2022-2023學(xué)年福建省福州市九年（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年福建省福州市九年（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）

1.（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.投擲一枚硬幣，向上一面是反面

B.同旁內(nèi)角互補

C.打開電視，正播放電影《守島人》

D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。

3.（4分）將拋物線y=-2（x-1>-3向右平移5個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物

線是()

A.y=-2(x-6)2-1B.y=-2(x-6)2+5C.y=-2(x-6)2-5D.y=-2(x+6)2-5

4.（4分）用求根公式法解得某方程62+fet+c=0的兩根互為相反數(shù)，則（）

A.Z?=0B.c=0C.h2—4QC=0D./?+c=0

5.（4分）若正比例函數(shù)y=/nx（/nwO）,y隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=/加+機

6.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（-3,5）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（）

A.(5,-3)B.(3,5)C.(-3,-5)D.(3,-5)

7.（4分）如圖，A4BC內(nèi)接于O,且AB=AC,連接80并延長交：。于點D,交AC于

點、E,連接8,若N4CO=22。，則N3EC的大小為（）

A.44°B.50°C.66°D.68°

8.（4分）如圖，A,B,C,。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，若NA￡>8=30。,

則這個正多邊形是（）

A.正六邊形B.正七邊形C.正八邊形D.正九邊形

9.（4分）正比例函數(shù)y=尸0）與反比例函數(shù)y=生二1（ewl）的大致圖象如圖所示,

x2

則占，心的取值范圍分別是（）

A.&]>0,k[>—B.K>（）,k?<—C.勺<0,卜>—D.&<0,心<—

10.（4分）如圖，在AABC中，AB<AC,將AA6C以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到AADE,

點。在8c邊上，OE交AC于點下列結(jié)論：①AA尸②八4平分N8DE；③

ZCDF=ZBAD,其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A

E

/

BDC

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題（共6題，每題4分，共24分）

11.（4分）關(guān)于x的一元二次方程f+2x-2m+1=0的兩實數(shù)根之積為負(fù)，則實數(shù)機的取

值范圍是—.

12.（4分）若點A（3,y）,fi（-5,y2）,C（7,%）為二次函數(shù)y=*+2>-9的圖象上的三點,

則為，，%的大小關(guān)系是-

13.（4分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游時準(zhǔn)備站成一排拍照合影留念，則甲和丁相鄰的

概率為—.

14.（4分）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=BC=2應(yīng),將AA8C繞點A逆時針

15.（4分）如圖，O的直徑8=20?！?，弦AB=16C7〃，ABLCD,垂足為貝ICM的

長為—,

A

16.（4分）如圖，四邊形ABOC為菱形，ZBOC=60°,反比例函數(shù)y=A（x<0）的圖象經(jīng)

X

過點3,交AC邊于點P,若ABOP的面積為46，則點A的坐標(biāo)為

y

三、解答題(共9題共86分)

17.解方程:

(1)16(x+3)2-16=0；

(2)X(2X+3)=4X+6.

18.已知拋物線丫=潑一for+3經(jīng)過點4(1,2),8(3,3).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)判斷點C(-2,-l)是否在此拋物線上.

19.如圖，已知4),3c相交于點E,且AAEBS&DEC,CD=2AB,延長DC到點G,

使CG='C￡>,連接AG.

2

(1)求證：四邊形ABCG是平行四邊形；

(2)若NG4￡)=90。，AE=2,CG=3,求AG的長.

I

20.如圖，B,C是反比例函數(shù)y=A(%/o)在第一象限圖象上的點，過點3的直線y=x-l

X

與*軸交于點A,C￡)_Lx軸，垂足為。，C￡)與交于點E,OA=AD,8=3.

(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求ABCE的面積.

21.如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面在/時，拱頂離水面2米，水面寬4米.

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)水面下降3米時，求水面寬增加了多少米？

22.如圖，點A/,N分別在正方形ABC。的邊BC,8上，且NM4N=45。.把AADN繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AABE.

(1)求證：MEM=AANM.

(2)若助0=3,DN=2,求正方形的邊長.

23.ETC(ElectromcTollCollection)不停車收費系統(tǒng)是目前世界上最先進(jìn)的路橋收費方

式.安裝有ETC的車輛通過路橋收費站無需停車就能交納費用.某高速路口收費站有A,B,

C,。四個ETC通道，車輛可任意選擇一個夕C通道通過，且通過每個夕C通道的可能

性相同，一天，小李和小趙分別駕駛安裝有ETC的汽車經(jīng)過此收費站.

