2020年新高考數(shù)題型詳解：5 .1 合情推理和演繹推理

5.1合情推理和演繹推理

思維導(dǎo)圖

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分

析、比較、

定義、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它

一^們統(tǒng)稱

1為合情推理.通俗地說，合情推理就是合乎情理的推理

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全

歸納定義4部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一

推理,'般結(jié)論的推理,稱為歸納推理（簡稱歸納）_______________

―/特點下由部分到整體，由個別到一般的推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已

類比定義4知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推

mu￡—理__________________________________________________

特點工由特殊到特殊的推理

定義三從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理

特點由一般到特殊的推理

大前提已知的一般原理jM是P

三段論J小前提工所歷究的特殊情況工S是M

結(jié)論根據(jù)一股原理,對特殊情況做出的判斷,S是巳

題型講解

題型一歸納推理

【例1T】（2O2O?全國高三專題練習）觀察下列各式:a+b=1.a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b-7,a5+b5=ll,則a10+b10=

（）

A.28B.76C.123D.199

【答案】C

【解析】由題觀察可發(fā)現(xiàn)，

3+4=7,4+7=11,7+11=18,

11+18=29,18+29=47,

29+47=76,47+76=123,

即*+加=123,

故選C.

【例1-2］（2例0?全國高三專題練習）已知數(shù)列｛a｝中，囪=1,〃22時，2=為一1+2〃-1,依次計算4,曲,d

后，猜想為的表達式是()

A.8=3〃-1B.4=4〃-3

C.an=rfD.4=3"一|

【答案】C

【解析】5i=l,a2=4,&=9,國=16,猜想&故選:C

【例1-3】(2020?全國高三專題練習)已知整數(shù)對的序列為(1』)，(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),

(1,4),(2,3),((3,2)),(4,1),(1,5),(2,4),…，則第70個數(shù)對是()

A.(3,10)B.(4,9)C.(5,8)D.(6,7)

【答案】B

【解析】(1,1),兩數(shù)的和為2,共1個，

(1,2),(2,1),兩數(shù)的和為3,共2個,

(1,3),(2,2),(3,1),兩數(shù)的和為4,共3個，

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),兩數(shù)的和為5,共4個

(1,n),(2,n-1),(3,n-2),—(n,1),兩數(shù)的和為n+1,共n個

V1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66,

,第70對數(shù)是兩個數(shù)的和為13的數(shù)對中,對應(yīng)的數(shù)對為(1,12),(2,11),(3,10),(4,9)-(12,1),

則第70對數(shù)為(4,9),故選B.

【例1-4](2019?江蘇高二期末)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他們研究

過圖(1)中的1,3,6,10,…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，所以將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中

的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù),則下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()

13610

圖(1)

14916

圖(2)

A.289B.1024

C.1225D.1378

【答案】C

【解析】記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛%｝,

則4=1,2=3=1+2,/=6=1+2+3,4=10=1+2+3+4,…，

n（n+\\

易得通項公式為g=1+2+3++〃=—」；

同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列｛2｝的通項公式為"=n2.

c49x50

將四個選項中的數(shù)字分別代入上述兩個通項公式，使得〃都為正整數(shù)的只有1225=352故選C.

2

【舉一反三】

1.（2020?全國高三專題練習）觀察下列各式：72=49,73=343,74=2401,……，則7238的末兩位數(shù)

字為（）

A.01B.43C.07D.49

【答案】D

【解析】根據(jù)題意得,7=49,7=343,7=2401,7=16807,76=117649,

7，=823543,7*=5764801,7M0353607-,

發(fā)現(xiàn)：7”一2的末兩位數(shù)字是49,7"1的末兩位數(shù)字是43,7伙的末兩位數(shù)字是01,7伙”的末兩位數(shù)字是

07,（k=l、2、3、4、…）,

；2018=504X4+2,

...7刈s的末兩位數(shù)字為49,

故選D.

點睛：要解答本題，一定要多列舉找到規(guī)律,不能只寫幾個就下結(jié)論,所以本題列舉了8個式子,這樣

總結(jié)的結(jié)論才更準確.

