2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

試題數(shù)：22,總分：150

1.（單選題，5分）直線無一］=0的傾斜角為（）

A.0

B.-3

C.-2

D.—

3

2.（單選題，5分）已知平面a的一個(gè)法向量為元=（2,-2,4）,AB=（-1,1,-2）,則

AB所在直線1與平面a的位置關(guān)系為（）

A.lla

B.lua

C.1與a相交但不垂直

D.11|a

3.（單選題，5分）若數(shù)列｛高』是等差數(shù)列，的=1,。3=-1，貝心5=（）

4.（單選題，5分）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,M是拋物線上一點(diǎn),

過點(diǎn)M作MN11于N.若AMNF是邊長為2的正三角形，則p=（）

C.1

D.2

5.（單選題，5分）在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若/瓦=五,

A^=b,A^=c,則下列向量中與瓦瓦相等的向量是（）

G

-1-1—>

A.—ciH—b+c

22

11T

B.--a--b+c

22

1kI

C.-Q—b+c

22

D.-QH—b+c

22

22

6.(單選題，5分)橢圓?+?=1上的點(diǎn)P到直線x+2y-9=0的最短距離為()

A.V5

BT

5

「9V5

C.—

5

D*

5

7.(單選題，5分)若數(shù)列⑶｝滿足-ga2V…<。九一］71-1<…，則稱數(shù)列⑶｝

為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增"數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+2cn=2t-l(neN*),

則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.(—8,I)

B.(-oo,1)

C.d+8)

D.(1,+oo)

8.(單選題，5分)已知線段AB的端點(diǎn)B在直線1：y=-x+5上，端點(diǎn)A在圓Q：(x+I)2+

y2=4上運(yùn)動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C2,若曲線C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)

B的橫坐標(biāo)的取值范圍是()

A.(-1,0)

B.(1,4)

C.(0,6)

D.(-1,5)

22

9.（多選題，5分）已知雙曲線?—左=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2,過Fi的直

線1與雙曲線右支交于點(diǎn)P.若|PFi|=2|PFz|,且APF1F2有一個(gè)內(nèi)角為120。，則雙曲線的離心

率可能是（）

B.2

c房+1

,2

D.V7

10.（多選題，5分）如圖，已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,AH=tAA^^tE[0,1]）,

則下列說法正確的有（）

A.CW=+（1-t）E

B.vte[o,1],都有麗?麗=0

C3tG[0,1],使得麗||瓦]

D.若平面alCH,則直線CD與平面a所成的角大于f

4

11.（多選題，5分）如圖1,曲線C：（x?+y2）3=i6x2y2為四葉玫

瑰線，它是一個(gè)幾何虧格為零的代數(shù)曲線，這種曲線在苜宿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的

應(yīng)用.如圖2,苜宿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來

實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛駛?cè)氕h(huán)道后再自右側(cè)切向匯入主路，四條環(huán)形匝道就形成了苜宿葉的形

狀.給出下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C只有兩條對稱軸

B.曲線C僅經(jīng)過1個(gè)整點(diǎn)（即

橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原

點(diǎn)0的距離都不超過2

D.過曲線C上的任一點(diǎn)作兩坐

標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的

圖1圖2

矩形面積最大值為2

12.(多選題，5分)已知數(shù)列｛ajY兩足%=$,an--an_+—(n>2,nEN*),其中AG(-

1,0,1）,下列說法正確的是（）

A.當(dāng)人=0時(shí)，數(shù)列｛aj是等比數(shù)列

B.當(dāng)入=-1時(shí)，數(shù)列｛(-2).｝是等差數(shù)列

C.當(dāng)人=1時(shí)，數(shù)列［an-篇是常數(shù)列

D.數(shù)列｛aJ總存在最大項(xiàng)

13.(填空題，5分)若3=(1,-1,V2),則與向量五同方向的單位向量的坐標(biāo)為

14.(填空題，5分)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙

曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB1PC,AB=60cm,PC=20cm,

雙曲線的焦點(diǎn)位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為_cm.

15.(填空題,5分)已知數(shù)列｛aj滿足〃+2=an+1-

0n(neN*),且ai=2,a2=3,則22022的值為—.

