2022-2023學(xué)年山西省朔州市懷仁市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年山西省朔州市懷仁市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i（-2+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.中國(guó)傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折

扇可看作是由從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面

積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2,當(dāng)S］與S2的比值為中=

0.618（黃金分割比）時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的度數(shù)約為（）

A.127.50°B.137.50°C.147.50°D,150.50°

3.設(shè)a、b、c是直線，則（）

A.若c1.b,則a//c

B.若。與c所成的角等于c與b所成的角，則Q〃力

C.若a1b,cl/?,則Q1c

D.若a〃6則a與c、b與c所成的角相等

4.UBC的三個(gè)內(nèi)角為4B,C,若叫+/os,=fang則sin（B+C）=（）

cosA一73sinA6

A.6B.1C.1D.C

222

5.如圖，樣本a和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為公和3,標(biāo)準(zhǔn)差分別為

S4和9,則（）

A.>xB.sA>sBB.xA<xB<sA>sB

C.xA>xB>sA<sBD.xA<xB，S)<sB

6.數(shù)據(jù)3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,無(wú)，6.6的第65百分位數(shù)是4.5,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

)

A.[4.5（+oo）B.[4.5,6.6）C.（4.5,+oo）D.[4.5,6.6]

7.在△ABC中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.荏+前|=|近I”是“A為直角”的充要條件

B.四+而|>|就是“4為銳角”的充要條件

C.aAB-AC>0，'是“△ABC是銳角三角形”的充分不必要條件

D.“超?就<0”是“A/IBC是鈍角三角形”的充分不必要條件

8.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，AB為底面直徑，乙4PB=120。，PA=2,點(diǎn)C在底

面圓周上，且二面角P-4C-。為45。，則（）

A.該圓錐體積為37rB.該圓錐的側(cè)面積為27T

C.AC=3D.△P4C的面積為2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列關(guān)于函數(shù)f（x）=l-2sin2（x—今的說(shuō)法正確的是（）

A./（X）的最小正周期為ITB./（X）的最大值為1,最小值為-1

C./（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱D."X）的圖象關(guān)于點(diǎn)6,0）對(duì)稱

10.設(shè)集合M={2,3,4},N={1,2,3,4）,分別從集合M和N中隨機(jī)取一個(gè)元素m和幾記"點(diǎn)

P（m,n）落在直線x+y=化上”為事件4（3WkW8,k€N*）,若事件心的概率最大，則k的

取值可能是（）

A.4B.5C.6D.7

11.某學(xué)校對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)的某次成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，制成了如圖的條形圖與扇形圖，則

下列說(shuō)法不正確的是（）

20

15

10

5

o

格

甲班乙班

A.甲班成績(jī)優(yōu)良人數(shù)超過(guò)了乙班成績(jī)優(yōu)良人數(shù)

B.甲班平均成績(jī)高于乙班平均成績(jī)

C.甲班學(xué)生比乙班學(xué)生發(fā)揮穩(wěn)定

D.甲班不及格率高于乙班不及格率

12.如圖，將正方形4BC0沿對(duì)角線B。折成直二面角4一8。-C,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的

是（）

A.AC1BDB.AB與CD所成角為45°

C.△AC。是等邊三角形D.4B與平面BC。所成的角為45。

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.假設(shè)要檢查某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢

驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將500袋牛奶按000,001,499進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)

數(shù)表第8行第26列的數(shù)開(kāi)始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取，最先檢驗(yàn)的5袋牛奶的號(hào)碼是（下面摘

取了某隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行）.

84421753315724550688770474476721763

35025839212067663016478591695556719

98105071851286735807443952387933211

14.如圖所示是一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間,

縱軸表示振子的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是.

15.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量訕，0B，沆的模分別為1,V~2，成與沆的夾角

為a,且tcma=7,函與赤的夾角為135。，若爐=加瓦？+n麗(m,n6R)，則m+

16.三棱錐P—4BC的三條側(cè)棱P4PB,PC互相垂直，且P4=PB=PC=1,則其外接球

上的點(diǎn)到平面ZBC的距離的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知|五|=1,a-b=^,(a+K)-(a-b)=j.

