廣東省五校（華附省實深中廣雅六中）2022-2023學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題含解析

2022學年上學期高二期末限時訓練試卷數(shù)學命題學校：廣東實驗中學命題人：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.開考前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自已的校名、姓名、班級、考號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題(共60分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1集合，，則()A. B. C. D.2.某地天氣預報中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機模擬的方法估計未來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機整數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2或3時，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個隨機數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機數(shù)：522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325則據(jù)此估計該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為()A. B. C. D.3.設復數(shù)滿足，則在復平面上對應的圖形是()A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，將去掉一項后，剩下三項依次為等比數(shù)列的前三項，則()A. B. C. D.5.圓內(nèi)接四邊形中，，是圓的直徑，則()A.12 B. C.20 D.6.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為()A.11 B.12 C.7 D.67.已知過橢圓左焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸交于點，點，是線段的三等分點，則該橢圓的標準方程是()A. B. C. D.8.定義在的函數(shù)滿足：對，，且，成立，且，則不等式的解集為()A. B. C. D.二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)9.已知雙曲線(，)的右焦點為，在線段上存在一點，使得到漸近線的距離為，則雙曲線離心率的值可以為()A. B.2 C. D.10.已知正實數(shù)，滿足，下列說法正確的是()A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值為 D.的最小值為11.已知正方體的邊長為2，為正方體內(nèi)(包括邊界)上的一點，且滿足，則下列說正確的有()A.若為面內(nèi)一點，則點的軌跡長度為B.過作面使得，若，則的軌跡為橢圓的一部分C.若，分別為，的中點，面，則的軌跡為雙曲線的一部分D.若，分別為，的中點，與面所成角為，則的范圍為12.已知函數(shù)，，則()A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)為奇函數(shù)D.為函數(shù)函數(shù)圖像的對稱軸第二部分非選擇題(共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知首項為2的數(shù)列對滿足，則數(shù)列的通項公式______.14.已知直線的方向向量為，點在直線上，則點到直線的距離為______.15.函數(shù)(，)的部分圖象如圖所示，直線()與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，，，則______.16.已知實數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是________．四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.在數(shù)列中，，點在直線x-y+3=0上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)為等比數(shù)列，且，記為數(shù)列的前n項和，求.18.數(shù)學家歐拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若的頂點A(2,0)，B(0,4)，且的歐拉線的方程為，記外接圓圓心記為M.求：(1)圓M的方程；(2)已知圓N：，過圓M和圓N外一點P分別作兩圓的切線，與圓M切于點A，與圓N切于點B，且，求P點的軌跡方程.19.已知平面內(nèi)一動點到定點的距離比它到軸的距離多1.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作直線與曲線交于(點在點左側(cè))，求的最小值.20.已知正項數(shù)列滿足，且，設.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.21.已知四棱錐中，，，，，，面面，.(1)求證：；(2)求面與面所成的二面角的余弦值.22.換元法在數(shù)學中應用較為廣泛，其目在于把不容易解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解過程可以是：設，，其中，則；當時取得最小值16，這種換元方法稱為“對稱換元”.已知平面內(nèi)一動點到兩個定點，的距離之和為4.(1)請利用上述方法，求點的軌跡方程；(2)過軌跡與軸負半軸交點作斜率為的直線交軌跡于另一點，連接并延長交于點，若，求的值. 2022學年上學期高二期末限時訓練試卷數(shù)學命題學校：廣東實驗中學命題人：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.開考前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自已的校名、姓名、班級、考號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題(共60分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合,再解一元二次不等式求出集合，即可求解.【詳解】由得解得或，所以或，又由解得，所以，所以，故選:D.2.