2024屆北京市房山區(qū)高三一模數(shù)學試卷（含答案與解析）

2024屆北京市房山區(qū)高三一模試卷

數(shù)學

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知全集"={—2，T，°，1，2},集合A={1,2},則gA=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1）

2.拋物線x2=4y的準線方程為（）

A.x=—1B.x=1C.y——1D.y=1

3.己知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=（/n-i＞（3+i）是純虛數(shù)，則實數(shù)機的值是（）

A.—3B.3C.—D.—

33

TT

4.已知角々的終邊經(jīng)過點（3,4）,把角a的終邊繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn),得到角夕的終邊，則sin/?=

（）

5.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健

步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第三天走的路

程為（）

A.12里B.24里C.48里D.96里

JT

6.直線/:%+丁+2=0截圓加：必+｝；2=，&〉0)所得劣弧所對的圓心角為§,則廠的值為()

A.V6B.垃C.顯D.逅

323

7."0<x<1”是“|x(x-1)1=x(l-x)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知a,b,ceR,則下列命題為假命題的是()

A.若a>b,則a+c>Z?+cB.若a>6>0,則a。,〉/?。"

(1Y+c(1^+cbb+c

C.若a>b,貝<-D.若a>人>0,c>0,則一>----

(2)(2)aa+c

9.在平面直角坐標系中，已知A(—l,。),5(1,0)兩點.若曲線C上存在一點P,使P4.PB<O,則稱曲線

C為“合作曲線”，給出下列曲線：①2/_/=1；②2月+丁2=1；③2x+y=4.其中“合作曲線”是

()

A.①②B.②③C.①D.②

ln(l-x),xe(-oo,0]

10.若函數(shù)/(x)=11則函數(shù)g(x)=/(x)+x+c零點的個數(shù)為()

”,xe(O,+“)

A.1B.2C.1或2D.1或3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.雙曲線二匕=1的離心率是

22

12.如圖.已知矩形A3CD中，AB=4,AD=2,M,N分別是BC,CD的中點，則4W.3N=

B

nn

13.設(1-X)"=4+。逮+。2%2++anX,則/=;當。8=一。9時，=.

14.若對任意m.eR,函數(shù)/(刈滿足/'(加)/(〃)=/(加+〃)，且當機＞“時，都有/O)＜/("),則函數(shù)

/(%)的一個解析式是.

15.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！?4Goi中，點尸是對角線AG上的動點(點P與點A,G不重

合).給出下列結(jié)論：

①存在點尸，使得平面平面A&G；

②對任意點p,都有42=。尸；

③△4。尸面積的最小值為也；

6

④若4是平面ADP與平面的夾角，％是平面4QP與平面54G。的夾角，則對任意點尸，都

有e產(chǎn)仇?其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形A3CD是矩形，平面ADEL平面A3CD,VADE是正三角

形，EF=2,AB=4,AD=2.

(1)求證：EF//AB-

(2)求二面角尸—3C—￡＞的余弦值.

17.ABC中，cos2A=—,a=7,日a<c.

2

（1）求NA的大??；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使存在且唯一確定，求

的面積.

條件①：c=8,NC為銳角；

條件②：cos2C=—；

49

條件③：sinB=36.

14

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個

解答計分.

18.《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術(shù)等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術(shù)

等級標準》（單位：m）（部分摘抄）：

項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員

男子跳遠8.007.807.306.505.60

女子跳遠6656.355.855.204.50

在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學參加了跳遠考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為

預測考級能達到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下

數(shù)據(jù)（單位：）：

甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：5.16,5.65,5.18,5.86.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，

（1）估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率；

（2）設X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學

期望E（X）；

（3）在跳遠考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級

比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(單位：m)如下表:

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次試跳的成績?yōu)椤?用sj,s2?分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當邑2=*2時，寫出。的

值.(結(jié)論不要求證明)

22

19.己知橢圓E:=+g=l(a〉6〉0)的離心率為左焦點為耳(—L0),過￡的直線交橢圓E于A、

5兩點，點M為弦AB的中點，。是坐標原點，且由于M不與。，月重合.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若P是QW延長線上一點，且OP的長度為2,求四邊形。面積的取值范圍.

