4月大數(shù)據(jù)模擬卷01（山東、海南專用）（解析版）高中數(shù)學(xué)

4月大數(shù)據(jù)精選模擬卷01（山東、海南專用）

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合4=<x^^2o1,8={xeN|xW2},則408=（）

B.(―co,—2)U[1,2)

C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】c

【詳解】

x-1(x-l)(x+2)>0

因?yàn)镹OnV=>x<-2或x21

x+2x+2

所以A=（-oo,-2）u[L+°°），又3={0,1,2},

所以AD8={1,2}.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z=E，則忖=（）

A.變B.72C.立D.V3

22

【答案】A

【詳解】

2+z（2+z）（3-z）7+/

由z-帝-（3+i）（3—i）一記，

則慟=等.

3.數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)

為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)字通史”，"幾何原本”，"什么是數(shù)學(xué)”

四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門]選修課程選完，則

1

每位同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【詳解】

由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2,則先將4

門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有A；種不同分配方式，由乘法原理可得共有

C；C；C；

?用=36種，若是0,1,3,則先將4門學(xué)科分成三組共C：C；種不同方式,再分配到三個(gè)學(xué)年共有用

種不同分配方式，由乘法原理可得共有C：C；?A；=24種，若是0,2,2,則先將門學(xué)科分成三組共種

c2c2

不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有用種不同分配方式,由乘法原理可得共有?用=18種

4

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種，

故選：B.

4.已知?jiǎng)ta</?是6（e"-廿）<0的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】

當(dāng)a<Z?時(shí)，推不出/（e"-e"）<0,例如a=0時(shí),

當(dāng)&2（莊一/）<0時(shí),可得e"—『<0，即e"<eJ所以成立,

所以a<b是/（/一源）<0成立的必要不充分條件,

故選：B

5.《鏡花緣》是清代李汝珍的長(zhǎng)篇小說(shuō)，書(shū)中有這樣一個(gè)情節(jié)：一座閣樓到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球,

燈球有兩種，一種是大燈下綴2個(gè)小燈，另種是大燈下綴4個(gè)小燈，大燈共360個(gè)，小燈共1200個(gè).若在

這座樓閣的燈球中，隨機(jī)選取兩個(gè)燈球，則至少有一個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為（）

119160958289

A.B.-----D.

10773591077359

2

【答案】c

【詳解】

設(shè)有X個(gè)大燈球下綴有2個(gè)小燈，y個(gè)大燈球下綴有4個(gè)小燈,

x+y=360x-120

2x+4j-1200y-240

設(shè)隨機(jī)抽取2個(gè)燈球，至少有一個(gè)是下綴有4個(gè)小燈的大燈球?yàn)槭录嗀

024()+G0C240_958

則P(A)=

圓W77

故選：C

6.（1一%2）（%—2）6展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.240B.-240C.176D.-176

【答案】C

【詳解】

（X—2）6展開(kāi)式的通項(xiàng)：&=味產(chǎn)，（—2丫，

（1—2『展開(kāi)式中含/項(xiàng)為

《產(chǎn)4（-2）4_C；產(chǎn)6（_2）6=240X2-64x2=176x2,

所以展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為176.

故選：C

221

7.已知函數(shù)〃x）=x+-7,若正實(shí)數(shù)滿足/（加一9）+/（2〃）=2,則一+一的最小值為（）

1+e88mn

84c--

A.B.3D.9

,、2

函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽，令g(x)=/(x)—l=x+L；—l

2\-ex

h(x)=------1=-----，h(-x)

1+e'1+e"1+"Xe”+l

2

易知y=x和〃（x）=一1均奇函數(shù)，所以g（x）為奇函數(shù)

\+ex

3

g'（x）=0+e，）2〉°，所以g（x）在R上單調(diào)遞增

由/（加一9）+/（2”）=2得〃加_9）_1+/（2〃）-1=0

即g（：〃-9）=-g（2〃）=g（-2"）,所以加―9+2〃=0,即加+2〃=9

n8

211/c/2n“加

則一+—=—（m+2n]\一+-2+2-i——+—Q-9-

mn9\mn）9\nm）X

3

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=3,〃=一時(shí)，取等號(hào)

