2023年海南省?？谑谐煽紝Ｉ緮?shù)學(理)自考真題(含答案帶解析)

2023年海南省?？谑谐煽紝Ｉ緮?shù)學（理）

自考真題（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

已知a=（3,6）,。=（-4,幻，且QJ.九則了的值是（）

（A）l（B）-i

（C）2（D）-2

1.

2.已知集合M={l,-2,3}N={-4,5,6,-7}從這兩個集合中各取一個元素作為

一個點的直角坐標，其中在第一。二象限內不同的點的個數(shù)是（）

A.18B.16C.14D.10

3.已知正方形ABCD,以A,C為焦點，且過B點的橢圓的離心率為

（）

A.A.2

互+I

B.

亙

C.2

D.

函數(shù)y=(cos2x-sin:x)?tan2x的最小正周期是()

(A)y(B)宣

4(C)2ir(D)4TT

5.

一次函數(shù)Y=3—2x的圖像不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

若明。是兩個相交平面，點4不在a內，也不在?內，則過4且與a和6都平行的

直線（）

（A）只有一條（B）只有兩條

6（C）只有四條（D）有無數(shù)條

7.若1名女生和3名男生隨機地站成一列，則從前面數(shù)第2名是女生的

概率為（）。

(11)函數(shù)了=vlg(？-X-1)的定義域是

(A)x\x1|(R)Ix2|

8.(口bl/W-1或x力2|空集

把曲線產3+2y-l=0先沿*?向右平移學個單位，再沿y軸向下平移I個單

9.位的曲線方程姑

A.(1-y)sinx.2y-3=0B.(y*1)*inx*2,?3?0

C.(y41)MRX42y?1-0D.-(y?l)iim+2》?1?0

(4)函數(shù)y=log2(/-3z+2)的定義域為

(A){xlx>2|(B)|xlx>3|

(C)|xlx<1或*>2](D)|xk<-11

親的反函數(shù)為廣"工)=轉

11.已知函數(shù)f(x)則()

A.a=3,b=5,c=-2B.a=3,b=-2,c=5C.a=-3,b=-5,c=2D.a=2,b=5,c=-3

12.從6位同學中任意選出4位參加公益活動，不同的選法共有

A.30種B.15種C.10種D.6種

cosA=——

13.在等腰三角形ABC中，A是頂角，且2,貝！|cosB=

()O

A-B.等

14不等式好Jm0的解集是

A.A.卜：wv4}

B.bl卜*W4)

>4)

D.{」xw；或

15.設集合M={1,2,3,4,51,N={2,4,6},則MAN=()o

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5,6}

16.在等差數(shù)列「J中=以躺為A.18B.28C.30D.36

17/()

A21.

A.A.1

G21.

B.

18.

第14題已知圓的方程為X2+y2+2x-8x+8=0,過P(2,0)作該圓的切線，則

切線方程為()

A.7x+24y-14=0或y=2

B.7x+24y-14=0或x=2

C.7x+24y+14=0或x=2

D.7x-24y-14=0或x=2

19.以X2-3X-1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是0

A.X2-11X+1=0

B.X2+X-11=0

C.x2-llx-l=0

D.X2+X+1=0

5個人站成一排照相，甲乙兩個恰好站在兩邊的概率是）

（B）—

6流'20

（C）看

（D7）—

20.,120

21.函數(shù)y=2sin（7t/4-x）sin（7r/4+x）的最大值是（）

A.1

B.2

22.A=20°,B=25°則(l+tanA)(l+tanB)的值為()

A.V3

B.2

C.l+v,-

D.2(tanA+tanB)

23.由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字且數(shù)字1與2不相鄰的五位數(shù)有

()

A.36個B.72個C.120個D.96個

24.函數(shù)〃工)9,已知在*h-3時取得橫值,刷。=A.2B.3C.4D.5

25.若x>2,那么下列四個式子中①x2>2x②xy>2y;③2x>x;④,4,正確

的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

26.()

A.A.0

B.1

「73

C.