(1)求小李通過A通道的概率；

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出兩人通過此收費站的所有可能結(jié)果，并求出小李和

小趙經(jīng)過相同通道的概率.

24.如圖，直線他，BC,CD分別與「O相切于￡、F、G,且/W〃C￡>,OB=5cm,

OC=12cm.求：

（1）NBOC的度數(shù);

（2）8E+CG的長;

（3）.。的半徑.

25.如圖，拋物線>=小-2奴+。的圖象與x軸交于A、8兩點，點A為（-1,0）,O3=OC.直

線=+b與拋物線交于M、N兩點（M在N左邊）,交y軸于點4.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若b=l,過C點作8，/于點。，連接4）、AC,若此時A￡>=AC,求M

點的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2,若k=4連接BM、BN,過原點O作直線RV的垂線，垂足為E,以O(shè)E

為半徑作O.

求證：O與直線3M相切.

圖1圖2

2022-2023學(xué)年福建省福州市九年（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）

1.（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直

線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個

圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【解答】解：4、不是軸對稱圖形，是中線對稱圖形，不符合題意；

3、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.投擲一枚硬幣，向上一面是反面

B.同旁內(nèi)角互補

C.打開電視，正播放電影《守島人》

D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。

【分析】根據(jù)確定事件和隨機事件的定義來區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定

性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定

條件下，一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能

不發(fā)生的事件稱為隨機事件.

【解答】解：A.投擲一枚硬幣，向上一面是反面，是隨機事件，故該選項不符合題意；

B.同旁內(nèi)角互補，是隨機事件，故該選項不符合題意；

C.打開電視，正播放電影《守島人》，是隨機事件，故該選項不符合題意：

。.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。，是必然事件，故該選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵.

3.（4分）將拋物線y=-2（x--3向右平移5個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物

線是（）

A.y=—2（x—6）~—1B.y=—2（x—6）~+5C.y=—2（x—6）--5D.y=—2（x+6）—-5

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【解答】解：拋物線y=-2（x-l）2-3向右平移5個單位，再向下平移2個單位，

得到的拋物線是y=-2（x-1-5y-3-2,即y=-2（x-6）2-5.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.（4分）用求根公式法解得某方程加+6x+c=0的兩根互為相反數(shù)，則（）

A.h=0B.<?=0C.b2-4cic=0D.h+c=0

【分析】由題可知，兩根互為相反數(shù)，所以其和為0,列出方程，即可求解.

【解答】解：設(shè)該一元二次方程以2+法+。=0（4工0）的兩個根分別是百、多,

方程江+灰+c=0的兩根互為相反數(shù)，

二.玉+%2=0.

由根與系數(shù)關(guān)系可得西+々=--=0,

a

.\b=0-

故選：A.

【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的靈活應(yīng)用，得到根與系數(shù)的關(guān)系式是

解答的關(guān)鍵；

5.（4分）若正比例函數(shù)y=/nr（〃件0）,），隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=皿?+%

的圖象大致是()

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)確定帆＜0,則二次函數(shù))，=儂2+，〃的圖象開口方向向

下，且與y軸交于負(fù)半軸.

【解答】解：?正比例函數(shù)y=/nr(，"HO),y隨x的增大而減小，

.?.該正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，且〃z＜0.

.,.二次函數(shù)y+機的圖象開口方向向下，且與y軸交于負(fù)半軸.

綜上所述，符合題意的只有A選項.

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象、正比例函數(shù)圖象.利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，推知帆＜0

是解題的突破口.

6.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，點尸(-3,5)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為()

A.(5,-3)B.(3,5)C.(-3,-5)D.(3,-5)

【分析】關(guān)于原點對稱的點，橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

【解答】解：；-3的相反數(shù)是3,5的相反數(shù)是-5,

點尸(-3,5)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(3,-5).

故選：D.

【點評】此題利用了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征.

7.(4分)如圖，A48C內(nèi)接于O,且AB=AC,連接80并延長交)。于點。，交AC于

點E,連接CD,若NA8=22。，則N3EC的大小為()

B

A.44°B.50°C.66°D.68°

【分析】由圓周角定理可得48=90。，即可求得NACB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解N8AC的度數(shù)，結(jié)合圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)可求

解.

【解答】解：為一。的直徑，

..ZB8=90°，

ZACD=22°,

ZACB=90°-22°=68°,

AB=AC,

..ZAfiC=ZACS=68°,

Na4C+ZABC+ZACB=180°,

/.NBDC=ABAC=180°-68°-68°=44°,

:.ZBEC=ZBDC+ZACD=44。+22。=66。.

