2017-2018學年高中數學 第二章 平面向量 2

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2.2平面向量的線性運算

第1課時向量加法運算及其幾何意義

預

核心必知----自讀教材找關鍵習

導

問題思考——辨析問題解疑惑

引

I

課前反思----鎖定目標穩(wěn)啟程區(qū)

shutizhugan自主學習糕理主干

［核心必知］

1.預習教材，問題導入

根據以下提綱，預習教材P8。?陣3的內容，回答下列問題.

(1)觀察教材取圖2.2—1,思考：某對象從4點經8點到C點，兩次位移通、反的

結果是什么？與從力點直接到C點的位移有什么關系？

提示：從4點經8點到，點，兩次位移血、戲的結果是位移而7,與從4點直接到

。點的位移市;相等.

(2)觀察教材心“探究”的內容，思考：

①力戶對橡皮條產生的效果，與力E與何共同產生的效果相同嗎？

提示：產生的效果相同.

②力尸與力向、月有怎樣的關系？

提示：力—是亂與何的合力.力尸在以一、/為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且

大小等于平行四邊形對角線的長.

(3)數的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，戶可以認為是E與凡的什么運算？

提示：一可以認為是⑸與尼的和，即位移、力的合成可看作向量的加法.

2.歸納總結，核心必記

(1)向量加法的定義

求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.

(2)向量加法的運算法則

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已知非零向量a、b,在平面內任取一點4作標=&BC=b,則向量近

叫做a與6的和，記作a+b,EPa+b=AB+

三角形

一

法則

向AaB

量這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

求對于零向量與任一向量a的和有a+0=0+a=a.

和

的

法

則以同一點。為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作。力陽則以。為起點的對

平行四

邊形法角線3就是a與b的和.我們把這種作向量和的方法叫做向量加法的壬

則行四邊形法則.

Ba二

a

Or/

(3)向量加法的運算律

①交換律：a+b=b+a；

②結合律：a+6+c=(a+Z>)+c=a+(6+c).

［問題思考］

(1)兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？

提示：因為向量既有大小，又有方向，所以兩個向量相加不是模的相加.兩個向量相加

應滿足三角形法則或平行四邊形法則.

(2)當兩非零向量a,6共線時，向量加法的平行四邊形法則還能用嗎？三角形法則呢？

提示：平行四邊形法則不能用，但三角形法則可用.

(3)式子鵬+兩=0正確嗎？

提示:不B+麗的和為零向量.即不B+明-().0不能

寫成0.敵式孑+=O不正確.

［課前反思］

(1)向量加法的定義：_________________________________________________

(2)求向量和的三角形法則：

(3)求向量和的平行四邊形法則：

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(4)向量加法的交換律：........................................................

?

(5)向量加法的結合律：.......................................................

知識突破一能力提升

II

重點知識拔高知識

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

師生共研突破重難skisHenggongyantupozhongnan

知識點1求作向量的和K重點知識'講透練會】I

［思考1］求作兩個向量和的方法有哪些？

提示：三角形法則和平行四邊形法則.

［思考2］三角形法則和平行四邊形法則的適用條件有什么不同？

名師指津：(1)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩

個不共線的向量求和.

(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的.

如圖所示，ACAB+AD(平行四邊形法則)，

DC

N

AB

又,.友=福

...前=瓦5+反(三角形法則).

(3)在使用三角形法則時，應注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時應注意范圍

的限制及和向量與兩向量的起點相同.

講一講

1.(1)如圖①，利用向量加法的三角形法則作出a+b；

(2)如圖②，利用向量加法的平行四邊形法則作出a+b.

①②

［嘗試解答］(1)如圖⑧所示，設市=a,與6有公共點4故過｛點作通=6,

連接而即為a+6.

(2)如圖⑹，設赤=a,過。點作麗=6,則以。I、如為鄰邊作“WC3,連接a7,則

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OC—OA+OB—a+b.