16.(填空題，5分)已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,

直線1過點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，以F為圓心

的圓交線段AB于C,D兩點(diǎn)(從上到下依次為A,C,D,

B),若|AC|?|BD|2|FC|?|FD|,則該圓的半徑r的取值范圍是

17.(問答題，10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線li：mx-(2-m)y-

4=0與直線12：x+y-2=0的交點(diǎn)M在第一、三象限的角平分線上.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若點(diǎn)P在直線11上且=y|PO|,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.(問答題，12分)已知函數(shù)f(x)=/og企久，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列｛aj成

等比數(shù)列.

條件1：數(shù)列｛f(aQ｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列；

條件2：數(shù)列｛f(aQ｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛等｝的前n項(xiàng)和

19.(問答題，12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，

ZDAB=6O°,PDJ?底面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角D-FC-B的余弦值為粵.

(1)求PD的長；

(2)求異面直線BF與PA所成角的余弦值；

(3)求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.

20.(問答題，12分)已知數(shù)列缶口滿足臼=1,an+1+an=

AB

4n(neN*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正實(shí)數(shù)a,使得不等式R?鳥……弋?河匚〈號-三對一切正整數(shù)n都

%+1a2+lan+lv2a

成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

21.(問答題，12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經(jīng)過點(diǎn)A(1,

2),直線1：y=kx+b與拋物線C交于M,N兩點(diǎn).

(1)若而=4板，求直線1的方程；

(2)當(dāng)AM1AN時(shí)，若對任意滿足條件的實(shí)數(shù)k,者B有b=mk+n(m,n為常數(shù))，求

m+2n的值.

22.(問答題，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢

圓E：a+力=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,

離心率為半.點(diǎn)P是橢圓上的一動點(diǎn)，且P在第一象

限.記APF1F2的面積為S,當(dāng)PF2，F(xiàn)IF2時(shí)，S=受

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖，PFi，PF2的延長線分別交橢圓于點(diǎn)M,N,記AMF1F2和ANF1F2的面積分別為Si

和s2.

1A,［、.、?

(i)求證：存在常數(shù)入，使得自+r二:成乂;

(ii)求S2-Si的最大值.

2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

試題數(shù)：22,總分:150

1.（單選題，5分）直線x—0的傾斜角為（）

A.0

B.-

3

C.-

2

D.—

3

【正確答案】：C

【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.

【解答】：解：???直線久一g=0,

.?.久=;,即斜率不存在，

.?.直線久一W=o的傾斜角為三.

故選：C.

【點(diǎn)評】：本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.（單選題，5分）已知平面a的一個(gè)法向量為五=（2,-2,4）,AB=（-1,1,-2）,則

AB所在直線1與平面a的位置關(guān)系為（）

A.lla

B.lua

C.1與a相交但不垂直

D.11|a

【正確答案】：A

【解析】：由元=-2荏，得五||荏，由此得到11a.

【解答】：解：平面a的一個(gè)法向量為五=（2,—2,4）,AB=（-1,1,-2）,

n=-2AB，.?.n11~AB,

???AB所在直線1與平面a的位置關(guān)系為11a.

故選：A.

【點(diǎn)評】：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，考查線面垂直的判定定理等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.(單選題，5分)若數(shù)列｛六｝是等差數(shù)列，的=1,a3=-p貝心5=()

A.--

9

B.--

5

C.-

5

D.-

9

【正確答案】：B

【解析】：由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求公差d,進(jìn)而可求.

【解答】：解：因?yàn)閿?shù)列｛高｝是等差數(shù)列，a1=l,a3=-|

所以自=1'&=3，

所以該等差數(shù)列的公差d=辭=1,

所以=-=l+4d=5,

1+口5

則a5=-1.

故選：B.

【點(diǎn)評】：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.(單選題，5分)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,M是拋物線上一點(diǎn),

過點(diǎn)M作MN11于N.若AMNF是邊長為2的正三角形，貝p=()

A.-4

B.i

2

C.l

D.2

【正確答案】：C

【解析】：由圖可知，得|NF|=2,再在RtANAF中，計(jì)算|AF|=p,即可得出答案.

【解答】：解：如圖所示，AMNF是邊長為2的正三角形，

所以MN=2,所以在RtANAF中，計(jì)算|AF|=|NF|sin3(T=l,

所以p=l.

故選：C.

1->1r,

BD.—CL—b+c

22

C.-CL—b+c

22

n1-1二-

D.—ciH—bc

22

【正確答案】：A

【解析】：在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，根據(jù)空間向量的加法合成法則，對向量瓦元進(jìn)

行線性表示即可.

