2019-2020年浙江省紹興市柯橋區(qū)北師大版九年級（上）期末數學試卷 解析版

2019-2020學年浙江省紹興市柯橋區(qū)九年級（上）期末數學試卷

選擇題（共10小題）

1.如果3〃=2b（9?#0）,那么比例式中正確的是（)

2X?——―c―DJJ?■—b^―-—2^―0X軟一—=電D,包=電

b2a32332

2.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.三角形任意兩邊之和大于第三邊

B.任意選擇某一電視頻道，它正在播放新聞聯播

C.。是實數，|心0

D.在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球

3.已知O。的半徑為4CMI,點P在。。上，則0P的長為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.如圖，△ABC的頂點A、B、C均在O。上，若NA8C+/AOC=75°，則/OAC的大小

5.如圖，線段A3兩個端點坐標分別為A（4,6）,B（6,2）,以原點。為位似中心，在第

三象限內將線段A8縮小為原來的工后，得到線段。，則點C的坐標為（）

A.(-2,-3)B.(-3,-2)C.(-3,-1)D.(-2,-1)

6.如圖，點G是△ABC的重心，下列結論中正確的個數有（）

SAEGD1

①西=1?；②嶇=股；③AEDGs^CBG；

GB2ABBCSABGC4

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.點C為線段AB的黃金分割點，且AC>BC,下列說法正確的有（）

①4。=立-142,②AC=@AB：AC^AC：BC,④AGO.618AB

22

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，將邊長為6的正六邊形鐵絲框ABCDEF（面積記為Si）變形為以點D為圓心,

O為半徑的扇形（面積記為S2）,則S1與S2的關系為（）

A.Si=—^2B.Si<S2C.Si=S2D.Si>S2

3

9.若拋物線y=x?+依+6與x軸兩個交點間的距離為4,稱此拋物線為定弦拋物線.已知某

定弦拋物線的對稱軸為直線x=2,將此拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位,

得到的拋物線過點（）

A.（1,0）B.（1,8）C.（1,-1）D.（1,-6）

10.如圖坐標系中，0（0,0）,A（3,3心,B（6,0）,將△OAB沿直線C。折疊，使點

A恰好落在線段上的點E處，若0E=§,則AC：4。的值是（）

V

填空題（共6小題）

11.拋物線y=（尤-1）2-2與y軸的交點坐標是

12.計算：2sin245°-tan45°

13.如圖，直線/l〃/2〃/3,直線AC交/i,/2,/3于點A,B,C；直線。尸交人，12,/3于點

則需

14.如圖，點A,B,C均在6X6的正方形網格格點上，過A,B,C三點的外接圓除經過

A,B,C三點外還能經過的格點數為.

ZAOB=60°,OA=4,點C為弧A8的中點，。為半徑OA上一

點，點A關于直線CD的對稱點為E,若點E落在半徑04上，則OE

(x-9)與坐標軸交于A、B、C三點，。為頂點，連結

AC,BC.點P是該拋物線在第一象限內上的一點.過點P作y軸的平行線交BC于點E,

連結AP交BC于點F,則里的最大值為

AF

三.解答題(共8小題)

17.一個不透明的袋子中裝有3個標號分別為1、2、3的完全相同的小球，隨機地摸出一個

小球不放回，再隨機地摸出一個小球.

（1）采用樹狀圖或列表法列出兩次摸出小球出現的所有可能結果；

（2）求摸出的兩個小球號碼之和等于4的概率.

18.港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋.如圖是港珠澳大橋的海豚塔部分效果圖，為了測

得海豚塔斜拉索頂端A距離海平面的高度，先測出斜拉索底端C到橋塔的距離（C。的

長）約為100米，又在C點測得A點的仰角為30°,測得8點的俯角為20。，求斜拉

索頂端A點到海平面8點的距離（A8的長）.（已知?F.732,tan20°-0.36,結果精

確到0.1）

19.如圖，在銳角三角形A8C中，點。，E分別在邊AC,AB±,AGL8C于點G,AF±

DE于點,F,ZEAF=ZGAC.