20已知函數(shù)/■(%)=*+!.

x

(1)當。=0時，求曲線y=在點(L/⑴)處切線方程；

(2)設g(x)=/'(x>x2,求函數(shù)g(x)的極大值；

(3)若a<-e,求函數(shù)的零點個數(shù).

21.己知無窮數(shù)列｛4｝是首項為1,各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合

A=｛keN*|a“<左<a"+i，〃eN*｝.若對于集合A中的元素4，數(shù)列｛%｝中存在不相同的項

%，％，%,，使得4+皈++%=左，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)N(￡),記集合8=｛用數(shù)列｛4｝具

有性質(zhì)N(k)｝.

,,f2n-1,n<4,

(1)若數(shù)列｛%｝的通項公式為4=1,“寫出集合A與集合3

[〃+6,〃>4.

(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為集合B中的最小元素為s,當『23

時，證明：t=s-

(3)若｛4｝滿足2a“N4+i，〃eN*,證明：A=B.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知全集"={—2，T，°，1，2},集合A={1,2},則gA=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)補集的定義即可得解.

【詳解】因為全集。={—2,—1,0,1,2},集合A={1,2},

所以gA={—2,—l,0}.

故選：B.

2.拋物線x2=4y的準線方程為（）

Ax=—lB.x=lC.y=-lD.y=1

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線標準方程即可求解.

【詳解】由題知，拋物線方程為必=4〉，

則其準線方程為y=-L

故選：C

3.已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)2=（"2-。?（3+。是純虛數(shù)，則實數(shù)機的值是（）

A.—3B.3C.—D.一

33

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘法運算求出復數(shù)Z,再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.

【詳解】z=(m-i)-(3+i)=3m+l+(m-3)i,

因為復數(shù)z=(加—i)?(3+i)是純虛數(shù),

3m+1=0

所以解得加=

m-3w03

故選：C.

TT

4.己知角e的終邊經(jīng)過點(3,4),把角0的終邊繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)l得到角夕的終邊，則sin/?=

()

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【解析】

7T

【分析】由題意可得〃=a+5,再根據(jù)誘導公式及三角函數(shù)的定義即可得解.

【詳解】因為角々的終邊經(jīng)過點(3,4),

33

所以C3赤丁丁

TT

因為把角a的終邊繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn),得到角B的終邊,

JT

所以夕=a+萬，

所以sin,=sinja+巴］=cosa=—.

故選：D.

5.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：”三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健

步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第三天走的路

程為()

A.12里B.24里C.48里D.96里

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得，此人6天中每天走的路程是公比為3的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前九項和公式及

通項公式求解即可.

【詳解】由題意可得，此人6天中每天走的路程是公比為g的等比數(shù)列，

設這個數(shù)列為{4},前〃項和為5“，

小一；]63

貝I]s6=△―H=—°=378,解得q=192,

6.132

1----

2

所以。3=192X*=48,

即該人第三天走的路程為48里.

故選：C.

JT

6.直線/：x+y+2=。截圓加：f+產(chǎn)=產(chǎn)(廠〉0)所得劣弧所對的圓心角為則廠的值為()

Af2R2屈y/6A/6

323

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線X+y+2=0距離即可計算作答.

7T

【詳解】因直線/截圓M所得劣弧所對的圓心角為不，

令劣弧的兩個端點為A,3,則為等邊三角形，

即2秋汨246

即一^==——r,解得r=----.

V1+123

故選：B.

7.“0<%<1”是"|%0-1)|=x(1-功”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出|x(x-l)|=Ml-x),再由充分條件和必要條件的定義求解即可.

【詳解】由|%(%-1)|=尤(1一%)可得：x(x-l)<0,

解得：0<%<1,

所以"0<x<1"能推出“Ix(x-1)|=x(l-x)”，

但“|x(x—l)|=x(l—x)”推不出"0<x<l"，

所以"0<x<1”是“Ix(x-1)|=Ml-％)”的充分不必要條件.

故選：A.