(1)求曲的值；

(2)求向量,-另與d+B夾角的余弦值.

18.(本小題12.0分)

在①f(x)的圖像關(guān)于直線尤=處對(duì)稱，②/(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)(招,0)對(duì)稱，③f(x)在V幣上

單調(diào)遞增這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的正實(shí)數(shù)a存在，求出a的

值；若a不存在，說(shuō)明理由.

已知函數(shù)/。)=45譏(5+3+￡1(36曠)的最小正周期不小于半且,是否存在正實(shí)數(shù)

a,使得函數(shù)/(x)在［0,上有最大值3?

19.(本小題12.0分)

在△48C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知asin^=加出力.

(1)求角8；

(II)若△ABC為銳角三角形，且c=2,求△ABC面積的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

如圖1,在Rt/kABC中，/.ABC=90°,。為4c的中點(diǎn)，4E_LBO于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)。)，延長(zhǎng)4E

交BC于點(diǎn)F,將△力BD沿BD折起，得到三棱錐&-BCD,如圖2所示.

(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線。M〃平面&EF.

(2)求證：BD14E

(3)若平面4BD，平面BCD,試判斷直線與直線CO能否垂直？并說(shuō)明理由.

21.(本小題12.0分)

已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚(yú)和鯽魚(yú)，為了估計(jì)這兩種魚(yú)的數(shù)量，養(yǎng)殖者從池塘中捕出這兩種魚(yú)各

1000條，給每條魚(yú)做上不影響其存活的標(biāo)記，然后放回池塘，待完全混合后，再每次從池塘

中隨機(jī)地捕出1000條魚(yú)，記錄下其中有記號(hào)的魚(yú)的數(shù)目，立即放回池塘中.這樣的記錄做了10

次，并將記錄獲取的數(shù)據(jù)制作成如圖所示的莖葉圖.

穌7?日

二P，，.Cf1.、：,

(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算有記號(hào)的鯉魚(yú)和鯽魚(yú)數(shù)目的平均數(shù)，并估計(jì)池塘中的鯉魚(yú)和鯽魚(yú)的數(shù)量.

(2)為了估計(jì)池塘中魚(yú)的總重量，現(xiàn)按照(1)中的比例對(duì)100條魚(yú)進(jìn)行稱重，根據(jù)稱重魚(yú)的重量

介于［0,4.5］(單位：千克)之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成九組:第一組［0,0.5),第二組［0.5,1),

…，第九組［4,4.5］.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.

［頻率/組距

0.50---------——-I-I

0,XI........I|

os.12

S08

04。

I1.522.533.544.5

重量/千克

①估汁池塘中魚(yú)的重量在3千克以上（含3千克）的條數(shù)；

②若第三組魚(yú)的條數(shù)比第二組多7條、第四組魚(yú)的條數(shù)比第三組多7條，請(qǐng)將頻率分布直方圖

補(bǔ)充完整：

③在②的條件下估計(jì)池塘中魚(yú)的重量的眾數(shù)及池塘中魚(yú)的總重量.

22.（本小題12.0分）

在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見(jiàn)他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃

色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋

中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3

個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢.

（1）摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲?/p>

（2）摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月（按30天計(jì)）能賺多

少錢？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z=i（-2+0=-2i-l,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（一1,-2）,故在第三象限.

故選：C.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查扇形的面積計(jì)算問(wèn)題，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

由題意知S1與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)S1與Sz所在扇形圓心角分別為*/?,

列出方程組求出即可.

【解答】

解：由題意知，S1與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，

設(shè)S1與S2所在扇形圓心角分別為a,B，

則髀話匚“0.618,

又a+/?=360。，二a+占=360。，

U.O1O

解得a*137.50°.

故選B.

3.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4選項(xiàng)，若alb,clb,貝ija與c平行、異面或相交，力錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若a與c所成的角等于c與b所成的角，則a與b平行、異面或相交，B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，若aJLb,c1b,則a與c平行、異面或相交，C錯(cuò)：

對(duì)于。選項(xiàng)，若q/b,則a與c、b與c所成的角相等，。對(duì).

