2020-2021學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2020-2021學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一.單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=2（i是虛數(shù)單位），貝!]z=（）

A.1+zB.-1+zC.-1-zD.1-z

2.若向量a=（l,-1）>b=m+2），且a_Lb，則實(shí)數(shù)機(jī)=（）

A.-1B.1C.-2或1D.-1或2

3.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：A;="向上的點(diǎn)數(shù)為廣，其中i=l,2,3,

4,5,6,B="向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）

A.B.A2+B=CC.4與B互斥D.4與E對(duì)立

4.中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是

屋頂為單檐四角攢（cuan）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作

一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱長為冬歷Tn,側(cè)面與底面所成的銳二面角為0,

這個(gè)角接近30°,若取9=30°,則下列結(jié)論正確的是（）

中和Mi

A.正四棱錐的底面邊長為48機(jī)

B.正四棱錐的高為4根

C.正四棱錐的體積為768\Qm3

D.正四棱錐的側(cè)面積為9僅年!^

5.若。=0.3。2,b=ln3,c=log27,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<Zc<a

6.圖1和圖2中所有的三角形都是全等的等邊三角形.現(xiàn)將圖1和圖2組合（如圖3,即：

把圖1的等邊三角形放在圖3中的①、②、③、④、⑤的某一位置），那么，能圍成正

四面體的概率是（）

，、

△AA

\，、?

\，、，

、，、，

、談,0

S1圖2圖3

192

A.—B.—C.±D.1

555

7.函數(shù)/(x)=Asin(3x+cp)(A>0,3>0,|(p|<-^-)的部分圖像如圖所示，將/(x)

的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得的圖像沿x軸向

左平移3個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，則函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

(其中加、〃、上分別是△E4B、APAC、APBC的面積)，現(xiàn)已知x,y),

則4"’的最小值是()

xy

9721

A.—B.9C.—D.12

42

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.

9.設(shè)a,b,/為不同的直線，a,0,丫為不同的平面，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是()

A.若?！╝,a.\_b,則b_La

B.若a_Ly,p±y,aCi0=/,則/_Ly

C.若aua,〃〃dZ?cp,b//a,貝(Ja〃0

D.若a_L0,aG0=/,Aea,ABLI,則

10.根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》(G83095-2012)和各項(xiàng)污染物的生態(tài)環(huán)境效應(yīng)及其對(duì)人

體健康的影響，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQ/）的數(shù)值被劃分為六檔（見表1）.某市2021年6

月1日到6月14日AQ/的折線圖如圖2所示，夏彤同學(xué)隨機(jī)選擇6月1日到6月12日

中的某一天到達(dá)該市，并停留3天，則下列說法正確的是（）

AQIAQ/W5050VAQ/W100VAQ/W150VAQ/W200VAQ/WAg7>300

100150200300

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

A.該市14天的空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為170

B.夏彤同學(xué)到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量良的概率為目

C.夏彤同學(xué)在該市停留期間只有一天空氣質(zhì)量重度污染的概率為/

D.每連續(xù)三天計(jì)算一次空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，其中第5天到第7天的方差最大

11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1SC15中，M,N分別為棱Cid,CC的中

A.直線AM與是平行直線

B.直線與AC所成的角為60°

C.直線與平面ABCD所成的角為45°

D.平面截正方體所得的截面面積為日

12.G是△ABC的重心，AB=2,AC=4,ZCAB=120°,P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

則下列結(jié)論正確的是（)

A-GA+GB+GC=O

B.菽在標(biāo)方向上的投影向量等于標(biāo)

c.GB?AG苦

O

D.AP.（gp+而）的最小值為-1

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相應(yīng)題的橫線

上.

13.已知復(fù)數(shù)z=x+J§i（x>0,i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的模為2,

則x=.

14.如圖所示，RtAAEC為水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'CLB'C,B'O'=3,O'C

=4,則△ABC的面積是.

15.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,3,x,7,8,10,11,其中x#7,已知該組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為眾數(shù)的2倍，則：

（1）該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是；

（2）該組數(shù)據(jù)的方差為.

