2023年陜西省西安市年高考仿真卷數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)過拋物線y2=2px（p>0）上任意一點p（異于原點。）的直線與拋物線y2=8px（p>0）交于兩點，直線

。產(chǎn)與拋物線丁=8川（〃>0）的另一個交點為。，則注■=（）

A.1B.2C.3D.4

x+y<2

2.若變量MN,滿足2x-3yK9,則產(chǎn)+丁的最大值為（）

x>0

81

A.3B.2C.—D.10

13

22

3.若雙曲線§一斗=1（。>0/>0）的漸近線與圓（x—2y+y2=i相切，則雙曲線的離心率為（）

A,R石r2石n瓜

A.2B?C?------D?73

23

2

4.已知雙曲線C的一個焦點為（0,5）,且與雙曲線?-丁=1的漸近線相同，則雙曲線C的標準方程為（)

222222

A.犬_匕=]B.匕-工=1C.工-匕=1D./一二=1

45202054

5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調(diào)函數(shù)的是（）

A./(x)=ln(|x|+l)B..f(x)=x-'

》，(x<0)

x2+2x,(x>0)

C.f(x)=,D./(%)=<0,(x=。)

-x2+2x,(x<0)

2,(%<0)

6.已知函數(shù)/(x)=《，且關(guān)于x的方程/(x)+x-a=O有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)”的取值范圍

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(l,+oo)C.(0,+oo)D.[-oo,l)

7.設(shè)點A（f,0）,尸為曲線了=，上動點，若點4,P間距離的最小值為卡，則實數(shù)/的值為（）

cIn2cIn3

A.y/5C.2d----D.2+—

22

8.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝

才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起

腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走

的路程為（）

A.6里B.12里C.24里D.48里

9.在]1+J）（2x+1）3展開式中的常數(shù)項為（）

A.1B.2C.3D.7

10.已知定義在[0,+8）上的函數(shù)/（X）滿足/（x）=g/（x+2）,且當xe[0,2）時，/（》）=一/+2-設(shè)八力在

[2〃-2,2〃）上的最大值為%（〃eN*）,且數(shù)列｛《,｝的前〃項的和為S”.若對于任意正整數(shù)“不等式

+9恒成立，則實數(shù)Z的取值范圍為（）

17

A.[0,+oo)—,+00D.—,+℃

3264

11.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)

的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列,

則該數(shù)列各項之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

12.已知。，。為兩條不同直線，a,B，/為三個不同平面，下列命題：①若&〃6，ally,則尸〃/；②若a〃a,

allp,則tz〃/；③若a，7,/3Ly,則。，尸；④若a_La,bVa,則。〃b.其中正確命題序號為（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義在封閉的平面區(qū)域。內(nèi)任意兩點的距離的最大值稱為平面區(qū)域。的“直徑”.已知銳角三角形的三個點A，B,

C,在半徑為行的圓上，且/BAC=(,分別以△A8C各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和△A6C構(gòu)成平

面區(qū)域。，則平面區(qū)域。的“直徑”的最大值是.

22

14.已知橢圓?+4=1的左、右焦點分別為￡、F2,過橢圓的右焦點&作一條直線/交橢圓于點P、。.則A^PQ

內(nèi)切圓面積的最大值是.

15.在平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)/(%)=/〃L辦在U處的切線與圓C：/-2%+>2+1-。=0存在公共點，

則實數(shù)”的取值范圍為.

16.已知命題P：Vx>0,%3>0.那么尸是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)記函數(shù)/(x)=x+；+|2*一1|的最小值為加.

(1)求團的值；

9

(2)若正數(shù)b,。滿足=證明：ah+bc+ca>--------.

a+b+c

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+3],g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/*)<g(x)；

(2)若2/(x)+g(x)>"+4對任意的實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)1-6x+41nx

(1)求/(x)單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若存在實數(shù)4c(0<a<8<c),使得/(a)=玄數(shù)=/(c),求證:c-a<2

20.(12分)如圖，在四棱柱ABCO-AMG。中，底面ABCO為菱形，AB,=CB,.

(D證明：平面B。。百，平面ABC。；

(2)若NDW=60。，△。用B是等邊三角形，求二面角A-BO-C|的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|2x+l|-|ar-l|,a&R.