類題?通決

應用三角形法則和平行四邊形法則應注意的問題

(1)三角形法則可以推廣到〃個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即〃個首尾相連

的向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第〃個向量的終點的向量.

(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合.

(3)求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單.

練一練

作麗=a,A百=。，阮=<:,則OC=a+b+c.

知識點2向量加法運算K重點知識?講透練會

［思考］向量加法有哪些運算律？

名師指津：向量加法的交換律：a+b=b+a；向量加法的結合律：(a+Z>)+c=a+(6

+c).

講一講

2.化簡下列各式：

(DAB+DF+CD+BC+FA；

(2)(AB+DE)+CD+BC+EA.

［嘗試解答］(1)而+訴+E+阮+FX

-AB+BC+CD+DF+FA

~^AC+CD+(DF+FA)

=AD+DA^O.

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(2)(AB+DE)+CD+BC+E^

=(AB+BC)4-(CD+DE)+EA

=AC+CE+EA

:荏+而0.

類題?通決

解決向量加法運算時應關注兩點

(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算.

(2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順

序，特別注意勿將0寫成0.

練一練

2.如圖，在△/比1中，。為重心，D、E、尸分別是8aAC.的中點，化簡下列三式:

(DW+CE+EA；

(2)OE+AB+EA；

(S'lAB+FE+DC.

解：(1)反+屋+胡=屈+麗麗.

..,?一?一?，，?一?,?.

(2)OE+AB+EA-^(OE+EA')+AB=OA+AB-OB.

(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.

知識點3向量加法的應用?-----K拔高知識?拓寬提熊】I

講一講

3.在某地抗震救災中，一架飛機從/地按北偏東35°的方向飛行800km到達8地接

到受傷人員，然后又從6地按南偏東55°的方向飛行800km送往。地醫(yī)院，求這架飛機飛

行的路程及兩次位移的和.

［嘗試解答］如圖所示，設湎，就分別表示飛機從A地按北偏東35°方向飛行800

km,從B地按南偏東55°的方向飛行800km.

則飛機飛行的路程指的是I而|+|反|；兩次飛行的位移的和指的是通+及AC.

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依題意，初而1+11=800+800=1600(km).

又a=35°,B=55°,/ABC=35°+55°=90°.

所以I旗IV\AB\2+\BC\2=［80()2+SOO?=800*(km).

其中/陰Q45°,所以方向為北偏東35°+45°=80°.

從而飛機飛行的路程是1600km,兩次飛行的位移和的大小為800艱km,方向為北偏

東80°.

類題?通決

利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟

練一練

3.輪船從1港沿東偏北30°方向行駛了40km到達8處，再由8處沿正北方向行駛40

km到達。處，求此時輪船與A港的相對位置.

解：如圖所示，設而、支分別是輪船的兩次位移，則充表示最終位移，且印T'=前

+BC.

\AD\=2073km,

在RtAACD中.|衣|

=\/1AD|2+|DC|-^"=40、Rkm,

/az?=6(r,

即此時輪船位于/港東偏北60°,且距離4港4附km處.

-----------------------------［課堂歸納?感悟提升］一—

1.本節(jié)課的重點是向量和的作法以及向量和的運算，難點是向量和的應用.

2.要掌握向量加法的三個問題

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(1)求作向量的和，見講1;

(2)向量加法運算，見講2；

(3)向量加法的應用，見講3.

3.求作向量時應注意以下兩點

(1)利用三角形法則求和向量時，關鍵要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一個

向量的起點指向最后一個向量的終點.

(2)利用平行四邊形法則求和向量時，應注意“共起點”.

訓

練

達標練一能力練

提II

能學業(yè)水平小測，讓學課下能力提升，提速

區(qū)生趁熱打鐵消化所學.提能，每課一檢測，步

既練速度又練準度步為營步步贏

分層練習固本提能/

課下能力提升(十四)

［學業(yè)水平達標練］

題組1求作向量的和

1.如圖，已知兩個不共線的非零向量a,b,求作a+6.

