專題08 難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題08難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】 1【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】 7【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】 14【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】 18【考點五數(shù)軸上的動點規(guī)律探究問題】 23【考點六數(shù)軸上的動點新定義型問題】 27【典型例題】【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】例題：（2023秋·河北滄州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐：A、B、C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為；(2)動點P，Q同時從A，C出發(fā)，點P以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動．點Q以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒；①求數(shù)軸上點P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；②t為何值時，P，Q兩點重合；③請直接寫出t為何值時，P，Q兩點相距5個單位長度．【答案】(1)；(2)①；；②；③或【分析】（1）先根據(jù)點C表示的數(shù)為6，BC＝4，表示出點，然后根據(jù)AB＝12，表示出點A即可；（2）①求出，，根據(jù)A、表示的數(shù)求出、表示的數(shù)即可；②根據(jù)在時間t內(nèi)，P運動的長度-Q運動的長度=AC的長，列出方程，解方程即可；③利用“點，相距5個單位長度”列出關(guān)于的方程，并解答即可．【詳解】（1）點對應(yīng)的數(shù)為6，，點表示的數(shù)是，，點表示的數(shù)是，故答案是：-10；2．（2）①由題意得：，，如圖所示：在數(shù)軸上點表示的數(shù)是，在數(shù)軸上點表示的數(shù)是；②當(dāng)點，重合時，，解得：；③當(dāng)點，相距6個單位長度，Ｐ在Ｑ的左側(cè)時：，解得，Ｐ在Ｑ的右側(cè)時：，解得，綜上分析可知，當(dāng)或時，點，相距5個單位長度．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒．（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是___________；當(dāng)點P運動到的中點時，它所表示的數(shù)是__________．（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)．求：①當(dāng)點P運動多少秒時，點P追上點Q？②當(dāng)點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【答案】（1）?4，1；（2）①當(dāng)點P運動5秒時，點P追上點Q；②當(dāng)點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．【分析】（1）由已知得OA＝6，則OB＝AB?OA＝4，因為點B在原點左邊，從而寫出數(shù)軸上點B所表示的數(shù)；動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，所以可得出點P所表示的數(shù)為6?4t，當(dāng)點P運動到的中點時，它的運動時間t＝5÷4＝1.25秒，即可求出點P所表示的數(shù)是1；（2）①點P運動t秒時追上點Q，由于點P要多運動10個單位才能追上點Q，則4t＝10＋2t，然后解方程得到t＝5；②分兩種情況：當(dāng)點P運動a秒時，不超過Q，則10＋2a?4a＝8；超過Q，則10＋2a＋8＝4a；由此求解即可．【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，∴OA＝6，則OB＝AB?OA＝4，∵點B在原點左邊，∴數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為?4；點P運動t秒的長度為4t，∵動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴P所表示的數(shù)為：6?4t，當(dāng)點P運動到的中點時，它的運動時間為t＝5÷4＝1.25秒，∴它所表示的數(shù)是6?4t＝6?4×1.25＝1；故答案為：?4，1；（2）①點P運動t秒時追上點Q，根據(jù)題意得4t＝10＋2t，解得t＝5，答：當(dāng)點P運動5秒時，點P追上點Q；②設(shè)當(dāng)點P運動a秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，當(dāng)P不超過Q，則10＋2a?4a＝8，解得a＝1；當(dāng)P超過Q，則10＋2a＋8＝4a，解得a＝9；答：當(dāng)點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．【點睛】此題考查了數(shù)軸上的動點問題，根據(jù)已知得出各線段之間的關(guān)系等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點A表示，點B表示12，點C表示20，我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距32個長度單位，記為．