專題2.1 三角形（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（湘教版）

專題2.1三角形（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點1】三角形定義三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形的表示：用符號“△”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“△ABC”【知識點2】三角形三邊關(guān)系三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊【知識點3】三角形的三種重要線段：（1）三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線。性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點。交點在三角形的內(nèi)部。結(jié)論：如圖，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，則（2）三角形的中線：連接三角形一個頂點和對邊中點之間的線段叫三角形的中線。性質(zhì)：三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，一定在三角形的內(nèi)部。三角形的一條中線把三角形面積兩等分；如圖AD為△ABC的中線，則有下列結(jié)論：（1）CD=BD,（3）三角形的高線：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間線段叫三角形的高線（簡稱高）性質(zhì)：銳角三角形的三條高線的交點在它的內(nèi)部；直角三角形三條高線的交點在它的直角頂點；如右圖鈍角三角形的三條高所在的直線的交點在它的外部；三角形的面積=×底×高（結(jié)論）在Rt△ABC中,AB⊥CD,則（等面積法）【知識點4】三角形的內(nèi)角關(guān)系（1）任意三角形三個內(nèi)角和等于180°；（2）直角三角形的兩個銳角互余?！局R點5】三角形的外角三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫三角形的外角。性質(zhì)：（1）三角形的一個外角與相鄰內(nèi)角互補(bǔ)；（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和。結(jié)論：（1）五角星五個角之和等于180°（2）三角形三個外角之和為360°【知識點6】命題對某一件事情作出判斷的陳述句叫作命題；任何一個命題由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成，分為真命題和假命題兩種；把一個命題的條件和結(jié)論反過來就成為它的逆命題。【知識點7】等腰三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：①兩腰相等，是軸對稱圖形②等邊對等角（即“等腰三角形的兩個底角相等”）③三線合一（即“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”）判定：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形②有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）【知識點8】等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：①三條邊都相等②三個角都相等，并且每個角都等于60度③三個“三線合一”（即每邊上的中線、高和該邊所對內(nèi)角的平分線互相重合）④等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形②三個角都相等的三角形是等邊三角形。③有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。【知識點9】垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線（1）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。（2）判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。（結(jié)論）到三角形三個頂點距離相等的點是三邊垂直平分線的交點。（3）用尺規(guī)作線段的垂直平分線:分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線?！局R點10】全等三角形全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上?！局R點11】全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等?！局R點12】三角形全等的判定（1）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）兩角分別相等且其中一組等角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）（4）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）?！局R點13】三角形的穩(wěn)定性由邊邊邊可知，只要三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小也就固定了，三角形的這個性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性?！究键c一】三角形三邊關(guān)系??構(gòu)成三角形的條件、求第三邊取值范圍、三角形內(nèi)角和【例1】（2023春·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D，E分別是，上任意一點，連接，若，．

（1）求線段的取值范圍；（2）若，，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，即可作答；（2）根據(jù)兩直線平行同位角相等以及三角形內(nèi)角和定理即可作答．解：（1）∵，，∴在中，，即，即線段BE的取值范圍為；（2）∵，∴，又∵，∴在中，．【點撥】此題考查的是三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）下圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容．下列回答不正確的是（

