2024屆北京市房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

2024屆北京市房山區(qū)高三一模試卷

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知全集"={—2，T，°，1，2},集合A={1,2},則gA=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1）

2.拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=—1B.x=1C.y——1D.y=1

3.己知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=（/n-i＞（3+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值是（）

A.—3B.3C.—D.—

33

TT

4.已知角々的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,把角a的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到角夕的終邊，則sin/?=

（）

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健

步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第三天走的路

程為（）

A.12里B.24里C.48里D.96里

JT

6.直線/:%+丁+2=0截圓加：必+｝；2=，&〉0)所得劣弧所對(duì)的圓心角為§,則廠的值為()

A.V6B.垃C.顯D.逅

323

7."0<x<1”是“|x(x-1)1=x(l-x)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知a,b,ceR,則下列命題為假命題的是()

A.若a>b,則a+c>Z?+cB.若a>6>0,則a。,〉/?。"

(1Y+c(1^+cbb+c

C.若a>b,貝<-D.若a>人>0,c>0,則一>----

(2)(2)aa+c

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(—l,。),5(1,0)兩點(diǎn).若曲線C上存在一點(diǎn)P,使P4.PB<O,則稱曲線

C為“合作曲線”，給出下列曲線：①2/_/=1；②2月+丁2=1；③2x+y=4.其中“合作曲線”是

()

A.①②B.②③C.①D.②

ln(l-x),xe(-oo,0]

10.若函數(shù)/(x)=11則函數(shù)g(x)=/(x)+x+c零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

”,xe(O,+“)

A.1B.2C.1或2D.1或3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.雙曲線二匕=1的離心率是

22

12.如圖.已知矩形A3CD中，AB=4,AD=2,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，則4W.3N=

B

nn

13.設(shè)(1-X)"=4+。逮+。2%2++anX,則/=;當(dāng)。8=一。9時(shí)，=.

14.若對(duì)任意m.eR,函數(shù)/(刈滿足/'(加)/(〃)=/(加+〃)，且當(dāng)機(jī)＞“時(shí)，都有/O)＜/("),則函數(shù)

/(%)的一個(gè)解析式是.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC?！?4Goi中，點(diǎn)尸是對(duì)角線AG上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,G不重

合).給出下列結(jié)論：

①存在點(diǎn)尸，使得平面平面A&G；

②對(duì)任意點(diǎn)p,都有42=。尸；

③△4。尸面積的最小值為也；

6

④若4是平面ADP與平面的夾角，％是平面4QP與平面54G。的夾角，則對(duì)任意點(diǎn)尸，都

有e產(chǎn)仇?其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形A3CD是矩形，平面ADEL平面A3CD,VADE是正三角

形，EF=2,AB=4,AD=2.

(1)求證：EF//AB-

(2)求二面角尸—3C—￡＞的余弦值.

17.ABC中，cos2A=—,a=7,日a<c.

2

（1）求NA的大小；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使存在且唯一確定，求

的面積.

條件①：c=8,NC為銳角；

條件②：cos2C=—；

49

條件③：sinB=36.

14

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

18.《中華人民共和國(guó)體育法》規(guī)定，國(guó)家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國(guó)現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)

等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：

項(xiàng)目國(guó)際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將運(yùn)動(dòng)健將一級(jí)運(yùn)動(dòng)員二級(jí)運(yùn)動(dòng)員三級(jí)運(yùn)動(dòng)員

男子跳遠(yuǎn)8.007.807.306.505.60

女子跳遠(yuǎn)6656.355.855.204.50

在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為

預(yù)測(cè)考級(jí)能達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下

數(shù)據(jù)（單位：）：

甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：5.16,5.65,5.18,5.86.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立，

（1）估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)

期望E（X）；

（3）在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績(jī)作為其最終成績(jī)本次考級(jí)

比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(jī)(單位：m)如下表:

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次試跳的成績(jī)?yōu)椤?用sj,s2?分別表示甲、丙試跳6次成績(jī)的方差，當(dāng)邑2=*2時(shí)，寫(xiě)出。的

值.(結(jié)論不要求證明)

22

19.己知橢圓E:=+g=l(a〉6〉0)的離心率為左焦點(diǎn)為耳(—L0),過(guò)￡的直線交橢圓E于A、

5兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且由于M不與。，月重合.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若P是QW延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OP的長(zhǎng)度為2,求四邊形。面積的取值范圍.