2

8.已知直三棱柱ABC—44G的側(cè)棱長(zhǎng)為2,AB1BC,AB=8C=2.過(guò)AB、B用的中點(diǎn)E、尸作

平面a與平面垂直，則所得截面周長(zhǎng)為（）

A.272+76B.72+276C.3近+瓜D.30+2瓜

【答案】C

【詳解】

如下圖所示，取AC的中點(diǎn)＜/,連接A7,取A/的。，連接OE，取4G的中點(diǎn)K，連接K/、B、K,

?：AB=BC,1/為AC的中點(diǎn)，則B/_LAC,

???然，平面ABC，

?.?ACcA41=A,，即，平面儀GC,

QD、E分別為A/、A3的中點(diǎn)，則OE〃即且?！?,B/，.?.￡）E_L平面A4GC,

4

?.?￡坦匚平面。￡戶，所以，平面。防_1_平面MGC,

所以，平面a即為平面。￡戶，設(shè)平面a交&G于點(diǎn)/,

在直棱柱ABC-A4cl中，A&ICC、且A4=CC,,

所以，四邊形例C。為平行四邊形，,AC〃AG且A。=AG，

?.?/、K分別為AC、A?的中點(diǎn)，，人?/〃AK且AJ=AK,

所以，四邊形A4KJ為平行四邊形，.?.KJ〃A41且KJ=A41,

?.?681//AA且=Al-:.KJ/IBB^KJ=BB\,所以，四邊形BgKJ為平行四邊形，

-.?DE//BJ,DEcz平面BB\KJ,歹cz平面BB^KJ,：.DE〃平面BB.KJ,

設(shè)平面aPl平面6片長(zhǎng)/=而，...DEu平面a,所以，DE//FG，..FG//BJ,

VBF//GJ,所以，四邊形3FG/為平行四邊形，可得GJ=BF=1BB|=工KJ,

22

所以，G為K/的中點(diǎn)，

延長(zhǎng)OG交AG于點(diǎn)”，'.-DJ//KH所以，4DJG=4HKG，ZJDG^ZKHG,

又?：JG=KG,所以，/\DJGM/\HKG，.?.HK=DJ=LAJ=LKC],：.H為KC]的中前,

22

因?yàn)槠矫鍭BC〃平面4月￡,平面apl平面平面afl平面4&G=/“，.1DE〃/“，

DE//BJ,BJ//B、K,DEHIH,：.IHHB.K,為B￡的中點(diǎn)，

VAB1BC,AB=BC=2,則AC=JAB2+BC?=20，

?.?J為AC的中點(diǎn)，.?.A/=4AC=及，則OE=LR/=也，同理/”=變，

2222

因?yàn)橹崩庵鵄BC—A4G的棱長(zhǎng)為2，b為84的中點(diǎn)，=

由勾股定理可得EF=+=J5,同理可得〃

vKJ〃BB閏KJ=BB[=2,BB]±平面ABC,：.K/_L平面ABC,

?rACu平面ABC,/C7_LAC,

5

?.?G、。分別為K7、A/的中點(diǎn)，則G/=LK/=1,DJ=-AJ=—

222

由勾股定理可得。G=JDT+GJ2=旦,同理

22

因此，截面的周長(zhǎng)為。E+〃/+"+〃?+￡>H=Y-X2+&X2+C=3&+6.

2

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

22

9.已知雙曲線C:步——上一=l（mwR）的一條漸近線方程為4x—3y=O,則（）

mm+7

A.（五,0）為C的一個(gè)焦點(diǎn)

B.雙曲線C的離心率為*

3

C.過(guò)點(diǎn)（5,0）作直線與C交于A8兩點(diǎn)，則滿足|A口=15的直線有且只有兩條

D.設(shè)為C上三點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則M4,MB斜率存在時(shí)其乘積為獲

【答案】BD

【詳解】

解：因?yàn)殡p曲線C：2——匚=1（機(jī)€/?）的一條漸近線方程為4犬-3），=0,

mm+7

所以生±2.=（g）,解得加=9,所以雙曲線福=1,所以a=3,b=4,c^ylc^+b2=5'所

以則其焦點(diǎn)為（一5,0）、（5,0）,離心率e=（=g,故A錯(cuò)誤，B正確；過(guò)點(diǎn)（5,0）作直線與C交于A,B兩

點(diǎn)，因?yàn)椋?,0）為雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)|48|=絲=也<15,當(dāng)直線的斜率為。時(shí)，