2.（2020?全國高三專題練習）如圖所示，是某小朋友在用火柴拼圖時呈現(xiàn)的圖形，其中第1個圖形用了3

根火柴,第2個圖形用了9根火柴,第3個圖形用了18根火柴，…，則第2018個圖形用的火柴根數(shù)為（）

A

△△△

△△△△△△

A.2014X2017B.2015X2016

C.3024X2018D.3027X2019

【答案】D

【解析】由題意，第1個圖形需要火柴的根數(shù)為3x1；

第2個圖形需要火柴的根數(shù)為3X（1+2）；

第3個圖形需要火柴的根數(shù)為3X（1+2+3）；

由此，可以推出第〃個圖形需要火柴的根數(shù)為3X（1+2+3++〃）.

所以第2018個圖形所需火柴的根數(shù)為3x（l+2+3++2018）=3x2018x（2018+1）

2

=3027x2019.

故選：D

3.（2020?全國高三專題練習）如圖，將平面直角坐標系的格點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）按如下規(guī)則標

上數(shù)字標簽：原點處標。，點（1,0）處標1,點（1,—1）處標2,點（0,—1）處標3,點（一1,—1）處標4,

點（一1,0）處標5,點（一1,1）處標6,點（0,1）處標7,……，以此類推，則標20192的格點的坐標為（）

A.（1010,1009）B.（1009,1008）

C.（2019,2018）D.（2018,2017）

【答案】A

【解析】點（1,0）處標1,即『；點（2D處標9,即32;點G2）處標25,即52;……，由此推斷點（〃+1,〃）處

標（2〃+1產(chǎn)，當2〃+1=2019時，〃=1009,

故標20192的格點的坐標為（1010,1009）

故選：A

4.（2020?廣東高三期末（文））一個蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飛出去找回了5個伙伴；第2天，6只蜜

蜂飛出去,各自找回了5個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第5天所有的蜜蜂都歸巢后,蜂巢中

一共有________只蜜蜂（）

A.46656B.7776C.216D.36

【答案】B

【解析】設(shè)第〃天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為根據(jù)題意得：

數(shù)列｛4｝成等比數(shù)列，它的首項為6,公比4=6,

所以｛4｝的通項公式：4=6?6"T=6",

到第5天,所有的蜜蜂都歸巢后，

蜂巢中一共有4=6,=7776只蜜蜂.

故選：B.

題型二類比推理

【例2-1]（2020?全國高三專題練習）二維空間中圓的一維測度（周長）/=2九丫,二維測度（面積）S=萬產(chǎn)；

三維空間中球的二維測度（表面積）S=47/，三維測度（體積）V=§4萬/.若四維空間中“超球”的三維測

度V=8?，，猜想其四維測度W=（）

A.2兀/B.3萬，C.44/D.6萬/

【答案】A

【解析】結(jié)合所給的測度定義可得：在同維空間中，〃+1維測度關(guān)于r求導(dǎo)可得〃維測度，

結(jié)合“超球”的三維測度\/=8萬/,可得其四維測度卬=2萬

本題選擇力選項.

【例2-2]（2020?全國高三專題練習）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少,

割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在

J2+J2+夜/中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值是這可以通過方程＞/不=》確定出來

1

x=2,類似地不難得到]+_J_=()

+1+

B.也T

A.-行-1

22

加+1

C.D.

22

【答案】c

=x(x>

1+!11±且豈=上且舍），故

【解析】令11一<,，即1+—二1即%2一x_1=0,解得X二

1+1^X22

1+1=11^

1+二一2

1+

故選：C

【例2-3】（2020?全國高三專題練習）如圖所示,橢圓中心在坐標原點，廠為左焦點，當FB_LAB時，其離

心率為避二1,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于

2

【答案】A

22

【解析】設(shè)“黃金雙曲線”的方程「―與=1（。>0,6>0）,則B（0,b）,F（-c,0）,A（a,0）.

aZr

在“黃金雙曲線”中，因為FB_LAB，所以FB?AB=O

乂FB=（c,。）,AB=（-a,b）,所以t）=ac.而爐,所以c-^=ac.

在等號兩邊同除以a,得一一1=e,解得e=叵*.（e=匕正舍去）

22

故選：A

【例2-4】（2020?全國高三專題練習）若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列勿=4+'"+-+""也為等差數(shù)列.類

n

比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列｛C,J是等比數(shù)列，且4,也是等比數(shù)列，則的表達式應(yīng)為（）

A.4平+。2

n

B.d“=J0.….

n

C.d“=『+$+i+c：

D.<=-c2-...-c?

【答案】D

【解析】數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則q+/+...+a“=叫+四"d,

...數(shù)列",="+-+...+見=4+=1］也為等差數(shù)列

正項數(shù)列｛C“｝是等比數(shù)列,設(shè)首項為。，公比為9,

則人Jq.q?????(:〃=q.qq...?qg/J-1=c、“q1

?',4,=*|勺?...?％=也“T=jq2

■.dn=#「c-..q是等比數(shù)列

故選：D.

【舉一反三】

1.(2020?全國高三專題練習(理))明代朱載埴創(chuàng)造了音樂學(xué)上極為重要的“等程律”.在創(chuàng)造律制的過

程中，他不僅給出了求解三項等比數(shù)列的等比中項的方法,還給出了求解四項等比數(shù)列的中間兩項的方

法.比如，若已知黃鐘、大呂、太簇、夾鐘四個音律值成等比數(shù)歹IJ,則有大呂=，黃鐘x太簇,

大呂=就黃鐘『x夾鐘，太簇=,黃鐘x(夾鐘丫.據(jù)此，可得正項等比數(shù)列｛風｝中，％=()

A..%B.C.加…D."小二七｝

【答案】C

【解析】因為三項等比數(shù)列的中項可由首項和末項表示，

四項等比數(shù)列的第2、第3項均可由首項和末項表示，

所以正項等比數(shù)列｛4｝中的4.可由首項％和末項an表示，

因為an=axq"'',所以4=""，

Z]、1—1/、"1

I\H(、〃一]n-kk-[I；-----—

所以=4_iL=q尸.“尸=聞”1?4,t?

kvJ)

故選：C.

2.(2019?遼寧高二期中)定義A*B,B*C,C*￡>,Q*A的運算分別對應(yīng)右圖中的(1),(2),(3),(4),

則圖中，a,6對應(yīng)的運算是()

日山①一

(?(2)(3)(4)

—

ab

A.B*D,A*CB.B*D,A*DC.B*C,A*DD.C*D,A*D

【答案】A

【解析】A*B,5*C都有5運算，而圖形都有正方形，故3運算對應(yīng)作正方形，A對應(yīng)作橫線，。對應(yīng)作豎線;

C*。,。*A都有。運算,而圖形都有圓，故D運算對應(yīng)作圓.所以。對應(yīng)的運算是B*D,b對應(yīng)的運算是

A*C,故選A.

3.(2016?上海師大附中高三)已知AHBC的三邊長為4c,內(nèi)切圓半徑為r,則△ABC的面積

S.8c=；?。+0+，)?類比這一結(jié)論有：若三棱錐A-BCZ)的四個面的面積分別為￡，52,S3,S,，內(nèi)

切球半徑為R,則三棱錐A-BCD的體積VA_BCD=.

【答案】

1/?(S,+S2+S3+S4)

【解析】連接內(nèi)切球球心與各切點，將三棱錐分割成四個小棱錐,它們的高都等于M底面分別為三棱錐的各

個面,它們的體積和等于原三棱錐的體積.即三棱錐體積九/?=LA<S+S+$+S).故答案為：?網(wǎng)S+S+S+S).

33

4(2020?全國高三專題練習)在等差數(shù)列｛a｝中，若公差為d且功=〃那么有a.+a“=a.+“,類比上述性質(zhì)，

寫出在等比數(shù)列｛aj中類似的性質(zhì)：

【答案】在等比數(shù)列｛a,｝中，若公比為q,且國=q,則a.-a尸

【解析】等差數(shù)列中兩項之和類比等比數(shù)列中兩項之積,故在等比數(shù)列中，類似的性質(zhì)是“在等比數(shù)列｛a｝

中，若公比為q,且&=q,則&?&=&+〃.”

故答案為：在等比數(shù)列｛4｝中，若公比為q,且句=g,則&?a=&+〃

Y

5.（2020?全國高三專題練習）若點R（的,H）在橢圓二+=1（a>6>0）外，過點片作該橢圓的兩條切

線,切點分別為人2則切點弦AN所在直線的方程為￥+理=1.那么對于雙曲線1

a2b2a2b2

（a>0,力0）,類似地,可以得到一個正確的切點弦方程為.

【答案】警—浮=1

a~b~

2

【解析】若點耳（蜀,外）在雙曲線二_zI（a>0,力0）夕卜,過點代作該雙曲線的兩條切線,切點分別為

a~

凡2,則切點弦產(chǎn)/所在直線的方程為警-羋=1.

a-b

故答案為：苦=i

ab-

6.（2020?全國高三專題練習）在平面上,設(shè)A,,尿瓦是△?1比三條邊上的高,？為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)

三邊的距離分別為幾幾兒我們可以得到結(jié)論：2+2+M=L把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論

也hhhc

為.

空+%+△+空=1

【答案】

%%hchd

【解析】設(shè)居尿瓦，加分別是三棱錐/一靦四個面上的高，?為三棱錐力一6切內(nèi)任一點,"到相應(yīng)四個面的

乙+空+”+以1

距離分別為P?PMPc,P,?于是可以得出結(jié)論:

hahbheW

故攵室力空+”+空+空=i

%%,hchd

題型三演繹推理

【例37】22.（2019?吉林延邊二中高二期中（理））下面幾種推理是演繹推理的個數(shù)是（）

①兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.如果/A與/B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么/A+/B=180°；

②猜想數(shù)列1,3,5,7,9,11,…的通項公式為%=2〃-1；

③由正三角形的性質(zhì)得出正四面體的性質(zhì)：

④半徑為，的圓的面積S=7ir2,則單位圓的面積S=7l.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】解：對于①是演繹推理,大前提是“兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，”，小前提是與N6是兩條

平行直線的同旁內(nèi)角”，結(jié)論是“N/+/8=180?！保?/p>

對于②是由特殊到一般,是歸納推理；

對于③“正三角形的性質(zhì)得出正四面體的性質(zhì)”是類比推理；

對于④是演繹推理,大前提是“半徑為「的圓的面積5=萬產(chǎn)”，小前提是“單位圓”，結(jié)論是“單位圓的面積

S=""；故選B

【例3-2］（2020?牡丹江市第三高級中學(xué)高二期末（理））余弦函數(shù)是偶函數(shù)，/（X）=COS（X+1）是余弦函

數(shù)，因此〃X）=COS（X+1）是偶函數(shù)，以上推理（）

A.結(jié)論正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.全不正確

【答案】C

【解析】大前提：余弦函數(shù)是偶函數(shù),正確；

小前提：/（x）=cos（x+l）是余弦函數(shù)，因為該函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，故錯誤；

結(jié)論：/（%）=&?（%+1）是偶函數(shù),因為該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤；

因此以上推理形式中小前提不正確.

故選：C

【例3-3】把下列推斷寫成三段論的形式：

（1）因為△ABC三邊的長依次為5,12,13,所以八鉆。是直角三角形；

（2）函數(shù)y=_%+i的圖象是一條直線；

（3）y=tanx（xeR）是周期函數(shù).

【答案】（1）見解析：（2）見解析；（3）見解析

【解析】（1）一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形,.......大前提

A5C三邊的長依次為5,12,13,而5?+12?=132,............................小前提

ABC是直角三角形...............................................................結(jié)論

（2）一次函數(shù)y="+b（ZwO）的圖象是一條直線，...................................大前提

函數(shù)y=-x+l是一次函數(shù)，........................................................小前提

函數(shù)y=-x+l的圖象是一條直線...................................................結(jié)論

（3）三角函數(shù)是周期函數(shù)，..........................................................大前提

>=tanx（xeR）是三角函數(shù)，........................................................小前提

y=tanr（xeR）是周期函數(shù).........................................................結(jié)論

【舉一反三】

1.（2019?全國高二專題練習（理））下面幾種推理過程是演繹推理的是（）

A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補：如果NA和ZB是兩條直線平行的同旁內(nèi)角，則NA+ZB=18O°.

B.由平面三角形的性質(zhì),推測空間四面體的性質(zhì).

C.某校高二共有10個班，1班有51人,2班有53人,3班有52人，由此推測各班都超過50人.

D.在數(shù)列｛q｝中，6=1,。“+」一）,（〃22）,由知外,用推測｛4｝的通項公式.

'an-\

【答案】A

【解析】A選項是演繹推理,大前提是“兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，”，小前提是“NA與/B是兩條平

行直線的同旁內(nèi)角”，結(jié)論是“NA+NB=180°”

B選項“由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì)”是類比推理；

C選項：某校高二共有10個班，1班有51人,2班有53人,3班有52人，由此推測各班都超過50人,是歸

納推理；D選項中，在數(shù)列｛an｝中,通過計算由此歸納出｛%｝的通項公式,是歸納推理.

綜上得,A選項正確

2（2018-山西省陽高縣第一中學(xué)校高二月考（文））利用導(dǎo)數(shù)和三段論證明：函數(shù)/（外=-/+2%在（-

8,1）上是增函數(shù)。（必須用三段論，否則。分）

【答案】見解析

【解析】如果函數(shù)“X）在其定義域上，有了'（X）20,那么函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)。

因為函數(shù)/（月=-/+2%在（-°°,1）上

有八x）=—2x+2,

當*€（-00,1）時/'（%）>0,

所以函數(shù)/（X）=T2+2X在（-8,1）上是增函數(shù)。

3（2018?全國高二課時練習（文））把下列演繹推理寫成三段論的形式.

（1）在標準大氣壓下,水的沸點是100℃,所以在標準大氣壓下把水加熱到100℃時,水會沸騰;

（2）一切奇數(shù)都不能被2整除，（2?0+1）是奇數(shù)，所以（22°+1）不能被2整除；

（3）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y=cose是三角函數(shù)，因此y=cosa是周期函數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）在標準大氣壓下,水的沸點是100℃,............大前提

在標準大氣壓下把水加熱到100℃,...........................小前提

水會沸騰...................................................結(jié)論

（2）一切奇數(shù)都不能被2整除，.............................大前提

Q2°+1）是奇數(shù)，.........................................小前提

02°+1）不能被2整除....................................結(jié)論

（3）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，...............................大前提

y=cosa是三角函數(shù),.....................................小前提

y=cosc是周期函數(shù)......................................結(jié)論

運用四綜合運用

【例4】（2020?黑龍江哈爾濱三中高三期末（文））“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀

年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、

申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按照干支順序

相配,構(gòu)成了“干支紀年法”，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、

甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥,60為一個周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.按照“干支紀年法”，中華人民

共和國成立的那年為己丑年，則2013年為（）

A.甲巳年B.壬辰年C.癸巳年D.辛卯年

【答案】C

【解析】到2013年中華人民共和國成立65年，1949年為己丑年，

根據(jù)60年為一周期,2013年為癸巳年.故選:C

【舉一反三】

1.（2019?福建省福州第一中學(xué)高二期中（文））“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法，甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支

紀年法,其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，

共得到60個組成,周而復(fù)始,循環(huán)記錄,2014年是“干支紀年法”中的甲午年,那么2020年是“干支紀年法”

中的（）

A.乙亥年B.戊戌年C.庚子年D.辛丑年

【答案】C

【解析】2015年是“干支紀年法”中的乙未年,2016年是“干支紀年法”中的丙申年，

那么2017年是“干支紀年法”中的丁酉年,2018是戊戌年,2019年是己亥年，以此類推記得到2020年是庚

子年.故答案為C.

2.（2020?全國高三專題練習）某學(xué)校計劃周一到周四的藝術(shù)節(jié)上展演《雷雨》、《茶館》、《天籟》、《馬蹄

聲碎》四部話劇，每天一部，受多種因素影響，話劇《雷雨》不能再周一和周四演，《茶館》不能在周一和周

三演，《天籟》不能在周三和周四演，《馬蹄聲碎》不能在周一和周四演，那么下列說法正確的是（）.

A.《雷雨》只能在周二上演B.《茶館》可能在周二或者周四上演

C.周三可能上演《雷雨》或《馬蹄聲碎》D.四部話劇都可能在周二上演

【答案】C

【解析】由題目可知，周一上演《天籟》，周四上演《茶館》，周三可能上演《雷雨》或《馬蹄聲碎》，故選

C.

強化練習

1.（2019?陜西高二期末（理））由“，＜2,”得出：“若。＞。＞0且加＞o,則

233547aa+m

這個推導(dǎo)過程使用的方法是（）

A.數(shù)學(xué)歸納法B.演繹推理C.類比推理D.歸納推理

【答案】D

【解析】根據(jù)部分成立的事實,推斷出一個整體性的結(jié)論,這種推理是歸納推理中的不完全歸納法,所以選D.

2.（2020?全國高三專題練習）平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f（n）個區(qū)域，則f（n）的表達式為（）

2

A.n+1B.2nC.-“-2-+--”--+--D.n2+n+1

2

【答案】C

【解析】

1條直線將平面分成1+1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個區(qū)域；3條直線最多可將平

面分成1+(1+2+3)=7個區(qū)域；……,n條宜線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+如D=

2

〃一+〃+2個區(qū)域，選c.

2

3.(2019?全國高三專題練習(理))部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個數(shù)學(xué)意義上分形的

生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木

的融合,數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義.如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915

年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形,具體作法是取一個實心三角形,沿三角形的三邊中點連線,將

它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形.

▲▲

▲▲▲▲▲▲

▲▲

▲▲▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

圖①圖②圖③圖④

若在圖④中隨機選取一點，則此點取自陰影部分的概率為(

37

D.

64

【答案】c

【解析】依題意可得：圖①中陰影部分的面積等于大三角形的面積,

3

圖②中陰影部分的面積是大三角形面積的一，

4

9

圖③中陰影部分的面積是大三角形面積的三，

歸納可得，圖④中陰影部分的面積是大三角形面積的不，

64

27

所以根據(jù)兒何概型的概率公式可得在圖④中隨機選取一點，則此點取自陰影部分的概率為一.故選:C

64

4.(2019?全國高三期中(文))謝爾賓斯基三角形(Sierpinskitriangle)是一種分形幾何圖形，由波蘭

數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構(gòu)造方法是:

(1)取一個實心的等邊三角形(圖1);

(2)沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；

(3)挖去中間的那一個小三角形(圖2)；

(4)對其余三個小三角形重復(fù)(1)(2)(3)(4)(圖3).

制作出來的圖形如圖4,….

【答案】C

13

【解析】設(shè)圖1的面積為“，圖2被挖去的面積占圖1面積的;，則圖2陰影部分的面枳為:。，同理圖3被

44

挖去的面積占圖2面積的：，所以圖3陰影部分的面枳為a,按此規(guī)律圖1、圖2、圖3…的面積組成等

3/3丫3

比數(shù)列：a,三a,-a，公比為一.由已知圖1（陰影部分）的面積為1,則圖4（陰影部分）的

4⑷⑷4

27

面積為丁，故選：C.

64

5.（2020?全國高三專題練習）下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）

222

A.設(shè)數(shù)列｛a?｝的前n項和為s?,由a?=2n-1,求出Si=1,s2=2,ss=3：…推斷s?=n

B.由/（X）=Xcosx,滿足f（-X）=-/（X）5ftVxGR都成立,推斷/（X）=XCOSX為奇函數(shù).

C.由圓x：+J：=/的面積s=TIF推斷：橢圓二+L=1（a>b>0）的面積s=nab

a*5*

D.由（1+1）2>2'，（2+1）2>22,（3+1）2>2\…，推斷對一切正整數(shù)n,（n+l）2>2"

【答案】A

【解析】

【詳解】根據(jù)歸納推理的特點：由部分到整體，由個別到一般.初步判斷5C選項錯誤；刀中當”=6時，

（6+1）2<26,顯然錯誤.故選A.

6.（2020?全國高三專題練習）自主招生聯(lián)盟成行于2009年清華大學(xué)等五校聯(lián)考，主要包括“北約”聯(lián)盟,

“華約”聯(lián)盟，“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟.在調(diào)查某高中學(xué)校高三學(xué)生自主招生報考的情況，得到如下

結(jié)果：

①報考“北約”聯(lián)盟的學(xué)生，都沒報考“華約”聯(lián)盟②報考“華約”聯(lián)盟的學(xué)生,也報考了“京派”聯(lián)盟③

報考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生,都沒報考“京派”聯(lián)盟④不報考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生,就報考“華約”聯(lián)盟

根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.沒有同時報考“華約”和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生B.報考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣多

C.報考“北約”聯(lián)盟的考生也報考了“卓越”聯(lián)盟D.報考“京派”聯(lián)盟的考生也報考了“北約”

聯(lián)盟

【答案】D

【解析】設(shè)報考“北約”聯(lián)盟，“華約”聯(lián)盟，“京派”聯(lián)盟和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生分別為集合A,B,C,D,則

由題意,ACB=0,B￡C,DnC=0,CuD=B,

.,.AcI）,B=C,CuD=B,

選項A,BAD=0,正確；

選項B,B=C,正確;

選項C.AcI）,正確，

故選：D.

7.（2019-山西高二月考（理））下面幾種推理過程是演繹推理的是（）

A.某校高三有8個班，1班有51人,2班有53人,3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人

B.由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)

C.平行四邊形的對角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對角線互相平分

D.在數(shù)列｛《,｝中，=1,??=-an-\+~~，可得出=1，%=1,由此歸納出｛4｝的通項公式4,=1

an-\

【答案】C

【解析】VA中是從特殊一一般的推理,均屬于歸納推理,是合情推理；B中，由平面三角形的性質(zhì),推測空間

四面體的性質(zhì)，是由特殊一特殊的推理,為類比推理,屬于合情推理；

C為三段論,是從一般一特殊的推理,是演繹推理；D為不完全巾納推理,屬于合情推理.

故選：C.

8.（2019?河北高二期末（文））下列推理不屬于合情推理的是（）

A.由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電，得出一切金屬都能導(dǎo)電；

B.半徑為r的圓面積S=萬/，則單位圓面積為S=兀;

C.由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì)；

I）.猜想數(shù)列2,4,8,…的通項公式為%=2",〃eN*.

【答案】B

【解析】對于選項A,由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電，得出一切金屬都能導(dǎo)電.是歸納推理，所以屬于

合情推理,所以該選項是合情推理；

對于選項B,半徑為r的圓面枳S=乃/，則單位圓面積為S=%.屬于演繹推理,不是合情推理；對于選項

C,由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì)，屬于類比推理,所以是合情推理；

對于選項D,猜想數(shù)列2,4,8,…的通項公式為4=2"."eN+,是歸納推理,所以是合情推理.故選B

9.（2019?通榆縣第一中學(xué)高二月考（文））下列表述正確的是（）

①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；

③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.

A.??③B.②③④C.①③⑤D.②④⑤；

【答案】C

【解析】所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理.故①對②錯；

乂所謂演繹推理是由一般到特殊的推理.故③對；

類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理.故④錯⑤對.故

選C.

10.（2019?湖北高二期中（文））下面幾種推理過程是演繹推理的是（）

A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果NA和NB是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則NA+NB=180°

B.由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)

C.某校高二共有10個班，1班有51人,2班有53人,三班有52人，由此推測各班都超過50人

D.在數(shù)列｛4｝中，％=1,4=1（%-1+—）（?22）,計算%、內(nèi)、%，由此推測通項4

2an-\

【答案】A

【解析】A為三段論,屬演繹推理；B為類比推理；C為歸納推理；D為歸納推理,所以選A.

11.（2020?全國高三專題練習）中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫

子算經(jīng)》中記載的算籌.古代用算籌來進行計算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行計算,算籌的擺

放形式有橫縱兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排

列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示,十位、千位、十萬位用橫式表示，以

此類推.例如4266用算籌表示就是三||_L丁，則8771用算籌可表示為（）

123456789

IIIIIIIlliIIIIITTTUir^

一=三三手橫式

中國古代的算籌數(shù)碼

a-==i="ir?b,iric-="fr=!=id--nr_

【答案】c

【解析】由算籌含義得到8771用算籌可表示為iTil-故選a

12.（2019?重慶高二月考（理））命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無限循環(huán)

小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是（）

A.使用了歸納推理

B.使用了類比推理

C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤

D.使用了“三段論”，但小前提錯誤

【答案】C

【解析】大前提的形式：“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”，不是全稱命題，

?.?不符合三段論推理形式，，推理形式錯誤.故選：C.

13.（2019?瑪納斯縣第一中學(xué)高二期末（理））某西方國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜,參議員

先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”結(jié)論顯然是錯誤的,是因為（）

A.大前提錯誤B.推理形式錯誤C.小前提錯誤D.非以上錯誤

【答案】B

【解析】大前提：“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，

小前提：“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況,鵝與人不能進行類比，所以不符

合三段論的推理形式,可知推理形式錯誤.本題正確選項：B

14.（2019?江西南昌十中高二期末（理））觀察式子：1+1+皆+*<'|，1+/+"+最

則可歸納出式子1+5+"++*<（），括號內(nèi)填.

n

，4-.13.115,1117

【解析】觀察式子：1+齊＜/，1+合+學(xué)■＜§，1+齊+?+不＜］，…,

2n-1

由此可以猜想1H—7+r+—?<

2232n2n

證明：當“22時,

1

H---------

I22