(1)當。=2時，求不等式一1?/。)41的解集；

(2)當xw(-g,O)時，不等式/(x)＞2x恒成立，求實數(shù)"的取值范圍.

22.(10分)已知橢圓。：\+[=1(。＞人＞0)的右焦點為大，過點￡且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

ab

血，且6與短軸兩端點的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若圓O:x2+y2="上存在兩點M,N,橢圓C上存在兩個點P,。滿足：M,N,月三點共線，P,Q,F1三點

共線，且麗?麗=0,求四邊形PMQN面積的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進而轉(zhuǎn)為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標,

最后代入坐標，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設(shè)A8與。尸的夾角為。，則中A3邊上的高與AABO中A3邊上的高之比為絲可="，

OPsin0OP

二沁■二笑=①二"=①-1'設(shè)P［會，x］，則直線即>="》，與y2=8px聯(lián)立，解得

s^ABoOPyPyP12pJ而x

4y.

y°=4y,從而得到面積比為上一1=3

X

【點睛】

解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.

2.D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

'x+y<2

解：畫出滿足條件<2x-3y49的平面區(qū)域，如圖示：

x>0

如圖點坐標分別為A（O,-3）,B（3,-1）,C（O,2）,

目標函數(shù)f+J的幾何意義為，可行域內(nèi)點（了,〉）與坐標原點（0,0）的距離的平方，由圖可知B（3,-l）到原點的距離

最大，故（/+/）、=32+（7）2=10.

故選：D

【點睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

3.C

【解析】

利用圓心(2,0)到漸近線的距離等于半徑即可建立。，4c?間的關(guān)系.

【詳解】

|2/?|

由已知，雙曲線的漸近線方程為法士做=0,故圓心(2,0)到漸近線的距離等于1,即=1,

\Ja2+b2

所以/=3b2，e———

a

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)

題.

4.B

【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標準方程，結(jié)合焦點坐標求解.

【詳解】

r2

???雙曲線c與3-丁=1的漸近線相同，且焦點在y軸上,

22

...可設(shè)雙曲線C的方程為菅-尢=1,一個焦點為(。,5)'

；.k+4k^25,；.k=5,故C的標準方程為二一三=1.

520

故選：B

【點睛】

此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.

5.C

【解析】

對選項逐個驗證即得答案.

【詳解】

對于A,/(-x)=ln(H+l)=ln(W+l)=/(x),.?./(X)是偶函數(shù)，故選項A錯誤；

對于3,/(x)=x-'=1,定義域為{琲-0},在/?上不是單調(diào)函數(shù)，故選項3錯誤；

對于C,當x>0時，一x<0,;.=+2(-X)=一工2—2x=-(x2+2x)=—/(x)；

當x<0時，-x>0,.,./(—%)=(-x)-+2(-x)=x2-2x=—+2%)——f(x)；

又x=0時，/(-())=-/(0)=0.

綜上,對xwR,都有/(一x)=—/(x)，..J(x)是奇函數(shù).

又x?0時，/(x)=d+2x=(x+l)2—l是開口向上的拋物線，對稱軸x=-l,?.?/(x)在［0,”)上單調(diào)遞增，

?."(x)是奇函數(shù)，???/(力在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項C正確；

對于O,“X)在(F,0)上單調(diào)遞增，在((),+/)上單調(diào)遞增，但/(一l)=g>/(l)=-g,..?/(X)在R上不是單

調(diào)函數(shù)，故選項。錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)條件可知方程/(幻+x-a=0有且只有一個實根等價于函數(shù).v=/(X)的圖象與直線y^-x+a只有一個交點,

作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】

解：因為條件等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=-x+a只有一個交點，作出圖象如圖,

由圖可知，a>i,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

設(shè)P(x,e'),求|AP『，作為x的函數(shù)，其最小值是6,利用導數(shù)知識求『的最小值.

【詳解】

設(shè)P(jc,ev),貝！=(》—f)2+e2\記8(幻=02，+。7)2,

g'(x)=2e2'+2(x—f),易知8'(幻=202'+2。一。是增函數(shù)，且g'(x)的值域是R,

二g'(X)=O的唯一解式,且X<Xo時，g'(X)<0,X>Xo時，g\x)>0,即g(x)mm=g(%),

2x2x

由題意g(Xo)=+(X。-f)2=6,而g'Oo)=2e°+2(/-/)=(),x0-t=-e°,

.?.e2%+e4M=6,解得？2M=2，x0=—.