(1)求證：AADEsAABC；

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,是△ABC的外接圓，。為弧AC的中點，E是BA

延長線上一點，105°.

（1）求NCA。的度數；

（2）若的半徑為4,求弧BC的長.

,E

21.我國互聯網發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務，據市場調查，天貓超市在銷售一

種進價為每件40元的護眼臺燈中發(fā)現：每月銷售量y（件）與銷售單價無（元）之間的

函數關系如圖所示:

（1）當銷售單價定為50元時，求每月的銷售件數;

（2）設每月獲得的利潤為W（元），求利潤的最大值;

（3）由于市場競爭激烈，這種護眼燈的銷售單價不得高于75元，如果要每月獲得的利

潤不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=進價X銷售量）

22.如圖①，是一張直角三角形紙片，NB=90°,AB=12,BC=8,小明想從中剪出一個

以為內角且面積最大的矩形，經過操作發(fā)現，當沿著中位線所剪下時，所得

的矩形的面積最大.

（1）請通過計算說明小明的猜想是否正確;

（2）如圖②，在△ABC中，BC^10,BC邊上的高40=10,矩形尸QMN的頂點尸、N

分別在邊AB、AC上，頂點°、M在邊上，求矩形PQMN面積的最大值;

(3)如圖③，在五邊形ABCDE中，AB=16,BC=23AE=10,C￡>=8,/A=/B=

NC=90°.小明從中剪出了一個面積最大的矩形（NB為所剪出矩形的內角），求該矩

形的面積.

23.如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于8、C兩點，拋物線y=-f+bx+c經過8、

C兩點，與x軸另一交點為A,頂點為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上找一點E,使△EDC的周長最小，求符合條件的E點坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得/APB=/OCB?若存在，求出產亦的

24.已知：在。。中，弦ACJ_弦8。，垂足為“，連接BC,過點。作。E_L8C于點E,DE

(2)如圖2,連接0C,若AC=8C,求證：0C平分NAC&

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AB,過點。作QN〃AC交。。于點M若A8=

3A/10'DN=9.求sin/AOB的值.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如果3〃=2。（次?W0）,那么比例式中正確的是（）

Aa—3Db_2Qa_br\a_b

b2a32332

【分析】先逆用比例的基本性質，把3a=2b改寫成比例的形式，使相乘的兩個數a和3

做比例的外項，則相乘的另兩個數b和2就做比例的內項；進而判斷得解.

【解答】解：.：3a=2b,

?*ci'b=2：3,b：a=3：2,

即a：2=6：3,

故A,8均錯誤，C正確，。錯誤.

故選：C.

2.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.三角形任意兩邊之和大于第三邊

B.任意選擇某一電視頻道，它正在播放新聞聯播

C.。是實數，同三0

D.在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球

【分析】隨機事件就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，根據定義即可判斷.

【解答】解：4三角形任意兩邊之和大于第三邊是必然事件，故選項不合題意；

2、任意選擇某一電視頻道，它正在播放新聞聯播，是隨機事件，故選項符合題意；

C、。是實數，間、0,是必然事件，故選項不合題意；

。、在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球，是不可能事件，故選項不合題意.

故選：B.

3.已知。。的半徑為4cm,點P在。。上，則OP的長為（）

A.2cmB.4cMiC.6cmD.8cm

【分析】根據點在圓上，點到圓心的距離等于圓的半徑求解.

【解答】解：的半徑為4c〃z,點尸在o。上，

.".OP=4cm.

故選：B.

4.如圖，△ABC的頂點A、B、C均在O。上，若NABC+/AOC=75°，則/。4c的大小

是()

A.25°B.50°C.65°D.75°

【分析】根據圓周角定理得出/AOC=2NABC,求出N4?C=50°,再根據等腰三角形

的性質和進行內角和定理求出即可.

【解答】解：：根據圓周角定理得：ZAOC=2ZABC,

VZABC+ZAOC=15°,

；./AOC=2X75°=50°,

3

"：OA=OC,

J.ZOAC^ZOCA^l-(180°-ZAOC)=65°,

2

故選：C.