20已知函數(shù)/■(%)=*+!.

x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(L/⑴)處切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x>x2,求函數(shù)g(x)的極大值；

(3)若a<-e,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.己知無(wú)窮數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合

A=｛keN*|a“<左<a"+i，〃eN*｝.若對(duì)于集合A中的元素4，數(shù)列｛%｝中存在不相同的項(xiàng)

%，％，%,，使得4+皈++%=左，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)N(￡),記集合8=｛用數(shù)列｛4｝具

有性質(zhì)N(k)｝.

,,f2n-1,n<4,

(1)若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=1,“寫(xiě)出集合A與集合3

[〃+6,〃>4.

(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為集合B中的最小元素為s,當(dāng)『23

時(shí)，證明：t=s-

(3)若｛4｝滿足2a“N4+i，〃eN*,證明：A=B.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知全集"={—2，T，°，1，2},集合A={1,2},則gA=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)槿?{—2,—1,0,1,2},集合A={1,2},

所以gA={—2,—l,0}.

故選：B.

2.拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為（）

Ax=—lB.x=lC.y=-lD.y=1

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由題知，拋物線方程為必=4〉，

則其準(zhǔn)線方程為y=-L

故選：C

3.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=（"2-。?（3+。是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值是（）

A.—3B.3C.—D.一

33

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)Z,再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.

【詳解】z=(m-i)-(3+i)=3m+l+(m-3)i,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(加—i)?(3+i)是純虛數(shù),

3m+1=0

所以解得加=

m-3w03

故選：C.

TT

4.己知角e的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),把角0的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)l得到角夕的終邊，則sin/?=

()

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【解析】

7T

【分析】由題意可得〃=a+5,再根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)榻恰┑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),

33

所以C3赤丁丁

TT

因?yàn)榘呀莂的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到角B的終邊,

JT

所以夕=a+萬(wàn)，

所以sin,=sinja+巴］=cosa=—.

故選：D.

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：”三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健

步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第三天走的路

程為()

A.12里B.24里C.48里D.96里

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得，此人6天中每天走的路程是公比為3的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前九項(xiàng)和公式及

通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】由題意可得，此人6天中每天走的路程是公比為g的等比數(shù)列，

設(shè)這個(gè)數(shù)列為{4},前〃項(xiàng)和為5“，

小一；]63

貝I]s6=△―H=—°=378,解得q=192,

6.132

1----

2

所以。3=192X*=48,

即該人第三天走的路程為48里.

故選：C.

JT

6.直線/：x+y+2=。截圓加：f+產(chǎn)=產(chǎn)(廠〉0)所得劣弧所對(duì)的圓心角為則廠的值為()

Af2R2屈y/6A/6

323

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線X+y+2=0距離即可計(jì)算作答.

7T

【詳解】因直線/截圓M所得劣弧所對(duì)的圓心角為不，

令劣弧的兩個(gè)端點(diǎn)為A,3,則為等邊三角形，

即2秋汨246

即一^==——r,解得r=----.

V1+123

故選：B.

7.“0<%<1”是"|%0-1)|=x(1-功”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出|x(x-l)|=Ml-x),再由充分條件和必要條件的定義求解即可.

【詳解】由|%(%-1)|=尤(1一%)可得：x(x-l)<0,

解得：0<%<1,

所以"0<x<1"能推出“Ix(x-1)|=x(l-x)”，

但“|x(x—l)|=x(l—x)”推不出"0<x<l"，

所以"0<x<1”是“Ix(x-1)|=Ml-％)”的充分不必要條件.

故選：A.