故選：C.

【點睛】

本題考查導數(shù)的應(yīng)用，考查用導數(shù)求最值.解題時對毛和/的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.

8.C

【解析】

1

設(shè)第一天走％里，則僅“｝是以為為首項，以彳為公比的等比數(shù)列，由題意得$6=----卷一=378,求出q=192(里

21-A

2

),由此能求出該人第四天走的路程.

【詳解】

設(shè)第一天走％里，則僅“｝是以⑷為首項，以;為公比的等比數(shù)列，

q(i-J)

由題意得：$6=----4=378,

2

解得q=192(里)，

"x(g)3=192x：=24(里).

故選：C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化

思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

求出(2x+展開項中的常數(shù)項及含x的項，問題得解。

【詳解】

(2x+Ip展開項中的常數(shù)項及含工的項分別為：

(1)3(2%)°=1,C；(2x)'X『=6x,

所以(l+￡|(2x+l)3展開式中的常數(shù)項為：Ixl+Jx6x=7.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。

10.C

【解析】

由已知先求出/(初皿=2"T,即“，=2小，進一步可得s“=2"-1,再將所求問題轉(zhuǎn)化為k>言^對于任意正整

數(shù)〃恒成立，設(shè)。,,=與3,只需找到數(shù)列｛&｝的最大值即可.

【詳解】

當2〃-2Wx<2〃時，則04x+2-2〃<2,/(%+2-2n)=-(x+2-2n)(x-2n),

所以，/(x)=2"-1f[x-2(?-1)]=(x+2-2z?)(x-2n),顯然當x=2〃一1時，

/(X)max=2"T，故4=2小，S.Jx,=2")=2T,若對于任意正整數(shù)"不等式

MS,+1)22〃-9恒成立，即左2"22〃-9對于任意正整數(shù)〃恒成立，即左2與二對于任

?—_52〃一911—272A11—2〃E311

意正整14r數(shù)f1〃kt恒成tv立，設(shè)％=一歹，?！?|一1=亍=，令亍=>0,解得〃<?，

令?)^gvO,解得〃〉”，考慮到〃eN*,故有當〃K5時，｛%｝單調(diào)遞增，

33

當〃26時，有｛%｝單調(diào)遞減，故數(shù)列｛cj的最大值為,6=福=國，

所以上之三3.

64

故選：C.

【點睛】

本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前〃項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較

為綜合的數(shù)列題.

11.C

【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式，可得結(jié)果.

【詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列｛4｝

則《,=23+35(〃-1)=35〃—12

2

令4=35〃—12W2020,解得〃<58—.

co*57

故該數(shù)列各項之和為58x23+-------x35=59189.

2

故選：C

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

12.C

【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若a〃分，ally,則￡〃7,故①正確；

若allot,。〃尸，平面久△可能相交，故②錯誤；

若則a,4可能平行，故③錯誤；

由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；

故選：C

【點睛】

本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

9

13.一

2

【解析】

先找到平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點的最大值為1+V3sinB+V3sinC,再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.

【詳解】

由已知及正弦定理，得當;=’絲=箋=2/?=2百，所以BC=3,

sin8sinCsinA

AC=2百sin8,AB=20sinC，取48中點E,AC中點凡5c中點G,

如圖所示

AT

顯然平面區(qū)域任意兩點距離最大值為2+Gsin6+百sinC,

2

而g+Gsin8+GsinC=T+百[sinB+sin(號-B)]=

—+V3(—sinB+—cosB)=：+3sin(B+￡),

222262

7T

當且僅當8=每時，等號成立.

,9

故答案為：一.

2

【點睛】

本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬

于中檔題.

..9兀

14.—

16

【解析】

令直線/：x=my+\,與橢圓方程聯(lián)立消去X得（3川+4川+6陽—9=0,可設(shè)「（司,%）,。（々，必），則

x+%=—*二，兇必=一丁^?可知S開。=《忸二E—%|=」x+%）2—町必=12」，

3m+43"+42\（3,"+二4）

m2+l1/1

又心力+4『二'2r―i―Z-16,故邑"。43.三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角

（3加+4）9（m+1）+薩+]+6

形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑「=也絲/，其面積最大值為察.故本題應(yīng)填。

841616

點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種："）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮

利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目

標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等.