解：在平面內任取一點。

作OA=a,AB=b.

則OB=a+b.

2.已知兩非零向量a,從如圖所示)求作a+6.

解：如圖

OFA

所示：在平面內任取一點。，作函a.AB人則而a+b.

題組2向量加法運算

3.化簡恁+通+反等于()

A.ABB.CE

C.ACD.BE

解析：選C(荏+而)+反=荏+反=&.故選C.

4.下列等式錯誤的是()

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A.a+O=O+a=a

B.AB+BC+AC0

C.AB+BA-0

D.CA+AC=MN-\-NP+PM

解析：選BAB+BC+AC=2AC#O.

5.在矩形ABCD中，|荏|=4,|反|=2,則向量彳B+而

+前的長度等于（）

A.2#B.44

C.12D.6

解析：選B因為過3+而=尼,所以冗§+油+不己的

長度為界的模的2倍，故卷案是4底

6.根據圖示填空.

(1)AB+OA=；

(2)BO+00+00=；

(3)而+BO+2OD=.

解析：由三角形法則知

(DAB+OA^OA+7iB=OB；

(2')BO+OD+DOBO：

(3)而+麗+2OD^=AD+BD.

答案：(1)而(2)BO(3)AD+BD

7.已知正方形ABCD的邊長為1,AB^a,AC-=c,BC=b,則a+b+c為

解析：\a+b+c\=\AB+BC+AC\=IAC+AC|=2|AC|

=2A/2.

答案：272

8.如圖，。為正六邊形/及協(xié)的中心，根據圖示計算：

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(DOA+OC；

(2)BC+FE；

(3)OA+FE.

解：(1)因為四邊形04%是以04,%為鄰邊的平行四邊形，仍為其對角線，所以

OA+OC=OB.

(2)因為反與方方向相同且長度相等，所以反與立

是相等向量.故反+百百與BC方向相同.長度為反長

度的2倍.因此前+屋可用DA表示.所以BC+FE=

-DA.

(3)因為國與而長度相等且方向相反.所以OA+FE

=0.

題組3向量加法的應用

9.若a等于“向東走8km”,6等于"向北走8km”則a+b\—,a+6的方

向是________.

解析：如圖所示，設而=a,BC^b,則陽=a+6,且△?1比為等腰直角三角形，

則而11=8筐km,N刈0=45°.

答案：8班km北偏東45°

10.雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的,無風時雨滴下落的速度是4.0m/s,現(xiàn)在

4A(3

有風，風使雨滴以里m/s的速度水平向東移動,求雨滴著地時的速度和方向.

,5

解：如圖，用示表示雨滴下落的速度，而表示風使雨滴水平向東的速度.以示，

0B為鄰邊作平行四邊形OACB,(X'就是雨滴下落的實際速度.

在口△如。中，13Al=4,|而1=羋,

O

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.-.IOCI=/a|2+|前12f2+（小?二竽,

4^/3

干

AtanZAOC

IOAI~7——T'

：.ZAOC=30Q.

故雨滴著地時的速度大小是羋m/s,方向與垂直方向成30°角向東.

O

［能力提升綜合練］

1.設a=（而+麗）+（配+礪）"是任一非零向量，則在下列結論中，正確的為（）

①a〃b；②a+6=a；③a+Z）=6；④|a+6|</a|+b；⑤/a+Z>=Ia|+|引.

A.①@B.①③

C.①@⑤D.③④⑤

解析：選Ca=（AB+CD）+（BC+DA）=AB+BC+（CD+D^）=O,

①③⑤是正確的.

2.已知，E,產分別是的邊力區(qū)BC,。的中點，則下列等式中不正確的是（）

A.FD+DA=FA

B.FD+DE+EF=0

C.DE+DA^EC

D.DA+DE=FD.

解析：選D由向量加法的平行四邊形法則可知，示十力巨DF^FD.

3.如圖，四邊形46切是梯形，AD//BC,則和+反+而=（）

A.CDB.OC

C.DAD.W

解析：選BOA+liC+AB

=OA+AB+BC

-OB+BC-OC.

