝2（a2﹣6a+9）﹣18﹣5＝2（a﹣3）2﹣23．∴2（a﹣3）2﹣23＝2（10+3﹣3）2﹣23＝﹣311．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）小明在解決問(wèn)題：已知a=12+3．求2a2﹣8∵a=12+3=2-3(2+∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)12（2）比較6-5＞（3）A題：若a=2+1，則a2﹣2a+3＝4B題：若a=13-1，則4a2﹣43a+7＝【分析】（1）根據(jù)分母有理化的方法化簡(jiǎn)即可；（2）先將16-5和17-6（3）A題：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，從而可得a2﹣2aB題：由a=13-1，可得a=3+12，從而可得2【解答】解：（1）1=2=50=52（2）1617∵6+∴6-故答案為：＞；（3）A題：∵a=2+∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案為：4；B題：∵a=1∴a=3∴2a-3=∴(2a-3)即4a∴4a∴4a2﹣43a+7＝5，故答案為：5．12．（2021秋?洪江市期末）閱讀并解答問(wèn)題：121312+3=……上面的計(jì)算過(guò)程叫做“分母有理化”，仿照上述計(jì)算過(guò)程，解答下列問(wèn)題：（1）將15（2）已知a=17+6，b=1（3）計(jì)算12【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行二次根式分母有理化計(jì)算；（2）先利用平方差公式進(jìn)行分母有理化計(jì)算，從而化簡(jiǎn)a和b的值，然后代入求值；（3）利用平方差公式進(jìn)行分母有理化計(jì)算，然后通過(guò)觀察數(shù)字變化的規(guī)律進(jìn)行分析計(jì)算．【解答】解：（1）原式==5-（2）a=7b=7∴a+b=7-6（3）原式=2-1=2-1+3=100＝10﹣1＝9．13．（2021春?石城縣期末）在二次根式中如：(2+3)(2-3)=1，(5+解決問(wèn)題：（1）4-7的有理化因式可以是4+7，323分母有理化得（2）計(jì)算：①已知x=3+13-1，y=3②11+【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①將x與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．②原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）4-7的有理化因式可以是4+32故答案為：4+7，3（2）①當(dāng)x=3+13y=3-13x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2+3+2-3）2﹣2×（2+3＝16﹣2×1＝14．②原式=2-1+14．（2022秋?駐馬店期中）閱讀材料：（一）如果我們能找到兩個(gè)正整數(shù)x，y使x+y＝a且xy＝b，這樣a+2b=(例如：3+22（二）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)還會(huì)碰上如23+1樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：2（1）化簡(jiǎn)“和諧二次根式”：①11+228=7+2；②7-43=（2）已知m=15+26，n=【分析】（1）根據(jù)閱讀材料（一）化簡(jiǎn)“和諧二次根式”即可；（2）先根據(jù)閱讀材料（一）化簡(jiǎn)m與n的分母，再根據(jù)閱讀材料（二）進(jìn)行分母有理化即可．【解答】（1）解：①11+228=②7-43=7-2故答案為：7+2；2-（2）解：∵m=15+26=∴m﹣n=3-2-（3m+n=3-2+（3∴m-nm+n15．（2022秋?永安市期中）在解決問(wèn)題“已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=∴a﹣2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：35（2）若a=12+1，求2a2+4a【分析】（1）把分子分母都乘以（5+（2）先分母有理化得到a=2-1，再移項(xiàng)平方得到a2+2a＝1，接著把2a2+4a﹣1變形為2（a2+2a）﹣【解答】解：（1）35（2）∵a=12∴a+1=2∴（a+1）2＝2，即a2+2a+1＝2，∴a2+2a＝1，∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×1﹣1＝1．16．（2022秋?儀征市期中）閱讀下面材料，回答下列問(wèn)題：構(gòu)造法是依據(jù)問(wèn)題的條件和結(jié)論給出的信息，把問(wèn)題做適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚瑯?gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，從而疏通解題思路的方法．構(gòu)造方程是常用的一種構(gòu)造方法，它能使得問(wèn)題被簡(jiǎn)化，得以迅速解決．