故選：D.

根據(jù)各選項(xiàng)中的條件判斷線線位置關(guān)系，即可得出合適的選項(xiàng).

本題考查空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：ZMBC中,嬴A-6SEA=「皿啟=1*血蔻=tan(4+/=tan^,

可得4+9=即，即4=*

5O4

則sin(B+C)=sinA=1,

故選:B.

已知等式左邊分子分母除以cosA,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差

的正切函數(shù)公式變形，求出4的度數(shù)，原式利用內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果.

此題考查了正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定

理是解本題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：由折線圖得：

4中的數(shù)值總體上小于8中的數(shù)值，故五<1B，

4中的數(shù)值相對(duì)分散，B中的數(shù)值相對(duì)集中，故”>SB，

故選：B.

利用折線圖的性質(zhì)、平均數(shù)、方差的定義直接求解.

本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算，考查折線圖、平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?x65%=5.2,所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)為4.5,

所以應(yīng)該有5個(gè)數(shù)據(jù)不大于4.5,則x>4.5.

故選：A.

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

本題考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,^a\AB+AC\=\BC\,可得|荏+而|=|前-四I，

平方可得力B+AC+2AB-AC=AB+AC-2AB-AC'

解得荏?元=0)

.?.荏，正，二44為直角，即充分性成立，

若乙4為直角，可得而1尼，.?.布?前=0，

貝“荏+砌=|旅-畫，

即|荏+而|=|近?必要性也成立，

?1?+AC\=\JC\n是"A為直角”的充要條件，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,^\AB+AC\>|BC|,可得|而+照|>|左-荏I，

AB,AC>0，

???44為銳角，即充分性成立，

當(dāng)NA為銳角，可得荏?前>0，可得|荏+而|>|前一荏|，^V\AB+AC\>|FC|.

二必要性也成立，故3正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由南?前>0,可得4力為銳角，但AABC不一定為銳角三角形，

???充分性不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，由布?就<0,可得NA為鈍角，

.??△4BC為鈍角三角形，即充分性成立，

當(dāng)△4BC為鈍角三角形，不一定為鈍角，即必要性不一定成立，

：.ABAC<0是^ABC是鈍角三角形的充分不必要條件，故D正確.

故選：C.

根據(jù)向量的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的概念，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判

定，即可求解.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)镻O_L平面48C,48u平面ABC,

所以P0_L4B,又因?yàn)橐?PB=120。，PA=PB=2,

所以NPAB=i^^=30。，因此P0=：P4=l,//?

于是40=VPA2-AO2=<3

圓錐體積為gX兀X(V~3)2X1=兀，因此選項(xiàng)A不正確；

圓錐的側(cè)面積為兀?，耳-2=2，弓兀，因此選項(xiàng)B不正確；

連接CB,設(shè)AC的中點(diǎn)為D,所以。D〃BC

因?yàn)榱為底面直徑，所以4C1CB,因此有4CJ.0D,

因?yàn)镻4=PC,4c的中點(diǎn)為D,所以4C_LP0,

因?yàn)槎娼荘-AC-。為45。，

所以4PD0=45°,于是有0D=P。=1,

于是有BC=20D-2,因此AC=VAB2-BC2=J(2/-3)2-4=因此選項(xiàng)C不正確;

△PAC的面積為?PD=2x2cXV12+12=2,因此選項(xiàng)。正確，

故選：D.

根據(jù)二面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、圓錐的體積和側(cè)面積公式逐一判斷即可.

本題考查圓錐的側(cè)面積與體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)?(x)=1-2sin2(x-2)=cos2(x-=cos(2x-今=sin2x,

所以f(x)的最小正周期7=竽=兀，故A正確；

因?yàn)?14s?2尤W1,所以/'(X)的最大值為1,最小值為一1,故B正確；

因?yàn)閒(0)=sinO=0,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?G)=shw=0,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)?,0)對(duì)稱,故。正確.