動點M從點A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點N從點C出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運動，它們在水平軸，上的速度都是2單位/秒，在O，B之間的上行速度為1單位/秒，下行速度為3單位秒．設(shè)運動的時間為t秒．(1)當(dāng)秒時，M，N兩點在數(shù)軸上相距多少個單位長度？(2)當(dāng)M，N兩點相遇時，求運動時間t的值．(3)若“折線數(shù)軸”上定點P與O，B兩點相距的長度相等，且存在某一時刻t，使得兩點M，N與點P相距的長度之和等于6，請直接寫出t的值為____________．【答案】(1)M，N兩點在數(shù)軸上相距16個單位長度(2)(3)或【分析】（1）先計算出，的長度，再計算出經(jīng)過4秒，點M和點N運動的路程，即可求解；（2）根據(jù)相遇時，兩點的路程和等于總路程，即可求解；（3）根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，，當(dāng)秒時，點M的運動路程：，點N的運動路程：，∴經(jīng)過4秒，點M在上，點N和點B重合，∴點M表示的數(shù)為：，點N表示的數(shù)為：，∴M、N兩點距離為：．∴M，N兩點在數(shù)軸上相距16個單位長度．（2）由（1）可得：，，∴點M到點O需要時間：秒，點N到點B需要時間：秒，當(dāng)相遇時：，解得：．（3）∵P與O，B兩點相距的長度相等，∴點P為表示的數(shù)為6，∴點A與點P距離為，點C與點P距離為，∵M(jìn)，N與點P相距的長度之和等于6，∴點M和點N都在上，①當(dāng)點M在上，點N在上時：∵，，∴，解得：，②當(dāng)點M在上，點N在上時：∵，，∴，解得：；綜上：或．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上數(shù)軸以及一元一次方程，解題的關(guān)鍵在正確理解題意，找出等量關(guān)系并列出方程求解．3．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數(shù)為______．(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設(shè)運動時間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；②求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．【答案】(1)；(2)①；；②當(dāng)t為3時，P、Q兩點相遇；相遇點所表示的數(shù)是7(3)所需要的時間為9秒；相遇點所表示的數(shù)是1【分析】（1）由A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，即得AB＝15，線段AB的中點表示的數(shù)為；（2）①t秒后，點P表示的數(shù)為?2＋3t，點Q表示的數(shù)為13?2t；②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，即可解得t＝3，相遇點所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），即得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），可解得t＝9，第二次相遇點所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1．【詳解】（1）∵A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，∴AB＝|13?（?2）|＝15，線段AB的中點表示的數(shù)為；故答案為：15；．（2）①t秒后，點P表示的數(shù)為?2＋3t，點Q表示的數(shù)為13?2t；故答案為：?2＋3t；13?2t．②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，解得t＝3，相遇點所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；答：當(dāng)t為3時，P，Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)是7．（3）由已知得：P運動5秒到B，Q運動秒到A，返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），根據(jù)題意得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），解得t＝9，第二次相遇點所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1，答：所需要的時間為9秒，相遇點所表示的數(shù)是1．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示運動后的點所表示的數(shù)．【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】例題：（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┤鐖D，有兩條線段，（單位長度），（單位長度）在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是；(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度秒的速度也向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，點B與點C之間的距離為1個單位長度？(3)若線段、線段分別以1個單位長度/秒、2個單位長度/秒的速度同時向左勻速運動，與此同時，動點P從出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)時，的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個定值，若變化，請說明理由．