【解答】：解：平行六面體ABCD-AiBiCiDi中,

B^M=B^B+~BM

AABD

=17+2-

AA(BA+Jc)

=71+-2

=A1A+^(Bi力i+ArDr)

=c+-(-a+6)

2

_1f1Tf

二—CLH----D+C.

22

故選：A.

【點(diǎn)評】：本題考查了空間向量的加法運(yùn)算問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題目.

22

6.(單選題，5分)橢圓會+?=1上的點(diǎn)P到直線x+2y-9=0的最短距離為()

A.V5

BT

5

「9V5

C.—

5

D*

5

【正確答案】：A

【解析】：由點(diǎn)到直線的距離公式可得d」2的比+普仙-9],通過兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)

V1+4

合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.

22

【解答】：解：由P(x,y)是橢圓？+-=1上的動點(diǎn).

43

可設(shè)x=2cosa,y=Vasina(0<a<2ir),

由點(diǎn)到直線的距離公式可得d="+普…I

V1+4

|4si7i(a+1)-可

二蕊'

4sin(a+e[-4,4],

14sin(a+——91G[5,13],

???de[V5,呼],

二最短距離d=V5.

故選：A.

【點(diǎn)評】：本題主要考查了直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)設(shè)出P

的坐標(biāo)(即參數(shù)方程)，從而把所求的函數(shù)的取值范圍或最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域及最值.

7.(單選題，5分)若數(shù)列｛an｝滿足的<&3-…的1_1<…，則稱數(shù)列｛an｝

為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增"數(shù)列｛品｝的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+2cn=2t-l(neN*),

則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A(-8,I)

B.(-00,1)

C&+8)

D.(1,+oo)

【正確答案】：A

【解析】：根據(jù)Sn+24=2t-l(nCN*),利用遞推公式求得數(shù)列｛cj的通項(xiàng)公式.再根據(jù)

新定義的意義，代入解不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【解答】：解：因?yàn)?+2%=2t—l(nCN*)

所以當(dāng)n>2時(shí)，Sn-i+2cn-i=2t-l

兩式相減可得Cn+2c『2c?1=0,即=；所以數(shù)列｛Cn｝是以公比q=|的等比數(shù)列

Cn-13

當(dāng)n=l時(shí)，c=

rL3

所以Cn=U

則cn~~cn-l

112t-l

c——X-------

n+l--23

由“半差遞增”數(shù)列的定義可知,

n-1

2亡-1z2\n-2<2t-l/2\

18\3)18\3/，

化簡可得2t——l)x|,

解不等式可得

即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(一8,0,

故選：A.

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題.

8.(單選題，5分)已知線段AB的端點(diǎn)B在直線1：y=-x+5上，端點(diǎn)A在圓6：(%+I)2+

f=4上運(yùn)動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C2,若曲線C?與圓心有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)

B的橫坐標(biāo)的取值范圍是()

A.(-1,0)

B.(1,4)

C.(0,6)

D.(-1,5)

【正確答案】：D

【解析】：設(shè)線段AB中點(diǎn)M(x,y),A(xi，yi),B(x2,-x2+5),由題意可得xi=2x-

x2,yi=2y+x2-5，代入Ci的方程可得曲線C2的軌跡方程為圓，若滿足曲線C?與圓J有兩個(gè)

公共點(diǎn)，則1V|CIC2|<3,列出不等式求解X2即可得結(jié)果.

【解答】：解：設(shè)線段AB中點(diǎn)M(x,y),A(xi,yi),B(x2,-x2+5),

由題意知：2x=xz+xi，2y=yi-X2+5,

???XI=2X-X2,yi=2y+x2-5,

??,點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動,

???(2X-X2+1)2+(2y+x2-5)2=4,

???線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-")2+(y-警)2=1,

即曲線C2是以(巖，詈)為圓心，以1為半徑的圓，

若曲線C2與圓Ci有兩個(gè)公共點(diǎn)，

則1<|CIC2|<3,

即14(第+1丫+(警丫

2

平方整理得，2<X2-4X2+13<18,

—4久2+11>0.

即。，解得-1VX2V5,

1%22—4%2—5Vo

故選：D.