故選：C.

【點評】本題主要考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，求解N54c

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（4分）如圖，A,B,C,。為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，若Z4DB=30。，

則這個正多邊形是（）

A.正六邊形B.正七邊形C.正八邊形D.正九邊形

【分析】根據(jù)圓周角定理可得正多邊形的邊A3所對的圓心角408=30。，再根據(jù)正多邊

形的一條邊所對的圓心角的度數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系可得答案.

【解答】解：如圖，設(shè)正多邊形的外接圓為O,連接。4,OB,

D

/.ZAOB=2ZADB=60°,

而360°+60°=6,

二.這個正多邊形為正六邊形，

故選：A.

【點評】本題考查正多邊形與圓，圓周角，掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵，理解正多邊

形的邊數(shù)與相應(yīng)的圓心角之間的關(guān)系是解決問題的前提.

9.（4分）正比例函數(shù)丫=%宜女產(chǎn)0）與反比例函數(shù)丫=生「化/3的大致圖象如圖所示，

x2

則匕，網(wǎng)的取值范圍分別是（）

A.匕>0,k、>—B.^]>0,h<—C.k[<。，k、>—D.4v0,<—

_2~2~2-2

【分析】分別根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象的特點解答.

【解答】解：正比例函數(shù)y=過二、四象限，故匕<0;

反比例函數(shù)y=的圖象在二、四象限，故2匕-1<0,即

x2

故選：D.

【點評】本題考查反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特點：（1）反比例函數(shù)y=4的圖象是雙

曲線，當(dāng)4>0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；當(dāng)A<0時，它的兩個分支分別位

于第二、四象限.（2）正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：%>0,正比例函數(shù)的圖象過原點、在第一、

三象限；k<0,正比例函數(shù)的圖象過原點、在第二、四象限.

10.（4分）如圖，在AABC中，AB<AC,將AASC以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到AADE,

點。在3c邊上，DE交AC于點、F.下列結(jié)論：①AAFEs^DFC；②ZM平分/BDE；③

NCDF=NBAD,其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出Nfi4c=〃4E,ZB=ZADE,AB=AD,NE=NC,進(jìn)而得

出N8=/4D5,得出N4DE=Z4￡)8,得出D4平分NBDE,可判斷結(jié)論②符合題意；由

ZAFE=ZDFC,NE=NC,得出AAFES&DFC,可判斷結(jié)論①符合題意；由NS4C=NZi4￡,

得出/B4￡)=44E,由相似三角形的性質(zhì)得出NE4￡=NC7)F,進(jìn)而得出NaM>=NCOF,

可判斷結(jié)論③符合題意；即可得出答案.

【解答】解：將A48C以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到皿史，

:.ABAC=ZDAE,ZB=ZADE,AB=AD,NE=NC,

：.ZB=ZADB,

..ZADE^ZADB,

:.DA平分ZBDE,

②符合題意；

ZAFE=ZDFC,ZE=ZC,

/SAFE^ADFC，

①符合題意；

-ZBAC=ZDAEf

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC，

??.ZBAD=ZFAE,

MFEs^DFC，

:.ZFAE=ZCDF,

??.ZBAD=NCDF,

③符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形

的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題(共6題，每題4分，共24分)

11.(4分)關(guān)于x的一元二次方程/+2犬-2〃?+1=0的兩實數(shù)根之積為負(fù)，則實數(shù)m的取

值范圍是m>—.

-2-

【分析】設(shè)%、々為方程Y+2x-2〃7+l=0的兩個實數(shù)根.由方程兩根之積為負(fù)可得出關(guān)

于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)王、超為方程/+2*-2〃?+1=0的兩個實數(shù)根，

由已知得：卜>°,即博>。

[x,-x2<0[-2m+1<0

解得：m>—.

2

故答案為：，

2

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是得

出關(guān)于m的一元一次不等式組.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根

的情況結(jié)合根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于根的一元一次不等式組是關(guān)鍵.

12.(4分)若點A(3,y),B(-5,y2),C(7,%)為二次函數(shù)y="+2>-9的圖象上的三點，

則%，丫2，%的大小關(guān)系是_必<乂<丫3—?

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向上,對稱軸是直線x=-2,根據(jù)x>-2時，

y隨x的增大而增大，即可得出答案.

【解答】解：y=(x+2)、9,

圖象的開口向上，對稱軸是直線x=-2,

8(-5,y2)關(guān)于直線x=-2的對稱點是(1,丫2)>

1<3<7,

-,?必<弘<%，

故答案為：y2<y,<y3.