【答案】(1)，(2)或(3)的值會發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）數(shù)軸上點A右邊的點B表示的數(shù)是點A表示的數(shù)加上這兩個點的距離，數(shù)軸上點D左邊的點C表示的數(shù)是點D表示的數(shù)減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和點C表示的數(shù)；（2）分兩種情況，點P在點Q的左側(cè)或點P在點Q的右側(cè)，按追及問題的數(shù)量關(guān)系列方程求出t的值即可；（3）分別表示，的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)是，點B在點A右側(cè)，且，所以，所以點B表示的數(shù)是；因為點D表示的數(shù)是，點C在點D的左側(cè)，且，所以，所以點C表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）點B與點C的距離是（單位長度），所以線段的長為個單位長度，若點B在點C的左側(cè)，則，解得；若點B在點C的右側(cè)，則，解得，答：當(dāng)或時，點B與點C之間的距離為1個單位長度；（3）的值會發(fā)生變化，理由如下：根據(jù)題意運動秒后移動到，點移動到，點移動到，∵，∴點始終在點的左側(cè)，點始終在點的左側(cè)，∴，∵，∴，∴的值會發(fā)生變化．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，將此題抽象成行程問題列方程求解是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·七年級課時練習(xí)）已知，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動7個單位到達(dá)A點，再從A點向右移動12個單位到達(dá)B點，把點A到點B的距離記為AB，點C是線段AB的中點．(1)點C表示的數(shù)是；(2)若點A以每秒2個單位的速度向左移動，同時C、B點分別以每秒1個單位、4個單位的速度向右移動，設(shè)移動時間為t秒，①點C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；②當(dāng)t=2秒時，求CB-AC的值；③試探索：CB-AC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】(1)-1(2)①?1＋t；②0；③CB?AC的值不隨著時間t的變化而改變，CB?AC的值為0．【分析】（1）根據(jù)題意可以求得點C表示的數(shù)；（2）①根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示點C運動時間t時表示的數(shù)；②根據(jù)題意可以求得當(dāng)t＝2秒時，CB?AC的值；③先判斷是否變化，然后求出CB?AC的值即可解答本題．(1)解：由題意可得，AC＝12×＝6，∴點C表示的數(shù)為：0?7＋6＝?1，故答案為：?1；(2)解：①由題意可得，點C移動t秒時表示的數(shù)為：?1＋t，故答案為：?1＋t；②當(dāng)t＝2時，CB?AC＝[（0?7＋12＋4t）?（?1＋t）]?[（?1＋t）?（0?7?2t）]＝（5＋4t＋1?t）?（?1＋t＋7＋2t）＝6＋3t?6?3t＝0；③CB?AC的值不隨著時間t的變化而改變，∵CB?AC＝[（0?7＋12＋4t）?（?1＋t）]?[（?1＋t）?（0?7?2t）]＝（5＋4t＋1?t）?（?1＋t＋7＋2t）＝6＋3t?6?3t＝0，∴CB?AC的值不隨著時間t的變化而改變，CB?AC的值為0．【點睛】點評：本題考查數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．2．（2022秋·河北·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點對應(yīng)的有理數(shù)為，點對應(yīng)的有理數(shù)為，點對應(yīng)的有理數(shù)為，且，點向左移動個單位長度到達(dá)點，向右移動個單位長度到達(dá)點．(1)___________，___________；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，求與點重合的點表示的數(shù)；(3)若點從點開始以個單位長度/秒的速度向左運動，同時，點從點開始以個單位長度/秒的速度向右運動，點從點開始以個單位長度/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間秒，則的值是否隨著的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】(1)，(2)(3)不會隨著的變化而改變，該值是【分析】（1），點向左移動個單位長度到達(dá)點，向右移動個單位長度到達(dá)點，根據(jù)點的移動即可求解；（2）根據(jù)（1）可知點與點對應(yīng)的有理數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)各點運動的情況可以用含的式子表示出，，對應(yīng)的有理數(shù)，根據(jù)兩點之間的距離，分別表示出，，由此即可求解．【詳解】（1）解：，點向左移動個單位長度到達(dá)點，向右移動個單位長度到達(dá)點，∴，，故答案為：，．（2）解：點對應(yīng)的有理數(shù)是，點對應(yīng)的有理數(shù)是，若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，∴折疊點對應(yīng)的有理數(shù)為，且點對應(yīng)的有理數(shù)是，∴點到折疊點的距離為，∴與點重合的點表示的數(shù)為．（3）解：的值不會隨著的變化而改變．∵點從點開始以每秒個單位長度的速度向左運動，∴運動后對應(yīng)的點為，∵點從點開始以個單位長度/秒的速度向右運動，∴運動后對應(yīng)的點為，∵點從點開始以個單位長度/秒的速度向右運動，∴運動后對應(yīng)的點為，∴，，∴，∴的值不會隨著的變化而改變，該值是．