【點(diǎn)評】：本題考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，兩圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

9.(多選題，5分)已知雙曲線會那l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2,過FI的直

線1與雙曲線右支交于點(diǎn)P.若|PFI|=2|PF2|,且APF1F2有一個(gè)內(nèi)角為120。，則雙曲線的離心

率可能是()

B.2

c尺+1

,2

D.V7

【正確答案】：AD

【解析】：|PFi|-|PF2|=2a,又|PFI|=2|PF2|,所以|PFi|=4a,|PFz|=2a,分NPF2Fi=120。，

NFiPF2=120。兩種情況，在APFiFz中運(yùn)用余弦定理可得離心率的值.

【解答】：解：過Fi的直線1與雙曲線右支交于點(diǎn)P,所以|PFiHPF2|=2a,X|PFI|=2|PF2|,

所以|PR|=4a,|PFz|=2a,

當(dāng)NPF2FI=120。時(shí),由余弦定理有|PFI|2=|PF2|2+|F2FI|2-2|PF2|F2FI|COS"F2FI,

所以16a』4a2+4c2+4ac,可得e=￡=^§二，

a2

當(dāng)NFiPF2=120。時(shí)，由余弦定理有|F2FI|2=|PF2|2+|PFI|2-2|PF2|PFI|COSNPFIF2,

所以4c2=16a2+4a2-2x2ax4ax(」)，整理得7a』c?,所以e=￡=V7,

2a

故選：AD.

【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的性質(zhì)，以及離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

10.(多選題，5分)如圖，已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,AH=E[0,1]),

則下列說法正確的有()

A.CW=CG4+(1-t)E

B.Vte[O,1],都有麗?麗=0

C.3tG[0,1],使得麗||瓦^

D.若平面alCH,則直線CD與平面a所成的角大于f

【正確答案】：BC

【解析】：由京=t麗，得而=(1-t)CA+tCA^,即可判斷A；由麗?麗=0,可判斷

B；當(dāng)H在Ai點(diǎn)時(shí)，DH,BiC顯然平行，可判斷C；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，~CH=(1,-1,t),而=(0,-1,0),sin0=|cos<CH,~CD>|<y>可

判斷D.

【解答】：解：由后=t研，得而=刀+用=刀+1:研=刀+1(~CA[-~CA)=(1-t)

刀+t鬲，故A錯(cuò)誤；

麗?前二[(l-t)CA+tCA^]?BD=(1-t)CA?~BD+tCA^?~BD=0,故B正確；

當(dāng)H在Ai點(diǎn)時(shí)，DH,BiC顯然平行，所以而||瓦Z,故C正確；

平面alCH,則而為平面a的一個(gè)法向量，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則H(1,0,t),C(0,1,0),D(0,0,0),

所以麗=(1,-1,t)，~CD=(0,-1,0),

設(shè)直線CD與平面a所成的角為6,

則sin0=|cos<而，麗>|=巴?巴=」記〈"，

11\CHMCD\V2+t2Xl32

所以直線CD與平面a所成的角小于故D錯(cuò)誤；

4

故選：BC.

【點(diǎn)評】：本題考查空間向量的線性運(yùn)算，以及利用向量求線

面角的范圍，屬中檔題.

11.(多選題，5分)如圖1,曲線C：(x2+y2)3=i6x2y2為

四葉玫瑰線，它是一個(gè)幾何虧格為零的代數(shù)曲線，這種曲線在

苜宿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用.如圖2,苜宿葉

型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)

形匝道來實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛駛?cè)氕h(huán)道后再自右側(cè)切向匯入主

路，四條環(huán)形匝道就形成了苜宿葉的形狀.給出下列結(jié)論正確

的是()

A.曲線C只有兩條對稱軸

B.曲線C僅經(jīng)過1個(gè)整點(diǎn)(即

橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原

點(diǎn)0的距離都不超過2

D.過曲線C上的任一點(diǎn)作兩坐

標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的

圖1圖2

矩形面積最大值為2

【正確答案】：BCD

(x2+y2=4

【解析】：先由圖象，確定A錯(cuò);再聯(lián)立確定(x2+y2)3=16x2y2內(nèi)

l(x2+y2)3=16x2y2

切于圓x2+y2=4,從而可判斷C正確；考慮圓x2+y2=4內(nèi)位于第一象限的整點(diǎn)，驗(yàn)證是否滿

足曲線C,進(jìn)而可判斷B錯(cuò)；由題意得到曲線C上的任一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍

成的矩形面積為|xy|,結(jié)合基本不等式，可判斷D正確.