8.已知仇ceR,則下列命題為假命題的是()

A.若a>b,則a+c>〃+cB.若a>6>0,則a。,〉/?。"

(1V+c門(mén)bb+c

C,若a>b,則|上|<-D.若a>b>0,c>0,則一>----

(2)(2)aa+c

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)累函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利

用作差法即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?gt;>，所以a+c>Z?+c,故A結(jié)論正確；

對(duì)于B,當(dāng)a>5>0時(shí)，因?yàn)槿瘮?shù)y=在(0,+“)上單調(diào)遞增，所以故B結(jié)論正

確；

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;人，所以a+c>b+c,

而函數(shù)y=為減函數(shù)，所以[3]<(；)，故C結(jié)論正確；

bb+c6(Q+C)-Q(Z?+C)c(b-a)

aa+ca(a+c}a(a+c}'

因?yàn)镼>Z?>0,C>0,所以c(b-〃X(),a(a+c》O,

bb+cc（b—ci\bZ?+c

所以--------=-）~（<0,所以2〈生上，故D結(jié)論錯(cuò)誤.

aa+ca^a+c）aa+c

故選：B.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-1,0）,5（1,0）兩點(diǎn).若曲線C上存在一點(diǎn)P,使P4.PB<0,則稱曲線

C為“合作曲線”，給出下列曲線：①2y2一好=1；②2爐+丁2=1；③2x+y=4.其中“合作曲線”是

（）

A.①②B.②③C.①D.②

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,由“合作曲線”的定義可知，曲線。上存在點(diǎn)？（九》）,使得/+

然后逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P（羽?。瑒tPA=（-l-x,-力尸8=（13-y）,

由PA-PB<0可得一1+f+/<0，即d+/<1,

即曲線。上存在點(diǎn)P（x,y）,使得k+/<1,即為“合作曲線”，

對(duì)于①，由雙曲線2y2—必=i可得等力=i,

則雙曲線2y2—必=1上存在點(diǎn)「滿足f+/<],故①為，，合作曲線，，；

對(duì)于②，由橢圓2爐+/=1可得。=11=@,

-2

則橢圓2必+V=1上存在點(diǎn)尸滿足爐+爐<1,故②為“合作曲線,，；

對(duì)于③，因?yàn)閳A心（0,0）到直線2x+y=4的結(jié)論d=凳>1，

故直線2x+y=4上不存在一點(diǎn)P滿足必+/<1,故③不為“合作曲線，，；

故選：A

ln（l-x）,xG（-o）,0]

10.若函數(shù)=11/八、，則函數(shù)g（x）=/（%）+x+c零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

匹,%￡（0,+8）

A.1B.2C.1或2D.1或3

【答案】A

【解析】

【分析】令g(x)=/(x)+x+c=O,則/(x)+x=-c,則函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)

丁=/(%)+羽y=一。圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可％)=/(力+》,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/z(x)的單調(diào)區(qū)

間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

ln(l-x),xe(-oo,0]ln(l-x),%e(-co,0]

【詳解】/(x)=\1、=J^,xe(O,l),

Le

-,xe[l,+Cc)

lx

令g(x)=/(x)+x+c=。，則/(%)+%=—C,

則函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=/(%)+無(wú)y=-C圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

ln(l-%)+x,%G(一a,0]

令h(x)=/(%)+%=<2%,%w(0,1)

—+X,XG[1,+8)

1y

當(dāng)XG(Y,0]時(shí)，"(x)=ln(l-x)+x,則/(%)=----+1=——>0,

x~lx—1

所以函數(shù)M%)在上單調(diào)遞增，且〃⑼=o,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，A(x)=2xe(0,2),

當(dāng)xe[l,+oo)時(shí)，//(%)=—+x,則〃(%)=—-!+]=「J20,

犬XX

所以函數(shù)/?)在[1,”)上單調(diào)遞增，且丸⑴=2,

又當(dāng)尤f(wàn)_8時(shí)入(九)f―00,當(dāng)Xf+8時(shí)，M九)f+8,

作出函數(shù)人(力的大致圖象如圖所示，

y*歹淤)

2年尸。

4"

由圖可知函數(shù)y=f(x)+x,y=-c的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)=/(%)+%+c零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，

然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與無(wú)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思

想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

⑶參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線,=。與函數(shù)

y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.雙曲線匕=1的離心率是.

22

【答案】V2

【解析】

【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,4c,即可求出雙曲線的離心率.

22

【詳解】由雙曲線與=1可得：a=b=Rc=&+b2=2,

22

xVc2/T-

所以雙曲線±—±二1的離心率是e=—=—彳=J2.