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上動點的問題，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離的計算方法，點與點之間的有理數(shù)表示方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖：在數(shù)軸上，點A表示a,點B表示b,點C表示c,b是最大的負(fù)整數(shù)，且a,c滿足________，_________，_____________若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，則點與數(shù)____________表示的點重合；點開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設(shè)秒鐘過后，①請問:的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．②探究:若點向右運動，點向左運動，速度保持不變，的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①的值不隨著時間的變化而改變，值為14；②當(dāng)時，的值隨著時間的變化而改變；當(dāng)時，的值不隨著時間的變化而改變，值為26．【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）先求出對稱點，即可得出答案；(3)①t秒后，，，代入計算即可得到答案；②先求出，再分當(dāng)時和當(dāng)時，討論求解即可.【詳解】解:∵，∴a+3=0，c?5=0，解得a=?3，c=5，∵b是最大的負(fù)整數(shù)，∴b=-1故答案為：?3，-1，5．(2)點A與點C的中點對應(yīng)的數(shù)為：，點B到1的距離為2，所以與點B重合的數(shù)是：1+2=3．故答案為：3．①t秒后，，，．故的值不隨著時間的變化而改變；②．，．當(dāng)時，原式的值隨著時間的變化而改變；當(dāng)時，原式的值不隨著時間的變化而改變．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點能求出兩點間的距離．4．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點O為數(shù)軸的原點，點A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為、3．(1)填空：線段的長度______；(2)若點A是的中點，點D在點A的右側(cè)，且，點P在線段上運動．問：該數(shù)軸上是否存在一條線段，當(dāng)P點在這條線段上運動時，的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化？(3)若點P以1個單位/秒的速度從點O向右運動，同時點E從點A以5個單位/秒的速度向左運動、點F從點B以20個單位/秒的速度向右運動，M、N分點別是、的中點．點P、E、F的運動過程中，的值是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)(2)P點在線段上時，的值沒有發(fā)生變化(3)在運動過程中，的值不發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離求解即可；（2）根據(jù)題意得出D點對應(yīng)的數(shù)為4，設(shè)P點對應(yīng)的數(shù)為x，根據(jù)題意分三種情況分析：①P點在射線上時，②P點在線段上時，③P點在射線上時，結(jié)合圖形，建立方程求解即可（3）設(shè)運動時間為t分鐘．則，，，根據(jù)線段中點得出，，，然后求解即可．【詳解】（1）解：線段AB的長度為，故答案為：4；（2）存在A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為、3，∴，∵點A是BC的中點，∴∴，∴C點對應(yīng)的數(shù)為又∵，點D在點A的右側(cè)，∴D點對應(yīng)的數(shù)為4設(shè)P點對應(yīng)的數(shù)為x①P點在射線上時，，∴的值隨著點P的運動而發(fā)生變化；②P點在線段上時，，∴的值隨著點P的運動沒有發(fā)生變化；③P點在射線上時，，∴的值隨著點P的運動而發(fā)生變化∴P點在線段上時，的值沒有發(fā)生變化；（3）設(shè)運動時間為t分鐘．則，，∴∵M(jìn)、N分別是、的中點，∴，∴，∴∴在運動過程中，的值不發(fā)生變化．【點睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，線段中點的計算及動點問題，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù)的點重合；(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：①表示數(shù)9的點與表示數(shù)的點重合；②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側(cè)），求A，B兩點所表示的數(shù)分別是多少？③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設(shè)點P表示的數(shù)為x．當(dāng)PA+PB＝12時，直接寫出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③x的值為-4或8．【分析】（1）先求出中心點，再求出對應(yīng)的數(shù)即可；（2）①求出中心點是表示2的點，再根據(jù)對稱求出即可；②求出中心點是表示2的點，求出A、B到表示2的點的距離是5，即可求出答案；③根據(jù)點P在數(shù)軸上的位置，分類討論，當(dāng)點P在點A的左側(cè)時，當(dāng)點P在點A、B之間時，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，根據(jù)各種情形求解即可．