8.已知仇ceR,則下列命題為假命題的是()

A.若a>b,則a+c>〃+cB.若a>6>0,則a。,〉/?。"

(1V+c門bb+c

C,若a>b,則|上|<-D.若a>b>0,c>0,則一>----

(2)(2)aa+c

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)累函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利

用作差法即可判斷D.

【詳解】對于A,因為。>>，所以a+c>Z?+c,故A結(jié)論正確；

對于B,當a>5>0時，因為塞函數(shù)y=在(0,+“)上單調(diào)遞增，所以故B結(jié)論正

確；

對于C,因為〃>人，所以a+c>b+c,

而函數(shù)y=為減函數(shù)，所以[3]<(；)，故C結(jié)論正確；

bb+c6(Q+C)-Q(Z?+C)c(b-a)

aa+ca(a+c}a(a+c}'

因為Q>Z?>0,C>0,所以c(b-〃X(),a(a+c》O,

bb+cc（b—ci\bZ?+c

所以--------=-）~（<0,所以2〈生上，故D結(jié)論錯誤.

aa+ca^a+c）aa+c

故選：B.

9.在平面直角坐標系中，已知A（-1,0）,5（1,0）兩點.若曲線C上存在一點P,使P4.PB<0,則稱曲線

C為“合作曲線”，給出下列曲線：①2y2一好=1；②2爐+丁2=1；③2x+y=4.其中“合作曲線”是

（）

A.①②B.②③C.①D.②

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設點P（x,y）,由“合作曲線”的定義可知，曲線。上存在點？（九》）,使得/+

然后逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】設點P（羽?。瑒tPA=（-l-x,-力尸8=（13-y）,

由PA-PB<0可得一1+f+/<0，即d+/<1,

即曲線。上存在點P（x,y）,使得k+/<1,即為“合作曲線”，

對于①，由雙曲線2y2—必=i可得等力=i,

則雙曲線2y2—必=1上存在點「滿足f+/<],故①為，，合作曲線，，；

對于②，由橢圓2爐+/=1可得。=11=@,

-2

則橢圓2必+V=1上存在點尸滿足爐+爐<1,故②為“合作曲線,，；

對于③，因為圓心（0,0）到直線2x+y=4的結(jié)論d=凳>1，

故直線2x+y=4上不存在一點P滿足必+/<1,故③不為“合作曲線，，；

故選：A

ln（l-x）,xG（-o）,0]

10.若函數(shù)=11/八、，則函數(shù)g（x）=/（%）+x+c零點的個數(shù)為（）

匹,%￡（0,+8）

A.1B.2C.1或2D.1或3

【答案】A

【解析】

【分析】令g(x)=/(x)+x+c=O,則/(x)+x=-c,則函數(shù)g(x)零點的個數(shù)即為函數(shù)

丁=/(%)+羽y=一。圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可％)=/(力+》,利用導數(shù)求出函數(shù)/z(x)的單調(diào)區(qū)

間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

ln(l-x),xe(-oo,0]ln(l-x),%e(-co,0]

【詳解】/(x)=\1、=J^,xe(O,l),

Le

-,xe[l,+Cc)

lx

令g(x)=/(x)+x+c=。，則/(%)+%=—C,

則函數(shù)g(x)零點的個數(shù)即為函數(shù)y=/(%)+無y=-C圖象交點的個數(shù)，

ln(l-%)+x,%G(一a,0]

令h(x)=/(%)+%=<2%,%w(0,1)

—+X,XG[1,+8)

1y

當XG(Y,0]時，"(x)=ln(l-x)+x,則/(%)=----+1=——>0,

x~lx—1

所以函數(shù)M%)在上單調(diào)遞增，且〃⑼=o,

當xe(0,l)時，A(x)=2xe(0,2),

當xe[l,+oo)時，//(%)=—+x,則〃(%)=—-!+]=「J20,

犬XX

所以函數(shù)/?)在[1,”)上單調(diào)遞增，且丸⑴=2,

又當尤f_8時入(九)f―00,當Xf+8時，M九)f+8,

作出函數(shù)人(力的大致圖象如圖所示，

y*歹淤)

2年尸。

4"

由圖可知函數(shù)y=f(x)+x,y=-c的圖象有且僅有一個交點，

所以函數(shù)g(x)=/(%)+%+c零點的個數(shù)為1個.