A6=2a=6<15,所以由雙曲線的對(duì)稱性得，滿足H用=15的直線有4條，故C錯(cuò)誤；

設(shè)A（%,y）,8（—內(nèi),—y）,加伍，％），所以匕MA="及，%三因?yàn)锳B"

22222_22_2

在雙曲線上，所以三——"=1,=兩式相減得__%=0,所以

916916916

6

或冬戶種號(hào)故D正確;

王一%(xl-x0)(xl+xQ)9

故選：BD

]nx

10.對(duì)于函數(shù)/(x)=7-，下列說(shuō)法正確的是()

A./(力在x=”處取得極大值耳~

B./(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

c.fg</(何</(百)

(?

1Z?

D.若f(x)<k—一在(0,+8)上恒成立，則人〉一

x72

【答案】ACD

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),((X)=1一：]吟,令r(x)>0可得0<x<〃，

令/'(x)<0可得x>6,所以“X)在(0,五)單調(diào)遞增，在(&,+8)單調(diào)遞減，

所以/(力在x=及時(shí)取得極大值/(G)=*,故選項(xiàng)A正確

1nx,

對(duì)于選項(xiàng)B：令"x)=p=0,可得x=l,因此/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：顯然正<6<正，/(力在(五,+8)單調(diào)遞減，

可得/(⑹>/(6)=^^>0,因?yàn)?=21n[<0,

即/(&)</(、/)</(6),故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：由題意知：A>/(力+4=粵+±?在(0,+°o)上恒成立，

令g(x)=/+*(x>。)貝味>g(x)max'因?yàn)間'(力=一^^

1A

易知當(dāng)xe°，刀=時(shí).g'(x)>0,當(dāng)時(shí)，g'(x)<0，所以時(shí)取得極大值

7e)

也是最大值g(7=)=5,所以%>1,

7

所以/（力++<4在xe（0,+8）上恒成立，則人>],故選項(xiàng)D正確.

11.已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,....其中第一項(xiàng)是2。，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,2：再接下來(lái)

的三項(xiàng)是2°,2122,依次類推…，第〃項(xiàng)記為%,數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，則（）

A.〃=16B.兀=128C.%+*=21?S2

D.k+k

22

【答案】AC

【詳解】

A.由題可將數(shù)列分組

第一組：2°第二組：2°,2,,第三組：2°,2：22,

則前攵組一共有1+2+…+Z=個(gè)數(shù)

2

第左組第4個(gè)數(shù)即2?T,故&=2"：c對(duì)

2

乂嗎辿3,故…2，

又叫3=66,

2

。60則為笫11組第5個(gè)數(shù)

第11組有數(shù)：2°,2122,23,24,25,26,27,28,2121°

故"60=2,=16,A對(duì)

/—I

對(duì)于D.每一組的和為2°+，+…+21=---=2k-l

2-1

故前k組之和為21+22+---+2*-A:=—_^]--k^2k+'-2-k

2-1

k+

Sk."+k,^2'-k-2

2

故D錯(cuò).

對(duì)于B.

6

由D可知，S15=2—5—2

8

5(5+1)6(6+1)

—ID，-Zr1

22

,26

Sl8=S15+2°+2+2=2-5-2+7=64

故B錯(cuò)

故選：AC

12.已知正數(shù)。、6滿足a+28=l,則下列說(shuō)法正確的是（）.

B.ah的最小值是！

A.2"+4&的最小值是2近

8

C.“2+4/的最小值是!D.—+'的最小值是4行

2ab

【答案】AC

【詳解】

因?yàn)檎龜?shù)。、〃滿足a+2/?=l.

對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得2"+4"=2"+2?">2\)2a-22b=2\l2a+2b=2V2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=28=」時(shí)，等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；

2

對(duì)于B選項(xiàng)，由基本不等式可得1=a+25220茄，即8必W1,即

當(dāng)且僅當(dāng)a=26='時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C選項(xiàng)，由基本不等式可得"+4M>2y1a2-4b2=4ab，

所以，2(a2+4/?2)=(a2+4^2)+(a2+4Z?2)>(t72+4/?2)+44z^=(a+2/?)2=1,

,11

所以，a2+2b27>~,當(dāng)且僅當(dāng)a=26=—時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；

22

對(duì)于D選項(xiàng)，由基本不等式可得工+工=（。+23（4+2]=生+0+322」歐?巴+3=3+2夜，

ab\ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=叵時(shí)，等號(hào)成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量乙，5滿足W=2同，且則1與5的夾角為

、2兀

【答案】—

3

9

【詳解】

，,同2+4,5=0,

即忖+忖|〃|cos（q,5）=0.