【解答】：解：根據(jù)圖形可得，曲線C有四條對稱軸x=0,y=0,y=±x,即A錯(cuò)；

由I：/'7rJ“27，可得x2=y2=2,即圓x2+y2=4與曲線C：(x2+y2)3=i6x2y2相切

(.(%+y)—16xzyzJ

于點(diǎn)(血，魚)，(V2,-V2),(-V2,V2),

(-V2,-V2),(x2+y2)3=16x2y2內(nèi)切于圓x2+y2=4,故曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0

的距離的最大值為VI率1=2,即C正確；

又圓x?+y2=4位于第一象限的整點(diǎn)只有(1,1),但(了+12)三8Hl6,所以曲線C在第一

象限不過整點(diǎn)，根據(jù)對稱性可得，曲線C在二三四象限也不過整點(diǎn)；又(0,0)顯然在曲線

(x2+y2)3=16x2y2上,所以曲線(x2+y2)3=16x2y2只過一個(gè)整點(diǎn),故B正確；

設(shè)曲線C上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則過該點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形

面積|xy|；由(x2+y2)3=i6x2y2可得16x2y2=(x2+y2)3>8|x|3|y|3,當(dāng)且僅當(dāng)|x|=|y|=/時(shí),

等號成立，所以|xy|W2,即D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評】：求解本題的關(guān)鍵在于，先確定(x?+y2)3=16x2y2內(nèi)切于圓x?+y2=4；進(jìn)而即可根

據(jù)圓的特征，求出曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最值，以及曲線C所過整點(diǎn)個(gè)數(shù).

12.(多選題，5分)已知數(shù)列面｝滿足的=1,an=^an_1+^(n>2,neN*),其中入e｛-

1,0,1),下列說法正確的是()

A.當(dāng)人=0時(shí)，數(shù)列｛aj是等比數(shù)列

B.當(dāng)入=-1時(shí)，數(shù)列｛(-2)nan｝是等差數(shù)列

C當(dāng)入=1時(shí),數(shù)列［an-梟是常數(shù)列

D.數(shù)列｛aj總存在最大項(xiàng)

【正確答案】：ACD

【解析】：由等比數(shù)列的定義判斷A；由等差數(shù)列的定義判斷BC；由數(shù)列的單調(diào)性判斷D.

【解答】：解：數(shù)列⑶｝滿足的=：,廝=2_1+白(心2,n￡N*),其中入6｛-1,0,1),

對于A,當(dāng)人=0時(shí)，an=-an_1,?.21=3。0,

二數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為》公比為T的等比數(shù)列，故A正確；

n1

對于B,當(dāng)A=-l時(shí),an=|o-n-i—/，2"c1n=2~an_1-1,

nn1

???2an2-an_1=-l,

???數(shù)列｛2naJ是等差數(shù)列，二數(shù)列｛(-2)nan｝不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

-11

nn-1

入=1時(shí)，an=-an-i+—i2an—2an_1=1,

n

｛2喻｝是等差數(shù)列，又2al=1,二2an=n,an-,

從而與-=。是常數(shù)，故C正確；

由以上討論知人=0時(shí)，｛an｝最大值是ai=|,

n

入=0時(shí)，2an=l+(n-1)x(-1)=2-n,an—,

n>2時(shí),an40,.,.數(shù)列最大值為ai=|,

口』_n_n+1n_1-n

人=1時(shí)，Sn=-，an+i-an=拈-》=^M0,

即an+i<an(n>2),a2=ai，｛aj有最大項(xiàng)，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評】：本題考查命題真假的判斷，考查等比數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

13.(填空題，5分)若匯=(1,-1,V2),則與向量匯同方向的單位向量的坐標(biāo)為

【正確答案】：［1］(11,苧)

【解析】：根據(jù)題意，設(shè)要求向量為3,且3=td=(t,-t,V2t),由向量模的計(jì)算公式可

得t的值，即可得答案.

【解答】：解：根據(jù)題意，設(shè)要求向量為3,且3=tN=(t,-t,V2t)(t>0),

又由3為單位向量，則次=t2+t2+2t2=l,

又由t>0,解可得：t=：,

故要求向量為《，］，?)；

故答案為：(>-1,.

【點(diǎn)評】：本題考查空間向量的坐標(biāo)表示，涉及向量模的計(jì)算和向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基

礎(chǔ)題.

