第18節(jié)等腰三角形（完整版）

第18節(jié)等腰三角形數(shù)學(xué)畢節(jié)地區(qū)

等腰三角形的性質(zhì)與判定【例1】(1)如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)為()A．35°B．40°C．45°D．50°A(2)(2017·畢節(jié)模擬)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為()A．16B．20或16C．20D．12點(diǎn)撥：(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求；(2)注意分類討論．C【例2】如圖，銳角△ABC的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由．點(diǎn)撥：(1)由AAS可證△BEO≌△CDO，得∠EBO＝∠DCO，再證∠ABC＝∠ACB即可；(2)連接AO，由SSS證△BAO≌△CAO即可．解：(1)∵BO＝OC，∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形(2)點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．理由：連接AO，∵AB＝AC，BO＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上

等邊三角形的性質(zhì)與判定【例3】如圖，若△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD，則BE＝()A．7B．8C．9D．10C【例4】如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且AE＝CD，AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度數(shù)．點(diǎn)撥：(1)利用等邊三角形的性質(zhì)用SAS可證；(2)由△ABE≌△CAD可得∠ABE＝∠CAD，再由外角的性質(zhì)和等量代換可求．解：(1)∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝60°等邊三角形是特殊的等腰三角形，它除具備等腰三角形的所有性質(zhì)外，還具備其三邊中線、三條高、三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)重合的性質(zhì)，且此點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，到三邊的距離相等，到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．等腰三角形的情況考慮不全面．【例5】等腰三角形一腰上的高與腰的夾角為50°，則頂角的度數(shù)為_______________________．點(diǎn)撥：三角形可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，所以有兩種情況，分別求出即可．140°或40°1．(2017·煙臺(tái))某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，已知AB∥CD，AE與AB的夾角為48°，若CF與EF的長(zhǎng)度相等，則∠C的度數(shù)為()A．48°B．40°C．30°D．24°DB

C4．(2017·濱州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為()A．40°B．36°C．30°D．25°BD

6．(2017·聊城)如圖，是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形，線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn)，連接PA，PB，那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)BD8．(2017·江西)如圖1所示是一把園林剪刀，把它抽象為圖2，其中OA＝OB.若剪刀張開的角為30°，則∠A＝________度．759．(2017·麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80°，則頂角的度數(shù)是________________________．10．(2017·畢節(jié)模擬)如圖，等腰△ABC的底角為72°，腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)E，垂足為D，連接BE，則∠EBC的度數(shù)為____________．80°或20°36°11．(2016·銅仁)如圖，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝4，則PD等于______．212．(2017·淄博)在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D為BC邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE＋DF＝__________.13．(2017·內(nèi)江)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．

解：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形14．(2017·連云港)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE，連接BE，CD，交于點(diǎn)F.(1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：過(guò)點(diǎn)A，F(xiàn)的直線垂直平分線段BC.15．如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AP＝CQ，PQ交AC于點(diǎn)D.(1)求證：DP＝DQ；(2)過(guò)P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的長(zhǎng)．解：(1)過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC交AC于點(diǎn)M，則∠DPM＝∠Q，∵△ABC為等邊三角形，∴△APM是等邊三角形，∴AP＝PM，又∵AP＝CQ，∴PM＝CQ，可證△DPM≌△DQC(AAS)，∴DP＝DQD17．如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)為()A．44°B．66°C．88°D．92°D18．(導(dǎo)學(xué)號(hào)78324034)如圖，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，……，若∠A＝70°，則∠Bn－1AnAn－1的度數(shù)為___________．19．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF(E在BC上，F(xiàn)在AC上)折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為__________度．10820．(導(dǎo)學(xué)號(hào)78324035)如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D為AB邊上一點(diǎn)．(1)求證：△ACE≌△BCD；(2)求證：2CD2＝AD2＋DB2.(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B