）定理：三角形的內(nèi)角和為．已知：．

求證：．證明：延長到點，過點作，◎（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），___▲______（_____※______）．（平角定義），（等量代換）．A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表兩直線平行，同位角相等【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明判斷即可．解：證明：延長到點，過點作，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（兩直線平行，同位角相等）．（平角定義），（等量代換）．∴四個選項中只有B選項結(jié)論錯誤，符合題意；故選B．【點撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期中）已知的兩條邊，的長分別為和，則使周長最大時，第三邊的正整數(shù)值是．【答案】8【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，根據(jù)題意解答即可．解：∵的兩條邊a,b的長分別為和，∴，即，∴c的正整數(shù)值是7或8，∵周長最大，∴．故答案為：8．【點撥】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【考點二】三角形三邊關(guān)系??三角形三條重要線段【例2】（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，于點，點為上的點（不與點重合），連接，，，．（1）當(dāng)平分時，求的度數(shù)；（2）若為的中線，且的面積為10cm2，直接寫出的長．【答案】（1）；（2）5cm【分析】（1）由角平分線定義得到，由垂直的定義得到，由三角形外角的性質(zhì)得到；（2）由三角形面積公式，即可求解．（1）解：平分，，于點，，；（2）解：為的中線，，的面積為，，．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、根據(jù)三角形的中線求長度、三角形的面積，熟練掌握角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·安徽阜陽·八年級?？计谥校┤鐖D，和是的中線，則以下結(jié)論：①；②是的重心；③與面積相等；④過的直線平分線段；⑤；⑥，其中正確的結(jié)論有（

）

A．①②③⑤B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線的定義與性質(zhì)及重心的定義可判定①，②，③，④，而根據(jù)已知條件無法判定⑤⑥，據(jù)此可求解．解：∵和是的中線，∴，分別為，的中點，∴，，故①正確；∵和是的中線，∴點是的重心，故②正確；∵，∴，故③正確；∵點是的重心，∴過的直線平分線段，故④正確；根據(jù)已知條件無法判定，，故⑤，⑥錯誤．故選：B．【點撥】本題考查了三角形的重心，三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形重心的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·寧夏吳忠·八年級校考階段練習(xí)）如圖，，垂足是點C，，，，則點C到距離是．

【答案】【分析】設(shè)點C到距離是，根據(jù)三角形的面積求解即可．解：設(shè)點C到距離是，根據(jù)三角形的面積可得：，解得：；故答案為：．【點撥】本題考查了等積法求三角形的高，掌握求解的方法是關(guān)鍵．【考點三】等腰三角形??求值、證明【例3】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，過點作的平分線的垂線，垂足為，作交于，，求的長．

【答案】10【分析】根據(jù)平分及可證出，再證，從而得到的長，在中求出即可．解：證明：平分，，，，，，，，，，，，，，．【點撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定及直角三角形性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·陜西榆林·八年級校考期中）如圖，為上一點，連接平分交于點，且，，，，則的長為（

）A．1.2 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】由平分，可得，，再由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得，代入數(shù)值進(jìn)行計算即可得到答案．解：平分，，，，，，，，故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運用．【變式2】（2021秋·湖南懷化·八年級校考期中）如圖，已知，，交于，且，，則．

【答案】【分析】利用兩直線平行，同位角相等可得，利用等量代換和等腰三角形的判定定理解答即可得出結(jié)論．解：∵，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，則，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點四】等邊三角形??求值、證明【例4】（2020秋·福建龍巖·八年級校考期中）如圖所示，已知為等邊三角形，點D為延長線上的一點，平分，．

（1）求證；（2）判斷的形狀，并加以證明．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)推出，即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可．解：（1）證明：∵等邊三角形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：為等邊三角形．證明：∵，∴，，∴，∴，∴為等邊三角形．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出是解此題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·重慶渝中·八年級重慶市求精中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點D、E分別在邊、上，將沿直線折疊，使點B落在點處，、分別交邊于點F、G．則陰影部分圖形的周長等于（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用折疊的性質(zhì)可得，利用等量代換和等式的性質(zhì)解答即可．解：利用折疊的性質(zhì)可得，∴，．∴陰影部分圖形的周長，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴陰影部分圖形的周長等于6，故選：C．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．【答案】【分析】分別作點P關(guān)于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當(dāng)點M、N在上時，的周長最?。猓悍謩e作點P關(guān)于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關(guān)于的對稱點為C，關(guān)于的對稱點為D，∴；∵點P關(guān)于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點撥】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D是解題的關(guān)鍵所在．【考點五】線段的垂直平分線??求值、證明【例5】（2022秋·安徽宣城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若周長為，求長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出，求出和，即可得出答案；（2）根據(jù)已知能推出，即可得出答案．（1）解：垂直平分，垂直平分，，，，，；（2）周長，，，即，．【點撥】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021秋·天津南開·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，，，平分，垂直平分，若點C沿折疊后與點O重合，則的度數(shù)為（