【點評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和

掌握，能熟練地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

13.（4分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游時準(zhǔn)備站成一排拍照合影留念，則甲和丁相鄰的

概率為-.

一2一

【分析】畫樹狀圖，共有24種等可能的情況，其中甲和乙相鄰的情況有12種，再由概率公

式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

AAAAAAAAAAAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙乙丁甲丁乙甲乙丙甲丙甲乙

共有24種等可能的情況，其中甲和乙相鄰的情況有12種，

.?.甲和乙相鄰的概率為上101

242

故答案為：

2

【點評】本題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,

適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

14.（4分）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=BC=2垃,將AABC繞點A逆時針

旋轉(zhuǎn)60。，得到連接BE,則%;的長是_2石+2

【分析】首先考慮到班所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求防，可能需要

構(gòu)造直角三角形.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AE,NC4E=60。，故A4CE是等邊三角形,

可證明AABE與全等，可得到NABE=45。，ZAEB=3QP,再證AAfB和AAFE是直

角三角形，然后在根據(jù)勾股定理求解

【解答】解：連接CE,設(shè)3E與AC相交于點尸，如下圖所示，

RtAABC中，AB=BC,ZABC=90°

:.ZBCA=ZBAC=45°

RtAABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與RtAADE重合,

ABAC-=ZDAE=45°,AC=AE

又旋轉(zhuǎn)角為60。

:.ZBAD=ZCAE=6O°,

.?.AACE是等邊三角形

/.AC=CE=AE=4

在AA8E與AC8E中，

BA=BC

<AE=CE,

BE=BE

:.MBE^ACBE(SSS)

ZABE=ZCBE=45°,ZCEB=ZAEB=30°

.,.在AASE中，ABFA=180°-45°-45°=90°

:.ZAFB=ZAFE^9CP

在RtAABF中，由勾股定理得,

又在RtAAFE中，ZAEF=30°,NA/芯=90。，可得FE=6AF=26

;.BE=BF+FE=2+26

故答案為2+26

【點評】此題是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)題，解決此題，關(guān)鍵是思路要明確：“構(gòu)造”直角三角形.在熟練

掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，還要應(yīng)用全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的判定及勾股定理的應(yīng)

用

15.（4分）如圖，O的直徑8=20加，弦=ABLCD,垂足為〃，則CM的

長為_Acm

A

【分析】連接OA,先根據(jù)O的直徑CD=20cm求出半徑。4的長，再根據(jù)垂徑定理求出

AM的長，然后根據(jù)勾股定理求出OM的長，即可求解.

【解答】解：連接。4,如圖所示：

O的直徑CD=20cm,

OA-10?！ǎ?/p>

弦=ABLCD,

:.AM=^AB=~x\6=S(cm),

在RtAAOM中，由勾股定理得：OM=y/OA2-AM2=V102-82=6(?！?，

:.CM=OC-OM=10-6=4(cm).

故答案為：4cm.

【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理等知識；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角

形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵.

16.(4分)如圖，四邊形A8OC為菱形，ZBOC=60°,反比例函數(shù)y=々｛<0)的圖象經(jīng)

X

過點8,交AC邊于點P,若ABOP的面積為4百，則點A的坐標(biāo)為_(-6-26)一

【分析】過點3作8E_LCO,根據(jù)四邊形四邊形MOC為菱形，得出副神”，設(shè)

BO=CO=a,根據(jù)ABOP的面積為4＞萬，求得a=4,即可求解.

【解答】解：如圖，過點5作BE,CO,

四邊形MOC為菱形，

.'.BO//AC,

.&-I，

-3,08-2J菱形他比，

?0-S菱形AW=COxBE=4#,

設(shè)BO=CO=q,

ZBOC=60°f

?工6

..BE=—a,

2

-a2=4>/3,

4

解得：a=4,

OE=-OB=2,BE=2^3,

2

:.AB=CO=4,

A(-6,2揚.

故答案為：（-6,26）.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì),

勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共9題共86分）

17.解方程：

(1)16(X+3)2-16=0；

(2)x(2x+3)=4x+6.

【分析】(1)根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；

(2)根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解.

【解答】解：(1)16(x+3)2-16=0

移項，得16(x+3>=16,

則(X+3)2=1,

x+3=±l,

解得：%=—2,Xj=—4；

(2)x(2x+3)=4x+6

貝lJx(2x+3)—2(2x+3)=0,

.-.(x-2)(2x+3)=0,

x—2=0或2x+3=0,

解得：X,=2,%2=——.