5.如圖，線段A3兩個端點坐標分別為A(4,6),B(6,2),以原點。為位似中心，在第

三象限內將線段縮小為原來的上后，得到線段C。，則點C的坐標為()

2

A.(-2,-3)B.(-3,-2)C.(-3,-1)D.(-2,-1)

【分析】利用位似圖形的性質結合兩圖形的位似比進而得出C點坐標.

【解答】解：???線段AB的兩個端點坐標分別為A(4,6),B(6,2),以原點。為位似

中心，在第一象限內將線段4B縮小為原來的工后得到線段CD,

2

...端點C的橫坐標和縱坐標都變?yōu)锳點的一半的相反數,

，端點C的坐標為：(-2,-3).

故選：A.

6.如圖，點G是△ABC的重心，下列結論中正確的個數有（

①電=1@AE=M；③AEDGs^CBG；@SaeGD=A.

GB2ABBC4

SABGC

C.3個D.4個

【分析】根據三角形的重心的概念和性質得到CE,3。是△ABC的中線，根據三角形中

位線定理得到DE//BC,QE=Lc,根據相似三角形的性質定理判斷即可.

2

【解答】解：：點G是△ABC的重心，

；.CE,BD是△ABC的中線,

：.DE//BC,DE=1BC,

2

:.△DGEsABGC,

???DG=1①正確;

GB2

AE股，②正確;

ABBC

AEDGs^CBG,③正確;

必暨_=(DE)2=X④正確,

^ABGCBC4

故選：D.

7.點C為線段AB的黃金分割點，且AOBC,下列說法正確的有（）

@AC=J^21AB,②AC=*一遍AB,@AB：AC=AC：BC,（4）AC^0.618AB

22

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據黃金分割的概念和黃金比值進行解答即可.

【解答】解：???點C數線段AB的黃金分割點，

：.AC^^~1AB,①正確；

_2

AC=^^1AB,②錯誤；

2

BC-.AC=AC：AB,③正確；

AC^0.618AB,④正確.

故選：C.

8.如圖，將邊長為6的正六邊形鐵絲框ABCDEF(面積記為Si)變形為以點D為圓心,

O為半徑的扇形(面積記為S2),則Si與S2的關系為()

A.Si=—^2B.Si<&C.Si=S2D.Si>S2

3

【分析】由正六邊形的性質的長氤的長，根據扇形面積公式=Lx弧長X半徑，可得

2

結果.

【解答】解：由題意：俞的長度=24,

.\&=AX24X6=72,

2

：Si=12X返X62=

42

：.S1>S2,

故選：D.

9.若拋物線y=/+a尤+6與x軸兩個交點間的距離為4,稱此拋物線為定弦拋物線.已知某

定弦拋物線的對稱軸為直線尤=2,將此拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，

得到的拋物線過點()

A.(1,0)B.(1,8)C.(1,-1)D.(1,-6)

【分析】根據定弦拋物線的定義結合其對稱軸，即可找出該拋物線的解析式，利用平移

的“左加右減，上加下減”找出平移后新拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的

坐標特征即可找出結論.

【解答】解：二?某定弦拋物線的對稱軸為直線x=2,

，該定弦拋物線過點(0,0)、(4,0),

該拋物線解析式為y=x(x-4)=/-4x=(x-2)2-4.

將此拋物線向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到新拋物線的解析式為y=(x

-2+2)2-4+3=/-1.

當％=1時，＞=/-1=0,

???得到的新拋物線過點（1,0）.

故選：A.

10.如圖坐標系中，O（0,0）,A（3,3愿），B（6,0）,將△Q48沿直線CQ折疊，使點

A恰好落在線段OB上的點E處，若OE=旦,則AC：4。的值是（）

【分析】過A作AFL08于尸，如圖所示：根據已知條件得到AF=3?,OF=3,OB

=6,求得NAOB=60°,推出△A02是等邊三角形，得到/AOB=NABO=60°,根據

折疊的性質得到/CED=/OAB=60°,求得NOCE=/DEB,根據相似三角形的性質

得至ljBE=03-OE=6-2=處，設CE=cz,貝i|CA=a,CO=6-a,ED=b,則

55

DB=6-b,于是得到結論.