16.如圖1所示的幾何模型是由一個(gè)半圓和矩形組成的平面圖形，將半圓沿直徑AB折成直

二面角（如圖2）后發(fā)現(xiàn)，E在半圓?。ú缓珹、B點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的外

接球始終保持不變，若A2=3,AD=4,則該三棱錐外接球的表面積為.

四.解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.

17.從以下給出的①、②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

①2bsinA=QtanB,②（。-c）sinA+csinC=bsinB

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,若.

(1)求角B的值；

(2)求△ABC的面積取得最大值?時(shí)，邊。的長.

18.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜謎語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)謎語，已知甲每

輪猜對(duì)的概率為垓，乙每輪猜對(duì)的概率為尸.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，

各輪結(jié)果也互不影響.若“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)謎語的概率為噌.

(1)求尸的值；

(2)求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)謎語的概率.

19.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，平面PBC_L平面ABCD,ZPBC=90°,AD//BC,Z

ABC=90。，2AB=V2CD=2AD=2,E為尸C的中點(diǎn).

(1)證明：DE〃平面APB；

(2)若BP=2,求三棱錐尸的體積.

20.依據(jù)《齊齊哈爾市城市總體規(guī)劃(2011-2020)》，擬將我市建設(shè)成生態(tài)園林城、裝備

工業(yè)基地、綠色食品之都、歷史文化名城.計(jì)劃將圖中四邊形區(qū)域CDE尸建成生態(tài)園林

城，CD,DE,EF,尸C為主要道路(不考慮寬度).已知/PCZ)=90°,NCDE=120°,

FE=3ED=3CD=3km.

(1)求道路C「的長度；

(2)如圖所示，要建立一個(gè)觀測站A,并使得/E4c=60°,AB±DC,求AB兩地的最

大距離.

果齊?年布?帚解律及總

21.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念，傳承紅色

基因，市教育局以“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并

舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識(shí)競賽.競賽共設(shè)100個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共

100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將成績分成以下七組：［72,76),

[76,80),[80,84),[84,88),[88,92),[92,96),[96,100],

并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù);

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)

行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.

0.0'50

0.0400

0.03-5

0.0300

0.0200

芬藪

22.如圖1,已知三棱錐尸-ABC,圖2是其平面展開圖，四邊形ABCD為正方形，AABE

和△BCF均為正三角形，AB=V3.

(1)求二面角C-PA-B的余弦值；

X€玲，"I],點(diǎn)N在棱BP上，且即LAN,

(2)若點(diǎn)M在棱PC上，滿足入

參考答案

一.單選題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.復(fù)數(shù)Z滿足z(1-0=2(，是虛數(shù)單位)，則Z=()

A.1+zB.-1+fC.-1-zD.1-f

解:,:z(1-0=2,

:?z(1-0(1+z)—2(1+i),

?\z=1+z.

故選：A.

2.若向量@=(1,-I),b=m+2)，且aj_b則實(shí)數(shù)機(jī)=()

A.-1B.1C.-2或1D.-1或2

解：:a_Lb?

a'b=m2-m-2=0＞解得m=-l或2.

故選：D.

3.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：4="向上的點(diǎn)數(shù)為i"，其中i=l,2,3,

4,5,6,B="向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則下列說法正確的是()

A.B.A2+B=flC.4與8互斥D.4與另對(duì)立

解：對(duì)于4耳={2,3,4,5,6},B={2,4,6),

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,A2+B={2}+{2,4,6}={2,4,6}WQ,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,4與8不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確；

對(duì)于。，A4={4},B={1,3,5},4與E是互斥但不對(duì)立事件，故。錯(cuò)誤；

故選：C.

