考研數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)二模擬試卷442-真題(含答案與解析)-交互

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷442(總分56,做題時間90分鐘)1.選擇題選擇題下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求。1.

設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x→0時，f(x)與xm為同階無窮小．又設(shè)當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)=∫0xnf(t)dt與xk為同階無窮小，其中m與n為正整數(shù)．則k=()A

mn+n．B

n+m．C

m+n．D

mn+n－1．

分值:2答案:A解析：當(dāng)x→0時，f(x)與xm為同階無窮小，從而知存在常數(shù)A≠0，當(dāng)x→0時，f(x)～Axm，從而，f(xn)～Axm．于是由題意可知，上式為不等于零的常數(shù)，故k=mn+n．2.

設(shè)φ(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，f(x)=|x－a|φ(x)．則“φ(x)在x=a處連續(xù)”是“f(x)在x=a處可導(dǎo)”的()A

必要條件而非充分條件．B

充分條件而非必要條件．C

充分必要條件．D

既非充分又非必要條件．

分值:2答案:D解析：下面舉兩個例子說明應(yīng)選D．①設(shè)φ(x)在x=0處連續(xù)，但f(x)=|x|φ(x)在x=0處不可導(dǎo)的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)．②設(shè)φ(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義，但在x=0處不連續(xù)，而f(x)=|x|φ(x)在x=0處卻可導(dǎo)的例子如下：設(shè)φ(x)在x=0處不連續(xù)，但=－∞＜x＜+∞．所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，fˊ(0)=1．3.

sin(x2+y2)dy=()A

(cos2－1)．B

(－cos2+1)．C

(cos2+1)．D

(－cos2－1)．

分值:2答案:B解析：積分區(qū)域D的邊界曲線為y=|x|與，其交點(diǎn)為(1，1)與(－1，1)．化為極坐標(biāo)：4.

設(shè)f(x)在x=0處存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，fˊ(0)=0，f″(0)≠0．則()A

B

C

D

分值:2答案:C解析：先作積分變量代換，令x－t=u，則由二階導(dǎo)數(shù)定義，5.

設(shè)下述命題成立的是()A

f(x)在[－1，1]上存在原函數(shù)．B

gˊ(0)存在．C

g(x)在[－1，1]上存在原函數(shù)．D

F(x)=∫－1xf(t)dt在x=0處可導(dǎo)．

分值:2答案:C解析：A不正確．f(x)在點(diǎn)x=0處具有跳躍間斷點(diǎn)．函數(shù)在某點(diǎn)具有跳躍間斷點(diǎn)．那么往包含此點(diǎn)的區(qū)間上．該函數(shù)必不存在原函數(shù)．B不正確．按定義容易知道gˊ(0)不存存．C正確．g(x)為[－1，1]上的連續(xù)函數(shù)，故存在原函數(shù)．D不正確．可以具體計(jì)算出F(x)，容易看Fˊ－(0)=0．Fˊ+(0)=0．故Fˊ(0)不存在．6.

設(shè)F(u，v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x，y)由方程所確定．又設(shè)題中出現(xiàn)的分母不為零，則()A

0．B

z．C

D

1．

分值:2答案:B解析：由題意，得7.

設(shè)ξ1(1，－2，3，2)T，ξ2(2，0，5，－2)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列向量中是齊次線性方程組Ax=0的解向量的是()A

α1=(1，－3，3，3)T．B

α2=(0，0，5，－2)T．C

α3=(－1，－6，－1，10)T．D

α4=(1，6，1，0)T．

分值:2答案:C解析：已知Ax=0的基礎(chǔ)解系為ξ1，ξ2，則αi，i=1，2，3，4是Ax=0的解向量〈=〉αi可由ξ1，ξ2線性表出〈=〉非齊次線性方程組ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐個判別αi較麻煩，合在一起作初等行變換進(jìn)行判別較方便．顯然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2|α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α1，α2，α3是Ax=0的解向量．8.