D.

27.

第2題設角a的終邊通過點P(-5,12),則cota+sina等于()

A.7/13B.-7/13C.79/156D.-79/156

28.已知函數(shù)f(x)=(ax=b)/(x+c)的反函數(shù)為「i(x)=(2x+5)/(x-3)則

A.a=3,b=5,c=-2B.a=3,b=-2,c=5C.a=-3,b=-5,c=2D.a=2,b=5,c=-3

29.不等式|x-2|<1的解集是()

A.{x-1<x<3}B.{x|-2<x<l}C.{x|-3<x<l}D.{x|l<x<<3}

設甲：x=l.

乙：x1=1?

則

(A)甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件

(B)甲是乙的充分必要條件

(C)甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件

30(D)甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必-

二、填空題(20題)

31.

已知隨機變量自的分布列是：

012345

P0.10.20.3L0.2L0.1L0.1L

貝!IEg=_________

32.不等式（2x+l）/（L2x）的解集為.

為了檢查一批零件的長度，從中抽取10件,量得它們的長度如下（單位:mm）：

22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.3222.35

則樣本的平均數(shù)（結果保留到小數(shù)點第二位）為這組數(shù)據(jù)的方差

33.*

3爾（⑻向城環(huán)b互相垂直，且EI=1,則。?（。+6）=

直城12=0與Z軸J,分別交于4,8兩點.0為坐標原點,IM△G3的

35.周長為

27+l>o

36.不等式的解集為1-21

21.曲線y=3/；弋1在點（-1,0）處的切線方程___________.

37."+2

38.某同學每次投籃命中的概率都是0.6,各次是否投中相互獨立，則該

同學投籃3次恰有2次投中的概率是_____o

不等式尹<>0的解集為________.

39.(1+*)

40.

設正三角形的一個頂點在原點,關于X軸對稱，另外兩個頂點在拋物線產=2底

上,則此三角形的邊長為

41.若三角形三邊之比為2:3:4,則此三角形的最小角為弧度.

42.在△八出,中?：'—=斗第?.<l.JWAB=______________.

43.設f(x+l)=z+2GT1,則函數(shù)f(x)=

-10121

設離散型隨機變量S的分布列為1115?則E(C=_______________.

44.

一個底面直徑為32cm的圓柱形水桶裝入一些水，將一個球放入桶中完全淹沒，

45水面上升了9cm,則這個球的表面積是__cm

xJ-2x+1

46.四)1

47.方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0(A/))滿足條件(D/2A>+(E/2ARF/A=0,它

的圖像是_____________.

48.已知i,j,k為單位向量且互相垂直響量a=i+j,b=-i+j-k,貝！Jaxb=

49.海上有A,B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60。

的視角，從B島望C島和A島成75。的視角，則B,C之間的距離是

已知球的一個小圓的面積為八球心到小圓所在平面的即離為石，則這個球的

50.表面枳為.

三、簡答題（10題）

51.（本小題滿分12分）

在△A8C中.A8=8&*B=45°.C=60。,求人C.8C

52.（本小題滿分12分）

設兩個二次函數(shù)的圖像關于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達式

53.

（本小題滿分12分）

△48C中，已知a1+c1-b2=OC,SLlo&sinX+lo&sinC=-1「面積為v5cm’，求它二

山的長和三個角的度數(shù)?

54.

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列I4I中?5=2.a..|=yaa.

(I)求數(shù)列I%I的通項公式；

(n)若數(shù)列山的前“項的和s.=器，求”的值.

10

55.

(本小題滿分12分)

已知叁數(shù)方程

&=-(c,?e")cosd,

j二c-e'1)?inft

(1)若，為不等于零的常量，方程表示什么曲線？

(2)若做e射y.iGN.)為常量.方程表示什么曲線?

