任意角 高一數(shù)學(xué)

5.1.1

任意角自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、角的相關(guān)概念1.小明要將射線(xiàn)OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置.(1)請(qǐng)問(wèn)有幾種旋轉(zhuǎn)方向?提示:有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向.(2)先將OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB形成角α,再把OB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC形成角β,則OC的終邊對(duì)應(yīng)的角是多少?提示:OC的終邊對(duì)應(yīng)的角是α+β.2.(1)一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線(xiàn)沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),就稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.這樣,零角的始邊與終邊重合.(2)任意角包括正角、負(fù)角和零角.(3)規(guī)定:設(shè)α,β是任意兩個(gè)角,把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β.(4)把射線(xiàn)OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角α的相反角記為

–α.這樣,角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法,即α-β=α+(-β).3.將35°角的終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°所得的角為

,將35°角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周后的角為

.答案:-25°

395°二、象限角1.角的三要素是什么?提示:頂點(diǎn)、始邊和終邊.2.使角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則角的終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置?提示:終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi).3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.4.(多選題)下列說(shuō)法正確的是(

)A.小于90°的角是銳角

B.鈍角是第二象限角C.第二象限角是鈍角

D.直角不屬于任何象限解析:因?yàn)樾∮?0°的角包含負(fù)角,所以A錯(cuò)誤;因?yàn)殁g角的范圍是大于90°小于180°,所以鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角,如-240°是第二象限角,但-240°不是鈍角,所以B正確,C錯(cuò)誤.因?yàn)橹苯堑慕K邊落在y軸的非負(fù)半軸上,所以直角不屬于任何象限,故D正確.答案:BD

三、終邊相同的角1.如圖,60°角的終邊是OA,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)-660°,420°角的終邊與60°角的終邊有什么關(guān)系?提示:相同.(2)-660°,420°角與60°角分別相差多少?提示:-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它們與60°角分別相差了-2個(gè)周角及1個(gè)周角.(3)如何表示與60°角終邊相同的角?提示:60°+k·360°(k∈Z).2.(1)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.(2)象限角的表示(①終邊在第一象限的角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.②終邊在第二象限的角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}.③終邊在第三象限的角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}.④終邊在第四象限的角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.3.與-457°角的終邊相同的角的集合是(

)A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}解析:因?yàn)?457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°,所以與-457°角的終邊相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°,k∈Z}={α|α=-97°+k·360°,k∈Z}={α|α=263°+k·360°,k∈Z}.答案:C【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)-30°角是第四象限角.(√)(2)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.(√)(3)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.(√)(4)終邊相同的角的表示不唯一.(√)(5)始邊與終邊重合的角是零角.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

任意角的概念【例1】

端點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,且與x軸正方向相同的射線(xiàn)OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到射線(xiàn)OB的位置,接著再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到OC的位置,則∠AOC的度數(shù)為

.

解析:畫(huà)出的簡(jiǎn)圖如圖所示,由圖可知∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.所以∠AOC的度數(shù)為60°.答案:60°反思感悟角的概念推廣后,確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小,畫(huà)圖分析有助于培養(yǎng)直觀(guān)想象的素養(yǎng).【變式訓(xùn)練1】

寫(xiě)出下列說(shuō)法所表示的角:(1)順時(shí)針擰螺絲2圈;(2)將時(shí)鐘撥慢2時(shí)30分,分針轉(zhuǎn)過(guò)的角.解:(1)順時(shí)針擰螺絲2圈即螺絲順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了2周,因此所表示的角為-720°.(2)撥慢時(shí)鐘需將分針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),因此將時(shí)鐘撥慢2時(shí)30分,分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為900°.探究二

象限角與終邊相同的角【例2】

已知角α=2024°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求角θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.解:(1)因?yàn)?

024°÷360°=5……224°,所以取k=5,β=224°,α=5×360°+224°.又因?yàn)棣?224°是第三象限角,所以α為第三象限角.(2)由(1)知α=5×360°+224°,故θ=k·360°+224°(k∈Z).當(dāng)k=-2時(shí),θ=-496°<-360°,不滿(mǎn)足;當(dāng)k=-1時(shí),θ=-136°,滿(mǎn)足;當(dāng)k=0時(shí),θ=224°,滿(mǎn)足;當(dāng)k=1時(shí),θ=584°,滿(mǎn)足;當(dāng)k=2時(shí),θ=944°>720°,不滿(mǎn)足.綜上可知角θ的值為-136°,224°或584°.反思感悟1.把任意角化為α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k.可以用觀(guān)察法(α的絕對(duì)值較小),也可用除法.2.要求適合某種條件,且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.【變式訓(xùn)練2】

已知角α=2235°.(1)寫(xiě)出與角α終邊相同的角β的集合,并指出角α是第幾象限角;(2)求在360°≤β<1080°范圍內(nèi)與角α終邊相同的角.解:(1)因?yàn)?

235°=6×360°+75°,所以與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z},且角α是第一象限角.(2)當(dāng)360°≤β<1

080°時(shí),即360°≤k·360°+75°<1

080°(k∈Z),又因?yàn)閗∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時(shí),β=435°;當(dāng)k=2時(shí),β=795°.綜上所述,與角α終邊相同且在360°≤β<1

080°范圍內(nèi)的角有435°和795°.探究三

區(qū)域角的表示【例3】

已知角β的終邊在如圖所示的陰影內(nèi),求角β的取值集合.解:由題圖可知角β的取值集合為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}.1.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:角β在x軸上方部分的角的集合為A={β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}.角β在x軸下方部分的角的集合為B={β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|k·360°+180°+60°≤β<k·360°+180°+105°,k∈Z}={β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}.所以角β的取值集合是A∪B,即A∪B={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}∪{β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.2.若將本例圖形改為右面的圖形,其他不變,如何求解?解:由題圖可知陰影在第一、三象限,根據(jù)象限角的表示可知角β的取值集合是{β|k·360°<β<k·360°+90°,k∈Z}∪{β|k·360°+180°<β<k·360°+270°,k∈Z}={β|2k·180°<β<2k·180°+90°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°<β<(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={β|n·180°<β<n·180°+90°,n∈Z}.反思感悟表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步:根據(jù)圖形按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步:按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β,寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β},其中β-α<360°.第三步:起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α,β,再加上k·360°(k∈Z),即得區(qū)域角集合.易

錯(cuò)

辨

析提示:致錯(cuò)原因是把第二象限角誤認(rèn)為是大于90°而小于180°,第二象限角應(yīng)該是{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}.正解:由題意,