22a<2

故答案為：72.

12.如圖.已知矩形A3CD中，AB=4,AD=2,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，貝1加0.附=

【答案】-6

【解析】

【分析】用AD、AB作為一組基底表示出AM，BN，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】依題意AM=+=48+工8。=AB+」AD,

22

BN=BC+CN=AD+-CD=AD--AB,

22

所以AM.3N=(AD—+

12123

=——AB+-AD+-ABAD

224

1.71一，3._兀

=——義4-+—x2-+—x4x2cos—=-6.

2242

故答案為：-6

nn=

13.設(shè)(1-X)"=4+。逮+。2爐++anx,貝?。?=；當(dāng)。8=一。9時(shí)，.

【答案】①.117

【解析】

【分析】令x=0可求出4；先求出(l—x)"的通項(xiàng)，令廠=8和廠=9,求出“8，%，再由。8=-。9，即可

求出九的值.

【詳解】令九=0可得：1=。0，

(1-xf的通項(xiàng)為:Tr+1=C：(-切=C：(-1/￡,

令廠=8可得a8=C(—l)8=C：，

令廠=9可得的=C：(—1)9=—C〉

所以由為=一。9可得C：=C:,所以〃=17.

故答案為:1；17.

14.若對(duì)任意〃Z,〃WR,函數(shù)/a）滿足/■（〃z）y（"）=/'o+〃），且當(dāng)加〉〃時(shí)，都有/o）＜/（”），則函數(shù)

/（%）的一個(gè)解析式是

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

可取?。?出

【詳解】由題意，

函數(shù)=是減函數(shù)，滿足相〉"時(shí)，都有/（相）＜/（〃），

=f^m+n),

所以函數(shù)/⑴=滿足題意.

故答案（答案不唯一）

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC?！狝4GR中，點(diǎn)尸是對(duì)角線AQ上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A,q不重

合）.給出下列結(jié)論：

①存在點(diǎn)尸，使得平面ADP，平面AAG；

②對(duì)任意點(diǎn)p,都有4尸=?！?；

6

④若4是平面ADP與平面的夾角，％是平面ADP與平面55cle的夾角，則對(duì)任意點(diǎn)P,都

有a彳2.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】①可通過(guò)線面垂直的判定定理找到點(diǎn)P;②③④都可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系解決，其中通過(guò)向

量的長(zhǎng)度可以對(duì)②進(jìn)行判斷；利用兩條直線所成的角和三角形面積公式可以判斷③；求出三個(gè)面的法向量，

并求出COS4和cos，2,即可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】①因?yàn)锳G在AG上取點(diǎn)P使AC]

因?yàn)锳。DP=D,ARDPu平面ADP，所以AC1，平面4。尸，

因?yàn)锳C】u平面A&C，所以平面ADPL平面A&G，故①正確；

②以D1為原點(diǎn)，以24,AC，2。分別為蒼y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

A(1,0,0),D(0,0,l),4(1,0』)，q(0,1,0),則相4A=(0,0,l),ZM=(1,0,0)

設(shè)AP=2AC]=2(-l,l,-l)=(-2,2,-^)(0<2<l),則

4。=AA+AP=(0,0,1)+(-2,A,-2)=(-A,2,1-2),

DP=n4+AP=(l,0,0)+(-2,2,-A)=(l-2,/l,-2),

從而|AP|=^(-2)2+22+(l-2)2=,3%-22+1，|=^/(1-2)2+22+(-2)2=J3%-22+1,

所以AP=DP,故②正確;

③由②4。1)，4尸=(—x)，Aj)?A1P=2+1—%=i,

cosa。,4尸=華；40=—~1=1

1H，AP|V2XV3A2-22+1,6儲(chǔ)—44+2

1_46%—42+1

sinA。,4尸二

642—42+2,6%-4X+2

2

SADP=-|^||AnisinA}D,A1P=-xV2x732-22+lx奴+,

225/6A2—4Z+2

＜加…4-rf=f

④平面的法向量4=(0,0,1),平面551GC的法向量%=(0,1,0),

,、n,-AD=QT+Z=O

設(shè)平面A。尸的法向量4=(羽％z),由：I即。,八八八得22-1，令

''7"3,4尸=。-/tx+2y+(l-2)z=0y=%

x=4得4=(2,22-1,2),

則cos4=j,22-1

cosa=

同，令4=2A—1得4=1,M0</l<1,從而對(duì)任意點(diǎn)P,都有

cos4中cos02,Gw%，故④正確;

故答案為：①②③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.如圖，在五面體A5CDEF中，四邊形A3CD是矩形，平面ADEL平面A3CD，VADE是正三角

形，EF=2,AB=4,AD=2.