4.已知△力a1的三個頂點/,B,C及平面內一點夕滿足巨彳+而PC,則下列結論

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中正確的是（）

A."在△/%■的內部

B.尸在△/回的邊45上

C."在48邊所在的直線上

D.7?在的外部

解析：選DPA+PBPC,根據平行四邊形法則，如圖，則點尸在△49C外.

5.PQ+OM+^）+MQ=.

解析：田+而+E+血山+（如+而）+砒

PQ+QM+MQPQ.

答案：PQ

6.若尸為△49C的外心，且麗+而-PC,則/4為=

解析：?.?麗+而PC,則四邊形小笫是平行四邊形.

又尸為△49C的外心，

：.\PA\=\PB\=\PC\.

因此萬=120°.

答案：120°

7.在四邊形ABCD中，對角線AC,劭交于點。且|麗|=

|而|=1,麗+說=麗+麗=0,cosN的5=上.求I反+阮I與I①+反L

解：,.,示+況:=而+。15=0.

.*.OA=CO,OB=DO.

四邊形ABCD是平行四邊形.

又|不回=\AD\=1,知四邊形ABCD為菱形.

又cosN215=；,ZDAB^（0,n）,

AZ的5=60°,

，△力劭為正三角形.

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/.IDC+BCI=\AB+AD\=\AC\=2\AO\=行，

|CD+BC|=|BD|=|AB|=1.

8.已知船在靜水中的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿

垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向.

解：作出圖形，如圖.

A“水3

船速r研與岸的方向成a角，由圖可知〃水十〃期=「實際，結合已知條件,

四邊形/靦為平行四邊形,

在中，I①1=1瓦由=|y1=10m/min,

\AD\=|vuI=20m/min,

.._|CD|_1O_1

??COSa~~z-,

IADI20j

???。=60°,從而船與水流方向成120°的角.

故船行進的方向是與水流的方向成120°的角.

第2課時向量減法運算及其幾何意義

預

習核心必知----自讀教材找關鍵

導I

問題思考——辨析問題解疑惑

引

區(qū)課前反思----鎖定目標穩(wěn)啟程

［核心必知］

1.預習教材，問題導入

根據以下提綱，預習教材電?PB6的內容，回答下列問題.

(1)一個數x的相反數是什么？一個向量a有相反向量嗎？若有，如何表示？

提示：一個數X的相反數是一X.一個向量a有相反向相，記為一a.

(2)任何一個數x與它相反數的和為0,那么向量a與它的相反向量的和是什么？

提示：a+(~~a)=0.

(3)根據前一節(jié)所學的內容，你能作出向量a與力的差a-b嗎2

提示：可以，先作一A再按向量加法的平形四邊形法則或三角形法則作出a+(—6)即

可.

2.歸納總結，核心必記

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(D相反向量

與a長度相等，方向方反的向量,叫做a的相反向量，記作一&

①規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量;

②一(一a)—a；

③a+(—a)=(—a)+a=0；

④若a與6互為相反向量，則a=j,b——a,a+b=Q.

(2)向量的減法

①定義：a—b=a+(―/>),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.

②幾何意義：以。為起點，作向量M=a,OB=b,則明=a—b,如圖所示，即a

一6可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.

［問題思考］

(1)若兩個非零向量a與6互為相反向量，則a與b應具備什么條件？

提示：①長度相等；②方向相反.

(2)相反向量與相反數一樣嗎？

提示：不一樣.相反數是兩個數符號相反，絕對值相等，相反向量是指兩個向量方向相

反，模相等.

(3)若a—b—c——,則a+d=6+c成立嗎？

提示：成立.移項法則對向量的運算是成立的.

［課前反思］

(1)相反向量的定義：..........................................................

?

(2)向量減法的定義：..........................................................

(3)向量減法的幾何意義：......................................................