(3)求證上述兩個方程所表示的曲線有相同的焦點?

56.(本小題滿分12分)

某服裝店將進價為40元一件的襯衫，按50元一件售出時，能賣出500

件，如果這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少10件，商店為了獲

得大利潤，問售價應為多少？

(25)(本小題滿分13分)

已知拋物線丁=上，0為坐標原點,F為拋物線的焦點?

(1)求10rI的值；

(n)求拋物線上點P的坐標，使△。尸2的面積為十.

57.

58.(本小題滿分12分)

設一次函數(shù)f(x)滿足條件2/⑴+3f(2)=3且2/(-l)-f(O)=-1,求f(x)的

解析式.

(本小題滿分13分)

如圖,已知桶08GW+/=I與雙曲線G：=?(?>?)-

aa

(l)設e,分別是C,，G的離心率,證明<,?!<!(

(2)設44是G長軸的兩個端點%)(1%1>a)在G上,直線04與好的

另一個交點為Q,直線尸名與￡的另一個交點為心證明QR平行于曠軸.

60.

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(工)=丁-3/+m在［-2.2］上有最大值5,試確定常數(shù)m.并求這個函數(shù)

在該閉區(qū)間上的最小值.

四、解答題(10題)

如圖.設AC_LBC./ABC=45，NADC=60，BD=20,求AC的長.

/1

62.某工廠每月生產x臺游戲機的收入為R(x)=-4/9x2+130x-206(百元),

成本函數(shù)為C(x)=50x+100(百元)，當每月生產多少臺時，獲利潤最大？

最大利潤為多少？

63.已知等比數(shù)列｛an｝中，ai=16,公比q=(l/2)

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(II)若數(shù)列｛an｝的前n項的和Sn=124,求n的值

64.設函數(shù)f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的單調區(qū)間；

(11)求3)的極值.

65.

已仞雙曲線的焦點是橢圓I的頂點，其頂點為此橢圓的焦點.求，

(I)雙曲線的標準方程；(II)雙曲線的焦點坐標和準線方程.

66.已知關于x,y的方程Y+/+Ssind_4ycoS=

證明：

⑴無論。為何值，方程均表示半徑為定長的圓；

(2)當0=n/4時，判斷該圓與直線：y=x的位置關系.

巳知儲儲是志?幺=1的南個焦點"為一圜上一點,且“叫=加'.求

67*八八的面積.

68.

如圖，AB與半徑為1的O0相切于A點，AE=3,AB與O0的弦AC的夾角為

50。.求

⑴AC；

(2)△

ABC的面積.(精確到0.01)

已知等比數(shù)列I。/中,5=16,公比g=-1-.

(1)求數(shù)列的通項公式；

"(2)若數(shù)列|a“|的前n項的和5.=124,求n的值.

by.

70.已知函數(shù)f(x)=|x|,函數(shù)g(x)=|x-l|.

(I)解不等式f(x)>g(x);

(II)定義分段函數(shù)f(x)如下：當f(x)Ng(x)時,F(x)=f(x);當f(x)<g(x)

時，F(xiàn)(x)=g(x).結合(I)的結果，試寫出F(x)的解析式；

(IU)對于(II)中的函數(shù)F(x),求F(x)的最小值.

五、單選題(2題)

已知。=(3,6),b=(-4/),且aJ.九則了的值是()

(A)l(B)-1

(C)2(D)-2

71.

72卜展開式中r'的系數(shù)()

A.A.-21B.21C.-30D.30

六、單選題(1題)

73.已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,6］(0<a<b)上是增函數(shù)，那么它在區(qū)間

上是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.不是單調函數(shù)D.常數(shù)

參考答案

1.C

2.C

⑴因為第一象限的點的坐標為x>0,y<0

從<1，一2.3｝的1、3中取1個，、

有C；種.

?.?只能|取出

從｛-4,5?6,-7)的5、6中?。輦€，

有C種，

數(shù)再全排列，

共有C?C?P；=2X2X2=8(種).

⑵第二象限的點的坐標應滿足x<0,y>0

從M中取一2作橫坐標?

—一有-2.

從N中取5,6作姒坐標！

從N中取一4、一7作橫坐標

C?C=2X2=4.

從A1中取1、3作縱坐標

共有8+2+4=14.

3.C

4.B

5.C

6.A

7.A

該小題主要考查的知識點為隨機事件的概率.【考試指導】設A表示

1

4

第2名是女生，P(A)=

8.C

9.C

c解析:將康力程整理％；，=；r'—,陽為要將彼四線向右?南卜分財格動岸個單位和i個單々,因此

4?<901d1*

可海產-------------------1為所求J!/W.整理得??“巾》?2y”=0.

2?<?*(?-y)

10.C

11.A

12.B依題意，不同的選法種數(shù)為

6x5

C：=C-

考生要牢記排列組合的基本公式及計算方法.

【解題指要】本題主要考查排列組合的相關知識.

13.B

該小題主要考查的知識點為三角函數(shù)式的變換.【考試指導】

因為△回(：為等腰三角形，A為縝

角，cosA=1—2sin2毋=_/，所以sin^=g，

cosB=coS(-5--A)=sinA=

14.A

15.A該小題主要考查的知識點為交集.【考試指導】MAN={2,4}.

16.B

<.*3,?*0ra.

■■==??"=1<9x3-2A.

{&?&一：9l<f-3

17.D

￡-2—i,1?=占=再(答案為D)

18.B

19.A

又所成才I依角程為rf.x：.

■(Jt{+jf?(*i+*,)'—Ixix?~11.ri.?{"(Xixi)*"1,

20.A

21.A、,:y=2sin(7t/4-x)sin(7r/4+x)=2cos[7r/2-(7r/4-x)]sin(n/4+x)=2cos

(^/4+x)sin(n/4+x)=sin(7r/2+2x)=cos2x,ymax=l.

22.B

.,.tan(A+B)=janAJta鞏

由題已知A+B=n/4-tan八?tanB即tanA+tanB=l-

tanA*tanB,(1+tanA)(1+tanB)=l+tanA+tanB+tanA*tanB=2

23.B用間接法計算，先求出不考慮約束條件的所有排列，然后減去不符

合條件的.

:I：；：；T-XMT-%

24.D

r)■析:如4!，(m+2-+3,則當*”-3時/.帶人?梅?=5

25.B

①中由x>2即x>0,所以x2>2x成立;②中由x>2,y的范圍不確定，

因此xy>2y不一定成立，③中由2>1,x>0所以2x>x成立;④中式子成

立是顯然的.正確的式子是①③④.【考點指要】本題考查不等式的基本

性質.不等式的性質：a>b,c>0那么ac)>bc.

26.D

由余弦定理有eZ至士尼二紿=蠅'+2'一憶甚,

出爾依無理Fco。2AB.AC2X73X22

A=專?則sinAnsin菅b春?(谷案為D)

ou4

27.C

28.AVf1(x)=(2x+5)/(x-3)的反函數(shù)為f(x)=(ax+b)/(x+c),①又YF

i(x)=(2x+5)/(x-3)的反函數(shù)為f(x)=(3x+5)/(x-2),②則①=②，.'.a=3,b=5,

c=-2.

29.D|x-2|<1=>-1<x-2<1=>1<x<3,故不等式的解集為{x[l<1<3}.

30.C

31.

2.3

32.{x|-l/2<x<1/2}

2>0n產+1>。盧1IVO②

1—2*U-2x>0wll-2*V0J

①的解集為一：v*v；?②的解集為0.

{x|—^VnVU0=(*l-

3322.35,0.00029

34.（18）1

35.

121?標：廉直線。程可9*有:?；=1.則點1|1線合，*!■的11*號4,在，，上的HJE為3,刈=

角%的局長為4/3?6"次"口

36.

【答案］<x|-±<x<-l>

42

2/+1(2x4-1>0

>0=W①或

(l-2x>0

4-K0

②

2x<0

C①的解集為一；V?rV；?②的解集為0.

（M

<j|―-1-<x<y}U0={x|—

4,

21.y---(x+1)

37.

22

38.0.432投籃3次恰有2次投中的概率為C3-0.6-0.4=0.432.

39x>-2,且xK-1

40.

41.arccos7/8設三邊分別為2h、3h、4h(如圖)，由余弦定理知

(2h)2=(3h)2+(4h)2-2x3hx4hcosa,/.cosa=7/8,即a=arccos7/8.

△ABC中,0<AV]80'sinA>0,sin4-五二Jl-(),-察,

x

由rr防正ct,m弦ST,￥nA定rj.理BCsinC可1X知/ml5.0(2答案416為/腦*勺yv^l)O、

10

43.設x+l=t，則x=t-l將它們代入

入/(x+1)=x+2>/x+1中，得

/(/)=/—1+24-1+]==,+2，L1.則

/(x)=r+2-/x-1.

44.

E(f)=(-l)xX+0x|+lx|+2X^-||.(#?^l|)

45.576,

46.

47.

點（一梟一射

Ar1+A,?D"E,+F-。?①

樣①的無也和才?畀

（，+到+（，?打?（給'+（哥一齊。

?；'?"它的國.是以（-芻

卜一記

?！?f.（一張一給?包今?▲??

48.0由向量的內積坐標式，坐標向量的性質得a2=j2=k2=l,ixj=jxk=ixk=0,

Va=i+j,b=-i+j-k得:axb=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-l+I=0.

49.

576【解析】由巳知條件,蹲在△ABC中.AB=

10(海里).NA=60，NB=75?，則有NC=45：

由正弦定理卷=高.即高=￡念’得

10^|0：=

50.

51.

由已知可得A=乃。.

又Kin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+??45o8in30o=.......4分

在中，由正弦定理得

ACBC8而……8分

0-0

^^■Sin75sin60'

所以AC=16.8C=86+8.……12分

52.

由已知，可設所求函數(shù)的表達式為y=(x-m)'+n.

而y=/+2工T可化為y=(x+1)2-2?

又如它們圖像的頂點關于直線*=1對稱.

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的表達式為y=(x-3),-2,fifly=』-6x+7.

53.

24.解因為l+J-b'",所以二客支

2ac2

即co88T，而B為AABC內角，

所以B=60。.又log^aiad+Ic&sinC=-!所以sia4?sinC=/.

My[a?(i4-C)-<x?(4+C)]=-^-.

所以cos(4-C)-a?120°=y,liPc<?(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=I20。，

解得A?105°,C=15°；<A=15*,C=105*

因為SA4>C='oAsinC=2/?JsifvlsinBsinC

..±&.紅.也二二&z

4244

所以■,所以R=2

所以a=2/{sim4=2x2xsinl05°=(而+&)(cm)

b=2RmnB=2x2xsin600=27T(cm)

c=2/?sinC=2x2xsinlS。=(歷-左)(cm)

或a=(J6-JI)(cm)b=2ctn)c=(%+&)(cm)

如?二初長分別為(用九力皿2麗、(%它們的對角依次為：105:60。15。.

54.

（1）由已知得■今日工4，

所以M.I是以2為首項.十為公比的等比數(shù)列，

所以a.=2（/j,即0.=/°…“心分

（U）由已知可得處"上單」,所以（打=（畀，

解得n=6.12分

55.

(1)因為"0.所以e'+e-V0,e,-eV0.因此原方程可化為

'.產cosff,①

e+e

le7-"e,=sin6.②

這里e為參數(shù).ay+②1,消去叁數(shù)。,得

44

所以方程表示的曲線是橢圓.