故選：ABD.

利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：因?yàn)榧蠒r(shí)={2,3,4},N={1,2,3,4),分別從集合M和N中隨機(jī)取一個(gè)元素m和n的

所有可能情況有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)

共12個(gè)，

公：包含(2,1)；

心包含(2,2),(3,1),

&包含((2,3),(3,2),(4,1),

4包含(2,4),(4,2),(3,3),

公包含(3,4),(4,3),

&包含(4,4),

故k=5或k=6時(shí)，概率最大.

故選：BC.

由己知先列舉出所有可能的P,然后求出k每個(gè)值的對(duì)應(yīng)情況，即可求解.

本題主要考查了列舉法在概率求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：由甲、乙兩個(gè)班級(jí)的某次成績(jī)的條形圖與扇形圖，知：

對(duì)于4由于乙班的學(xué)生總數(shù)不確定，從而無(wú)法判斷甲班成績(jī)優(yōu)良人數(shù)是否超過(guò)了乙班成績(jī)優(yōu)良

人數(shù)，故4不一定正確；

對(duì)于B,根據(jù)優(yōu)級(jí)良率和及格率不能判斷兩個(gè)班的平均成績(jī)的高低，故B不一定正確；

對(duì)于C,一次成績(jī)不能判定發(fā)揮是否穩(wěn)定，故C不一定正確；

對(duì)于D,甲班不及格率為：,x100%=20%,

OIXOIaUIiJLnU

乙班不及格率為10%,

甲班不及格率高于乙班不及格率，故。正確.

故選：ABC.

觀察甲、乙兩個(gè)班級(jí)的某次成績(jī)的條形圖與扇形圖，結(jié)合圖形能求出結(jié)果.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：如圖所示,

對(duì)于力，取BD的中點(diǎn)E,連接4E,EC,AC,折疊后△ABD,△BCD是等腰直角三角形，

BDLAE,BD1CE,乂AEfKE=E,AE,CEu平面NEC,???BD1平面NEC,

"ACa^AEC,.-.AC1BD,故A正確；

對(duì)于C,設(shè)折疊前正方形的邊長(zhǎng)為a,則B0=/2a，.?.AE=EC=?a，

由平面ABO，平面BCD,?；E是8。的中點(diǎn)，△是等腰直角三角形，

???BDLAE,又平面4BDn平面BCD=BD,AEu平面力BD,

???AEJ_平面BCD,vCEu平面BCD,???AE1CE,

:.AC=VAE2+EC2=J(3以+(3a)2=a,

.?.△ACD是等邊三角形，故C正確；

對(duì)于B,設(shè)折疊前正方形的邊長(zhǎng)為a,

則取BC的中點(diǎn)產(chǎn)，4c的中點(diǎn)G,連接EF,EG,FG,

EF//CD,EF=^CD=1a,FG//AB,FG=^AB=^a,

NGFE是4B與CD所成的角(或所成角的補(bǔ)角)，

在RtAAEC中，EG=^AC=~a,

EFG是等邊三角形，二乙GFE=60°,

??.4B與CD所成的角大小為60。，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由B選項(xiàng)知，4EL平面BCD,BE是直線4B在平面BCD內(nèi)的射影，

.?.乙4BE直線48與平面BCD所成角，

???E是BD的中點(diǎn)，RtAZBD是等腰直角三角形，

：.AE=BE=^BD,4E1BE,.??△4BE是等腰三角形，:N4BE=45°,

二4B與平面BCO所成角為乙4BE=45。，故。正確.

故選：ACD.

對(duì)于4,根據(jù)等腰三角形的三線合一及線面垂直的判定定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可求

解；

對(duì)于B,根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理及三角形的中位線定理，再結(jié)合異面直線所成角的定義

即可求解；

對(duì)于C,根據(jù)直線三角形斜邊的中線定理和面面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理及

勾股定理能求出結(jié)果；

對(duì)于0,根據(jù)C選項(xiàng)及線面角的定義，結(jié)合等腰三角形即可求解.