課

堂

知識突破—能力提升

互

II動

重點知識拔高知識

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分區(qū)

知識點1向量的減法運算-K重點知識?講透練會】I

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講一講

1.化簡：(1)(氐D-E)-(旗一廂)；

(2)(AC+Bd+OA)-(DC-DO-OB).

［嘗試解答］(D(AB-CD)-(AC-BjD)

=(AB+BD)-(AC+CD)

=AD-AD^O.

(2)(AC+BO+Q4)-(DC-DO-OB)

=(AC+BA)-(OC-OB)

=BC-BC

=0.

類題?通決

(1)向量減法運算的常用方法

(2)向量加減法化簡的兩種形式

①首尾相連且為和；

②起點相同且為差.

做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應用.

練一練

1.化簡下列各式：

(DAB-AC-ZJB；

(2)AB+BC-AD；

(3)AB-CD-DB.

解：(1)用5一死一麗

=CB4-BD=CD.

(2)AB+BC-AD

=AC—Ab=DC.

(.3)AB-CD-DB

-AB+DC+BD

=AB+BD+DC

=AC.

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知識點2向量減法及其幾何意義?重點知識?講透練會】I

［思考1］已知兩個非零向量a,b,如何作a-6?

名師指津：求作兩向量的差可以轉化為兩個向量的和，也可以直接用向量減法的三角形

法則，即把兩向量的始點重合，則差向量就是連接兩個向量的終點，并指向被減向量.

［思考2］a—6的幾何意義是什么？

名師指津：a—b的幾何意義是：當向量a,b的始點相同時，從向量b的終點指向向量

a的終點的向量.

講一講

2.(1)四邊形/靦中，若須°，而尻反c,則反()

A.a-b~\-cB.b—(a+c)

C.a+A+cD.b—a+c

(2)如圖，已知向量&b,c不共線，求作向量a+力-c.

［嘗試解答］(1)DC=AC-AD=(AB+BC)-AD=a+c-b.

(2)法一：如圖①所示，在平面內任取一點0,作。AB=b,則詼=a+6,再

作OC=c,則CB=a+b—c.

法二：如圖②所示，在平面內任取一點。作示=a,Ali=bf則而=a+6,再作屈

=c,連接。C,則(9C=a+6—c.

圖①圖②

答案：(DA

類題?通凄

求作兩個向量的差向量的兩種思路

(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a-b,可以先作一6,然后作a+(一加即可.

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(2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩

個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.

練一練

2.如圖，。為內一點，OA=a,OB=b,(X'=c.求作：

(1)b+c-a；

(2)a~b-c.

解：(1)以OB,OC為鄰邊作OOBDC,連接OD,AD.則

OD=OB-\-OC=b+c,

所以b+c—a=OD—OA=AD,

如圖所示.

(2)由a—b—c=a—(6+c),

如圖，作。OBEC,連接龐

則+c,

連接AE,則EA—a—(b+c)

—a-b—c.

利用已知向量表示未知向量?-----K拔高知識?拓寬提能】I

講一講

3.如圖，解答下列各題:

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(1)用a.d?e表示D3；

(2)用b?c表示麗;

(3)用a?b?e表示EC；

(4)用d.c表示EC.

嘗試解答］由題意知?用5，祝=b.CDc,DE=d.

而=e,則(1)麗=阮+麗+荏一+0Ta.

(2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c.

(3)EC=EA+AB+BC=e+a+b.

(4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c—d.

類題?通決

利用已知向量表示其他向量的一個關鍵及三點注意

(1)一個關鍵

一個關鍵是確定己知向量與被表示向量的轉化渠道.

⑵三點注意

①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形三向量之間的關系;

②注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律；

③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.

練一練

3.如圖.已知示一＜1.麗=人。，c.ODd./=/,試用

a.b.c.d.f表示以下向量：

A

BDC

(l)ACs(2)AD；

(3)AD-AB：

(4)AB+CF；

(5)BF-BD.

解：(1)而一玩一麗一c—a.