故選：A.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，

然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與無軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思

想和分類討論思想的應用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

⑶參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線,=。與函數(shù)

y=g(x)的圖象的交點問題.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.雙曲線匕=1的離心率是.

22

【答案】V2

【解析】

【分析】由雙曲線的標準方程求出a,4c,即可求出雙曲線的離心率.

22

【詳解】由雙曲線與=1可得：a=b=Rc=&+b2=2,

22

xVc2/T-

所以雙曲線±—±二1的離心率是e=—=—彳=J2.

22a<2

故答案為：72.

12.如圖.已知矩形A3CD中，AB=4,AD=2,M,N分別是BC,CD的中點，貝1加0.附=

【答案】-6

【解析】

【分析】用AD、AB作為一組基底表示出AM，BN，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】依題意AM=+=48+工8。=AB+」AD,

22

BN=BC+CN=AD+-CD=AD--AB,

22

所以AM.3N=(AD—+

12123

=——AB+-AD+-ABAD

224

1.71一，3._兀

=——義4-+—x2-+—x4x2cos—=-6.

2242

故答案為：-6

nn=

13.設(1-X)"=4+。逮+。2爐++anx,貝?。?=；當。8=一。9時，.

【答案】①.117

【解析】

【分析】令x=0可求出4；先求出(l—x)"的通項，令廠=8和廠=9,求出“8，%，再由。8=-。9，即可

求出九的值.

【詳解】令九=0可得：1=。0，

(1-xf的通項為:Tr+1=C：(-切=C：(-1/￡,

令廠=8可得a8=C(—l)8=C：，

令廠=9可得的=C：(—1)9=—C〉

所以由為=一。9可得C：=C:,所以〃=17.

故答案為:1；17.

14.若對任意〃Z,〃WR,函數(shù)/a）滿足/■（〃z）y（"）=/'o+〃），且當加〉〃時，都有/o）＜/（”），則函數(shù)

/（%）的一個解析式是

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

可取?。?出

【詳解】由題意，

函數(shù)=是減函數(shù)，滿足相〉"時，都有/（相）＜/（〃），

=f^m+n),

所以函數(shù)/⑴=滿足題意.

故答案（答案不唯一）

15.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！狝4GR中，點尸是對角線AQ上的動點（點尸與點A,q不重

合）.給出下列結(jié)論：

①存在點尸，使得平面ADP，平面AAG；

②對任意點p,都有4尸=。「；

6

④若4是平面ADP與平面的夾角，％是平面ADP與平面55cle的夾角，則對任意點P,都

有a彳2.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】①可通過線面垂直的判定定理找到點P;②③④都可以通過建立空間直角坐標系解決，其中通過向

量的長度可以對②進行判斷；利用兩條直線所成的角和三角形面積公式可以判斷③；求出三個面的法向量，

并求出COS4和cos，2,即可對④進行判斷.

【詳解】①因為AG在AG上取點P使AC]

因為A。DP=D,ARDPu平面ADP，所以AC1，平面4。尸，

因為AC】u平面A&C，所以平面ADPL平面A&G，故①正確；

②以D1為原點，以24,AC，2。分別為蒼y,z軸建立空間直角坐標系，如圖

A(1,0,0),D(0,0,l),4(1,0』)，q(0,1,0),則相4A=(0,0,l),ZM=(1,0,0)

設AP=2AC]=2(-l,l,-l)=(-2,2,-^)(0<2<l),則

4。=AA+AP=(0,0,1)+(-2,A,-2)=(-A,2,1-2),

DP=n4+AP=(l,0,0)+(-2,2,-A)=(l-2,/l,-2),

從而|AP|=^(-2)2+22+(l-2)2=,3%-22+1，|=^/(1-2)2+22+(-2)2=J3%-22+1,

所以AP=DP,故②正確;