某地天氣預報中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機模擬的方法估計未來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機整數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2或3時，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個隨機數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機數(shù)：522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325則據(jù)此估計該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件找出三天中恰有兩天下雪的隨機數(shù)，再按照古典概型求概率.【詳解】20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9組隨機數(shù)，所以.故選：B3.設復數(shù)滿足，則在復平面上對應的圖形是()A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線【答案】A【解析】【分析】設，根據(jù)模長相等列出方程，得到在復平面上對應的圖形是兩條直線.【詳解】設，則，可得：，化簡得：，即或，則在復平面上對應的圖形是兩條直線.故選：A4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，將去掉一項后，剩下三項依次為等比數(shù)列的前三項，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差及通項公式，再確定等比數(shù)列的前三項作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，即有公差，等差數(shù)列的通項，則，顯然去掉，成等比數(shù)列，則數(shù)列的首項為，公比，所以.故選：C5.圓內(nèi)接四邊形中，，是圓的直徑，則()A.12 B. C.20 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義即求.【詳解】由題知，，∴.故選：B.6.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為()A.11 B.12 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得，因為，故可得，即，所以，可得，又因為，故可得，所以數(shù)列的前6項和有最大值，且，又因為，，故取得最小正值時n等于.故選：A.7.已知過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸交于點，點，是線段的三等分點，則該橢圓的標準方程是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨設在第一象限，由橢圓的左焦點，點，是線段的三等分點，易得，代入橢圓方程可得，又，兩式相結(jié)合即可求解【詳解】不妨設在第一象限，由橢圓的左焦點，點，是線段的三等分點，則為的中點，為中點，所以，所以，則即，所以，，將點坐標代入橢圓方程得，即，又，所以，，所以橢圓的標準方程是.故選：B8.定義在的函數(shù)滿足：對，，且，成立，且，則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由且，，則兩邊同時除以可得，令，則在單調(diào)遞增，由得且，即解得，故選：D.二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)9.已知雙曲線(，)的右焦點為，在線段上存在一點，使得到漸近線的距離為，則雙曲線離心率的值可以為()A. B.2 C. D.【答案】AB【解析】【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離列出不等式，得到，判斷出AB正確.【詳解】的一條漸近線方程為，設，，，整理得：，因為，所以，即，解得：，因為，，，，所以AB正確，CD錯誤.故選：AB10.已知正實數(shù)，滿足，下列說法正確是()A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷A,B,將代入，化簡，利用基本不等式求解可判斷C，利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.【詳解】對于A,因為，即，解得，又因為正實數(shù)，，所以，則有，當且僅當時取得等號，故A錯誤；對于B，，即，解得(舍)，當且僅當時取得等號，故B正確；對于C,由題可得所以，解得，，當且僅當即時取得等號，故C正確；對于D,，當且僅當時取得等號，故D正確，故選:BCD.11.已知正方體的邊長為2，為正方體內(nèi)(包括邊界)上的一點，且滿足，則下列說正確的有()A.若為面內(nèi)一點，則點的軌跡長度為B.過作面使得，若，則的軌跡為橢圓的一部分C.若，分別為，的中點，面，則的軌跡為雙曲線的一部分D.若，分別為，的中點，與面所成角為，則的范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對于A項，轉(zhuǎn)化為，得到的軌跡再求解.對于BC項，根據(jù)平面截圓錐所得的曲線的四種情況解決.對于D項，建立空間直角坐標系解決.【詳解】對于A項，正方體中，平面，若為面內(nèi)一點，所以.又因為，所以，在中，所以故點的軌跡是以為圓心為半徑的個圓弧，所以點的軌跡長度為故A正確.對于B項，因為，即為定值，線段也為定值，取的中點，故點的軌跡是以為軸線，為母線的圓錐的側(cè)面上的點.設平面即為下圖的圓面，過點作的平行線交圓錐底面于點，交于點，從圖形可得，易得，故的軌跡為橢圓的一部分，所以B正確.對于C項,平面與軸線所成的角即為平面與所成的角，是平面與軸線所成的角，在中，而母線與軸線所成的角為，在中，即母線與軸線所成的角與截面與軸線所成的角，所以點的軌跡應為拋物線，故C不正確.對于D項,以為原點，分別為軸的非負半軸建立如圖所示的坐標系，連接并延長交上底面于點，設，則，則，設面的法向量為所以所以與面所成角的正弦值為又因為所以，故D正確.故選：ABD【點睛】用平面去截圓錐所得的曲線可能為，圓、橢圓、拋物線、雙曲線.截面與圓錐軸線成角等于軸線與母線所成的角，截面曲線為拋物線；截面與圓錐軸線成角大于軸線與母線所成的角，截面曲線為橢圓；截面與圓錐軸線成角小于軸線與母線所成的角，截面曲線為雙曲線；截面與軸線垂直得到截面曲線為圓.12.已知函數(shù)，，則()A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)為奇函數(shù)D.