(1)求證：EF//AB.

（2）求二面角E—BC—D的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵空

7

【解析】

【分析】（1）證明A6〃平面COM,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；

（2）分別取的中點(diǎn)。連接OE,OM,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得OEL平面A3CD,再以

點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳B//CD,AB<z平面CDEF,CDu平面CDEF,

所以A6〃平面CDEF,

又平面ABbE平面CDEF=￡F,ABu平面

所以訪〃AB；

【小問(wèn)2詳解】

如圖，分別取AD/C的中點(diǎn),連接OE,OM,

則。河，5。,。河=48,

因?yàn)閂ADE是正三角形，所以O(shè)ELAD,OE=6,

又平面ADE_L平面ABCD,平面ADEI平面ABCD=A￡）,平面ADE,

所以O(shè)EL平面A3CD,

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則3（1,4,0）,C（—l,4,0）,石（0,0,若），尸（0,2,6），

設(shè)平面BCF的法向量為〃=（x,y,z）,

n-CB=2x=0

則有<可取卜

nCF-x-2y+市z=0

因?yàn)镺EL平面ABC。,

所以O(shè)E=e，0,C）即為平面A3CD的一條法向量,

nOE26_26

貝Ucosn,(?E=

HH77x73~7

所以二面角E—3C—D的余弦值為亞.

7

17.在ABC中，cos2A=一一,a=7,且a<c.

2

（1）求NA的大??；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使一ABC存在且唯一確定，求

.ABC的面積.

條件①：。=8,NC為銳角；

條件②：cos2C=—；

49

條件③：sinB=36.

14

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

【答案】（1）4=];

（2）①，5ABe=1。6；③，SAABC=6>j3.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)得/A為銳角，從而根據(jù)cos2A的值得到NA的大?。?/p>

（2）②由正弦定理得sinC,根據(jù)/C為銳角得cosC,則一ABC存在且唯一確定，進(jìn)而得到sinB,由

SAABC=gacsinB得到-ABC的面積；

③由正弦定理得邊b,再根據(jù)sinC=sin（A+5）得到sinC,由S=g出7sinC得到的面積.

【小問(wèn)1詳解】

12n471

因?yàn)閝<c,所以Ac0，T，所以2440,兀）,由cos2A=——得2A=—'A=§

23

【小問(wèn)2詳解】

選條件①：c=8,NC為銳角;

78

sinC知sinC=4拒

由正弦定理一L—即n

sinAsinCsin-7

因?yàn)镹C為銳角,所以cosC=A/1-sin2<7=—,所以存在且唯一確定.

7

/、

JI+旦。sC=速

sinB=sin(力+C)=sinC+—=-sin<7

、3J2214

從而s,.=-acsinB=-x7x8x

22

選條件②:cos2C=-由得C>A,從而/C可能是銳角，也可能是鈍角，貝/ABC不唯一,

49

故不能選②;

選條件③：sin3=V叵,

14

712

由sin5<sin—=sinA,得b<a,所以Be[0,、J,cosB=Vl-sinB=-

314

7

由正弦定理上b

sinAsinB

214

sinC=sin(/+8)=——x--------1——X-------

142147

=-?Z?sinC=-x7x3x^

=6^/3-

227

18.《中華人民共和國(guó)體育法》規(guī)定，國(guó)家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國(guó)現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)

等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）:

項(xiàng)目國(guó)際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將運(yùn)動(dòng)健將一級(jí)運(yùn)動(dòng)員二級(jí)運(yùn)動(dòng)員三級(jí)運(yùn)動(dòng)員