【詳解】（1）解：∵折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與-1表示的點重合，可確定中心點是表示0的點，∴4表示的點與-4表示的點重合，故答案為∶-4；（2）解：①∵折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，可確定中心點是表示2的點，∴表示數(shù)9的點與表示數(shù)-5的點重合；故答案為∶-5；②∵折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側(cè)），∴A、B兩點距離中心點的距離為10÷2=5，∵中心點是表示2的點，∴A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③當(dāng)點P在點A的左側(cè)時，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；當(dāng)點P在點A、B之間時，此時PA+PB=12不成立，故不存在點P在點A、B之間的情形；當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，綜上x的值為-4或8．【點睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，能求出折疊后的中心點的位置是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為﹣2，6．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點A、點B；(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當(dāng)點P是【B，A】的三倍點時，求此時P對應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)①秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②P對應(yīng)數(shù)-6或0．【分析】（1）畫出數(shù)軸，找出A、B所對應(yīng)的點即可；（2）①根據(jù)兩點間距離表示出MP=2t+2－t=t+2．當(dāng)點P在點N左側(cè)時，NP=6－5t；當(dāng)點P在點N左右側(cè)時，NP=5t－6，計算即可；②根據(jù)點P是【B，A】的三倍點，可得PB=3PA．分情況討論：當(dāng)點P在A點左側(cè)時，求出點P對應(yīng)數(shù)-6；當(dāng)點P在A、B之間時，求出點P對應(yīng)數(shù)0，綜上可知點P對應(yīng)數(shù)-6或0．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．當(dāng)點P在點N左側(cè)時，NP=6－5t；當(dāng)點P在點N左右側(cè)時，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②∵點P是【B，A】的三倍點，∴PB=3PA．當(dāng)點P在A點左側(cè)時，AB=2PA=8，∴PA=4，點P對應(yīng)數(shù)-6；當(dāng)點P在A、B之間時，AB=4PA=8，∴PA=2，點P對應(yīng)數(shù)0，綜上可知點P對應(yīng)數(shù)-6或0．【點睛】本題考查數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素及畫法，數(shù)軸上兩點之間的距離，注意對于動點問題需要進(jìn)行分情況討論．2．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，為數(shù)軸上的兩個點，點A表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是30．(1)直接寫出線段的中點對應(yīng)的數(shù)；(2)若點在數(shù)軸上，且，直接寫出點對應(yīng)的數(shù)；(3)若李明從點A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進(jìn)8個單位長度；同時王聰從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)12個單位長度它們在點處相遇，求點對應(yīng)的數(shù)；(4)若李明從點A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)8個單位長度；同時王聰從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)12個單位長度，當(dāng)它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求李明所在位置點對應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)(2)或80(3)(4)或【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上線段中點位置計算即可；（2）分兩種情況：當(dāng)點在點的左側(cè)時，當(dāng)點在點的右側(cè)時，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離求解即可；（3）設(shè)相遇時間為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（4）分兩種情況：①追及前相距20，②追及后相距20，根據(jù)題意，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：線段的中點對應(yīng)的數(shù)為，答：線段的中點對應(yīng)的數(shù)為；（2）當(dāng)點在點的左側(cè)時，點所對應(yīng)的數(shù)為：，當(dāng)點在點的右側(cè)時，點所對應(yīng)的數(shù)為：，答：點對應(yīng)的數(shù)為或80；（3）設(shè)相遇時間為，由題意得，，解得，點對應(yīng)的數(shù)為；（4）①追及前相距20，設(shè)行駛的時間為，由題意得，，解得，此時李明所在位置點對應(yīng)的數(shù)為；②追及后相距20，設(shè)行駛的時間為，由題意得，，解得，此時李明所在位置點對應(yīng)的數(shù)為；答：李明所在位置點對應(yīng)的數(shù)為或．