設(shè)α=(1，2，3)T，β1=(0，1，1)T，β2=(－3，2，0)T，β3=(－2，1，1)T，β4=(－3，0，1)T，記Ai=αβiT，i=1，2，3，4．則下列矩陣中不能相似于對角矩陣的是()A

A1．B

A2．C

A3．D

A4．

分值:2答案:D解析：因Ai=αβiT≠O，r(Ai)=r(αβiT)≤r(α)=1，i=1，2，3，4．故λ=0至少是3階方陣Ai(i=1，2，3，4)的二重特征值．則Ai(i=1，2，3，4)的第3個特征值分別是故知A4的特征值λ1=λ2=λ3=0，是三重特征值，但A4≠O，故A4不能相似于對角矩陣．應(yīng)選D．2.填空題1.

=______．

分值:2答案:正確答案：解析：2.

橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面s的面積=______．

分值:2答案:正確答案：解析：3.

曲線r=a(1+cosθ)(常數(shù)a>0)在點(diǎn)處的曲率k=______．

分值:2答案:正確答案：解析：將極坐標(biāo)方程r=a(1+cosθ)化成參數(shù)式：于是有代入由參數(shù)式表示的曲率公式：并經(jīng)較復(fù)雜但初等的運(yùn)算，得4.

在區(qū)間[0，1]上函數(shù)f(x)=nx(1－x)n(n為正整數(shù))的最大值記為M(n)，則=______．

分值:2答案:正確答案：e－1解析：f(x)=nx(1－x)n，fˊ(x)=n(1－x)n－n2x(1－x)n－1=n(1－x)n－1(1－x－nx)．令fˊ(x)=0，得由于f(0)=f(1)=0，f(x)>0(x∈(0，1))．在區(qū)間(0，1)內(nèi)求得唯一駐點(diǎn)所以f(x1)為最大值．所以5.

設(shè)函數(shù)f與g可微，z=f[xy，g(xy)+1nx]，則______．

分值:2答案:正確答案：fˊ2解析：由6.

設(shè)二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x1x2－x22+4x2x3－x32－2ax3x4+(a－1)2x42的規(guī)范形為y12+y22－y32；則參數(shù)a=______．

分值:2答案:正確答案：解析：f是四元二次型，由規(guī)范形知，其正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1，且有一項(xiàng)為零．故知其有特征值λ=0，故該二次型的對應(yīng)矩陣A有|A|=0．因故應(yīng)有a=．3.解答題解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1.

(1)設(shè)0＜x＜+∞，證明存在η，0＜η＜1，使(2)求出(1)中η關(guān)于x的具體函數(shù)表達(dá)式η=η(x)，并求出當(dāng)0＜x＜+∞時，函數(shù)η(x)的值域．

分值:2答案:

正確答案：(1)令由拉格朗日中值定理有f(z+1)－f(x)=fˊ(ξ)(x+1－x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(2)由上所以η(x)在區(qū)間(0，+∞)上嚴(yán)格單調(diào)增加．又所以η(x)的值域?yàn)椋?.

設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間[1，+∞)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足y(1)=及x2yˊ(x)+∫1x(2t+4)yˊ(t)dt+2∫1xy(t)dt=，求y(x)．

分值:2答案:

正確答案：由分部積分∫1x(2t+4)yˊ(t)dt=(2t+4)y(t)|1x－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)－6y(1)－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)+1－2∫1xy(t)dt．則原方程化簡為由一階線性微分方程通解公式，得通解再由初始條件故所求的特解為3.

設(shè)f(x，y)=max{IMG}}，1)，D={(x，y||x|≤y≤1}．求f(x，y)dσ．

分值:2答案:

正確答案：如圖所不，將D分成三塊．中間一塊為D3，左右兩塊分別記為D1與D2，則設(shè)n為正整數(shù)，f(x)=xn+x－1．4.