男子跳遠(yuǎn)8.007.807.306.505.60

女子跳遠(yuǎn)6.656.355.855.204.50

在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為

預(yù)測(cè)考級(jí)能達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下

數(shù)據(jù)（單位：）：

甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：516,5.65,5.18,5.86.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立，

（1）估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)

期望E（X）；

（3）在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績(jī)作為其最終成績(jī)本次考級(jí)

比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(jī)（單位：m）如下表：

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次試跳的成績(jī)?yōu)閍,用電2,%2分別表示甲、丙試跳6次成績(jī)的方差，當(dāng)為2=*2時(shí)，寫(xiě)出。的

值.（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）|

（2）E（X）=1.4

⑶。=5.81或a=5.87.

【解析】

【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率；

(2)由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)當(dāng)兩人成績(jī)滿足乂=.+〃(，=1,2,3,4,5,6)的模型，方差相等.

【小問(wèn)1詳解】

甲以往的10次比賽成績(jī)中，有4次達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員標(biāo)準(zhǔn)，

42

用頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率為一=—；

105

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員分別為事件A瓦C,

211

以往的比賽成績(jī)中，用頻率估計(jì)概率，有P(A)=g,P(C)=-,

X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,

p（X=0）=P（ABC）=|x|x|3

20

P（X=l）=P（ABC）+P（ABC）+P（^C）=fxlxl+fxlxl+fxlxl=A）

2113112117

p（X=2）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=—x—X——F—X—X——I——x—x—二——

52252252220

P（X=3}=P（ABC}=-x-x-=—,

''v752220

3872

估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望石（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=1.4；

v'20202020

【小問(wèn)3詳解】

甲的6次試跳成績(jī)從小到大排列為：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51,

設(shè)這6次試跳成績(jī)依次從小到大為x,.(/=1,2,3,4,5,6),

丙的5次試跳成績(jī)從小到大排列為：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86,

設(shè)丙的6次試跳成績(jī)從小到大排列依次為％(z=1,2,3,4,5,6),

當(dāng)a=5.81時(shí)，滿足y=%一0.65?=1,2,3,4,5,6),5；=邑2成立;

當(dāng)a=5.87時(shí)，滿足％=不一0.64?=1,2,3,4,5,6),s/ns??成立.

所以。=5.81或〃=5.87.

19.已知橢圓E:二+==1（?！?〉0）的離心率為9,左焦點(diǎn)為耳（一L0）,過(guò)月的直線交橢圓E于A、

a'b"

8兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且由于M不與。，耳重合.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若P是。欣延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OP的長(zhǎng)度為2,求四邊形。面積的取值范圍.

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）（3,4）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，直接求出。、J再根據(jù)確定〃即可求出橢

圓方程；

（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定確定石+%，占?％2,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式

求出加點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線的方程，求出點(diǎn)A、8到直線的距離，結(jié)合已知條件可以表示出四邊形

Q4PB面積為S,根據(jù)產(chǎn)的取值范圍，即可求解四邊形Q4P6面積的取值范圍.

cl

因?yàn)閑=—=—,得〃=2c；又片（一1,0）,所以。=1,所以〃=2；

a2

所以從=々2—=4—1=3,所以橢圓的方程為三+工=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)過(guò)6的直線為/,與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為5（%,%），

由于〃不與。，耳重合，可知直線/的斜率存在且不為0,

y=kx+k

根據(jù)已知條件設(shè)直線/方程為y=笈+左，聯(lián)立直線方程與橢圓方程1-2

—+—=1

143

整理有（3+4%2）X2+8左2%+4左2-12=0；

A＞0,即64/—4（3+4左2）（4左2_12）＞0,整理有：12?（左？+1）＞0恒成立；

-8k24k2-12

根據(jù)韋達(dá)定理:x+x=

}23+4423二百二

%+x_-4左2

因?yàn)閂為弦AB的中點(diǎn)，所以為=2

~13+4產(chǎn)

3”

因?yàn)镸在直線/上，所以y"=K+左，解得3b

所以直線。腸的斜率為心材=也=一吃,3

所以直線OM的方程為y=----x,

%4k4k

化為一般式為：3%+46=0；