【點睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，進(jìn)行分情況討論分析是解題關(guān)鍵．【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離．因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離．(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點A，B，P分別表示數(shù)，2，x．

填空：因為的幾何意義是線段與的長度之和，而當(dāng)點P在線段上時，，當(dāng)點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，．所以的最小值是______；(2)解決問題：①直接寫出式子的最小值為_______；②直接寫出不等式的解集為_______；③當(dāng)a為_______時，代數(shù)式的最小值是2．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)3(2)①6；②或；③或【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）①把原式轉(zhuǎn)化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示4與的點之間的距離最小值，進(jìn)而問題可求解；②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進(jìn)行求解；③根據(jù)原式的最小值為2，得到表示3的點的左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．【詳解】（1）解：當(dāng)點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，．所以的最小值是3；故答案為：3；（2）解：①，表示到與到的距離之和，

點在線段上，，當(dāng)點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時，，∴的最小值是6；故答案為：6；②如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，

當(dāng)點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當(dāng)點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；故答案為：或；③當(dāng)為或時，代數(shù)式為或，∵數(shù)軸上表示數(shù)1的點到表示數(shù)3的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)5的點到表示數(shù)3的點的距離也為，因此當(dāng)為或時，原式的最小值是．故答案為：或．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：點、在數(shù)軸上分別表示實數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，當(dāng)、兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)在原點，如圖1，，當(dāng)、兩點都不在原點時，①如圖2，點、都在原點的右邊；②如圖3，點、都在原點的左邊，③如圖4，點、在原點的兩邊，；綜上，數(shù)軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______．（2）若表示一個有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．（3）若表示一個有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出的范圍及的最小值．圖1圖2圖3圖4【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值，算出即可；（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距離與到3的距離之和最小，那么x應(yīng)在-1和2之間的線段上．（3）參考閱讀材料，寫出代數(shù)式表示的意義即可.【詳解】（1）數(shù)軸上表示和兩點之間的距離為數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離為，，故或，或．（2）代數(shù)式表示數(shù)軸上一點到，兩點的距離的和，可知有最小值為．（3）代數(shù)式表示到，兩點的距離，可知取值范圍，有最小值為．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對值，掌握數(shù)軸上兩點間的距離=兩個數(shù)之差的絕對值．【考點五數(shù)軸上的動點規(guī)律探究問題】例題：（2022秋·北京朝陽·九年級?？