V|&|=2p|,|a|2+2|a|cos@B）=0,

COS（Q,B）=-g,?.,0W（4,5）<71,.,.=~3~'

2兀

故答案為：—.

3

14.已知函數(shù)/（x）=（?>3）,若對(duì)任意X1,x總有/（無(wú)J，/（W），/（F）為某

3；：：2）

一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[3,6]

【詳解】

由題意可得：對(duì)V%,x2,七eR，總有/（%）+/（赴）>/（七）恒成立，

只需2"%,“。）1Mx

八）3'+1升3*+1'

①當(dāng)a=3時(shí)，/（x）=3,滿足題意；

②當(dāng)a>3時(shí)，/（x）在R上單調(diào)遞減，3</（%）<a,故需2x3、a,即3<aW6；

綜上所述，。的取值范圍是[3,6].

15.已知拋物線。：丁=4尤，點(diǎn)A、B在拋物線上，且分別位于x軸的上、下兩側(cè)，若麗.麗=5，則

直線AB過(guò)定點(diǎn).

【答案】（5,0）

【詳解】

設(shè)直線A8方程x=my+b,A（玉,乂）,3（/,%）（X>°,%<°）

x=my+b、一

則《ny—4的-4Z?=0,則%%二-4匕，且力>0

y9=4x

10

又西?麗=5，所以X/2+y必=（＞"）+X%=5

16

則力2-4〃=5=〃=5或力二一1（舍），

故直線AB方程x=沖+5,所以直線A6過(guò)定點(diǎn)（5,0）

16.西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢(shì)變?yōu)榱私?jīng)濟(jì)優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，同時(shí)該項(xiàng)

工程的建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.在輸氣管道工程建設(shè)過(guò)程中，某段直線形管道鋪設(shè)需要經(jīng)

過(guò)一處平行峽谷，勘探人員在峽內(nèi)恰好發(fā)現(xiàn)一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角，用測(cè)量?jī)x器得到此橫截圓面

的圓心為。，半徑QW=ON且為1米，而運(yùn)輸人員利用運(yùn)輸工具水平橫向移動(dòng)直線形輸氣管不可避免的

要經(jīng)過(guò)此圓弧拐角，需從寬為38米的峽谷拐入寬為16米的峽谷.如圖所示，位于峽谷懸崖壁上的兩點(diǎn)A,B

的連線恰好與圓弧拐角相切于點(diǎn)丁（點(diǎn)A,T,3在同一水平面內(nèi)），若要使得直線形輸氣管能夠順利地

通過(guò)圓弧拐角，其長(zhǎng)度不能超過(guò)米.

【答案】75

【詳解】

設(shè)/MOT=e，其中

延長(zhǎng)OM,交48于。，過(guò)8做S8垂線，交。。于G,延長(zhǎng)ON,交48于E,過(guò)A做&4垂線，交NO于

II

F,如圖所示:

在RmAE/7中，ZAEF=9,A尸=39,則sin6=—,即AE=------,

AEsin0

BG17

在周班X；中，ZDBG=e,BG=17,則cos6=—,即30=------,

BDcos0

在RtDDOE中,OTLDE,07=1,所以。。=—^―,E0=—^―,

cos。sin。

乂LxDOxEO=LDExOT,所以。E=——?——，

22sincos

統(tǒng)一A?/>/n\ALnccl3917139cos6+17sin8-1

所以A3=f(6)=AE+BD—DE=----+------------------=--------------------,

sin。cos。sincossin6cos8

37t

因?yàn)?sin（9+3cose=5sin（e+°）＜5,其中tanQ=—，當(dāng)且僅當(dāng)。+°=—時(shí)，等號(hào)成立,

42

所以,心39cose+17sin6-l|(4sin0+3cos^)(39cos^+17sin^)-l

sin0cos3sin0cos0

^(68sin*2^+207sin^cos^+l17cos20-(sin2^+cos20)

sincos

63.2〃207.□1122A

—sin0H------sinucos0nH------cos0［正c八r

=555n7/cc16、207

----------------------------------二—(9tan夕+-----)+----

sincos05tan。5

、7。F~~~~~16~207.