【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

18.已知拋物線>=加-bx+3經(jīng)過點A(l,2),3(3,3).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)判斷點C(-2,-l)是否在此拋物線上.

【分析】(1)將點41,2),8(3,3)代入y=-法+3待定系數(shù)法求解析式，即可求解;

(2)將x=-2代入(1)的解析式即可求解.

【解答】解：(1)將點41,2),8(3,3)代入>-法+3

得。一匕+3=2,9a—3〃+3=3,

1

a=-

解得:

73

b=一

2

拋物線的函數(shù)解析式為y=-■|x+3,

(2)當(dāng)x=—2時，y=2+3+3=8w—1,

.??點C(-2,-l)不在此拋物線上.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得二次函數(shù)解析式

是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知A￡),相交于點E,且AAEBSADEC,CD=2AB,延長。C到點G,

使CG=1cQ,連接AG.

2

(1)求證：四邊形A8CG是平行四邊形；

(2)若NG4￡>=90。，AE=2,CG=3,求AG的長.

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB//CD,再由C￡>=2A8,CG=~CD,可得

2

AB=CG,即可證明；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)可得AG//3C,可得NA￡B=90。，再由CG=3可得43=3,利

用勾股定理可得3E,再由相似三角形的性質(zhì)可得CE,從而得出BC,即可求解.

【解答】(1)證明：MEB^ADEC,

/.NB=NBCD,

:.AB//CD,

BPA5//CG.

CD=2AB,CG=-CD,

2

/.AB=CG，

，四邊形A8CG是平行四邊形；

(2)解：四邊形45CG是平行四邊形，AE=2,CG=3,

:.AGHBC,AG=BC,AB=CG=3,

ZG4￡>=90°>

/.ZAEB=9Q°,

在RtAABE中，由勾股定理可得：

BE=\lAB2-AE2,

即BE=732-22=亞,

.BEA8_1

CE~CD~2,

:.CE=2后，

BC=BE+CE=3后,

AG=BC=3君.

【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用，平行四邊形的判定與性質(zhì).

20.如圖，B,C是反比例函數(shù)y=4(%w0)在第一象限圖象上的點，過點3的直線y=x-l

X

與X軸交于點A,CD1.X軸，垂足為。，CD與AB交于點E,OA=AD,CD=3.

(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；

【分析】(1)根據(jù)直線y=x-l求出點A坐標(biāo)，進(jìn)而確定Q4,4)的值，再確定點C的坐

標(biāo)，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式即可；

(2)求出點E坐標(biāo)，進(jìn)而求出EC,再求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限的交點8的

坐標(biāo)，由三角形的面積的計算方法進(jìn)行計算即可.

【解答】解：(1)當(dāng)y=0時，即x—1=0,

：.X=\J

即直線y=x-l與x軸交于點A的坐標(biāo)為(1,0),

:.OA=1=AD,

又CD=3,

.?.點。的坐標(biāo)為(2,3),

而點C(2,3)在反比例函數(shù)y=V的圖象上，

X

.,.攵=2x3=6，

.??反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=3

X

'y=x-\rx=3

(2)方程組6的正數(shù)解為

y=-1y=2

IX

.?.點B的坐標(biāo)為(3,2),

當(dāng)x=2時.，y=2-l=l,

.?.點E的坐標(biāo)為(2,1),即。E=l,

，EC=3-1=2,

■'-SABCE=^x2x(3-2)=l>

答：MCE的面積為1.

【點評】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)交點坐標(biāo)以及待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，將一次函

數(shù)、反比例函數(shù)的關(guān)系式聯(lián)立方程組是求出交點坐標(biāo)的基本方法，將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的

長是正確解答的關(guān)鍵.

21.如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面在/時，拱頂離水面2米，水面寬4米.

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)水面下降3米時，求水面寬增加了多少米？

【分析】(1)首先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線為、=以2,把點(2,-2)代入求出解析式可解

獲得答案；

(2)將y=-5代入(1)中解析式，解方程即可求解.

【解答】解：(1)如圖，以拱頂為原點建立直角坐標(biāo)系,

x

可設(shè)這條拋物線為y=or2,

結(jié)合題意，將點（2,-2）代入，得-2=22xa,

解得：a=,

2

12

y="x；

（2）若水面下降3米，

即當(dāng)了=一5時，有-5=—工％2,

2

解得：x=+V10,

此時水面寬度為Jid-（-Ji6）=2&6（米）,

.?.水面下降3米，水面寬度增加（2而-4）米.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實際

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，點M,N分別在正方形A8CD的邊3C,CD上，且NM4N=45。.把AADN繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到MBE.