茧A段練習(xí)）一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達(dá)點P1，第2次向右移動2個單位長度到達(dá)點P2，第3次向左移動3個單位長度到達(dá)點P3，第4次向左移動4個單位長度到達(dá)點P4，第5次向右移動5個單位長度到達(dá)點P5…，點P按此規(guī)律移動，則移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動方法即可得到點前五次移動后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動的規(guī)律即可得移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則表示的數(shù)為+1，表示的數(shù)為+3表示的數(shù)為0表示的數(shù)為-4表示的數(shù)為+1……由以上規(guī)律可得，每移動四次相當(dāng)于向左移動4個單位長度．所以當(dāng)移動156次時，156=39×4相當(dāng)于向左移動了39次四個單位長度．此時表示的數(shù)為．則第157次向右移動157個單位長度，；第158次還是向右，移動了158個單位長度，所以．故在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．故選A．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動規(guī)律，正確理解題意，找出點在數(shù)軸上的運動次數(shù)與對應(yīng)點所表示的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，點表示數(shù)現(xiàn)將點沿數(shù)軸作如下移動，第一次將點向左移動個單位長度到達(dá)點，第二次將點向右移動個單位長度到達(dá)點，第三次將點向左移動個單位長度到達(dá)點，…，按照這種移動規(guī)律進(jìn)行下去，第次移動到點，那么點所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】從A的序號為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.【詳解】∵A表示的數(shù)為1，∴=1+（-3）×1=-2，∴=-2+（-3）×（-2）=4，∴=4+（-3）×3=-5=-2+（-3），∴=-5+（-3）×（-4）=7，∴=7+（-3）×（-5）=-8=-2+（-3）×2，∴=，故選B.【點睛】本題考查了數(shù)軸上動點運動規(guī)律，抓住序號為奇數(shù)時數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.2．（2022秋·七年級課時練習(xí)）一組數(shù)0，2，4，8，12，18，…中的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別用代數(shù)式，表示，如第1個數(shù)為，第2個數(shù)為，第3個數(shù)為，…，則第8個數(shù)的值是，數(shù)軸上現(xiàn)有一點從原點出發(fā)，依次以此組數(shù)中的數(shù)為距離向左右來回跳躍．第1秒時，點在原點，記為；第2秒點向左跳2個單位，記為，此時點表示的數(shù)為-2；第3秒點向右跳4個單位，記為，點表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點表示的數(shù)為．【答案】3230【分析】第8個數(shù)為偶數(shù)項，代入偶數(shù)項的公式即可得出答案；根據(jù)數(shù)的規(guī)律寫出前11個數(shù)的值，再結(jié)合點的跳躍規(guī)律即可得出答案.【詳解】∵第8個數(shù)為偶數(shù)項∴第8個數(shù)為：；由題可知，第4秒點向左跳8個單位，記為，點表示的數(shù)為-6；第5秒點向右跳12個單位，記為，點表示的數(shù)為6；…第11秒點向右跳60個單位，記為，點表示的數(shù)為30;故答案為32，30.【點睛】本題考查的是找規(guī)律，難度較高，找出兩種規(guī)律并巧妙結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.3．（2022秋·廣東惠州·七年級階段練習(xí)）已知A、B兩點相距54米，小烏龜從A點出發(fā)前往B點，第一次它前進(jìn)1米，第二次它后退2米，第三次再前進(jìn)3米，第四次又向后退4米，…，按此規(guī)律行進(jìn)，如果A點在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣17，數(shù)軸上每個單位長度表示1米（從A點向B點方向行進(jìn)記為前進(jìn)）（1）求出B點在數(shù)軸上表示的數(shù)；（2）若B點在原點的右側(cè)，經(jīng)過第五次行進(jìn)后小烏龜?shù)竭_(dá)M點，第六次行進(jìn)后到達(dá)N點，M點到A點的距離與N點到A點的距離相等嗎？說明理由；（3）若B點在原點的左側(cè)，那么經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點與B點之間的距離是多少？【答案】（1）B點在數(shù)軸上表示的數(shù)為37或-71；（2）M點到A點的距離與N點到A點的距離相等．理由見解析；（3）經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點與B點之間的距離是59米．【分析】（1）根據(jù)A、B兩點的距離及點A表示的數(shù)即可求點B表示的數(shù)；（2）根據(jù)小烏龜?shù)男羞M(jìn)規(guī)律即可得結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律即可得到小烏龜行進(jìn)10次后在點A的右側(cè)，距點A5米，依次即可計算與點B的距離．【詳解】（1）∵A點在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣17，A、B兩點相距54米，﹣17+54＝37或-17-54=-71答：B點在數(shù)軸上表示的數(shù)為37或-71；（2）M點到A點的距離與N點到A點的距離相等．