【解答】解：過A作AFLOB于R如圖所示：

VA（3,3日），B（6,0）,

???A尸=3?,OF=3,05=6,

:?BF=3,

：.OF=BF,

：.AO=ABf

「tanZAOB=竺。尸處=如,

OF

ZAOB=60°,

/\AOB是等邊三角形，

ZAOB=ZABO=60°,

??,將△048沿直線線CQ折疊，使點A恰好落在線段08上的點石處，

：.ZCED=ZOAB=60°,

：.ZOCE=ZDEB,

:ACEOs^EDB,

???O--E_--C-E-_CO一，

BDEDBE

：OE=g,

5

:.BE=OB-OE=6-2="

55

設CE=〃，則CA=〃，CO=6-a,ED—b,則AD=Z?,DB=6-b,

_6_

則工=亙，暮=至，

6-bb24b

5

：.6b=30a-Sab?,24a=30b-5ab②,

②-①得：24a-66=30b-30。，

?曳=z,

'T百’

即AC：AD=2：3.

11.拋物線y=（x-1）2-2與v軸的交點坐標是（0,-1）.

【分析】將尤=0代入y=（x-1）2-2,計算即可求得拋物線與y軸的交點坐標.

【解答】解：將x=0代入y=（x-1）2-2,得〉=-1,

所以拋物線與y軸的交點坐標是（0,-1）.

故答案為：（0,-1）.

12.計算：2sir>245°-tan45°=0.

【分析】直接利用特殊角的三角函數值代入求出答案.

【解答】解：原式=2X（返）2-1

2

1-1

=0.

故答案為：0.

13.如圖，直線/1〃/2〃/3,直線AC交/1,12,/3于點A,B,C；直線。F交/1,h,△于點

D,E,F,已知膽=」，則變=2.

【分析】根據題意求出庭，根據平行線分線段成比例定理解答.

AB

【解答】解：?.?迪

AC3

?BC_9

AB

'：h//h//h,

?EF=BC=9

DEAB

故答案為：2.

14.如圖，點A,B,C均在6X6的正方形網格格點上，過A,B,C三點的外接圓除經過

A,B,C三點外還能經過的格點數為

【分析】根據圓的確定先做出過A,B,C三點的外接圓，從而得出答案.

【解答】解：如圖，分別作A&的中垂線，兩直線的交點為。，

以。為圓心、OA為半徑作圓，則。。即為過A,B,C三點的外接圓,

由圖可知，。。還經過點。、E、尸、G、H這5個格點，

故答案為：5.

15.如圖，扇形。4B中，ZAOB=60°,。4=4,點C為弧A2的中點，。為半徑。4上一

點，點A關于直線C。的對稱點為E,若點E落在半徑上，則OE=4巫-4.

【分析】連接。C,作EfUOC于R根據圓心角、弧、弦的關系定理得到/AOC=30°,

根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到NECF=45°,根據正切的定義列式計

算，得到答案.

【解答】解：連接。C,作EBLOC于R

:點A關于直線CD的對稱點為E,點E落在半徑OA上，

：.CE=CA,

VAC=BC-

ZAOC=AZAOB=30°,

2

\'OA=OC,

；.NOAC=NOCA=75°,

：CE=CA,

.\ZCAE=ZCEA=75°,

：.ZCAE=30°,

：.ZECF=45°,

設EF=x,則尸C=x,

在RtZXEOF中，tan/EOF=皿，

OF

???OF=—三

tan30

由題意得，QF+尸C=OC,即，§x+x=4,

解得，x=2yj~2~2,

VZEOF=30°,

：.OE=2EF=4y/3-4,

故答案為：4/3-4.

16.如圖，拋物線>=-工(%+1)(%-9)與坐標軸交于A、B、C三點，。為頂點，連結

3

AC,8C.點P是該拋物線在第一象限內上的一點.過點尸作y軸的平行線交8c于點E,

連結AP交BC于點孔則空的最大值為.

AF一坐一

【分析】根據拋物線的解析式求得A、B、C的坐標，進而求得AB、BC、AC的長，根據

待定系數法求得直線BC的解析式，作PNLBC,垂足為N.先證明△PNES^BOC,由

相似三角形的性質可知PPN=-^-PE,然后再證明△PEVS^AFC,由相似三角形的

10

性質可得到PF：AF與機的函數關系式，從而可求得空的最大值.

AF

【解答】解：：拋物線y=-工(x+1)(x-9)與坐標軸交于A、B、C三點，

3

AA(-1,0),B(9,0),

令％=0,則y=3,

：.C(0,3),

BC=VOB2-K)C2=3'/^

設直線BC的解析式為y=kx+b.

...將2、C的坐標代入得：19k+b=。，解得上=一上，b=3,

lb=33

直線BC的解析式為y=-L+3.

3

設點尸的橫坐標為相，則縱坐標為-工(〃z+l)(m-9),點E(m,-Lw+3),

33

PE—-A(m+1)(m-9)-(-L〃+3)=-^nt2+3m.

333

作PN_LBC,垂足為N.

：PE〃y軸，PN1BC,

；.NPNE=NC0B=9U°,ZPEN=ZBCO.

:.叢PNEs^BOC.

?PN=OB=9

"PEBC371010

PN=2/^PE=2/^(-Xm2+3m).

10103

?：AB2=(9+1)2=100,AC2=l2+32=10,BC2=90,

:.AC2+BC2^AB2.

：.ZBCA^9O°,

又,：/PFN=/CFA,

:.APFNsAAFC.

3^10/12,?)

，里=里=io._上層-J_(…9)2+紅

AFACV10101010240

9

...當根=-----2一=9■時，空的最大值為&L.

2X(,)2AF40

故答案為gL.

40

三.解答題（共8小題）

17.一個不透明的袋子中裝有3個標號分別為1、2、3的完全相同的小球，隨機地摸出一個

小球不放回，再隨機地摸出一個小球.

（1）采用樹狀圖或列表法列出兩次摸出小球出現的所有可能結果；

（2）求摸出的兩個小球號碼之和等于4的概率.

【分析】（1）畫樹狀圖列舉出所有情況；

（2）讓摸出的兩個球號碼之和等于4的情況數除以總情況數即為所求的概率.

【解答】解：（1）根據題意，可以畫出如下的樹形圖：

從樹形圖可以看出，兩次摸球出現的所有可能結果共有6種.

（2）由樹狀圖知摸出的兩個小球號碼之和等于4的有2種結果，

...摸出的兩個小球號碼之和等于4的概率為2=工.

63

18.港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋.如圖是港珠澳大橋的海豚塔部分效果圖，為了測

得海豚塔斜拉索頂端A距離海平面的高度，先測出斜拉索底端C到橋塔的距離（8的

長）約為100米，又在C點測得A點的仰角為30。，測得8點的俯角為20。，求斜拉

索頂端A點到海平面B點的距離（AB的長）.（己知?仁1.732,tan20°^0.36,結果精

確到0.1）

【分析】在RtZXAC。和RtaBC。中，根據銳角三角函數求出A。、BD,即可求出

【解答】解：如圖，由題意得，在△A8C中，CD=100,ZACD=30°,ZDCB=20°,

CD±AB,

在RtZvtCD中，AO=CD?tan/Aa）=100x1257.73（米）,

3

在Rt/XBC。中，8D=CD?tan/8CD"100X0.36-36（米），

.?.AB=AO+OB=57.73+36=93.73-93.7（米），

答：斜拉索頂端A點到海平面B點的距離A8約為93.7米.

D■c

B

19.如圖，在銳角三角形ABC中，點。，E分別在邊AC,AB±,AG_L8C于點G,AF±

DE于點、F,ZEAF=ZGAC.