15.（O,1]U[2,4W）

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)/（力=。*"在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點，利用圓心到直線的距離

滿足的條件列式求解即可.

【詳解】

解：由條件得到/'（力=^-。

又〃1）=一。,/⑴=1一。

所以函數(shù)在戶1處的切線為尸（1-a）（尸1）P=（1-a）x-l,

即（1-。）尤-y-l=O

圓C方程整理可得：（x-l）2+/=tz

即有圓心C（1,O）且a>0

11-^-11\a\r

所以圓心到直線的距離d=I=/，?！?*

Ur-2a+2

即石WJ/一2a+2.解得或0<aWl,

故答案為：（O』U[2,+8）.

【點睛】

本題主要考查了導數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題，同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，屬

于基礎(chǔ)題.

16.真命題

【解析】

由第函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.

【詳解】

已知命題P：Vx>0,x3>0,因為y=V在（0,+?）上單調(diào)遞增，則V>o3=o,所以p是真命題，

故答案為：真命題

【點睛】

本題主要考查了判斷全稱命題的真假，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)m=\(2)證明見解析

【解析】

(1)將函數(shù)/(x)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;

(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.

【詳解】

C1,1

-3x4—,X?—

22

31,1

解法一：(1)解法=4—x+—,——<x<—

222

C11

3x—,x>一

22

當-〈時，

2\

當一小)”出:1,

當x>g時，=

所以〃2=/min(X)=l

?1/1

-3xH—,X—

22

31/1

解法二：⑴/(X)=-—x+—,——<x<—

222

C11

3x—,x>一

[22

如圖

當x=5時，rn=fmin(x)=\

1

解法三：(1)f(x)=x+-+x--+x--+X——

2

即X=L時，等號成立.

2

解法一：(2)由題意可知，ab+bc+ca=-^--^-,

cab

因為。>0,。>0,c>0,所以要證明不等式。人+〃c+c〃2----------,

a+h+c

只需證明(，+，+?](4+6+。)29,

IcabJ

因為1—I1—](a+b+c)23?/---3\Jcibc-9成立,

\cabjVabc

所以原不等式成立.

解法二：(2)因為。>0，〃>0，c>0,所以Qb+bc+caNsN/bY>0,

a-^-h+c>3%abc>0,

又因為必c=l,

所以(〃+/?+c)(ab+be+ac)之3nabc?3302ble2=9,

(ab+bc+ac)(Q+b+c)>9

9

所以出?+hc+CQ之--------,原不等式得證.

a+h+c

補充：解法三：(2)由題意可知，ctb+becu——I----1—

cab9

9

因為。>0,b>0c>0,所以要證明不等式。力+bc+c〃N----------

9a+b+c

只需證明(一+：+—](〃+6+c)29,

\abc)

2

由柯西不等式得:,+\[b,=9成立,

abc)y/a\jb

所以原不等式成立.

【點睛】

本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查

了學生的邏輯推理和運算求解能力.

2

18.(1)(—,-3)。(4,+oo)；(2)(-1,4].

【解析】

試題分析:

(1)將絕對值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解.(2)將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據(jù)恒成立問

題的解法求解即可.

試題解析:

⑴由已知，可得|x+3|<|2x-1|,

即|x+3「<|2x-l|2.

整理得3X2一10》一8>0,

解得X卜g或x)4.

故所求不等式的解集為-二口(4,+00).

3；

—4x—5,%W—3.

(2)由己知，設(shè)=2/(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1=<7,—3<x<一,

2

「1

44x4-5,x2耳.

①當xK-3時，只需-4x—5>ox+4恒成

即ax<-4x-9,

*/x<-3<0,

—4x—9.9卜一5_j__

/.a>------=-4——"怛成H.

XX

.(9)

..a>|■"4A—,

IX>Lx

a>一1,

②當-3<x(g時，只需7)辦+4恒成立，

即田:-3<0恒成立

-3a-3<0

只需，1,

-a-3<0

12

解得一1WaW6.

③當xN，時，只需4x+5>ax+4f亙成立，

2

即at<4x+l.

,/x>—>0,

2

...a〈竺土1=4+L恒成立.

XX

???4+，>4,且無限趨近于4,

X

<4.

綜上a的取值范圍是(-1,4].