（1）求證：MEM=AANM.

（2）若BM=3,DN=2,求正方形438的邊長.

EBMC

【分析】（1）想辦法證明NM4E=NM4N=45。，根據(jù)SAS證明三角形全等即可.

（2）T§：CD=BC=X,則CM=X-3,CN=X-2,在RtAMCN中，利用勾股定理構(gòu)建方程

即可解決問題.

【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AADN^MBE,

.\ZDAN=ZBAE,AE=AN,ZD=ZABE=90。，

:.ZABC+ZABE=180°9

.?,點七，點8,點C三點共線，

ZDAB=90°,NM4N=45。，

.*.ZMAE=ZBAE+ZBAM=ZDAN+ZBAM=45°，

:.ZMAE=ZMAN,

MA=MA,

:.^AEM=MNM(SAS).

(2)解：設(shè)C0=3C=x,貝lJCM=x—3,CN=x-2,

MEM=A/4A6W，

:.EM=MN,

BE=DN,

:.MN=BM+DN=5,

ZC=90°,

.-.MN2=CM2+CN2,

25=(X-2)2+(X-3)2,

解得，x=6或—1(舍棄)，

正方形ABC￡＞的邊長為6.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識,

解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常

考題型.

23.ETC{ElectronicTollCollection)不停車收費系統(tǒng)是目前世界上最先進(jìn)的路橋收費方

式.安裝有ETC的車輛通過路橋收費站無需停車就能交納費用.某高速路口收費站有A,3,

C,。四個￡TC通道，車輛可任意選擇一個ETC通道通過，且通過每個ETC通道的可能

性相同，一天，小李和小趙分別駕駛安裝有ETC的汽車經(jīng)過此收費站.

(1)求小李通過A通道的概率；

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出兩人通過此收費站的所有可能結(jié)果，并求出小李和

小趙經(jīng)過相同通道的概率.

【分析】(I)根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論；

(2)畫出樹狀圖，共有16種等可能結(jié)果，其中小李和小趙經(jīng)過相同通道的結(jié)果有4種，由

概率公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)小李通過A通道的概率為??。?/p>

4

(2)畫樹狀圖如圖：

小趙ABCDABCDABCDABCD

由樹狀圖可知：共有16種等可能結(jié)果，其中小李和小趙經(jīng)過相同通道的結(jié)果有4種，

.-.P(小李和小趙經(jīng)過相同通道)

164

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，正確的畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，直線45,BC,8分別與O相切于E、F、G,且AB//CD,OB=5cm,

OC=12cm.求：

(1)N3OC的度數(shù)；

(2)8E+CG的長；

(3)0的半徑.

【分析】(1)連接OF;根據(jù)切線長定理得：BE=BF,CF=CG,得到=,

NOCF=NOCG,由/W//CD得出NABC+N88=180。，進(jìn)而得出N8OC=90°；

(2)根據(jù)勾股定理求得8C,根據(jù)切線長定理即可求解；

(3)根據(jù)等面積法SAO8c=g。尸*8C=goBxOC,即可求解.

【解答】解：(1)連接QF;根據(jù)切線長定理得：BE=BF,CF=CG,

AB

:.ZOBF=ZOBE9ZOCF=ZOCG；

AB//CD,

.\ZABC+ZBCD=180°,

/OBF+ZOCF=90°，

:.ZBOC=90°；

(2)由(1)知，ZBOC=90°.

OB=5cm,OC=12cm,

由勾股定理得到：BC=dOB。+OC。=13的,

:.BE+CG=BC=13cm.

(3)BC與。相切于點尸，

:.OFYBC,

?.s"=LOFXBC=LOBXOC,B[J-<9Fx13=-x5xl3.

At/ov2222

一.OF=5cm.

【點評】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，拋物線》=以2-2奴+。的圖象與x軸交于A、8兩點，點A為(-1,0),O3=OC.直

線/:y=fcc+b與拋物線交于M、N兩點(M在N左邊)，交y軸于點4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若b=l,過C點作CZJJJ于點。，連接4)、AC,若此時A￡>=AC,求知

點的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2,若k=4連接BM、BN,過原點O作直線RV的垂線，垂足為E,以O(shè)E

為半徑作O.

求證：O與直線3M相切.

【分析】(1)由題意可知，