材料：已知x=5+212分析：這道題如果將代數(shù)式化簡(jiǎn)，再直接將x代入求值比較困難，觀察x的值，發(fā)現(xiàn)x=5+212=-(-5)+(-5)2-4×1×12×1，對(duì)比一元二次方程求根公式x=-b±b2-4ac2a，不難發(fā)現(xiàn)x是方程x2﹣5x+1＝0的根，所以x2＝（1）以2，﹣3為根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0；（2）已知x=-6+（3）求代數(shù)式(1+【分析】（1）寫出一個(gè)滿足條件的方程即可；（2）x是方程x2+6（3）設(shè)x=1+1-4a2，知x是方程x2﹣x+a＝0的根，可得x2﹣x【解答】解：（1）以2，﹣3為根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0，故答案為：2（x﹣2）（x+3）＝0，（2）∵x=-∴x=-∴x是方程x2∴x2∴-=-x(x=-x?(-1)-x-6=-6（3）設(shè)x=1+∴(1+∵x=1+∴x是方程x2﹣x+a＝0的根，∴x2﹣x＝﹣a，∴x3﹣x2+ax﹣2＝x（x2﹣x）+ax﹣2＝﹣ax+ax﹣2＝﹣2．17．（2022秋?市中區(qū)期中）觀察下列一組等式，解答后面的問(wèn)題：（2+1）（2-1）＝1，（3+2）（3-2）＝1，（4+3）（4-（1）根據(jù)上面的規(guī)律：①16+5=②3-23+2=（2）計(jì)算：（12+1+1（3）若a=12+1，則求a3﹣4a2﹣2【分析】（1）①根據(jù)平方差公式得出答案即可；②先分母有理化，再求出答案即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的乘法法則和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）求出a的值，再求出a2的值，再代入多項(xiàng)式a3﹣4a2﹣2a+1，最后根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）①16故答案為：6-②3=(=3-2＝5﹣26，故答案為：5﹣26；（2）（12+1+1＝（2-1+3-2+???＝（2022-1）×（2022+＝（2022）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a=12∴a2＝（2-1）2＝2﹣22+1＝3﹣2∴a3﹣4a2﹣2a+1＝（3﹣22）×（2-1）﹣4×（3﹣22）﹣2×（2-1＝32-3﹣4+22-12+82-＝112-1618．（2022秋?昌平區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個(gè)二次根式，除數(shù)是一個(gè)整式時(shí)，求得的商就會(huì)出現(xiàn)類似ba的形式，我們把形如ba的式子稱為根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2（2）寫出根分式x-1x-2中x的取值范圍x≥1且x≠2（3）已知兩個(gè)根分式M=x2-6x+7①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一個(gè)整數(shù)，且x為整數(shù)，請(qǐng)直接寫出x的值：1．【分析】（1）根據(jù)根分式的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)二次根式的定義，分式有意義的條件進(jìn)行分析即可；（3）①對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求解即可；②對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合分式有意義的條件及二次根式的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）①aa②3x+1③a2故答案為：③；（2）由題意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故x的取值范圍是：x≥1且x≠2；故答案為：x≥1且x≠2；（3）當(dāng)M=x2-6x+7①M(fèi)2﹣N2＝1，（x2-6x+7x-2）2﹣（2x-1x-2）x2x2解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是原方程的解；②M2+N2＝（x2-6x+7x-2）2+（=x=x=(x-2＝1+2∵M(jìn)2+N2是一個(gè)整數(shù)，且x為整數(shù)，∴2(x-2∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1符合題意，故答案為：1．19．（2022秋?隆昌市校級(jí)月考）【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如23+1一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我們可以把a(bǔ)+b和ab看成是一個(gè)整體，令x＝a+b，y＝ab，則a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．