4.中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是

屋頂為單檐四角攢(cuan)尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作

一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱長為側(cè)面與底面所成的銳二面角為0,

這個(gè)角接近30°,若取6=30°,則下列結(jié)論正確的是()

中加殷

A.正四棱錐的底面邊長為48小

B.正四棱錐的高為4加

C.正四棱錐的體積為76隊(duì)后1^

D.正四棱錐的側(cè)面積為9g?m2

解：如圖，在正四棱錐S-A3C。中，。為正方形ABCD的中心，SH±AB,

設(shè)底面邊長為2a.正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為。，這個(gè)角接近30°,取6

=30°,

ZSHO=30°,

則0H=a,0S=?a，SH=^^'

33

2

在RtZ\SA”中，a+解得。=12,底面邊長為24"?,

x12=4V3m,側(cè)面積為5=4X-^-X24X-^^-x12=384V3m2)

乙o

體積V=^-X24x24x443768A/3W3.

J

故選：C.

5.若〃=0.3%b=ln3,c=log27,貝！J〃，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<.b<ZcC.b〈a<cD.b<c<a

解：因?yàn)閥=0.3%在R上單調(diào)遞減，且0.2>0,所以0V〃=0.3。2Vo.3。=1,即OV〃V1；

因?yàn)?gt;=/心在（0，+°°）上單調(diào)遞增，且/>3>e,所以歷6</?=加3V歷即1VZ?V

2；

因?yàn)閥=logM在（0,+8）上單調(diào)遞增，且4V7V8,所以log24Vc=log27Vk）g28,即2

<c<3.

故a<b<c.

故選：B.

6.圖1和圖2中所有的三角形都是全等的等邊三角形.現(xiàn)將圖1和圖2組合（如圖3,即：

把圖1的等邊三角形放在圖3中的①、②、③、④、⑤的某一位置），那么，能圍成正

四面體的概率是（）

//_、*

△AA

、，、9

\、，，、、，?

S1圖2S3

193

A.—B.-C.3D.1

555

解：當(dāng)圖1的三角形放在圖3的①②⑤位置時(shí)，能圍成正四面體，所以概率為?1.

故選：C,

7.函數(shù)/（%）=Asin（（ji）x+（p）（A>0,（n>0,|（p|V胃）的部分圖像如圖所示，將/（%）

的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖像沿工軸向

左平移三個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（X）的圖像，則函數(shù)g（X）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

O

上"="/

2336

結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得2乂口+0=二，=f(x)=sin(21+烏).

6266

1TT

將/(元)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍(縱坐標(biāo)不變)，可得y=sin(±x+F)

26

的圖像.

TT1TTTT

再把所得的圖像沿了軸向左平移g個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)=sin(率+?+?)

3266

1TT

—sin(--xH■——)的圖象.

23

5兀

令2kn-2-W工X+E-W2ZTI+2",求得4左IT-可得函數(shù)g(x)的單

22323

調(diào)遞增區(qū)間為［4加-殍，4加+二］,在Z,

33

令k=0,可得一個(gè)增區(qū)間為［-萼，；］,

OO

故選：A.

8.設(shè)尸是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且前?d=-2近，NAC3=30°,定義/(尸)=(m,n,k)

(其中機(jī)、n、%分別是△PA8、△尸AC、△尸8C的面積)，現(xiàn)已知f(P)=(芯x,y),

則的最小值是()

xy

9721

A.—B.9C.—D.12

42

解：:亥?亂=-2加,ZACB=30°,

ab9cos(n-ZACB)=-ab=4,

S^ABC——absinXACB=-X4X—=1,

222

,?x+y+-=1，??x+y-----,

44

+—=(—+—)(x+y)X—=(J^l+X+5)x—(2?+5)X—=12,

xyyxyx3yx33

當(dāng)且僅當(dāng)至=工時(shí)取等號(hào)，

yx

.?.婦匕的最小值是12.

xy

故選：D.

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.

9.設(shè)a,b,/為不同的直線，a,p,丫為不同的平面，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是()

A.若?！╝,aLb,則b_La

B.若a_Ly,p±y,aAp=/,貝I]/_Ly

C.若aua,a//(i,6u0,b//a,則a〃0

D.若觀_10,aAp=/,Aea,AB±l,則

解：A選項(xiàng)：取AC〃平面ABCD,AiCi±BiA,但是Bid不平行于平面ABC。，命題

A錯(cuò)誤.

8選項(xiàng)：設(shè)any=a,0門丫=匕，在平面丫分別取直線機(jī)滿足直線"滿足"_L6.