(1)求證：△ADEsAABC；

【分析】（1）由于AGLBC,AF±DE,所以NAPE=NAGC=90°,從而可證明/4即

=ZACB,進而可證明△ADES/XABC；

（2）LADEsAABC,又易證△EApsZ\cAG,所以鯉從而可知

ABACAGAC

AFAD

AG'AB"

【解答】解：（1）\'AG±BC,AFIDE,

：.ZAFE=ZAGC=90°,

,：ZEAF=ZGAC,

：.ZAED=ZACB,

,：ZEAD^ZBAC,

：.AADEsAABC,

（2）由（1）可知：△AOES/XABC,

-AD_AE=3

"AB=AC~5

由（1）可知：ZAFE^ZAGC^90°,

：.ZEAF=ZGAC,

:.△EAFsXCAG,

???A-F---A-E,

AGAC

???AF_3

AG5

另解：'：AG±BC,AF±DE,

△ADEs^ABC,

.AF=AD=2

"AGABT

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,O。是△ABC的外接圓，。為弧AC的中點，E是BA

延長線上一點，ZDAE=105°.

（1）求NC4。的度數；

（2）若。。的半徑為4,求弧8C的長.

【分析】（1）由AB=AC,得到第=/，求得/ABC=/ACB,推出/CAZ）=/ACD,

得到/ACB=2/ACr）,于是得到結論；

（2）根據平角的定義得到乙BAC=40°,連接。8,OC,根據圓周角定理得到/BOC=

80°,根據弧長公式即可得到結論.

【解答】解：（1）'：AB=AC,

AB=AC-

ZABC^ZACB,

???。為孩的中點，

AD=CD，

：.ZCAD=ZACD,

**?AB=2AD，

???ZACB=2ZACD,

又???NDAE=105°,

：.ZBCD=105°,

ZAC￡>=Ax105°=35°，

3

：.ZCAD=35°；

(2)VZDAE=105°,ZCAD=35°,

：.ZBAC=40°,

連接08,OC,

：.ZBOC=SQ°,

.?.弧BC的長=8071x42=322L.

3609

21.我國互聯網發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務，據市場調查，天貓超市在銷售一

種進價為每件40元的護眼臺燈中發(fā)現：每月銷售量y（件）與銷售單價無（元）之間的

函數關系如圖所示：

（1）當銷售單價定為50元時，求每月的銷售件數；

（2）設每月獲得的利潤為W（元），求利潤的最大值；

（3）由于市場競爭激烈，這種護眼燈的銷售單價不得高于75元，如果要每月獲得的利

潤不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=進價義銷售量）

【分析】(1)設y=fcv+6,把(40,600),(75,250)代入，列方程組即可.

(2)根據利潤=每件的利潤X銷售量，列出式子即可.

(3)思想列出不等式求出x的取值范圍，設成本為S,構建一次函數，利用二次函數的

性質即可解決問題.

【解答】解：⑴設廠質+6,把(40,600),(75,250)代入可得140k+b=600,

l75k+b=250

解得：(k=-1°,

lb=1000

；.y=-10x+1000,

當x=50時,y=-10X50+1000=500(件)；

(2)根據題意得，W=(x-40)(-lOx+1000)

=-10?+1400尤-40000

=-10(x-70)2+9000.

當x=70時，利潤的最大值為9000；

(3)由題意,“7：，

2

k-10x+1400x-40000>8000

解得60WxW75,

設成本為S,

.,.S=40(-lOx+1000)=-400A+40000,

-400<0,

.?.S隨x增大而減小，

；.x=75時，S有最小值=10000元，

答：每月的成本最少需要10000元.

22.如圖①，是一張直角三角形紙片，NB=90°,AB=12,BC=8,小明想從中剪出一個

以N8為內角且面積最大的矩形，經過操作發(fā)現，當沿著中位線。￡、E尸剪下時，所得

的矩形的面積最大.