（1）計(jì)算：13（2）m是正整數(shù)，a=m+1-mm+1+m，b=m+1+mm+1-m且2（3）已知15+x2-【分析】（1）先把每一個(gè)二次根式進(jìn)行分母有理化，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先利用分母有理化化簡(jiǎn)a，b，從而求出a+b＝4m+2，ab＝1，然后根據(jù)已知可得a2+b2＝98，再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）1=3-1(=3-12=12×（3-1=2023（2）∵a=m+1-m∴a=(m+1-m)b=(m+1+m)∴a+b＝（m+1-m）2+（m+1+m）2＝2（2m+1）＝ab＝（m+1-m）2（m+1+m）2＝[（m+1-m）（m+1+m）]2＝（m∵2a2+1823ab+2b2＝2019，∴2a2+1823+2b2＝2019，∴2a2+2b2＝196，∴a2+b2＝98，∴（a+b）2﹣2ab＝98，∴（4m+2）2﹣2＝98，∴（4m+2）2＝100，∴4m+2＝±10，∴4m+2＝10或4m+2＝﹣10，∴m1＝2，m2＝﹣3（不合題意，舍去），∴m的值為2；（3）∵15+x∴（15+x2-26-x∴15+x2﹣215+x226-x2+26∴15+x2∴（15+x2＝（15+x2-26-＝12+4×20＝1+80＝81，∵15+x2≥0，∴15+x220．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中的常見描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：（2+3）（2-3）＝1，（5+2）（5-2）＝3，它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：1解決問(wèn)題：（1）4-7的有理化因式可以是4+7，232分母有理化得（2）計(jì)算：①11+2+12+3+13+4+?11999【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義確定4-7的有理化因式，把232（2）①先分母有理化，然后合并即可；②先利用分母有理化得到x＝2-3，y＝2+3，再計(jì)算出x+y＝4，xy＝1，然后利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2【解答】解：（1）4-7有理化因式可以是4+23故答案為：4+7，2（2）①原式=2-1+=2000＝205-1②∵x=3-13+1=(3-1∴x+y＝4，xy＝1，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×1＝14．21．（2022秋?新城區(qū)校級(jí)月考）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些二次根式的被開方數(shù)是二次三項(xiàng)式，而且這些二次三項(xiàng)式正好是完全平方式的結(jié)構(gòu)，于是就可以利用二次根式的性質(zhì)：a2比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴當(dāng)x+1≥0即x≥﹣1時(shí)，原式＝x+1；當(dāng)x+1＜0即x＜﹣（1）仿照上面的例子，請(qǐng)你嘗試化簡(jiǎn)m2（2）判斷甲、乙兩人在解決問(wèn)題：“若a＝9，求a+1-2a+甲的答案：原式=a+(1-a)乙的答案：原式=a+(1-a)（3）化簡(jiǎn)并求值：|x-1|+4-4x+x2【分析】（1）仿照上面的例子，分類討論即可化簡(jiǎn)；（2）根據(jù)a＝9，得1﹣a＜0，即可判斷出答案；（3）根據(jù)x=5，得x﹣1＞0，2﹣x＜0【解答】解：（1）m=(m-＝|m-12∴當(dāng)m-12≥0即m≥1當(dāng)m-12＜0即m＜1（2）∵a＝9，∴1﹣a＜0，∴原式=a+(1-a)∴乙的答案正確．（3）∵x=5∴x﹣1＞0，2﹣x＜0，∴|x-1|+＝x﹣1+＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＝25-322．（2022春?東莞市期中）閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號(hào)．例如：3+22=3+2×1×解決問(wèn)題：（1）在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：14+65=(①)+2×3×5+(②)=(③)2+2×3×5+(④)2=(3+5)2=⑤，①：9，②：5（2）根據(jù)上述思路，試將28-103【分析】（1）根據(jù)閱讀材料將根式內(nèi)的數(shù)配成完全平方的形式去一層根號(hào)即可；（2）根據(jù)閱讀材料將根式內(nèi)的數(shù)配成完全平方的形式去一層根號(hào)即可．【解答】解：（1）14+6=9+2×3×=3=(3+＝3+5故答案為：①：9，②：5，③：3，④：5，⑤：3+5（2）原式==5=(5-＝5-323．（2021秋?赫山區(qū)期末）“分母有理化”是我們常見的一種化簡(jiǎn)的方法．如：2+12-1除此之外，我們也可以平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)．如：化簡(jiǎn)2+3解：設(shè)x=2+3-2-3，易知2+由于x2＝（2+3-2-3）2＝2+3+解得x=2，即根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)：3-22【分析】根據(jù)題目提供的方法先計(jì)算3-5-3+【解答】解：設(shè)x=3-5-3+5，易知3-由于x2＝（3-5-3+5）2＝3-5+所以x=-2，即3-所以原式=＝17﹣122＝17﹣132．