14.(填空題，5分)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙

曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB1PC,AB=60cm,PC=20cm,

雙曲線的焦點(diǎn)位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為_cm.

【正確答案】：［1］25A/2

【解析】：建立坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線方程，然后利用已知條件轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】：解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

22

設(shè)該雙曲線的方程為今-9=1(a>0,b>0).因?yàn)闈u近線相互垂直，所以a=b.

azbz

由題意知婦答-考=1,解得a=b=空，c=竺班，

22

故該雙曲線的焦距為25vlem.

故答案為：25魚.

【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程

的求法，是基本知識的考查.

15.(填空題,5分)已知數(shù)列｛aj滿足〃+2=an+1-

an(nGN*),且ai=2,a?=3,則22022的值為_.

【正確答案】：口］-1

【解析】：由數(shù)列｛aj滿足%+2=&i+i-a7101cN*),且

ai=2,a2=3,利用遞推思想依次求出數(shù)列｛aj的前8項(xiàng)，從而得到｛aQ是周期為6的周期數(shù)列,

由此能求出32022的值.

【解答】：解：數(shù)列｛aj滿足an+2=an+1-an(neN*),且ai=2,a?=3,

.*.33=32-31=3-2=1,

34=33-32=l-3=-2,

as=a4-a3=-2-l=-3,

a6=a5、4=-3-(-2)=-l,

37=36-35=-1-(-3)=2,

38=37-36=2-(-1)=3,

???

???｛an｝是周期為6的周期數(shù)列，

???2022=337x6,

?，?32022=36=-1?

故答案為：-1.

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列的第2022項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識,

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.（填空題，5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線1過點(diǎn)F且與拋物線C交于A,

B兩點(diǎn)，以F為圓心的圓交線段AB于C,D兩點(diǎn)（從上到下依次為A,C,D,B）,若

|AC|.|BD|>|FC|.|FD|,則該圓的半徑r的取值范圍是_.

【正確答案】：[1]（0,2]

【解析】：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)以F為圓心的圓的半徑為r,由拋物線和圓

的性質(zhì)可得|FC|=|FD|=r,|AC|,|BD|用r表達(dá)的代數(shù)式，由|AC|?|BD|2|FC|?|FD|,可得r與

|AF|,|BF|的關(guān)系，設(shè)直線1的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，可得r

的取值范圍.

【解答】：解：由拋物線C：y2=8x的焦的方程可得焦點(diǎn)F（2,0）,設(shè)以F為圓心的圓的半

徑為r,

可知|FC|=|FD|=r,|AC|=|AF|-r,|BD|=|BF|-r,

設(shè)直線1的方程為：x=my+2,A(Xi，yi),B(X2,yz)，貝!J|AF|=Xi+2,|BF|=Xz+2,

聯(lián)立整理可得：y2-8my-16=0,

可得yi+y2=8m,yiy2=-16,

xi+x2=m(yi+y2)+4=8m2+4,xiX2=。皆)=4,

|AC|*|BD|>|FC|*|FD|,

(41+2)(%2+2)。1%2+2(巧+%2)+44+16m2+8+4

即(|AF|-r)?(|BF|-r)>r^則w愣騁=2,

87n2+8

X1+X2+4Xt+X2+4

當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時(shí)取等號，

所以0<r<2,

故答案為(0,2].

【點(diǎn)評】：本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直

線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（問答題，10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線li：mx-（2-m）

y-4=0與直線12：x+y-2=0的交點(diǎn)M在第一、

三象限的角平分線上.

（1）求實(shí)數(shù)m的值；

（2）若點(diǎn)P在直線li上且|PM|=爭「。|,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)題意，求出直線12與y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線11的方程，求出

m的值，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（t,4-3t）,由|PM|=苧出0|可得關(guān)于t的方程，解可得t

的值，即可得答案.

【解答】：解：（1）根據(jù)題意，第一、三象限的角平分線為y=x,

則匕+（一2=°,解可得x=y=l,即M的坐標(biāo)為（1,1），

點(diǎn)M也在直線li：mx-（2-m）y-4=0上，則有m-（2-m）-4=2m-6=0,

解可得m=3；

（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，m=3,即直線li的方程為3x+y-4=0上，

設(shè)P的坐標(biāo)為（t,4-3t）,M（1,1）,0（0,0）,

若|PM|=苧伊01,則V1T9X7（t-I）2=yXyjt2+（4-3t）2,

變形可得：t2-4t+4=0,解可得t=2,即P的坐標(biāo)為（2,-2）.