2-x2/9tan0x-------1-------=75,

5Vtan95

當(dāng)且僅當(dāng)9tan6=」16一,即tan〃=42時(shí)等號(hào)成立，

tan，3

所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過(guò)圓弧拐角，其長(zhǎng)度不能超過(guò)75米.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①%+4=",@b2+S5=-b4,③q+%=-4這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.若

問(wèn)題中的“存在，求出加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)等差數(shù)列｛",｝的前〃項(xiàng)和為S.,｛〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)前〃項(xiàng)和為7；,

若,,且么=2,4=5豈.是否存在大于2的正整數(shù)優(yōu)，使得45,S3,5M，成等比數(shù)

列？

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）

【詳解】

12

設(shè)｛q｝的公差為4，｛bn｝的公比為q（q＞0）,

由題意知4工1,所以7；=幺匕?=5。=5也匕幺2,

\-q\-q

整理得1+d=5,因?yàn)?＞（）,所以g=2,所以2=2".

4+%=82a,+2d=8q=12

（1）當(dāng)選取的條件為①②時(shí)，有，4+鼠一6’所以q+2d=4解得

2

所以an=一8〃+20,Sn=-4n+16〃.

2

所以S]=12,S3=12,Sfn——4m+16m,

若4H，S3，S,〃成等比數(shù)列，則S32=4S5〃，

於

所以4AH2—16/w+3=0,解得m=2±----?

2

因?yàn)榧訛檎麛?shù)，所以不符合題意，此時(shí)機(jī)不存在.

4+4=82〃]+2d=8CL=6

（2）當(dāng)選取的條件為①③時(shí)，有＜,所以＜，解得

4+=—42。]+8d——4a=-2

所以4=—2〃+8,Sn——n~+7〃.

2

所以Si=6,S3=12,Sm=-m+Im,

若4S1,S3，S,〃成等比數(shù)列，則S32=4S1S,〃，

所以m2—7機(jī)+6=0，解得加=6或根=1（舍去）

此時(shí)存在正整數(shù)m二6滿足題意.

4+"Q=-42q+8d=-44=-6

⑶當(dāng)選取的條件為②③時(shí)，有L+S5-16所以〈,解得《

q+2d——4d=l

n2-13/2

所以二〃一7,S〃

-2

所以號(hào)=-64=-15,5="；3〃?

若4S1,S3，S”,成等比數(shù)列，則S32=4S1S,“，即225=—24S),,

13

所以4/-52優(yōu)+75=0>解得〃?=[3-，

2

因?yàn)榧訛檎麛?shù)，所以不符合題意，此時(shí)，力不存在.

18.將函數(shù)/(x)=sinx+百cosx圖象上所有點(diǎn)向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的g(縱

坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在□46c中，內(nèi)角A,6,C的對(duì)邊分別為a,〃,c,若sin(￡-B]cos(2+B]=1,

求口ABC的面積.

【詳解】

(1)/(無(wú))=sin龍+gcosx=2sinx+—

圖象向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin的圖象,

17C\

橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的U(縱坐標(biāo)不變)得到)'=2sinx+”圖象,

216yz

所以g(x)=2sin12x+/J,

TT7T7T7T7T

令----F2k7iW2xH—4—F2k兀?解得----FkjiWxW—Fk/r,

26236

jrjr

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：-q+k兀，%+k兀(AeZ)

(2)由(1)知，c=g

因?yàn)閟in《一可cos仁+3]=cos2[-^-+Bj,所以cos(看+B卜士§

/、7C

又因?yàn)锽e(0,%),所以8+丁=

O

14

當(dāng)cos+B]=L時(shí)，B+—=—,B=—,

16J2636

此時(shí)由余弦定理可知，4+a2-2x2xacos—=12,解得a=J^+JTT，

6

所以SABC=gx2x(G+Vn)xsin?="'

當(dāng)cos(工+3]=-，時(shí)-，B+—=~,B=—,

16J2632

此時(shí)由勾股定理可得，a=J12-4=2五,

所以S△帆=gx2x2啦=2拉.