證明對于給定的n，f(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)xn；

分值:2答案:

正確答案：當(dāng)x∈(0，+∞)時，fˊ(x)=nxn－1+1>0，所以在區(qū)間(o，+∞)內(nèi)f(x)至多只有一個零點(diǎn)，又f(0)=－10，所以f(x)在(0，+∞)上存在唯一零點(diǎn)，記為xn，且xn∈(0，1)，此時f(xn)=0．5.

對于(I)中的xn，證明存在并求此極限．

分值:2答案:

正確答案：下面證數(shù)列{xn}單調(diào)增加．由xn+1n+1+xn+1－1=0與xnn+xn－1=0兩式相減，得xn+1n+1－xnn+(xn－1－xn)=0．但因0＜xn－1＜1，所以xn+1n＞xn+1n·xn+1=xn－1n－1，于是有0=xn+1n+1－xnn+(xn+1－xn)n+1n－xnn+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1)+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1+1)．上式第2個括號內(nèi)為正，所以xn+1－xn＞0，即數(shù)列{xn}嚴(yán)格單調(diào)增加且有上界1，所以用反證法，如果0＜a＜1，將1－xn=xn＜an兩邊令x→∞取極限，得1－a≤0，解得a≥1，與反證法的假設(shè)矛盾，所以a=1．證畢．6.

設(shè)f(u)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x>0，y>0時，，求z的表達(dá)式．

分值:2答案:

正確答案：記于是上式成為常微分方程其中C為任意常數(shù)．設(shè)當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)=∫－11|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．7.

若f(x)為偶函數(shù)，證明F(x)也是偶函數(shù)；

分值:2答案:

正確答案：因在區(qū)間[－1，1]上f(x)為連續(xù)的偶函數(shù)．則所以F(x)也是偶函數(shù)．8.

若f(x)>0(－1≤x≤1)，證明曲線y=F(x)在區(qū)間[－1，1]上是凹的．

分值:2答案:

正確答案：F(x)=∫－1x(x－t)f(t)dt+∫x1(t－x)f(t)dt=x∫－1xf(t)dt－∫－1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt－x∫x1f(t)dtFˊ(x)=∫－1xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫x1f(t)dt+xf(x)=∫－1xf(t)dt－∫x1f(t)dt，F(xiàn)″(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0．所以曲線y=F(x)在區(qū)間[－1，1]上是凹的．9.

(1)計(jì)算∫0nπ|sint|dt，其中n為正整數(shù)；(2)求∫0nπ|sint|dt．

分值:2答案:

正確答案：(1)(2)設(shè)n≤x＜n+1，有nπ≤xπ＜(n+1)π．于是當(dāng)x→∞時，n→∞，由夾逼定理得設(shè)A3×3=(α1，α2，α3)，方程組Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常數(shù)．證明：10.

方程組(α1，α2)x=β有唯一解，并求該解；

分值:2答案:

正確答案：由題設(shè)條件(α1，α2，α3)x=β有通解k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，知r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，(*)α1+2α2－3α3=0．(**)β=(k+2)α1+(2k－1)α2+(－3k+1)α3．(***)由(**)式得α3=(α1+2α2)，知α1，α2線性無關(guān)(若α1，α2線性相關(guān)，又α3=(α1+2α2)，得r(α1，α2，α3)=1．這和(*)式矛盾)．由(*)式知α1，α2是向量組α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的極大線性無關(guān)組，從而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程組(α1，α2)x=β有唯一解．由(***)式取α3的系數(shù)－3k+1=0，即取，即(α1，α2)x=β的唯一解為．11.

方程組(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有無窮多解，并求其通解．

分值:2答案:

正確答案：因r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，故方程組(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有無窮多解，且其通解形式為k1ξ1+k2ξ2+η*，其中ξ1，ξ2為對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系η*為方程組的特解，k1，k2為任意常數(shù)．由(**)式在(***)式中取k=0，有故方程組(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β的通解為k1ξ1+k2ξ2+η*=k1ξ1+k2(η1－η2)+η1=k1