【點(diǎn)評】：本題考查兩點(diǎn)間距離公式，涉及直線與直線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

18.（問答題，12分）已知函數(shù)“久）=/og應(yīng)久，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列｛aj成

等比數(shù)列.

條件1：數(shù)列｛f（aQ｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列；

條件2：數(shù)列｛f（aQ｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛管｝的前n項(xiàng)和Tn.

【正確答案】：

【解析】：(1)分別選擇條件1，2,求出an，說明選擇條件1時(shí)，數(shù)列｛an｝不是等比數(shù)歹U，

選擇條件2時(shí)，數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列；

(2)求出數(shù)列13｝的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列13｝的前n項(xiàng)和兀.

IanJIanJ

【解答】：解：(1)若選擇條件1：數(shù)列｛f(an)｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,

n-1n+1n+1

貝！]f(an)=4?2=2,即log^an=2,

n+l/12n+12n+1「

可得%=(仞7=3)X=22",等1=葛o『=22"+1-2幾不是常數(shù).

若選擇條件2：數(shù)列｛f(an)｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列，

則f(aQ=4+2(n-1)=2n+2,即Log調(diào)a九=2九+2,

2n+2

可得an=(V2)=的如+2=2n+i,管=蒜=2,數(shù)列｛aj成等比數(shù)列.

n+1

???數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=2；

/o\/(an)_2九+2_n+1

⑵an-2九+i-F'

*=W+2+…+dr+胃，

n212223271T2n

17_234nn+1

2Jn=^+^+^+---+^+^'

兩式作差,可得加=1+京+*+…+展一普

_1?*(1一泰)n+1_]+11n+l_31n+l

一口2n+1-十5一9-2n+1~2~2^~2n+1'

2

則〃=3-等.

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列遞推式，考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n

項(xiàng)和，是中檔題.

19.(問答題，12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，

ZDAB=6O°,PD1底面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角D-FC-B的余弦值為漁.

6

(1)求PD的長；

(2)求異面直線BF與PA所成角的余弦值；

(3)求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.

AB

【正確答案】：

【解析】：(1)取AB中點(diǎn)M,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DM,DC,DP所在直線為x,y,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)FD=a,利用平面FBC與平面DFC的所成角的余弦值求得a,可求

得PD；

(2)麗=(-V3,-1,V6),PA=(-V3,1,2遙)，用向量法可得異面直線BF與PA

所成角的余弦值；

(3)求出平面BCF的一個(gè)法向量及刀的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值，可得FA與平

面BCF所成的角的正弦值.

【解答】：解：(1)取AB中點(diǎn)M,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DM,DC,DP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)FD=a,則D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0)，

B(V3,1,0),A(V3,-1,0)，F(xiàn)C=(0,2,-a)，CB=(V3,-1,0)，

設(shè)平面FBC的一個(gè)法向量為記=(x,y,z),

m?TC=2y—az=0

取x=L得記=(1,V3,—)；

m?CB=-\/3x—y=0a

取平面DFC的一個(gè)法向量為元=(1,0,0).

沆?同

由題意，得|cosV而，n>\=II_____1________V6解得a=V6，

同|x同Ji+3+「xi6

因?yàn)辄c(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，所以PD=2連;

(2)BF=(-V3,-1,V6)，PA=(-V3,1,2V6),

設(shè)異面直線BF與PA所成角為0,

則8止吐〈品，麗＞1=國=答;

(3)由(1)知平面FBC的一個(gè)法向量為記=(1,V3,V2),

又加=(-V3,1,V6),

設(shè)直線AF與平面BCF所成角為a,

則sina=—=2.=些

I酢岡利V10XV65

【點(diǎn)評】：本題考查直線與平面平行的判定，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題.

20.(問答題，12分)已知數(shù)列⑶｝滿足臼=1,an+1+an=4n(nEN*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正實(shí)數(shù)a,使得不等式上、?弋……弋?西匚〈號-三對一切正整數(shù)n都

成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【正確答案】：

【解析】：(1)通過構(gòu)造為等比數(shù)列求解；

(2)由(1)得丹……飛?再匚=5,：?3……—?ETT,再研究其單調(diào)性,

。1+1(Z2+Ia?i+l*246271

再得到最值，再解不等式即可求解.