24．（2018秋?天河區(qū)校級(jí)期中）小馬在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)含根號(hào)的式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2，（其中a、b、m、n均為正整數(shù)）則有a+b2=m2+2mn2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣，小馬找到了把部分a+b2的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決問(wèn)題：（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b得，a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：13+43=（1+23）2（3）設(shè)x=3+2，試用含有x【分析】（1）已知等式右邊利用完全平方公式展開，表示出a與b即可；（2）令m＝1，n＝2，確定出a與b的值即可；（3）先把已知條件變形得到x-2=3，再兩邊平方得到x2﹣22x+2＝3，然后用x【解答】解：（1）∵（m+n3）2＝m2+2mn3+3n2而a+b3=（m+n3）2∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案為m2+3n2，2mn；（2）令m＝1，n＝2，則a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，∴13+43=（1+23）2故答案為13，4，1，2；（3）∵x=3∴x-2∴（x-2）2＝3∴x2﹣22x+2＝3，∴2=25．（2020春?安慶期中）閱讀材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較7-6和6-5的大小可以先將它們分子有理化如下：因?yàn)?+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2+x-2有最小值2．所以y的最大值是利用上面的方法，完成下述兩題：（1）比較15-14和（2）求y=x+1-【分析】（1）先將兩數(shù)變形為115+14、114+（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得出x≥1，據(jù)此知x+1+x-1有最小值2，從而得到y(tǒng)【解答】解：（1）15-14-而15＞∴15+∴15-（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y=x+1當(dāng)x＝1時(shí)，分母x+1+x-1有最小值∴y=2x+1+x-126．先閱讀下面的材料．再解答下面的問(wèn)題．∵（a+b）（a-b）＝∴a﹣b＝（a+b）（特別地．（12+11）×（12-∴112當(dāng)然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，故1這種變形也是將分母有理化．利用上述的思路方法解答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：13-（2）計(jì)算：54-【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化簡(jiǎn)后合并同類二次根式即可；（2）先把每一部分分母有理化，化簡(jiǎn)后合并同類二次根式即可．【解答】解：（1）原式=＝3+8-（8+7）+7＝3﹣2＝1；（2）原式=＝4+11-（11+7＝4+11-＝1．27．（2019秋?郫都區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2b請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求（3）化簡(jiǎn)：7-21+【分析】（1）利用完全平方公式展開得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，從而可用m、n表示a、b（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為m2+6n2，2mn；（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+45則7-=7-2=6-2=(=5-28．（2020秋?吳江區(qū)期中）像2?2=2；(3（1）12（2）2+1勤奮好學(xué)的小明發(fā)現(xiàn)：可以用平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)．（3）化簡(jiǎn)：3+5解：設(shè)x=3+5-3-5，易知3+由：x2＝3+5+3-5-2(3+即3+5請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：（1）23-35的有理化因式是23+3（2）化簡(jiǎn)：33（3）化簡(jiǎn)：6-33【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；（2）原式各式分母有理化，計(jì)算即可求出值；（3）設(shè)x=6-33-6+33，判斷出x【解答】解：（1）23-35的有理化因式是23+3故答