極坐標參數方程題型總結

極坐標參數方程專題訓練知識要點〔一〕曲線的參數方程的定義：在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M〔x，y〕都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x、y之間關系的變數叫做參變數，簡稱參數．〔二〕常見曲線的參數方程如下：1．過定點〔x0，y0〕，傾角為α的直線：〔t為參數〕其中參數t是以定點P〔x0，y0〕為起點，對應于t點M〔x，y〕為終點的有向線段PM的數量，又稱為點P與點M間的有向距離．根據t的幾何意義，有以下結論．eq\o\ac(○,1)設A、B是直線上任意兩點，它們對應的參數分別為tA和tB，那么＝＝．eq\o\ac(○,2)線段AB的中點所對應的參數值等于．③設A、B是直線上任意兩點，它們對應的參數分別為tA和tB，那么P到A，B兩點距離之積2．中心在〔x0，y0〕，半徑等于r的圓：〔為參數〕3．中心在原點，焦點在x軸〔或y軸〕上的橢圓：〔為參數〕〔或〕中心在點〔x0,y0〕焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數方程4．頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：〔t為參數，p＞0〕直線的參數方程和參數的幾何意義過定點P〔x0，y0〕，傾斜角為的直線的參數方程是〔t為參數〕．〔三〕極坐標系1、定義：在平面內取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向〔通常取逆時針方向〕。對于平面內的任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。2、極坐標有四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位及它的方向．極坐標與直角坐標都是一對有序實數確定平面上一個點，在極坐標系下，一對有序實數、對應惟一點P(，)，但平面內任一個點P的極坐標不惟一．一個點可以有無數個坐標，這些坐標又有規(guī)律可循的，P(，)〔極點除外〕的全部坐標為(,＋)或〔，＋〕，(Z)．極點的極徑為0，而極角任意?。僭O對、的取值范圍加以限制．那么除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的．即一個點的極坐標是不惟一的．3、極坐標與直角坐標互化公式：1.極坐標系的極點與直角坐標系的坐標原點重合，極軸與軸的非負半軸重合.曲線的參數方程為為參數〕，曲線的極坐標方程為問曲線是否相交，假設相交請求出公共弦所在的直線的方程，假設不相交，請說明理由.2.在直角坐標系中，直線的參數方程為〔為參數〕，在極坐標系〔與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸〕中，圓的方程為?！并瘛城髨A的直角坐標方程；〔Ⅱ〕設圓與直線交于點。假設點的坐標為〔3，〕，求。3.P為半圓C：〔為參數，〕上的點，點A的坐標為〔1,0〕，O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為?！?1\*ROMANI〕以O為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；〔=2\*ROMANII〕求直線AM的參數方程。4.直線C1〔t為參數〕，C2〔為參數〕，〔Ⅰ〕當=時，求C1與C2的交點坐標；〔Ⅱ〕過坐標原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當變化時，求P點的軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線。5.在平面直角坐標系中，圓C的參數方程為，以為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，寫出直線的直角坐標方程和圓C的普通方程；求圓C截直線L所得的弦長。6.直線L經過點〔1〕寫出直線L的參數方程；〔2〕設L與圓相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積。7.曲線化為直角坐標方程，化為普通方程；假設M為曲線與X軸的交點，N為曲線上一動點，求的最大值。8.曲線C：〔t為參數〕，C：〔為參數〕。〔1〕化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；〔2〕假設C上的點P對應的參數為，Q為C上的動點，求中點到直線〔t為參數〕距離的最小值。9.在極坐標系中，圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a