(2)由知co?2"0,sin"~o.而，為參數(shù),原方程可化為

因為2e'e-'=2「=2.所以方程化簡為

22

_*_____2L_ci.

cos?。siiT。

因此方程所表示的曲線是雙曲線.

⑶證由(I)知，在橢圓方程中記"=運亨2.〃=強二^3

44

則J=1-爐=1,c=1,所以焦點坐標為(±1.0).

由(2)知.在雙曲線方程中記a'=ca”.爐=4%

■則Jna'+配=1.C=1.所以焦點坐標為(±1,0).

因此(。與(2)中的兩方程所表示的曲線有相同的焦點.

56.解設襯衫每件提高X元售出時，利潤為Y元，此時賣出的件數(shù)為

500—10x件，獲得收入是(50+X)(500一10x)元，則利潤

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以當X=20時，利潤Y取得最大值9000元，此時售價

為50+20=70元

（25）解：（I）由已知得尸（J,O）,

o

所以IOFI=J.

o

（n）設P點的橫坐標為人（x>o）

則P點的縱坐標為6或-騰,

△OFP的面積為

解得Z=32,

57.故P點坐標為(32,4)或(32,-4).

58.

設人口的解析式為/（幻=3+6.

依題意得憶解方—於

（2（-O4d）=-1,99,

59.證明：（1）由已知得

將①兩邊平方.化簡得

（?Q，。）'醇=（t|④

由②（3）分別得竟=』（￡-/），y：=1（。2-V）.

aa

代人④整理得

同理可得Y

所以處二%~0.所以。犬平行于，軸.

60.

f(x)=3x2-6x=3x(x-2)

令/(x)=0附駐點陽=0,町=2

當x<0時/(x)>0；

當0<工<2時J(x)<0

x=0是“口的極大tf(點.極大值〃0)-m

.-./(0)=E也是最大值

m=5,X/l[-2)=m-20

j\2)=m-4

-2)=-15JX2)=1

:.函數(shù)〃G在[-2,2]上的最小值為〃-2)--15.

61.

設AC=a,如右圖所示,在直角△ABC中,/ABC=45*

從而BC=AC=a./\

在直角△AQC中,NADC=60'/

號擊=507,從而3乳//).J

/DC

由CD=BC-BD,得畤a=a-20.

解得a=30+106,即AC=30+1075.

62.用導數(shù)來求解.?.?L(X)=-4/9X2+80X-306,求導L,(x)=-4/9x2x+80,令

U(x)=0,求出駐點x=90.Vx=90是函數(shù)在定義域內唯一駐點，.'。二%是函

數(shù)的極大值點，也是函數(shù)的最大值點，其最大值為L(90)=3294.

63.⑴因為a3=a4,BP16=aix(l/4),#a3=64,所以，該數(shù)列的通項公

n1

式為an=64x(l/2)-

(II)由公式Sn=[ai(Lqn)]/(Lq)得124=[64(1-1/2叨/(1-1/2)

化簡得2n=32,解得n=5

64.

（1）廉數(shù)的定義域為（-8*+8）?

令/（x）-O,e*-1*0.1^x=0.

當工6（一8.0）時，/（x）V0，

工￡（0,十8）時JG）>0?MH*"

.?./（力在（-8.0）內單調減少,在（0，+°°》單調好如.

又???/?）在1=0左他聯(lián)調減少，在1.0右倘單調增加'

—為極小值點，且八工）的極小值為0-

65.

（I）設桶圜的長半柏長為5，短半軸長為灰.半焦距為G,由橢圓方程得

&=3e6175y4?二/Q二5=2.

設所求雙曲線的標準方程為《一￡二】（a>0,行>0）.

AOr

由已知4=6=2,「=5=3,b=———a'=JU-g店.

因此所求雙曲線的標準方程為g=L

（0）由（I）知a=2,c=3.可知雙曲線的焦點坐標為（3,0）,（3,0）,

準線方程為