本題考查線線垂直的判斷，異面直線所成角的求解，線面角的求解，屬中檔題.

13.【答案】169,105,071,286,443

【解析】解：根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法中數(shù)據(jù)的讀取規(guī)則與方法，可得最先檢驗(yàn)的5袋牛奶的號(hào)碼是：169,

105,071,286,443.

故答案為：169,105,071,286,443.

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法中數(shù)據(jù)的讀取規(guī)則與方法，即可求解.

本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】y=2sin(y%+；)

【解析】解：設(shè)根據(jù)這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式為函數(shù)y=4S?(3X+"),

根據(jù)它的函數(shù)圖象，可得A=2,^=i--=0.5-0.1,w=

22a)2

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得：*0.1+9=》:8=%

??.這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是y=2sin(yx+

故答案為：y=2sin(：x+?

設(shè)根據(jù)這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式為函數(shù)y=4sin(3x+w),由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出4由

周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出⑴的值，可得函數(shù)的解析式.

本題主要考查由函數(shù)y=As譏(3%+租)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出4由

周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出勿的值，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】3

【解析】

【分析】

本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，21(1,0),就與方的夾角為a,且tana=7,得到sina=j),

可得：cos(cr+45°)=一看，sin(a+45°)=B(—6，§,利用OC=znOA+nOB(tn,nE/?)?即

可得到結(jié)果.

【解答】

i4(1,0),B(V2cosl35°,V2sinl350)>C(^icosa,,ynsina),

OX與0?的夾角為a，且tcma=7,

得至lj：cosa=sina=^=,

???OC=0,0^4=(1,0),赤=(-U)>

???OC=mOA4-nOB(m,nER)得：

=m—n

=0十九

解得：m=I，n=I，

故：m4-n=3.

故答案為：3.

16.【答案】浮

【解析】解：由空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C在同一球面上，PA,PB,PC互

相垂直，且P4=PB=PC=1,

則P4PB,PC可看成是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱，

所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P,4B,C的球面即為正方體的外接球，球的直徑

即為正方體的對(duì)角線，

設(shè)外接球的球心為。，球的半徑為R,可得2R=C，解得R=?，即。P=R=?,

如圖所示，在正方體中，可得PEJ■平面ABC,設(shè)PE交平面力BC于點(diǎn)H,

因?yàn)镻A=PB=PC=1,可得ZB=BC=AC=C，所以S—BC=r?(V^)2=?，

由以-PBC=^P-ABCf可得；X^X1X1X1=^X,PH'解得P”=

所以。"=OP-P”=卒一冬=卒，可得球心到平面A8C的距離為空，

2366

所以球面上的點(diǎn)到平面4BC的距離的最大值為?！?OE=?+卒=專.

623

故答案為：［1

根據(jù)題意得到過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P，A,B,。的球面即為正方體的外接球，求得外接球的半徑為R,可

得/?=空，再由0_PBC="-ABC，可得球心到平面ABC的距離為0,進(jìn)而求得球面上的點(diǎn)到平

26

面ABC的距離的最大值.

本題主要考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴???|初=1,(a+b)-(a-b)=|,

得|方『一|石『=：,即向2=|五『-[=：,則向=??；

(2)1五一個(gè)=J(a-by=JW+\b\^-2a-b=Jl+?2x；=1，

\a+b\=I(a+b)2=J|a|2+|K|2+2a-K=Il+1+2xj=V-2.

又石)=；,且向量五一族與d+3夾角為0,

(五一4>(G+B)_:_V-2

則COS。

\a-b\\a+b\~lx<7--

【解析】⑴由已知結(jié)合(3+3)?(五-石)=可得|瓦的值;

(2)請(qǐng)求出向量,-3與,+3的模，再由數(shù)量積求夾角公式求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與應(yīng)用，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求夾角，是中檔題.

18.【答案】解：由于函數(shù)/(x)的最小正周期不小于半所以稱法，

所以1<OJ<6,3€N*,

若選擇①，即/(x)的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，

有期3+R/OT+?keZ),解得3=(k+|(kez),

由于1W3W6,a)eN",keZ,所以％=3,3=4,

此時(shí)，，f(x)=4sin(4x+3)+a,

由x€［0,勺,得+

因此當(dāng)4x+3=*即％=部寸，/(為取得最大值4+a,

令4+a=3,解得a=-1,不符合題意.

故不存在正實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/(x)在［0,上有最大值3.

若選擇②，即〃%)的圖象關(guān)于點(diǎn)端,0)對(duì)稱，

則有招3+看=kn(keZ),解得3=yfc-|(fcEZ),

由于1W3W6,o)WN*,kEZ,所以/c=1,o)=3.

此時(shí)，/(%)=4sin(3x+3)+a.

由xe［0,有，得3x+"除圣，因此當(dāng)3x+外涔即％=工時(shí),“為取得最大值4sin萼+a=

OO1ZO1Zu1Z

V~6+。~2+a，

令，石+q+a=3,解得a=3--石一，2，不符合題意.

故不存在正實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/(x)在［0,工］上有最大值3；

若選擇③，即/(%)在［-：幣上單調(diào)遞增，

_CO7T+2>2kn--

則有」2&ez),

(-+-<2^+-

［3<-8k+1，

解得《4(kez),

(3<8/c+

由于o)￡N*,kWZ,所以k=0,3=1.

此時(shí)，f(x)=4sin(x+弓)+a.

由xe［0,勺，得x+旌碎,g,

因此當(dāng)x+合也即％=工時(shí)，f(x)取得最大值2「+a，

令2，1+a=3，解得a=3-2，1，符合題意.

故存在正實(shí)數(shù)a=3-24，使得函數(shù)/(x)在［0,行］上有最大值3.

【解析】由已知結(jié)合周期公式先求出3的范圍，

若選擇①，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性及已知可求出3,進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后檢驗(yàn)已知區(qū)間上最值

存在情況；

若選擇②，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性可求出3,進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后檢驗(yàn)已知區(qū)間上最值存

在情況；

若選擇③，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可求出3,進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后檢驗(yàn)已知區(qū)間上最值存

在情況.

本題主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性及最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：（I）由題設(shè)及正弦定理得=sinBsinA,

因?yàn)閟bt4H0,

所以sin^^=sinB.

由Z+B+C=180°,可得sin笥=cos*

故cos?=2sin^cosp

因?yàn)閏os5于0，

故sin3

因此SB=60°.

（II）由題設(shè)及（1）知AABC的面積SMBC=?公

由正弦定理得a=竺皿=2sm（120。-。）=￡I+1.

sinCsinCtanC

由于△ABC為銳角三角形，

故0。<A<90°,0°<C<90。，

由（1）知四+C=120°,

所以30。<C<90°,

故tcmC>?，

所以1<a<4,

從而?<shABC<2/3.

因此，△ABC面積的取值范圍是(?,2，馬).

【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用結(jié)合sin4K0,cosf中0,可求sin?=

進(jìn)而可求B的值.

(II)由題設(shè)及正弦定理，可求a=0+1，結(jié)合30。<C<90°,可求tanC>冬,可求范圍1<a<

tanC3

4,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解△ABC面積的取值范圍.

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的

綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：因?yàn)椤?，M分別為AC,CF中點(diǎn),

所以DM〃EF,

又EFu平面&EF,DM平面&EF

所以DM〃平面&EF.

(2)證明：因?yàn)?1E1BC,EF1BD,且4EnEF=E,

所以BD1平面&EF,

又&Fu平面&EF,所以BD1ArF.

(3)直線與直線CO不能垂直，

因?yàn)槠矫?8DJL平面BCD,

平面&BDn平面BCD=BD,EF1BD,EFu平面CBD,

所以EF，平面&BD.

因?yàn)?Bu平面&BO,所以&B1EF,

又因?yàn)镋F〃DM,所以

假設(shè)1CD,

因?yàn)锳$1DM,CDQDM=D,

所以_L平面BCD,所以4/1