(

【解答】：解：1)由an+i+an=4n,假設(shè)其變形為an+i+入(n+1)+[i=-(an+An+|i),

-22=4_A=-2

則有

-2,-4=0=4=1

所以an+i-2(n+1)+1=-(an-2n+l)，

又a「2+l=0.

所以an-2n+l=0,即an=2n-l；

(2)由(1)W=

an+l2n

1352n-l萬--r

所以意?熹-?-?-.........?V2n+1，

2462n

5后T

令=、|----2-n-—--1?V2n+:~~1,

f5)62n

1352n—l2n+lrz-~~—

貝Uf(n+1)=-..................?------V+3，

2462n2n+2

15+1)_篝15+3麻熏＜1,所以f(n)是遞減數(shù)列,

所以

f(n)V2n+1

所以=f(1)=IXV3=y,

所以使得不等式3?3……3?師—三一切正整數(shù)n都成立,

。1+1a2+1an+lv2a

則巴一a>西,

即a?-岳-6>0=(a—2V3)(a+V3)>0,

因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a>2g.

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題.

21.(問答題，12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經(jīng)過點(diǎn)A(1,

2),直線1：y=kx+b與拋物線C交于M,N兩點(diǎn).

(1)若為7=4耐，求直線1的方程；

(2)當(dāng)AM1AN時(shí)，若對任意滿足條件的實(shí)數(shù)k,者6有6=?11<+11(m,n為常數(shù))，求

m+2n的值.

【正確答案】：

【解析】：(1)由MN=404可得kMN=koA=2,則可得\\/

直線1為y=2x+b,設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),然后

將直線方程代入拋物線方程中消去y,再利用根與系數(shù)關(guān)7

系，由祈"=4力？可得X2-XI=4,三個(gè)式子結(jié)合可求出b,

從而得到直線方程；

(2)將直線方程代入拋物線方程，再利用韋達(dá)定理，由AM1AN可得(xi-1)(x2-l)+(yi-

2)(y2-2)=0,化簡后再結(jié)合前面的式子可求出b=2-k或b=?5k-2,從而可求出m,n的值,

進(jìn)而求得答案.

【解答】：解：(1)因?yàn)锳(1,2),MN^WA,所以kMN=koA=W=2,

則直線1方程為y=2x+b,設(shè)M(xi，yi),N(x2>y2)，

聯(lián)立?一J久,可得4x2+(鉆⑷x+b2=0,

y=2x+b

1

貝！△22得，且一

J=(4b-4)-16b>0,b<-2xi+x2=l-b,xiX2=4

因?yàn)辂?4a，所以(X2-X1，y2-yi)=4(1,2)=(4,8),

所以X2-X1=4,貝!J(X2-X1)2=(X2+X1)2-4X2X1=16,

所以(1-b)2-b2=16,解得b=-蔡，

所以直線方程為y=2x-T,即4x-2y-15=0；

(2)設(shè)M(xi，yi),N(X2，y2)，

聯(lián)立?7可得1^x2+(2kb-4)x+b2=0,

{.y=kx+b

貝1」△=(2kb-4)2-4k2b2>0,得kb-l<0,

口,4-2kbb2

且X1+X2=M,X1X2=-,

b

所以yi+y2=k(X1+X2)+2b=4-涓+2b=三,

22

yiy2=(kxi+b)(kxz+b)=kxiX2+kb(X1+X2)+b=,

因?yàn)锳M_LAN,所以前?麗=0,可得(xi-1)(x2-l)+(yi-2)(y2-2)=0,

即X1X2-(xi+x2)+l+yiy2-2(yi+y2)+4=0,

所以5k2+(6b-8)k+b2-4=0,

即(k+b-2)(5k+b+2)=0,

解得b=2-k或b=-5k-2,

當(dāng)b-k+2時(shí)，直線恒過A點(diǎn)，此時(shí)AM不存在，

故本題應(yīng)只有唯一解b=-5k-2,

此時(shí)m=-5,n=-2,

即有m+2n=-9.

【點(diǎn)評】：本題考查直線與拋物線的綜合，涉及拋物線中的定值問題，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于

中檔偏難題.

22

22.(問答題，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：ak=l(a>b>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)z，離心率為日.點(diǎn)P是橢圓上的一動點(diǎn)，且P在第一象限.記APFiFz的

面積為S,當(dāng)PF2IF1F2時(shí)，S=平.

(1)求橢圓E