2023-2024學(xué)年滬科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 18.2 勾股定理的逆定理同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)題

2023-2024學(xué)年滬科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.2勾股定理的逆定理同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)題一、選擇題1．下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5C．6，22，10 2．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）A．2，3，4 B．4，53．古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫直角：用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，這樣做的道理是()A．直角三角形兩個(gè)銳角互余B．三角形內(nèi)角和等于180°C．三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊D．如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何?”大意是：“有一扇矩形門的高比寬多6尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)為1丈(1丈=10尺)，那么門的高和寬各是多少?”如果設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意，則可列方程為（）A．x2+x?62=12 5．如圖所示的“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．該圖由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab＝10，大正方形面積為25，則小正方形邊長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．5 D．36．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，樹干頂部落在與樹干底部距離4米處，這棵大樹在折斷前的高度為（）米A．5 B．7 C．3 D．87．如圖所示，長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了()A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8．小華新買了一條跳繩，如圖1，他按照體育老師教的方法確定適合自己的繩長(zhǎng)：一腳踩住繩子的中央，手肘靠近身體，兩肘彎屈90A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米二、填空題9．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，觀察尺規(guī)作圖的痕跡，若BE＝2，則BC的長(zhǎng)是．10．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為．11．如圖，在2×3的網(wǎng)格中，∠1+∠2=°.12．如圖，在4×4的正方形方格圖中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC是三角形．13．棱長(zhǎng)分別為3cm和2cm的兩個(gè)正方體如圖所示放置，點(diǎn)A，B，E在同一直線上，頂點(diǎn)G在棱BC上，點(diǎn)P是棱E1F1的中點(diǎn).一只螞蟻要沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，它爬行的最短距離是.三、解答題14．如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米.（1）求這塊空地的面積．（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？15．高州市在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測(cè)量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．（1）求空地的面積；（2）若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？四、綜合題16．筆直的河流一側(cè)有一營(yíng)地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B、其中AB＝AC，由于周邊施工，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客，在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長(zhǎng)．17．如圖，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，將AC沿AE折疊，使得點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)D重合.（1）證明：△ABC是直角三角形；（2）求△AEB的面積.

答案解析部分1．答案:D解析：A、∵12+22≠32，∴A不符合題意；

B、∵0.3，0.4和0.5是小數(shù)不是整數(shù)，∴B不符合題意；

C、∵6，22和10不是整數(shù)，∴C不符合題意；

D、∵72+242=252，∴D符合題意；

故答案為：D.

2．答案:D解析：解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股數(shù)，故不符合題意；

B、∵42+52≠62，∴不是勾股數(shù)，故不符合題意；

C、∵72+82≠92，∴不是勾股數(shù)，故不符合題意；

D、∵62+82≠102，∴是勾股數(shù)，故符合題意；

故答案為：D.

分析：勾股數(shù)滿足的兩個(gè)條件：①三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，②兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，據(jù)此逐一判斷即可.3．答案:D解析：解：設(shè)相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離為m，

則此三角形三邊的長(zhǎng)分別為3m、4m、5m，

∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，

∴以3m、4m、5m為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

故答案為：D.

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解.4．答案:D解析：解：設(shè)門的寬為x尺，則門高x+6尺，

由題意得：x2故答案為：D.分析：根據(jù)勾股定理列出方程，即可得解.5．答案:C解析：解：由題意可得：4×12ab+a?b2=25，

∵ab=10，

∴a?b2=5，

∵a-b＞0，

∴6．答案:D解析：如圖所示：

根據(jù)題意可得：BC=3m，AC=4m，∠C=90°，

在直角△ABC中，AB=BC2+AC2=5，

∴7．答案:A解析：解：由題意知AB=8，

∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

∴AC=BC=12AB=4cm，

∵CD⊥AB，

在Rt△ACD中，AC=4cm，CD=3cm，

∴AD=AC2+CD2=5(cm)，

∵C為AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，

∴CD垂直平分AB，

∴AD=BD=5cm，

∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)，

8．答案:C解析：解：標(biāo)字母如圖所示，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D.由題意得：AC=BC，AB=1米，

∴AD=BD=0.5（米）.

在Rt△BCD中，∴BD=1.2米，

∴BC=AC=CD2+BD2=1.2

分析：由題意得出圖形是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和勾股定理求解即可.9．答案:25解析：解：∵AB=AC=5，BE=2，

∴AE=AB-BE=3，

由尺規(guī)作圖可得：CE⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

∴CE=AC2?AE2=52?310．答案:45°解析：解：如圖，連接AC，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得：AC=2BC=2AB=3∴AC=BC，AB∴∠ACB=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=1故答案為：45°．

分析：連接AC，根據(jù)設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得：AC、BC、AB，則AC=BC，AB2=AC2+BC11．答案:45解析：解：如下圖，∵AD=CE，∠ADB=∠CEA，BD=AE，

∴△ABD?△CAESAS，

∴∠1=∠ACE，

∵AB2=5，AC2=5，BC2=10，

∴AB分析：利用"SAS"證明△ABD?△CAE得到∠1=∠ACE，進(jìn)而利用勾股定理逆定理證明△ABC為等腰直角三角形，進(jìn)而即可求解.12．答案:直角解析：解：由圖可知：AC2=32+42=25，

AB2=12+22=5，13．答案:34cm解析：解：如圖，有兩種展開方法：方法一(如圖1）：PA=(3+2)2方法二(如圖2)：PA=(3+2+1)2故需要爬行的最短距離是34.故答案為：34.分析：求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷.14．答案:（1）解：連接AC，如圖所示：

在Rt△ACD中，AC=CD2+AD2=5，

∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴這塊空地的面積=S△ABC-S△ACD=12×AC×BC-12×AD×CD=12×5×12-（2）解：根據(jù)題意可得：24×200=4800（元），

故答案為：4800元.解析：（1）先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面積公式及割補(bǔ)法求出這塊空地的面積即可；

（2）利用“總價(jià)=單價(jià)×總面積”列出算式求解即可.15．答案:（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝AB2∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝12AD?AC+1答：空地的面積為114m2；（2）解：150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費(fèi)17100元．解析：（1）利用勾股定理求出AC的值，再求出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，最后利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可；

（2）根據(jù)平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，再結(jié)合（1）所求計(jì)算求解即可。16．答案:（1）解：△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=82+62=100，BC2=100，∴CH2+BH2=BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；（2）設(shè)AC=AB=x千米，則AH=AB-BH=（x-6）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-6）2+82，解這個(gè)方程，得x=253答：原來的路線AC的長(zhǎng)為253解析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根據(jù)勾股定理解答即可。17．答案:（1）證明：∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形.（2）解：由翻折不變性可知：EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，設(shè)EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE