2021屆跳出題海之高中數(shù)學(xué)必做100題65空間角與距離的計算 （解析版）

2021屆跳出題海之高中數(shù)學(xué)必做100題

第65題空間角與距離的計算

題源探究?黃金母題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD1底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點，作EF1

PB交PB于點F.

(1)求證:PA//平面EDB;

⑵求證:PBJ■平面EFD;

（3）求二面角C-PB-D的大小.

【答案】（D見解析（2）見解析（3）60°.【試題來源】新課標(biāo)人教A版選修2-1第

109頁，例題4

【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)

【母題評析】需要明確運用空間向量法求

DC=1.

解二面角的基本步驟，建系，找點求出法

向量，向量數(shù)量積求二面角余弦

【思路方法】思路方法上；運用空間向量

坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：①建立

恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點的

坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進行

論證、計算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

(1)證明:連接AC,AC交BD于點G,連接EG,依題意得A(1,O,O)

正方形，所以點G是此正方形的中心,故點G的坐標(biāo)為(i-,0

22

以P4=2EG,即PA//EG.而EGU平面EDB,且PA(Z平面EDB,E

<2)證明:依題意得:B(1,1,0),=1,-1).

-----11-11

又DEM0,士，上)，故尸B?Z>E=0+±一±=0,所以PB_LD】

2222

由已知EF±PB,s.EFC\DE=E,

所以PB_L平面EFD.

(3)解:已知PBJ_EF,由⑵可知PB1DF,故NEFD是二面角

C-PB-D的平面角.

設(shè)點F的坐標(biāo)為(x,y,z),則PF=(X,y,Z-1).

因為m=Z而,所以而?而=0,

所以(1,1,")?(k,k,l-k)=k+k-1+k=3k-l=0,

所以k=；,點F的坐標(biāo)為(；,；,|)。

又點E的坐標(biāo)為(0,；,g),

—?11FF-FD

所以二），因為cosNE產(chǎn)￡>=1%?

366|FE||FD|

1

-

61

---

12-

3

即NEFD=60",即二面角C-PB-D的大小為60°.

考場精彩?真題回放

【2020年高考天津】如圖，在三棱柱ABC—A4G中，eg，平面ABC,AC_LBC,AC=BC=2,

CG=3,點。，E分別在棱A4和棱C0上，且AD=1,CE=2,例為棱44的中點.

(I)求證：

(II)求二面角3—4七—。的正弦值;

(m)求直線A8與平面03后所成角的正弦值.

【解析】依題意，以C為原點，分別以CACB,CG的方【命題意圖】考察空間想象能力及推理論

向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如

證和計算能力，轉(zhuǎn)化思想。

圖)，可得C(0,0,0),A(2,(),()),8(0,2,()),q((),0,3),

【考試方向】這類試題在考查題型上，通

4(2,0,3),耳(0,2,3),D(2,0,1),E((),0,2),M(l,l,3).

?；疽赃x擇填題或解答題的形式出現(xiàn)，

難度中檔.

【學(xué)科素養(yǎng)】邏輯推理

【難點中心】關(guān)于空間角計算的難點在于,

概念不清，在較為復(fù)雜的幾何環(huán)境下無法

準(zhǔn)確的找出空間角對應(yīng)的平面角。即空間

想象能力不足。

(I)證明：依題意，=(1,1,0),B,Z)=(2,-2,-2),

從而。|"-4。=2—2+0=(),所以GMLgD.

(II)解：依題意，C4=(2,0,0)是平面34七的一個法

向量，EB,=(0,2,1),￡￡)=(20,-1).設(shè)腹=(x,y,z)為

n-EB.=0,[2y+z=0,

平面的法向量，則11即，不妨

it-ED=0,2.x—z—0.

設(shè)x=l,可得〃=(1,一1,2).

因此有cos〈C4,〃〉==Y6,于是

|CA||〃|6

sin〈C4,〃〉=^

/□A

所以，二面角8—3萬—。的正弦值為、一.

（?。┙?依題意，AB=（—2,2,0）.由（II）知"=（1,一1,2）

為平面。gE的一個法向量，于是

\_ABn_x/3

cos（A3,”

/|AB||n|_~T

所以，直線A8與平面。4石所成角的正弦值為且.

3

三.理論基礎(chǔ)?解題原理

考點一異面直線所成的角

⑴定義：設(shè)》是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點。作直線優(yōu)〃a,b'//b,把優(yōu)與，所成的銳角（或

直角）叫做異面直線。與b所成的角.

（2）范圍：（0,外.

考點二直線和平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在壬面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角.

（2）范圍：［。，f］.當(dāng)直線與平面垂直和平行（或直線在平面內(nèi)）時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90。

和0°.

考點三二面角

（1）定義：從一條直線出發(fā)的蚯生壬面所組成的圖形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱

上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直壬棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)

成的角叫做二面角的平面角.

（2）范圍：［0,司

考點四用向量求空間角的方法：

(1)線線角：直線與直線所成的角，，如兩直線的方向向量分別為“，b,

貝I]cos0=|cos{a,Z?〉|.

(2)線面角：直線與平面所成的角〃，如直線的方向向量為a,平面的法向量為"，

貝!Is比AIcos(a,n)\.

(3)面面角：兩相交平面所成的角仇兩平面的法向量分別為小，n2,

則cosO=|cos〈"”"2〉I.判定二面角的平面角是銳角還是鈍角的情況來決定

cosO=|cosn2)|還是cos〃=一|cos〈""n)|.

考點五求點面距一般有以下三種方法

(1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離.

(2)等體積法.

(3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便.

(1)兩點間的距離

設(shè)點4(Xl，J1，Zi),點8(*2，及，Z2)，則一用=[48I=1(X1—X2)2+?—X2)2+(Z|—Z2)2.

(2)點到平面的距離

如圖所示，已知A3為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則6到平面

A

a的距離為IBO\=———.

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x填題或解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔。

考向1空間線與線所成的角

如圖，正方體A8C6A|BiGOi中，點M是A8的中點，則與CM所成角【溫馨提醒】本題考杳

的余弦值為()了異面直線所成角的定

義以及求法，線面平行

V15

15,5的判定定理，球的表面

積公式，以及直四棱柱

的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔

題.

【答案】C

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)正方體棱長為2,則"(2,1,0),

C(0,2,0),8(2,2,0),￡M0,0,2),ACM=(2,-1,0),DIB=(2,2,-2),

CMD,B_2_V15

cos〈CM,D,B>=

CM||D,B~y[5x2y[3~15'

:.DiB與CM所成角的余弦值為喈，故選C.

考向2線與面所成的角

【溫馨提醒】通過證明

如圖，在正方體ABCD-A4G。中，點。為線段8。的中點.設(shè)點P在線段

直線與平面垂直，構(gòu)造

CG上,直線。P與平面48。所成的角為貝！Isina的取值范圍是()得到直線與平面所成角

的平面角，利用解三角

形的知識計算得到其正

弦值.本題屬于中等題，

主要考查學(xué)生基本的運

算能力以及空間想象能

力，考查學(xué)生空間問題

轉(zhuǎn)化為平面問題的轉(zhuǎn)化

與化歸能力.

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)正方體的棱長為1,則妁="*=亞40=℃1=卜；=\℃=￡,所以

33、31,

-+-2]訃_+-3RR

cosNqOC]：^―=-.sinZ41OCJ=^?)cos/4OC=^-=一二.sinZ40c二一

2x：332x由33

22

又直線與平面所成的角小于等于班，而幺0C為鈍角，冊向a版勵目』，選B.翔網(wǎng)

考向3二面角

如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC。(及其內(nèi)部)以A8邊所在直【溫馨提醒】此類題H

是立體幾何中的常見問

線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。F的中點.

題.解答本題，關(guān)鍵在于

(I)設(shè)P是CE上的一點，且AP_L8E,求NCBP的大小;能利用直線與直線、直

線與平面、平面與平面

(II)當(dāng)AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過

嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)

成.立體幾何中角的計

算問題，往往可以利用

幾何法、空間向量方法

求解，應(yīng)根據(jù)題目條件,

靈活選擇方法.本題能

【答案】(I)ZCBP=30°.(U)60°.

較好的考查考生的空間

【解析】（I）因為APJ.BE,ABLBE,AB,APu平面A8P,想象能力、邏輯推理能

ABAP=A,力'轉(zhuǎn)化與化歸思想及

基本運算能力等.

所以6EJ.平面ABP,又BPu平面ABP,

所以3E_L3P,又NEBC=120。，因此NCBP=30°

（n）解法一：

取EC的中點“，連接E”，GH,?！?因為/七3。=120。，所以四邊形

BEHC為菱形，

所以AE=G￡=AC=GC=J?R=JB.取AG中點M，連接EM,CM,

EC.

則EMLAG,CM1AG,所以NEMC為所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EM=CM=&3-1=26.在A8EC中,由于

ZEBC=120°,

由余弦定理得EC?=22+22-2X2X2XCOS120°=12,

所以EC=26,因此AEMC為等邊三角形，故所求的角為60°.

解法二：

以8為坐標(biāo)原點，分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得4((),(),3)E(2,0,0),G(1,V3,3),

C(—1,6,0)，故AE=(2,0,—3),AG=(l,6,0),CG=(2,0,3),

-A-m-AE=0

設(shè)/%=(%,X，4)是平面AEG的一個法向量.由《可得

m?AG-0

2x—3Zj=0,

<1

XI+3I=0,

取4=2,可得平面AEG的一個法向量加(3,-百,2).

設(shè)〃=(%2，%，22)是平面4。6的一個法向量.

,n-AG=0|x2+>/3y2=0,

由《可得〈一

n?CG=0[2x2+3Z2=0,

取Z2=—2,可得平面ACG的一個法向量〃=(3,—G,-2).

m-n1“c

所以cos<加,〃>==7.因此所求的角為60。.

\m\-\n\2

考向4點到直線、點到平面的距離問題

在棱長為1的正方體A3CD-4181Goi中，E為線段4豆的中點，尸為線段A3的【技能方法】求出面距

中點.

一般有以下三種方法：

(1)求點B到直線AG的距離；

(1)作點到面的垂線，點

(2)求直線FC到平面AEG的距離.到垂足的距離即為點到

平面的距離.

解：以O(shè)1為原點，DtAi,OCi,SO所在直線分別為x軸,

y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,1),(2)等體積法.

8(1,1,1),C(0,1,1),G(0,l,0),￡(1,0),(，1),

(3)向量法.其中向量法

所以在易建立空間直角坐標(biāo)

AB=(0,1,0),AQ=(-1,1,-1),A￡=(0,-1),系的規(guī)則圖形中較簡

便.

(1)^.a=AB=(0,1,0),u=A?=坐(—ij,一［),則「=1,a>u=

3?

14Gl

所以，點B到直線ACi的距離為7『一((ru)2=坐.

(2)因為下行=或=(一1,0),所以FC//ECX,所以fC〃平面AEG.所

以點F到平面AEG的距離為直線FC到平面AEG的距離.

設(shè)平面4EG的法向量為n=(x,y,z),

n-AE=0,

則.

n-EQ=0.

所以<

x=z,

所以?

y=2z.

取z=l,則x=l,y=2.所以，n=（l,2,1）是平面AEG的一個法向量.

））,所以點

F到平面AEG的距離為“丁」

（。，i“a，2,i）|水

<6=6，

即直線尸C到平面AEG的距離為平.

五.限時訓(xùn)練*提升素養(yǎng)

1.（2020?安徽）如圖，在正方體A3CO-44GA中，棱長為1，E、F分別為GA與A6的中點，隹到

平面AFCE的距離為（）

A6

V--?------------D.粵

25

【答案】B

【詳解】

設(shè)點用到平面AFCE的距離為h.

???正方體棱長為1,

:.AF=FC=W，AC=&EF=^，

V2_V60-xlxl=l

2422

又V氏_、CF與尸，

解得力邛

即點Bj到平面AFCE的距離為遠.

3

故選：B.

2.（2020?全國高三）如圖，在長方體A4GA中，AB=5,BC=6,"=7,E/是棱A8上

的一條線段，且EF=3,。是AD的中點，P是棱上的動點，則

①四面體P-QEF的體積為定值

②直線到平面PEF的距離為定值

③點P到直線EF的距離為定值

④直線產(chǎn)。與平面QEF所成的角為定值

其中正確結(jié)論的編號是（）

A.①②③B.①②④C,①③④D.②③④

【答案】A

【詳解】

因為AB//C.D,，所以平面PEF即為平面ABGR,

因此Q到平面PEF的距離（設(shè)為d）等于。到平面ABCR的距離，即d為定值;

因為AB//CtD.，所以p到直線EF的距離等于直線C.D,到直線AB的距離，為定值;

因此③正確；

而E尸=3,所以PE尸面積為定值,

因此四面體P-QEF的體積等于g".SVPEF，為定值，即①正確；

因為所以直線4片與平面尸石尸（即平面ABC；。）平行，

從而直線4耳到平面PEF的距離等于定直線4耳與定平面ABCR之間距離,

為定值，即②正確；

當(dāng)P與D重合時，過R作〃MLA。交AQ延長線于用，

則由長方體性質(zhì)得AB±平面AD0A，即得鉆l.

因為ABIAQ=A,AQ,ABu平面ABQ,

從而平面A8Q,

因此/DQM為直線PQ與平面QEF所成的角，

sinND]QM

當(dāng)尸與G重合時，因為C,D,///平面QEF,

所以G,A到平面QEF的距離相等,

過C,作C\NHD\M,C\N=D\M,

則C{N為點G到到平面QEF的距離

連QN,則ZCQN為直線PQ與平面QEF所成的角,

sinNC、QN=梁<需^，即④錯誤;

故選：A

3.（2020?全國）己知點P是矩形ABCO所在平面外一點，且滿足PC=PO,平面PA。平面尸BC=/,

設(shè)直線CP與直線OP所成角的大小為。，直線CP與平面PAO所成角的大小為尸，二面角A-/-B的大

小為7，則下列判斷正確的是（）

A.a>(3>yB.y>a>(3c.a>y>(3D.P>a>y

【答案】B

【詳解】

由題意可知，,取ye萬)，則/Na,y>/3,

設(shè)點C到平面PAD的距離為h,設(shè)點C到直線PD的距離為d,

山于點C到平面PA。內(nèi)任意一點的距離中，垂線段最短，

因為P3u平面PAO,所以，d>h,

dh

sina=萬不，sin￡=正;，則sineNsin尸，所以，a>/3,

因此，/>?>/?.

故選：B.

4.（2020?東莞）在矩形ABC。中，AB=1,BC=2,將"3D沿80向上折起到A4,6。的位置，得到四

面體4BCD.當(dāng)四面體ABCD的體積最大時，異面直線A8與C。所成角的余弦值為一.

【答案】|

【詳解】

如圖，當(dāng)平面A3。，平面BCO時，四面體43co的體積最大.

過A作于“，則A”L平面8co

29F5

因為A”=A"=F，所以4人=半，

V5V5

因為AB//CD,所以NABA或它的補角為異面直線AB與CO所成的角.

因為COSZA.BA=A4+M—M

2ABA.B2x1x15

所以異面直線AB與C。所成角的余弦值為"

故答案為：—■

5.（2020.浙江）正方體.8—A4GR中，E為BC中點,在平面A4GR內(nèi)，直線〃/即，設(shè)二面

角A―/一E的平面角為a,當(dāng)a最大時，cosa=.

23

【答案】&

【詳解】

設(shè)正方體ABQ□-4與GR的棱長為1,/與A4，A。分別交于點/，”，HIAG=o,取co的中點

F,連接EF,EFAC=G,連接AO,OG,

￡,戶分別為5。,。＞中點，，￡/〃8。，又BDHBQJil,：.EF〃B\D\Hl,

四點共面,

A4,_L平面AB|GA，3]。1<=平面414。1〃，，明，4。，

又BQ|J_AG，A41cAe]=4，AV4GU平面A41GC,二4。1_L平面例C|C,

又〃/B|A，:./_L平面A41GC,

/.ZAOG即為二面角A-l-E的平面角a,且a為銳角.

”是△BCO的中位線，：.G是AC的四等分點，.?.AG=3AC=K2，

44

作出截面A4,G。，以A為坐標(biāo)原點，AC為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

y

設(shè)O(x,l),xe(0,a),

1k-1

直線0A的斜率kOA=~,直線0G的斜率°。3V2，

xx------

4

i____2

3A/2x3A/230

tana="。。一勤=-----------=]~~—=4

]+20G.^OA1-I----------------|3v2|[23夜,

x-------X+1

(3。x"F+14

Xx------\)

4

當(dāng)a取得最大值時，tana取得最大值,

2

當(dāng)工=逑時，tana最大，即。(3⑸41

...04=06=+12=

8(8)32

41419

“空+心_或32+32-823

由余弦定理可得:

20A0G4141

16

23

"pia最大時,cosa=—.

41

23

故答案知-

6.（2020?浙江）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CO是矩形，AB=l,AD=2,△ABP為等腰

TT

三角形，NPBA=—.

2

（I）證明：平面P8C，平面A6CQ；

（II）若二面角P-CO-A的余弦值為九5,且PC>8C,求尸。的長度，并求此時PO與平面P4B所

8

成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（H）PD=@；'逅

14

【詳解】

rr

(I)證明：四邊形ABC。為矩形，.?.A3,5C,又ZPBA=%，即AB，PB,

2

8C,P8u平面P8C,BCPB=B,平面P8C,

ABu平面ABC。，二平面PBC_L平面ABC。.

(II)由(I)知：A3_L平面PBC,PCu平面PBC,ABVPC,

由AB〃C。得：CDLPC,又CDd.BC,

NPC8即為二面角P—CO—A的平面角e,

222

z.nn,HABC+PC-PB376，/。PRAR1

在r甲，COS&=-----------------=----，XnC=2,PB=AB=1,

2BC,PC8

可得：PC=屈或號,又PC>BC，；.PC=R，PD=VPC2+CD2=A/7-

過點尸作PQ，6C,垂足為點。，可得：PQ=PCsinNPCB=叵，

由平面PBCJ_平面ABC。，平面P8C平面ABC。=6。得：PQJ?平面ABC。,

設(shè)點D到平面PA8的距離為h.

“'^D-PAB=^P-ABD得：］SVPAB."=§^VABD'PQ'

而SVPAB=-'-'-/?=2PQ=，

岳

設(shè)PO與平面尸43所成角為S,則._h_2_V105.

sin(D——^―——

PD幣14

與平面PA8所成角正弦值為叵I.

14

7.（2020?全國）如圖，直二面角K中，四邊形ABC。是邊長為2的正方形，AE=EB,F為CE

卜一的點，且8尸，平面ACE.

（1）求證：平面BCE；

（2）求二面角8—AC—E的大??；

（3）求點。到平面ACE的距離.

【答案】（I）證明見解析；（2）arcsin—；（3）友.

33

【詳解】

證明：???3尸，平面ACE,平面ACE平面BCE=CE,Bb_LAE,

:二面角。一AB-E為直二面角，，平面ABC。_1,平面ABE,

乂3C_LAB,8CJ■平面ABE，二BCJ.AE,

又B/7u平面BCE,SFcBC=3,AE_1_平面BCE；

⑵連結(jié)AC、BD交于G,連結(jié)FG,?.'ABC。為正方形，...6。，AC,

：BFJL平面ACE,用人AC,NFG8為二面角B—AC—E的平面角，

由(1)可知，AEJ_平面BCE,:.AE工EB,又AE=EB,AB=2,AE=BE=42>

BCBE2^2_2

在放ABCE中，CE^ylBC2+BE2=y[6'BF=

CE-R一下)

在正方形中，BG=丘,在直角三角形BFG中,

5也/對8="=率=且'二二面角8—AC-E為arcsin乎;

BG五33

(3)由Q)可知，在正方形A3CO中，BG=DG,

D到平面ACB的距離等T-B到平面ACE的距離,

BF±平面ACE,線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離,

即為。到平面ACE的距離，O到平面ACE的距離為2=述

63

8.（2020?全國）如圖，多面體ABCEZ）中，ffiABD±ffiABC,?BCEABC,DE〃面ABC,

AB=275，BE=CE,AD=BD=BC=2.

(1)求NBEC的大??；

(2)若OE=2,求二面角8—OE-C的余弦值.

【答案】(1)ZBEC=90°:(2)y.

【詳解】

(1)取AB、BC的中點M、N,連接MD、EN、MN.

因為AD=B。，M為AB的中點，則DMVAB,

平面A83_L平面ABC,平面A3。c平面ABC=AB,DWu平面43￡)，所以，￡>A/_L平面ABC,

同理EN_L面ABC,故。M〃EN,故￡>、M、N、E共面.

乂OE〃面ABC,DEu平面DMNE,面DMNE面ABC=MN,故DEHMN.

故四邊形。MNE為平行四邊形，故EN=DM7BD?-BM2=1，

￡7VJ_平面ABC,BCu平面ABC,EN_L8C,

又BE=CE,BC=2,BN=NC=、BC=\=EN,:.NEBC=NECB=45，

2

故NB￡C=90"；

(2)在平面ABC內(nèi)作BQJ.AC于Q,在平面8￡>E作BP，OE于尸，連接PQ.

因為M、N分別為A8、AC的中點，散MNMAC,又MNIIDE、故ACHDE,

BQLAC,：.BQLDE,

BPVDE,BPcBQnB,OE_L平面BPQ,

8。＜=平面8尸。，.?.8。_1。￡：,所以，ZBPQ為二面角B-OE—C的平面角,

又由（1）可得OE=MN=』AC=2,故AC=4.

2

由(1)可得CE=BE=M再疝"=垃，

AC2^AB2+BC2,則/ABC=90，故52="廿="

AC-

在BDE中,由等面積法有，￡>E.BP=，BE.JOE2_11BE]==BEx叵,

22\UJ22

V14n

------BE----xV2R

2=2=VI

DE22

故EP7BE?-BP?=；,CQ=《BC?_802=],故加=面爐_(CQ—EP'=立，

22

由余弦定理可得cosNBPQ=BP；；；需。=；，

因此，二面角B—OE-C的余弦值為g.

9.(2020?江蘇)如圖，四邊形PCBM是直角梯形，/PCB=90°,PM〃BC,PM=l,BC=2aAC=l,ZACB=120°,

AB1PC,直線AM與直線PC所成的角為60。.

(1)求證：PC±AC；

(2)求二面角M-AC-B的余弦值;

(3)求點B到平面MAC的距離.

【答案】(1)詳見解析；(2)零；(3)呼

【詳解】

方法1：(1)證明：PCLBC,PCVAB,二產(chǎn)。，平面ABC,APCVAC.

(2)取8c的中點N,連MN.'：PMJN,：*MN"C.：.MNL平南ABC.

作NH_LAC,交PC的延長線于E,連接AM.

由三垂線定理得NE1MH,：.NMHN為二面角M-AC-B的平面角.

???直線AM與直線PC所成的角為60°，

...在R/A4MN中，ZAMN=60°.

在A4CN中，AN=7AC2+CN2-2AC'CN-COS1200;?

在MA4MN中，MN=AN?cot/AMN=J^cot60°