(1)請通過計算說明小明的猜想是否正確；

(2)如圖②，在△ABC中，8c=10,8c邊上的高AD=10,矩形尸QWN的頂點P、N

分別在邊A3、AC上，頂點。、M在邊3c上，求矩形PQMN面積的最大值；

(3)如圖③，在五邊形A8CDE中，48=16,BC=20,AE=10,CD=8,ZA=ZB=

NC=90°.小明從中剪出了一個面積最大的矩形(/B為所剪出矩形的內角)，求該矩

積公式得出S矩形BDEF=-—(X-6)2+24,即可得出結論；

3

(2)設DE=a,AE=lO-a,則證明△APNS/XABC,進而得出PN=10-a,利用面積

公式S矩形MNPQ=-(4-5)2+25,即可得出結果；

(3)延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點、G,延長AE、CD交于點H,取8尸

中點/,PG的中點K,連接/K,過點K作KZABC于L由矩形性質知10、

CD=DH=8,分別證aAE/絲△//￡￡)、ACDG會AHDE得AF=DH=8、CG=HE=13

從而判斷出中位線/K的兩端點在線段A3和。E上，利用(1)的結論解答即可.

【解答】解：(1)正確；理由：

設(0<x<12),

：AB=12,

'.AF—12-x,

過點F作FE//BC交AC于E,過點E作ED//AB交BC于。，

四邊形8OEP是平行四邊形，

'：ZB=90°,

“BDEF是矩形，

"."EF//BC,

：./\AFE^AABC,

.AF=EF

"ABBC，

???-1-2---x_-E-F,

128

:.EF=2(12-X),

3

:.S短彩BDEF=EF,BF=2L(12-尤)?尤=-—(x-6)2+24

33

...當X=6時，S矩形BDEF最大=24,

.\BF=6,A尸=6,

：.AF=BF,

...當沿著中位線?！?、防剪下時，所得的矩形的面積最大；

(2)設￡>E=a,(0<a<10),

,/AD=10,

；.AE=10-a,

?/四邊形MNPQ是矩形，

：.PQ=DE=a,PN//BC,

：.△APNs/xABC,

?PN=AE

"BCAD"

-PN=10-a

?下10

：.PN=1O-a,

:?S矩形MNPQ=PN*PQ=(10-a'),a=-(a-5)2+25,

當a=5時,s矩形MNPQ最大為25;

(3)延長A4、DE交于點F,延長3。、ED交于點、G,延長AE、CD交于點H,取3尸

中點/,/G的中點K,連接/K,過點K作KLL8C于3如圖③所示：

VZA=ZB=ZC=90°,

???四邊形A3cH是矩形，

VAB=16,BC=20,AE=10,0)=8,

:?EH=1U、DH=8,

:?AE=EH、CD=DH,

，ZFAE=ZDHE=90°

在△AEf'和△?￡!)中，，AE=EH，

1ZAEF=ZHED

:.AAEF義AHED(ASA),

，AF=OH=8,

：.BF=AB+AF=16+8=24,

同理△C￡)G絲△"￡)￡,

：.CG=HE=10,

.,.BG=2C+CG=20+10=30,

A12,

2

'：BI=12<16,

：.中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

：.IK=1.BG=15,

2

由(1)知矩形的最大面積為B/?/K=12X15=180.

圖③

23.如圖，直線y=-x+3與無軸、y軸分別交于8、C兩點，拋物線y=-/+bx+c經過8、

C兩點，與x軸另一交點為A,頂點為。.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點E,使△￡￡＞（7的周長最小，求符合條件的E點坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得/AP8=/0C8?若存在，求出P82的

值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)求出點8、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),將點8、C的坐標代入二次

函數表達式，即可求解；

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點C',連接C。'交x軸于點E,則此時EC+即

為最小，△EDC的周長最小，即可求解；

(3)分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，由勾股定理可求解.

【解答】解：(1)直線y=7+3與x軸、y軸分別交于2、C兩點，則點8、C的坐標分

別為(3,0)、(0,3),

將點2、C的坐標代入二次函數表達式得：

19+3b+c=0,解得：。=2,

Ic=3