因?yàn)閍_Ly,p±Y>所以："_La,又/Ua,所以/Lw,/_!_〃，所以/_1_丫.命題

8正確.

C選項(xiàng)：4囪〃平面ABCD,C?！ㄆ矫?/p>

但平面ABCD與平面ABBiAr不平行，命題C錯(cuò)誤.

■D選項(xiàng)：平面ABCD_L平面交線為AB,

216平面ABBiAi,BiC.LAB,

但SC與平面ABCO不垂直，命題。錯(cuò)誤.

故選：ACD.

10.根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（GB3095-2012）和各項(xiàng)污染物的生態(tài)環(huán)境效應(yīng)及其對(duì)人

體健康的影響，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQ/）的數(shù)值被劃分為六檔（見表1）.某市2021年6

月1日到6月14日AQ/的折線圖如圖2所示，夏彤同學(xué)隨機(jī)選擇6月1日到6月12日

中的某一天到達(dá)該市，并停留3天，則下列說法正確的是（）

A.該市14天的空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為170

B.夏彤同學(xué)到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量良的概率為手

C.夏彤同學(xué)在該市停留期間只有一天空氣質(zhì)量重度污染的概率為/

D.每連續(xù)三天計(jì)算一次空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，其中第5天到第7天的方差最大

解：A選項(xiàng)，空氣質(zhì)量指數(shù)的最大值為218,最小值為34,所以極差為218-34=184,

說法錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，1日至12日中，空氣質(zhì)量為良的日期為1日，3日，12日，故概率為之吁,

124

說法錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，停留期間空氣質(zhì)量指數(shù)分別為：

(79,34,59),(34,59,142),(59,142,218),(142,218,149),

(218,149,38),(149,38,215),(38,215,150),(215,150,123),

(150,123,159),(123,159,84),(123,159,84),(159,84,77),

(84,77,42)共12種，

其中只有一天空氣質(zhì)量重度污染為：

(59,142,218),(142,218,149),(218,149,38),(149,38,215),

(38,215,150),(215,150,123)共6種，

概率為擊弓，說法正確.

D選項(xiàng)，方差反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，5日一7日波動(dòng)最大，故方差最大，說法正確.

故選：CD.

11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-AiSCid中，M,N分別為棱CQi,GC的中

A.直線AM與BN是平行直線

B.直線與AC所成的角為60°

C.直線與平面ABC。所成的角為45

Q

D.平面BMN截正方體所得的截面面積為著

解：以。為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),Di(0,0,2),

Cl(0,2,2).

,：M,N分別為棱CQi,CiC的中點(diǎn),：.M(0,1,2)、N(0,2,1),

則高=「2,1,2),(-2,0，1)，和而不共線，故A錯(cuò)誤;

MN=(。，1，T)，AC=(-2,2,0),

MNAC_0+2+0n

?'?cos(疝，AC>1而AC>

iMNl-lACIV2'V82-3

...直線MN與AC所成的角為-3，故2正確.

由于平面ABC。的一個(gè)法向量為7=(0,0,1),

n,MN0+0-1返

COS<，>==

nm--

InI-1MNI1XV2T

A<n-疝>=筌，直線MN與平面ABCO所成的角為子，故C正確;

連接4B,易知AB〃MN,則平面BMN截正方體所得的截面為等腰梯形4BMN,

:棱長為2

；.AiB=2&,MN=M，BN={]+4=浜,

3

.,?等腰梯形的高為

梯用=￡(2揚(yáng)&)X盤=g,

???S(AiB+MN)故D錯(cuò)誤,

V22vzvz722

故選：BC.

a

12.G是△ABC的重心，AB=2,AC=4,ZCAB=120°,P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

則下列結(jié)論正確的是（）

A.GA+GB+GC=0

B.菽在誣方向上的投影向量等于屈

c.GB,AG苦

D.AP.（BP+而）的最小值為-1

解：A：當(dāng)點(diǎn)G為△ABC的重心時(shí)，

如圖所示：四邊形BDCG為平行四邊形，

B：：正在標(biāo)方向上的投影為Im|cosl20°=4X(-1)=-2,

二菽在亞方向上的投影向量為-標(biāo)，錯(cuò)誤，

C：：G是△ABC的重心，

?'-GB=-y(BA+BC)=-y(BA+BA+AC^=y(2無一反)，

AG=4(標(biāo)+豆，

o

-，?GB,AG=4(2AB-AC)?(AB+AC)=4(2AB2+AB,AC-AC2)

114.