③由②4。1)，4尸=(—x)，Aj)?A1P=2+1—%=i,

cosa。,4尸=華；40=—~1=1

1H，AP|V2XV3A2-22+1,6儲—44+2

1_46%—42+1

sinA。,4尸二

642—42+2,6%-4X+2

2

SADP=-|^||AnisinA}D,A1P=-xV2x732-22+lx奴+,

225/6A2—4Z+2

＜加…4-rf=f

④平面的法向量4=(0,0,1),平面551GC的法向量%=(0,1,0),

,、n,-AD=QT+Z=O

設平面A。尸的法向量4=(羽％z),由：I即。,八八八得22-1，令

''7"3,4尸=。-/tx+2y+(l-2)z=0y=%

x=4得4=(2,22-1,2),

則cos4=j,22-1

cosa=

同，令4=2A—1得4=1,M0</l<1,從而對任意點P,都有

cos4中cos02,Gw%，故④正確;

故答案為：①②③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在五面體A5CDEF中，四邊形A3CD是矩形，平面ADEL平面A3CD，VADE是正三角

形，EF=2,AB=4,AD=2.

(1)求證：EF//AB.

（2）求二面角E—BC—D的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵空

7

【解析】

【分析】（1）證明A6〃平面COM,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；

（2）分別取的中點。連接OE,OM,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得OEL平面A3CD,再以

點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

因為AB//CD,AB<z平面CDEF,CDu平面CDEF,

所以A6〃平面CDEF,

又平面ABbE平面CDEF=￡F,ABu平面

所以訪〃AB；

【小問2詳解】

如圖，分別取AD/C的中點,連接OE,OM,

則。河，5。,。河=48,

因為VADE是正三角形，所以OELAD,OE=6,

又平面ADE_L平面ABCD,平面ADEI平面ABCD=A￡）,平面ADE,

所以OEL平面A3CD,

如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系，

則3（1,4,0）,C（—l,4,0）,石（0,0,若），尸（0,2,6），

設平面BCF的法向量為〃=（x,y,z）,

n-CB=2x=0

則有<可取卜

nCF-x-2y+市z=0

因為OEL平面ABC。,

所以OE=e，0,C）即為平面A3CD的一條法向量,

nOE26_26

貝Ucosn,(?E=

HH77x73~7

所以二面角E—3C—D的余弦值為亞.

7

17.在ABC中，cos2A=一一,a=7,且a<c.

2

（1）求NA的大??；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使一ABC存在且唯一確定，求

.ABC的面積.

條件①：。=8,NC為銳角；

條件②：cos2C=—；

49

條件③：sinB=36.

14

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個

解答計分.

【答案】（1）4=];

（2）①，5ABe=1。6；③，SAABC=6>j3.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)得/A為銳角，從而根據(jù)cos2A的值得到NA的大??；

（2）②由正弦定理得sinC,根據(jù)/C為銳角得cosC,則一ABC存在且唯一確定，進而得到sinB,由

SAABC=gacsinB得到-ABC的面積；

③由正弦定理得邊b,再根據(jù)sinC=sin（A+5）得到sinC,由S=g出7sinC得到的面積.

【小問1詳解】

12n471

因為q<c,所以Ac0，T，所以2440,兀）,由cos2A=——得2A=—'A=§

23

【小問2詳解】

選條件①：c=8,NC為銳角;

78

sinC知sinC=4拒

由正弦定理一L—即n

sinAsinCsin-7

因為NC為銳角,所以cosC=A/1-sin2<7=—,所以存在且唯一確定.

7

/、

JI+旦。sC=速

sinB=sin(力+C)=sinC+—=-sin<7

、3J2214

從而s,.=-acsinB=-x7x8x

22

選條件②:cos2C=-由得C>A,從而/C可能是銳角，也可能是鈍角，貝/ABC不唯一,

49

故不能選②;

選條件③：sin3=V叵,

14

712

由sin5<sin—=sinA,得b<a,所以Be[0,、J,cosB=Vl-sinB=-

314

7

由正弦定理上b

sinAsinB

214

sinC=sin(/+8)=——x--------1——X-------

142147

=-?Z?sinC=-x7x3x^

=6^/3-

227

18.《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術(shù)等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術(shù)

等級標準》（單位：m）（部分摘抄）:

項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員

男子跳遠8.007.807.306.505.60

女子跳遠6.656.355.855.204.50

在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學參加了跳遠考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為

預測考級能達到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下

數(shù)據(jù)（單位：）：

甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：516,5.65,5.18,5.86.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，

（1）估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率；

（2）設X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學

期望E（X）；

（3）在跳遠考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級

比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次試跳的成績?yōu)閍,用電2,%2分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當為2=*2時，寫出。的

值.（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）|

（2）E（X）=1.4

⑶。=5.81或a=5.87.