理由如下：根據(jù)題意，得前進(jìn)第一次與點A距離1米，前進(jìn)第二次與點A距離2米，后退第一次與點A距離1米，后退第二次與點A距離2米，…第六次行進(jìn)（即前進(jìn)3次，后退3次）后，點N到A的距離為3米，點M到A的距離為3米，答：M點到A點的距離與N點到A點的距離相等．（3）∵B點在原點的左側(cè)∴B點在點A的左側(cè)經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜在點A的右側(cè)且與點A的距離是5米，小烏龜?shù)竭_(dá)的點與B點之間的距離是54+5＝59（米）；答：經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點與B點之間的距離是59米．【點睛】此題考查有理數(shù)的計算，正確理解點與點間的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，（1）中注意點B可能在兩側(cè)的情況；（2）中找到烏龜爬行的規(guī)律為（3）做基礎(chǔ).【考點六數(shù)軸上的動點新定義型問題】例題：（2022秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．例如：如圖1，點A表示的數(shù)為－1，點B表示的數(shù)為2.表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為－7，點N所表示的數(shù)為2(1)點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是；寫出【N，M】美好點H所表示的數(shù)是．(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當(dāng)t為何值時，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點？【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點E，F(xiàn)，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距離的變化．（2）根據(jù)沒好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，須區(qū)分各種情況分別確定P點的位置，進(jìn)而可確定t的值．【詳解】（1）解：根據(jù)美好點的定義，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有點G符合條件，故答案是：G．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，點N的右側(cè)不存在滿足條件的點，點M和N之間靠近點M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點，進(jìn)而可以確定－4符合條件．點M的左側(cè)距離點M的距離等于點M和點N的距離的點符合條件，進(jìn)而可得符合條件的點是－16．故答案為：－4或－16；（2）解：根據(jù)美好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，第一情況：當(dāng)P為【M，N】的美好點，點P在M，N之間，如圖1，當(dāng)MP＝2PN時，PN＝3，點P對應(yīng)的數(shù)為2－3＝－1，因此t＝1.5秒；第二種情況，當(dāng)P為【N，M】的美好點，點P在M，N之間，如圖2，當(dāng)2PM＝PN時，NP＝6，點P對應(yīng)的數(shù)為2－6＝－4，因此t＝3秒；第三種情況，P為【N，M】的美好點，點P在M左側(cè)，如圖3，當(dāng)PN＝2MN時，NP＝18，點P對應(yīng)的數(shù)為2－18＝－16，因此t＝9秒；第四種情況，M為【P，N】的美好點，點P在M左側(cè)，如圖4，當(dāng)MP＝2MN時，NP＝27，點P對應(yīng)的數(shù)為2－27＝－25，因此t＝13.5秒；第五種情況，M為【N，P】的美好點，點P在M左側(cè)，如圖5，當(dāng)MN＝2MP時，NP＝13.5，點P對應(yīng)的數(shù)為2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；第六種情況，M為【N，P】的美好點，點P在M，N左側(cè)，如圖6，當(dāng)MN＝2MP時，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；第七種情況，N為【P，M】的美好點，點P在M左側(cè)，當(dāng)PN＝2MN時，NP＝18，因此t＝9秒，第八種情況，N為【M，P】的美好點，點P在M右側(cè)，當(dāng)MN＝2PN時，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，綜上所述，t的值為：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸、點是【M，N】的美好點的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）對于平面內(nèi)的兩點M、N，若直線MN上存在點P，使得MP=NP成立，則稱點P為點M、N的“和諧點”，但點P不是點N、M的“和諧點”.(1)如圖1，點A、B在直線l上，點C、D是線段AB的三等分點，則是點A、B的“和諧點”（填“點C或“點D”）；(2)如圖2，已知點E、F、G在數(shù)軸上，點E表示數(shù)－2，點F表示數(shù)1，且點F是點E、G的“和諧點”，求點G表示的數(shù)；(3)如圖3，數(shù)軸上的點P表示數(shù)5，點M從原點O出發(fā)，以每秒3個單位的速度向左運動，點N從點P出發(fā)，以每秒10個單位的速度向左運動，點M、N同時出發(fā).在M、N、P三點中，若點M是另兩個點的“和諧點”，則OM=.【答案】(1)點C(2)-5或7(3)45或或【分析】（1）點C、D是線