19.如圖，四邊形AB8是邊長(zhǎng)為2的正方形，將三角形尸AD沿AD折起使平面E4DJ_平面

ABCD.

（1）若M為PC上一點(diǎn)，且滿足求證：PD±AM；

（2）若二面角8—PC—￡＞的余弦值為-亞，求從尸的長(zhǎng).

5

【詳解】

解：（1）證明：因?yàn)槊嫣А辏?，面ABC。,面PADpI面48。。=4。,/3匚面48?！辏?

48_1_4力,所以"_1面尸4。，

又PDu面PAD,

所以PD_LAB,

又PD1BM,ABcBM=B,

15

所以P￡)J_面ABM,

又AMu面ABM,

所以P￡>_LAM；

(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)0尸,因?yàn)锳P=P￡>,所以。尸，AO.

乂平面RWJL平面A8C。，所以O(shè)PL平面ABC。.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以礪，而，麗方向?yàn)橛餠，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)OP=a,則有5(1,2,0),C(-1,2,0),￡>(-1,0,0),尸(0,0,a),

可得CB=(2,0,0),CD=(0,-2,0),CP=(1,-2,a),

設(shè)=(%,x,ZI)為平面PBC的一個(gè)法向量

in-CB=0,2%=0

則有《一即《

ffiCP=0玉-2yl+az1=0

不妨令弘=。，則加=(0,a,2),

設(shè)［=(&,%,Z?)為平面PQ□的?個(gè)法向量,

riCD=0-2%=0

則有<一一即

n-CP=0x2-2y2+az2=0

不妨令％=。，則3=(?0,—1),

m-ngo

因?yàn)?/p>

m||n7~

16

x/a2+45/?2+15

解得4=1,

所以AP=Ji7T=0.

20.某公司為研究某種圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y（單位：元）與印刷數(shù)量x（單位：千冊(cè)）的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)

并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

遲

命

題

g

s

f20

15

lt1-0

................................7...............?.................................?.

05101520253035404550

印刷數(shù)量z/千冊(cè)

8_

S（X,-X）28__8_8__

XyU

i=li=l/=!i=l

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

1

1-

〃=

表中％=一,8-

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y=a+以與y=c+4哪一個(gè)模型更適合作為該圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量X

X

的回歸方程？（只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于X的回歸方程（結(jié)果精確到0.01）；

（3）若該圖書(shū)每?jī)?cè)的定價(jià)為9.22元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于80000元？（假設(shè)能夠

全部售出，結(jié)果精確到1）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（四,匕）,（牡,彩），…,（%,匕,），其回歸直線；=a+網(wǎng)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

Z（9一助（匕一切

別為P=上匕-，a-V-pco-

工（g-co）?

i=\

【詳解】

17

(1)由散用圖判斷，y=c+4更適合作為該圖書(shū)卷冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量X(單位：千冊(cè))的

X

回歸方程.

(2)令〃=’,先建立y關(guān)于“的線性回歸方程，

X

E(^-?)-(x-y)7049

?8.957?8.96

由于d-―0.787

i=l

所以2=3—d.￡=3.63—8.957x0.269~1.22，

所以y關(guān)于，，的線性回歸方程為y=1.22+8.96M，

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=1.22+里電

X

(896、

(3)假設(shè)印刷x千冊(cè)，依題意得9.22%一1.22+丁卜280,

解得xZll.12,

所以至少印刷11120冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于80000元.

r2v222且橢圓。的離心率e=，，點(diǎn)

21.橢圓C言+方=1(<2>Z>>0)與橢圓E:土+匕=1有共同的焦點(diǎn),

25242

尸分別為橢圓。的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)/且交橢圓。于P,。兩點(diǎn)，設(shè)直線MP,MQ的斜率分

別為匕

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在直線/,使得4+%,=-1，若存在，求出直線/方程;不存在，說(shuō)明理由.

-4

【詳解】

c1

(1)由題意可知橢圓C中，c=l，由離心率e=-=—可得。=2

a2

v-22

又知/==3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^v-=1

43

(2)右焦點(diǎn)尸(1,0),右頂點(diǎn)〃(一2,0),假設(shè)存在直線/,滿足勺+總=一:

若直線/斜率不存在時(shí)，%|+&2=0,不合題意，舍去;