——[8+2X4X()-16]—,?'?C正確，

923

D：當(dāng)尸與G重合時(shí)，V7p-(BP+CP)=AG*(BG+CG)

=-正2=--(AB2+AC2+2AB,AC)=-參錯(cuò)誤,

故選：AC.

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相應(yīng)題的橫線

上.

13.已知復(fù)數(shù)2=乂+%1（X>O,i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的向量的模為2,

則x=1.

解：?.?復(fù)數(shù)z=x+我i（x>o,i為虛數(shù)單位），且復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的向量的模為2,

22=

kl=^x+（Vs）2,解得了=1，%=T（舍去），

故x=l.

故答案為：1.

14.如圖所示，RtAASC為水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'C±B'C,B'O'=3,O'C

=4,則△ABC的面積是28，^.

解：RtAAEC中,A'C±B'C,B'O'=3,O'C'=4,

所以"C=1,A'C=4,

所以4A'B'C的面積為S'=—X7X4=14,

2

所以△ABC的面積是S=214=28-^2.

故答案為：28y.

15.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,3,x,7,8,10,11,其中x#7,已知該組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為眾數(shù)的2倍，貝U：

（1）該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是6；

（2）該組數(shù)據(jù)的方差為11.25.

解:（1）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,3,x,7,8,10,11,其中xW7,

???該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為眾數(shù)的2倍，

v+7

.,.——=2X3,解得x=5.

"."8X0.75=6,

???該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是8.

（2）該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

—(1+3+3+5+7+8+10+11)=6,

8

該組數(shù)據(jù)的方差為：

(1-6)2+(3-6)2+(3-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(10-6)2+(11

-6)2]=11.25.

故答案為：(1)6；(2)11.25.

16.如圖1所示的幾何模型是由一個(gè)半圓和矩形組成的平面圖形，將半圓沿直徑AB折成直

二面角(如圖2)后發(fā)現(xiàn)，E在半圓弧(不含A、B點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐￡-48。的外

接球始終保持不變，若AB=3,AD=4,則該三棱錐外接球的表面積為25TT.

AAEB是直角三角形，.?.半徑廠=[福普,

三棱錐E-ABD的高//=4。=4不變，

解得氏="^"，

從而可得該三棱錐外接球的表面積S=4TT7?2=25TT.

故答案為：25n.

四.解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.

17.從以下給出的①、②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

①2Z?sinA=atanB,②(a-c)sinA+csinC=bsinB

已知3c的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是。、b、c,若.

(1)求角2的值；

(2)求△ABC的面積取得最大值?時(shí)，邊b的長.

解：(1)若選①：由正弦定理2加inA=〃tanB可化為2sinBsinA=sinAtan8,

1TT

則cos8=x，因?yàn)锽e(0,11),所以3=-??；

23

若選②：由正弦定理(。-c)sinA+csinC=bsinB可化為(〃-c)a+c2=b2,即a2+C2-

b2—ac,

2.2,20「1

由余弦定理可得cosB=?.tS_~b=-^=A,

2ac2ac2

n

因?yàn)锽e（0,TT）,所以8=.；

o

（2）因?yàn)閏os3=工，BPb2=a2+c2-ac^lac-ac=ac,

2

所以S=—acsinB=-x=^^-ac,

22244

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，S取最大值為返〃，

4

即有返〃=次，解得b=2.

4

18.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜謎語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)謎語，已知甲每

輪猜對(duì)的概率為今，乙每輪猜對(duì)的概率為P在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，

各輪結(jié)果也互不影響.若“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)謎語的概率為噌.