19.(1)xe(0,l)u(2,+8)時，函數(shù)單調(diào)遞增，XG(1,2),,函數(shù)單調(diào)遞減，/。焉41n2—8"(X)M-5；⑵見

解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值；

(2)易得機w(41n2—8,—5)且0<a<l<b<2<c,要證明c—。<2,即證c<2+a,即證/(c)=/3)</(a+2),

即f(a+2)-f(a+2)>0對Vae(0,1)恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=/(x+2)-/(x),xe(0,l),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證;

【詳解】

解：(1)因為/(x)=f-6尤+41nx定義域為(0,+力)，

所以尸(x)=2(?匚J)(±2),

X

.?.xe(0,l)D(2,+x))時，/'(x)>0,即/(x)在(0,1)和(2,+8)上單調(diào)遞增，當xe(l,2)時，/'(幻<0,即函數(shù)

/(x)在(1,2)單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=2處取得極小值，在x=l處取得極大值；

..)(x)極小值=fQ)=41n2-8,『3極大值=/(D=-5；

(2)易得機w(4In2—8,—5),0<a<l<h<2<c9

要證明c—〃<2,即證c、<2+〃，即證/(c)=/(a)v/(?+2)

即證/(。+2)-/(。+2)>0對Vae(O,l)恒成立，

令g(x)=/(x+2)-/(x),xe(0,l),

則g'(x)=/'(x+2)-f'(x)=曲土：/3]>0

x+2x

令g'(x)>0,解得—即g(x)在(6-1,1)上單調(diào)遞增；

令g'(x)<0,解得0<x<G—l,即g(x)在上單調(diào)遞減；

則g(x)在x=G-l取得極小值，也就是最小值，

g(x)^n=g(百一1)=4百一12+4In(省+1)—41n(百-1)>4g-12+4Ine—4(百一2)=0從而結(jié)論得證.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導數(shù)證明不等式，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于

中檔題.

20.(1)證明見解析(2)0

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明AC_L平面即可.

由ABCO為菱形可得AC_LBO,連接片和AC與BD的交點。，

由等腰三角形性質(zhì)可得BQ1AC,即能證得AC，平面BDD4.

(2)由題意知，平面ABCD,可建立空間直角坐標系。孫z,以。為坐標原點，所在直線為x軸，OB所

在直線為y軸，OB1所在直線為Z軸，再分別求出平面的法向量，平面AB。的法向量，即可根據(jù)向量法求出

二面角a-8。-G的余弦值.

【詳解】

(1)如圖，設(shè)AC與80相交于點0,連接耳。,

又ABCD為菱形，故AC_L8D,。為AC的中點.

又AB產(chǎn)CB],故

又BDu平面BDD&I，片。(=平面8。。片，且8。0片。=。，

故AC，平面BDD禺,又ACu平面ABCD,

所以平面8。。g1YEABCD.

(2)由ADqB是等邊三角形，可得用。_13。，故B0工平面ABC。，

所以用。，AC,BD兩兩垂直.如圖以0為坐標原點，。4所在直線為x軸，0B所在直線為＞軸，。與所在直線為z

軸，建立空間直角坐標系。町z.

不妨設(shè)AB=2,則A0=J5,OB、=#),

則A(6,0,0)，8(0,1,0),4(0,0,G),D(0,-l,0),4(6,—1,6),C,(-V3,-1,A/3),

設(shè)i=a，x,zj為平面c3。的法向量,

2J,=0,一

則即《[-后7+島=?？扇　?°,D'

n-OC]-0,

設(shè)石=(X2，%，Z2)為平面AB。的法向量,

m-BD=0,2%=0,

則即《可取利=(-1,0,1)?

m?-0,V3X2—%+底2=0,

---n-m

所以cos<〃，〃?>=0

MH

所以二面角\-BD-C,的余弦值為0.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用向量法求二面角，意在考查學生的直觀想

象能力，邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.⑴(2)1,0)

44

【解析】

-2,x<——

2

(1)當〃=2時，/(x)=|2x+l|-|2x-l|=當工<一_1或x>_L時，"(x)|=2,所以—可

2222

2,x>—

2

-1<4X<1

轉(zhuǎn)化為1

——<x<-

22

解得—所以不等式一1</(X)<1的解集為.

4444

(2)因為xe(-；,0),所以|2x+l|=2x+l,

所以,(x)>2x,gp2x+Har-l|>2x,gp|or-l|<l.

當時，因為xw(-