(2)而=而+而=而一麗=d-a.

(3)AD-ABBD=OD-QBd-b.

(4)AB4-CF

=OB-(M+OF-OC

b~~a+f-c.

(S'fBF-BD

^OF-OB-(.OD-OB)

=OF—OD=f~d.

--------------------------［課堂歸納?感悟提升］

1.本節(jié)課的重點是相反向量、向量減法的運算以及利用已知向量表示未知向量，難點

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是利用已知向量表示未知向量.

2.要掌握向量減法的三個問題

（1）向量的減法運算，見講1;

（2）向量減法及其幾何意義，見講2；

（3）利用已知向量表示未知向量，見講3.

3.掌握用已知向量表示某向量的基本步驟

第一步：觀察各向量的位置；

第二步：尋找（或作）相應的平行四邊形或三角形;

第三步：運用法則找關系；

第四步：化簡結果.

訓

練

達標練一能力練

提II

能學業(yè)水平小測，讓學課下能力提升，提速

區(qū)生趁熱打鐵消化所學.提能，每課一檢測，步

既練速度又練準度步為營步步贏

分層練習固本提能/

課下能力提升（十五）

［學業(yè)水平達標練］

題組1向量的減法運算

1.已知非零向量a與6同向，則a—6（）

A.必定與a同向

B.必定與b同向

C.必定與a是平行向量

D.與b不可能是平行向量

解析：選C若/a/>/。/,則a—6與a同向，若則a—Z（與一6同向，若/a!

=1引，則a—6=0,方向任意，且與任意向量共線.故A,B,D皆錯，故選C.

2.化簡旗一前+E一而得（）

A.ABB.DAC.BCD.0

解析：選D原式=而一加一瓶

AD+DB-ABAB-AB0.故選D.

3.給出下面四個式子，其中結果為0的是（）

①通+反+夙；②而+無+的+面;③而一衣+

BD-CDi^NO-i-OP+MN-MP.

A.①@B.①③

C.①③④D.②③

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解析：選c①不B+支+母=旗+母=。?②。X+/

4-BO+CO=BO+OA=BA^O.③蒜一弒+加一亦

*，，?.—.，*?..—.

=AB+BD-(AC+CD)-AD-AD=O.④NQ+QP+

^-.W=NP+.WN+PM==XP+PA'=O.

題組2向量減法及其幾何意義

4.若0,E,6是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()

A.EF=OF+OEB.EF=OF-OE

C.EF=-OF+OED.EF=-OF-OE

解析：選B由減法法則知B正確.

5.若|刀|=8,|而|=5,則I初I的取值范圍是()

A.[3,8]B.(3,8)

C.[3,13]D.(3,13)

解析：選C因為無8=而一市，

故礪，而同向共線時，|屈|一|加|一|而1-3；

當麗,加反向共線時.則得1KBi=|QA|+|OB|=13；

當麗，而不共線時.由||示|一|而||VI而一。X|V

I示|+|而|,可得3<|不西V13.綜合上述情況可得3

《|砌《13.

6.如圖，在正六邊形力比W中，明+迎+存=()

A.OB.BE

C.ADD.CF

解析：選D由于瓦4=無，

故BA+CD+E?=CD+DE+EF^CF.

7.已知菱形4質邊長都是2,求向量荏一而+B的模.

解:?.,而一通+國=15+配+麗=而，

：.\AB-CB+CD\-IADI2.

H

題組3利用已知向量表示未知向量

8.如圖，向量而a.ACh.C15c,則向量而可以表示為()

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A.a+b—cB.a—b-\~c

C.b—a+cD.b—a—c

解析：選C而就+也而一不B+前=6—a+c.故選C.

9.已知一點。到?？姷?個頂點A,8,C的向量分別是a,b,c,則向量而等于（）

A.a+5+cB.a—Z>+c

C.a+b-cD.a—b—c

解析：選B如圖，點。到平行四邊形4W9的三個頂點4B,。的向量分別是&b,c,

結合圖形有麗=示+而=示+阮=礪+反一麗=a—b+c.