）．

A．64° B．52° C．62° D．74°【答案】A【分析】連接，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，根據(jù)，平分求出垂直平分，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，得出；根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，得出然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列式計算即可得．解：連接，

∵，平分，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，平分，∴垂直平分，∴，∴，∵點C沿折疊后與點O重合，∴，∴，∴，故選：A．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．【變式2】（2021秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，邊的中垂線，分別與、邊交于點、，邊的中垂線，分別與、邊交于點、，連接、．若的周長為16，，則的長為．

【答案】14【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得出，，再利用線段的和差關(guān)系即可解決問題．解：是線段的中垂線，是線段的中垂線，，，周長為16，，，，，，，故答案為：14．【點撥】本題考查線段的垂直平分線，三角形的周長等知識，解決問題的關(guān)鍵掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．【考點六】全等三角形??求值、證明【例6】（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，分別是和延長線上的點，且．

（1）與全等嗎？請說明你的理由；（2）若，，的面積為3，請直接寫出的面積．【答案】（1），見分析；（2）6【分析】（1）根據(jù)中線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定即可證明；（2）過點作交于點，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，的面積為3，根據(jù)三角形的面積公式求得，即可求解．（1）解：，理由如下：∵是的中線，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：過點作交于點，如圖：

∵，的面積為3，∴，的面積為3，∴，則的面積為．【點撥】本題考查了中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）在和中，下列條件：①，；②，；③，；④，．能得出的序號是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】在和中，已知一條公共邊，然后根據(jù)全等三角形的判定定理確定需要添加的條件即可得出答案．解：①在和中，，若添加條件，，則根據(jù)全等三角形的判定定理可以證得，故①符合題意；②在和中，，若添加條件，，則根據(jù)全等三角形的判定定理可以證得，故②符合題意；③在和中，，若添加條件，，則根據(jù)全等三角形的判定定理不可以證得，故③不符合題意；④在和中，，若添加條件，，則根據(jù)全等三角形的判定定理可以證得，故④符合題意；能得出的序號是①②④，故選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、（直角三角形）．注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？计谥校┤鐖D，，，三點在一條直線上，，，若使，則還需添加的一個條件是．（只填一個即可）【答案】（或或等）【分析】根據(jù)已知的一個角及直角三角形的斜邊對應(yīng)相等，利用三角形全等的判定定理依次分析添加條件．解：∵，，∴當(dāng)時，可根據(jù)證明，故答案為：；當(dāng)時，可根據(jù)證明，故答案為：；當(dāng)時，可根據(jù)證明，故答案為：；當(dāng)時，可根據(jù)證明，故答案為：．故答案為：（或或等）【點撥】此題考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【考點七】全等三角形幾何模型??求值、證明【例7】（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）在四邊形中，點E在邊上，，分別平分，．（1）在邊上找出點B關(guān)于直線的對稱點F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時，①若，求的大?。虎谥苯訉懗雠c的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見分析；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)，在上取即可，可證明，得到，，即可證明對稱；（2）①連接，在上找一點G，使，連接，，根據(jù)和，得到，，，根據(jù)，等量代換得到，再根據(jù)等邊對等角以及外角的性質(zhì)即可求出；②根據(jù)①中結(jié)論可得，根據(jù)平角的定義代換得到，根據(jù)，再次代換并化簡可得．（1）解：如圖，點F即為所求；∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴垂直平分，即F為B關(guān)于的對稱點；（2）①連接，在上找一點G，使，連接，，∵，∴，，同（1）可證：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，化簡得：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是將題中的線段關(guān)系通過全等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【舉一反三】【變式1】（202