（1）求尸的值；

（2）求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)謎語的概率.

解：（1）???“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)謎語的概率為噌，

??亭l-p）+（l等）p哈，

解得P=^.

（2）設(shè)事件4="甲第一輪猜對(duì)"，事件8="乙第一輪猜對(duì)”，

事件C="甲第一輪猜對(duì)"，事件。="乙第一輪猜對(duì)”，

，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)謎語的概率為：

P<ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(。

P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

+

=2(^-X^-X-^-X4TX4-X-^-

43434343

一匹

19.如圖，在四棱錐P-A3CD中，平面PBC_L平面A3CD,ZPBC=90°,AD//BC,Z

ABC=90a,2AB=V2CD=2AD=2,E為PC的中點(diǎn).

(1)證明：DE〃平面APB；

(2)若8尸=2,求三棱錐E-D8P的體積.

【解答】(1)證明：取PB中點(diǎn)E連接尸E,FA,

是CP的中點(diǎn)，J.EF//CB,EF=￡CB,

?：AD//BC,ZABC=90°,：.ZDAB=90°,

,：AD=AB=1,：.BD=-/2,ZAZ)B=45°,則/ZMC=45°,

又?：CD=M，：./CDB=90°,可得C8*CD2+BD2=2,

J.AD//CB,AD^—CB,

2

：.EF//AD,EF=AD,得四邊形ADE尸為平行四邊形，

：.DE//AF,

又DEC平面ABP,AFu平面ABP,

.?.DE〃平面AP&

(2)解：取BC中點(diǎn)O,連接OO,：.DOLCB,

?平面平面尸BC_L平面ABCD,平面PBCA平面ABCD=CB,

.??。0，平面尸8(3,則。。為三棱錐O-EB尸的高，

又,:BC=BP=2,：.BE±CP,得8E=/cP=后,

Z)C，X

.*?VE-DBP—VD-EBp=^-D0-SAEBP=4[XBEXEP)

=4-xix4XV2XV2)4-

故三棱錐E-DBP的體積為日.

o

20.依據(jù)《齊齊哈爾市城市總體規(guī)劃(2011-2020)》，擬將我市建設(shè)成生態(tài)園林城、裝備

工業(yè)基地、綠色食品之都、歷史文化名城.計(jì)劃將圖中四邊形區(qū)域CDEF建成生態(tài)園林

城，CD,DE,EF,FC為主要道路(不考慮寬度).已知/尸8=90°,NCDE=120。，

FE=3ED=3CD=3km.

(1)求道路CF的長度；

(2)如圖所示，要建立一個(gè)觀測站A,并使得/E4c=60°,AB±DC,求AB兩地的最

大距離.

解：(1)連接EC,由余弦定理可得EGuED+ZX?-2EZ>DCcosl20。=3,所以EC

=?,

由DC=ED,ZCDE=120°,所以/E0)=30°,

因?yàn)镹QCF=90°,所以NECF=60°,

222

在尸中，COS/￡CP=ECFF二EF,所以c產(chǎn)-,,^CF-6=0,解得CP=2、/§,

2EC-CF

即道路CF的長度為2小m；

2M

(2)設(shè)/FC4=a,在△CE4中，由正弦定理可得.%==本

sinz_FCAsi.nkoO1+a)---

2

=4,

所以AC=4sin(60°+a),

因?yàn)锳3_L0C,所以NABC=90°，

所以人8〃。憶ZCAB=a,則A8=ACcosa=4sin(60°+a)cosa,

所以A5=2^/^cos2a+2sinacosa=^/^cos2a+sin2a+、m=2sin(2a+60°)4-^/3,

因?yàn)?°<a<90°,所以60°<2a+60°<240°,

所以當(dāng)2a+60°=90°,即a=15°,AB取最大值為2+遂，

故AB兩地的最大距離為(2+正)km.

E

21.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念，傳承紅色

基因，市教育局以“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并

舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識(shí)競賽.競賽共設(shè)100個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共

100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將成績分成以下七組：[72,76),

[76,80),[80,84),[84,88),[88,92),[92,96),[96,100],

并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)；

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