【解析】

【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)計算頻率，用頻率估計概率；

(2)由X的取值，計算相應的概率，由公式計算數(shù)學期望E(X)；

(3)當兩人成績滿足乂=.+〃(，=1,2,3,4,5,6)的模型，方差相等.

【小問1詳解】

甲以往的10次比賽成績中，有4次達到國家二級及二級以上運動員標準，

42

用頻率估計概率，估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率為一=—；

105

【小問2詳解】

設甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員分別為事件A瓦C,

211

以往的比賽成績中，用頻率估計概率，有P(A)=g,P(C)=-,

X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,

p（X=0）=P（ABC）=|x|x|3

20

P（X=l）=P（ABC）+P（ABC）+P（^C）=fxlxl+fxlxl+fxlxl=A）

2113112117

p（X=2）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=—x—X——F—X—X——I——x—x—二——

52252252220

P（X=3}=P（ABC}=-x-x-=—,

''v752220

3872

估計X的數(shù)學期望石（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=1.4；

v'20202020

【小問3詳解】

甲的6次試跳成績從小到大排列為：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51,

設這6次試跳成績依次從小到大為x,.(/=1,2,3,4,5,6),

丙的5次試跳成績從小到大排列為：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86,

設丙的6次試跳成績從小到大排列依次為％(z=1,2,3,4,5,6),

當a=5.81時，滿足y=%一0.65?=1,2,3,4,5,6),5；=邑2成立;

當a=5.87時，滿足％=不一0.64?=1,2,3,4,5,6),s/ns??成立.

所以。=5.81或〃=5.87.

19.已知橢圓E:二+==1（?！?〉0）的離心率為9,左焦點為耳（一L0）,過月的直線交橢圓E于A、

a'b"

8兩點，點M為弦AB的中點，。是坐標原點，且由于M不與。，耳重合.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若P是。欣延長線上一點，且OP的長度為2,求四邊形。面積的取值范圍.

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）（3,4）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及焦點坐標，直接求出。、J再根據(jù)確定〃即可求出橢

圓方程；

（2）根據(jù)已知條件設出直線方程，直曲聯(lián)立，利用韋達定理確定確定石+%，占?％2,利用中點坐標公式

求出加點坐標，得到直線的方程，求出點A、8到直線的距離，結(jié)合已知條件可以表示出四邊形

Q4PB面積為S,根據(jù)產(chǎn)的取值范圍，即可求解四邊形Q4P6面積的取值范圍.

cl

因為e=—=—,得〃=2c；又片（一1,0）,所以。=1,所以〃=2；

a2

所以從=々2—=4—1=3,所以橢圓的方程為三+工=1.

43

【小問2詳解】

設過6的直線為/,與橢圓兩交點坐標分別為5（%,%），

由于〃不與。，耳重合，可知直線/的斜率存在且不為0,

y=kx+k

根據(jù)已知條件設直線/方程為y=笈+左，聯(lián)立直線方程與橢圓方程1-2

—+—=1

143

整理有（3+4%2）X2+8左2%+4左2-12=0；

A＞0,即64/—4（3+4左2）（4左2_12）＞0,整理有：12?（左？+1）＞0恒成立；

-8k24k2-12

根據(jù)韋達定理:x+x=

}23+4423二百二

%+x_-4左2

因為V為弦AB的中點，所以為=2

~13+4產(chǎn)

3”

因為M在直線/上，所以y"=K+左，解得3b

所以直線。腸的斜率為心材=也=一吃,3

所以直線OM的方程為y=----x,

%4k4k

化為一般式為：3%+46=0；