10.如圖，已知/靦即是一正六邊形，。是它的中心，其中麗=b,OC=c,則并等

于.

解析：EFOA（'fi而F）C—b—c.

答案：b-c

11.如圖，在五邊形4?砒'中，若四邊形力儂是平行四邊形，且而=a,AC=b,存

=c,試用a,Ac表示向量南?灰，而，而及屋.

解：?.?四邊形ACDE是平行四邊形..*.E：荏=c.反

=AC——a.BE=AE—AB=c—<i?CE=AE—

AC=c-b,：.BD=BC+CD^b-a+c.

［能力提升綜合練］

1.有下列不等式或等式：

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①Ia|一|引〈|a+引〈a+|引；

②|a|一|b|=a+b=|a+|b|；

③|a|一|6|=a+6<|a|+|引；

@|a|—\b\<\a-\-b\—a+|b|.

其中，一定不成立的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

解析：選A①當a與Z>不共線時成立；②當a=b=O,或6=0,aWO時成立；③當a

與6共線，方向相反，且㈤時成立；④當a與6共線，且方向相同時成立.

2.如圖，D,E,尸分別是△46C的邊49,BC,。的中點，則（）

A.AD+BE+CF=O

B.BD-CF+DT-O

C.AD+CE-CF=O

D.BD-BE-FC'^O

解析：選A'：ADDB.：.Ab+BEDB+BEDE

FC,.?..4D+BE+CT-FC+CF=O.

3.設點M是線段BC的中點，點A在線段BC外.|阮E=

16,|瓶+旗|=|；12一旗|,則|砌|=（）

A.8B.4C.2D.1

解析：選CV|BC|2=16..\|BC|=4.

\AB+AC\=\AB-AC\=|CB|=4.

；M為BC中點，二碩=^（AB+AC）,

/.IAMI=4-IAB+ACI=2.

4.平面上有三點A,B,c,設，“無百+就,〃另一BT，若出〃的長度恰好相等,

則有（）

A.A,B,。三點必在同一直線上

B.△/重必為等腰三角形且N6為頂角

C.比'必為直角三角形且/8=90°

D.△?!勿必為等腰直角三角形

解析：選C由|血=|川，知4B,C為一矩形的三頂點，且△力回中為直角.

5.化簡用百十而一麗一反一GA的結果是

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解析：原式=AB+(DA-DB)-(BC+CA)

-AB+BA-BA-AB.

答案：AB

6.設平面向量為,a，的滿足a-&+a=0,如果平面向量歷,b2,?滿足/b,—2\a],

且a,順時針旋轉30°后與6,同向，其中，=1,2,3,則6—62+63=.

解析：將&順時針旋轉30°后得,則a'-a/+&'=0.

又,：從與a,同向，且|瓦|=2a,\,bi-b>+bt=0.

答案：0

7.設。是比1內一點，且兩<i-OBb.(Tc,若以線段力，出為鄰邊作平行

四邊形，第四個頂點為〃再以0G勿為鄰邊作平行四邊形，其第四個頂點為〃試用a,b,

c表示方乙麗?麗.

解：由題意可知四邊形。1的為平行四邊形，

：.OD-OA+Uii-a+b.

DC—OC-OD=c-(n+b)—c~a~b.

又四邊形胸為平行四邊形，

：.OH=OC+OD=c+a-\-b.

BH-OH—OBa+b+c—b-^a+c.

8.已知。為四邊形四切所在平面外一點，且向量和、而、反、而滿足等式

0X+充麗+麗.作圖并觀察四邊形46徵的形狀，并證明.

解：通過作圖(如圖)可以發(fā)現(xiàn)四邊形46"為平行四邊形.

證明如下：

\'OA+OC=OB+OD,

：.OA-O5=OD-OC,：.BA=CD,DC,

四邊形力靦為平行四邊形.

第3課時向量數乘運算及其幾何意義

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預

習

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