為函數(shù)函數(shù)圖像的對稱軸【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的的奇偶性定義可判斷A,B,C，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，，定義域為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B,定義域為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C,，定義域為，設，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對于D,設定義域為，，所以為函數(shù)函數(shù)圖像對稱軸，故D正確，故選:CD.第二部分非選擇題(共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知首項為2的數(shù)列對滿足，則數(shù)列的通項公式______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造，得到是等比數(shù)列，求出通項公式，進而得到.【詳解】設，即，故，解得：，故變形為，，故是首項為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：14.已知直線的方向向量為，點在直線上，則點到直線的距離為______.【答案】【解析】【分析】求出與直線的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點到直線的距離．【詳解】，，所以，點到的距離為．故答案為：．15.函數(shù)(，)的部分圖象如圖所示，直線()與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，，，則______.【答案】【解析】【分析】由圖象求得參數(shù)，由交點及余弦函數(shù)的對稱性結(jié)合即可求值【詳解】由圖可知，，即，則，解得，，故.則，最小正周期為.直線()與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，，，則由圖可知，.∴.故答案為：16.已知實數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是________．【答案】.【解析】【分析】討論得到其圖象是橢圓，雙曲線的一部分組成圖形，根據(jù)圖象可得的取值范圍，進而可得的取值范圍.【詳解】因為實數(shù)滿足，當時，方程為的圖象為雙曲線在第一象限的部分；當時，方程為的圖象為橢圓在第四象限的部分；當時，方程為的圖象不存在；當時，方程為的圖象為雙曲線在第三象限的部分；在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象如圖所示，表示點到直線的距離的倍根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為，令，即，與雙曲線漸近線平行，觀察圖象可得，當過點且斜率為的直線與橢圓相切時，點到直線的距離最大，即當直線與橢圓相切時，最大，聯(lián)立方程組，得，，解得，又因為橢圓的圖象只有第四象限的部分，所以，又直線與的距離為，故曲線上的點到直線的距離大于1，所以綜上所述，，所以，即，故答案為：.四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.在數(shù)列中，，點在直線x-y+3=0上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)為等比數(shù)列，且，記為數(shù)列的前n項和，求.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由條件根據(jù)等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項公式求其通項；(2)由條件求數(shù)列的首項和公比，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求.【小問1詳解】因為點在直線上，所以，即，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，因為，所以，故，所以；【小問2詳解】設數(shù)列的公比為，由(1)知，所以，所以，所以.,18.數(shù)學家歐拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若的頂點A(2,0)，B(0,4)，且的歐拉線的方程為，記外接圓圓心記為M.求：(1)圓M的方程；(2)已知圓N：，過圓M和圓N外一點P分別作兩圓的切線，與圓M切于點A，與圓N切于點B，且，求P點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由A(2,0)，B(0,4)，可知AB的中垂線方程為，將其與歐拉線聯(lián)立，可得外心坐標，后可得外接圓M的方程；(2)設，由題有，，后可得答案.【小問1詳解】因，則AB的中點為，又，則AB的中垂線方程為，將其與歐拉線方程聯(lián)立有，解得，故的外心為，則外接圓半徑為，故圓M的方程為.【小問2詳解】設，由題有，.因，則.化簡得：所以點的軌跡方程為：.19.已知平面內(nèi)一動點到定點的距離比它到軸的距離多1.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作直線與曲線交于(點在點左側(cè))，求的最小值.【答案】(1)或.(2)20【解析】【分析】(1)設，得即可解決；(2)設直線為，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理得，由基本不等式解決即可.【小問1詳解】由題知，動點到定點的距離比它到軸的距離多1，設，所以，當時，，化簡得，當時，，化簡得，所以點的軌跡方程為，或..【小問2詳解】由題得，過點作直線與曲線交于(點在點左側(cè))，所以由(1)得，設直線為，將代入中得，所以，即，，即，所以當且僅當，即時，取等號，所以所以的最小值為20.20.已知正項數(shù)列滿足，且，設.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用化簡可得數(shù)列是以為公比為首項的等比數(shù)列，求出可得，再利用累乘法求通項公式可得答案；(2)求出利用裂項相消求和可得答案.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，所以，且，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，即，即，可得，，所以時，，即，而此時時，，所以；【小問2詳解】由(1)，所以，所以，所以.21.已知四棱錐中，，，，，，面面，.(1)求證：；(2)求面與面所成的二面角的余弦值.【答案】(1