2017年華東師大版九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)全冊教案(含教學(xué)反思)

二次根式

21.1二次根式

曾教學(xué)自標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意義解答具體題目.

2.理解JZ(a20)是非負(fù)數(shù)和(JZ)Ja.

3.理解〃了=2(a20)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

【過程與方法】

1.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

2.通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具

體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(JZ)2=a(a，0),最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

3.通過具體數(shù)據(jù)的解答,探究并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

【情感態(tài)度】好=「(心°)

(-a(a<0)

通過具體的數(shù)據(jù)體會(huì)從特殊到一般、分類的數(shù)學(xué)思想，理解二

次根式的概念及二次根式的有關(guān)性質(zhì).

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.形如JZ(a》0)的式子叫做二次根式.

2.4a(a》0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(JZ)Ja(a》0)及其運(yùn)用.

rp-_卜(心0)

3.I-a(a<0)

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用“JZ(a》0)”解決具體問題.

關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出

而_(a(a^0)

I-a(a<0)

;J教學(xué)國外

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

回顧：

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，JZ表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，JZ等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，JZ沒有意義.

【教學(xué)說明】通過對(duì)算術(shù)平方根的回顧引入二次根式的概念.

二、思考探究，獲取新知

概括：&(a^O)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，布(a>0)是一個(gè)非負(fù)

數(shù)，它的平方等于a.即有：

(1)-fa>0；(2)(y[a)'=&(a20).

形如JZ(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在JZ中，a的取值必須滿足a20,即二次根式的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

思考：必等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的必的值，看看有什么

規(guī)律.

概括：當(dāng)a20時(shí)，J/=a；當(dāng)a<0時(shí)，

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.x取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？

(1)有干；

x-2

(3)V(.r-3)2；(4)后二開+

2.計(jì)算下列各式的值:

(1)(V18)2(2)(;y)2

(3)(，)2(4)(35)2

3.若而FT+"T=0,求，嚴(yán)4+/嚴(yán)4的值.

4.化筒：

(1)。；(2)7(-4)2；

(3)5(4)“-3尸.

5.若-3WxW2時(shí)，試化簡I久-2I

+“久+3尸.

【答案】(2)xN-I且xN

2(3)全體實(shí)數(shù)(4)x=y

29

2.(1)18(2)|-(3)W(4)453.2

316

4.(1)3(2)4(3)5(4)35.5

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由老師總結(jié)歸納.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.師生共同回顧二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)：(1)(JZ)2=a(a>0)；(2)當(dāng)a20時(shí),

-a；當(dāng)aVO時(shí)，->fa^--a.

2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請與同伴交流.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識(shí)提煉和知識(shí)歸納.

；,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

本節(jié)課從復(fù)習(xí)算術(shù)平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計(jì)算，理解二次

根式的有關(guān)性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體驗(yàn)

教學(xué)活動(dòng)的方法.

二次根式的乘除法

1.二次根式的乘法

:,教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解G?血=肩（a》b,b20）,并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化筒.

【過程與方法】

由具體數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出&?血=而（a>O,b2O）并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

【情感態(tài)度】

通過探究五?北=疝（a2O,b2O）,培養(yǎng)特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事

物規(guī)律的觀察發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

4a?4b=4ab（a>O,b》O）,及它的運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出彼?孤=施（a'O,b》O）.

教學(xué)國土

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

1.填空：

（1）口X9=.

.4x9一三.............；.

（2）Mx后=,

V16x25=；

（3）7100x736=,

v100x36=.

參照上面的結(jié)果，用或“="填空.

口x?4西

V16x岳_______716x25.

7100X底7100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空.

乏x8B；

叵x5師

5xB廝

口x5圓.

【教學(xué)說明】由學(xué)生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出彼?加=而（a》O,b》O）.

二、思考探究，獲取新知

（學(xué)生活動(dòng)）讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

教師點(diǎn)評(píng)：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；（2）兩個(gè)二次根式的積等于這樣一個(gè)二次根式，它

的被開方數(shù)等于前兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)的積.

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

4a?Jb->[ab(a>0,b20).：

例1計(jì)算:

(1)5x7；

(3)Ox吊

解：（1）5x療=V55；

⑶。x歷=\行又力=;92x3=9瓦

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用公式

\[a?Jb-4ab(a20,b20).

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為15cm和12cm,那么此直角三角形斜邊長是（）

A.3-\/2cmB.3j^cmC.9cmD.27cm

2.化簡〃J-L的結(jié)果是（）

a

B.7

C.—V—aD.—而

3.等式7%-1,\!x+1='/久2-1成立一的條

件是（）

A.，三1B.xN-1

C.—D.x^l或NW-1

4.下列各等式成立的是（）

A.45x25:85

B.53x42=205

C.48x32=75

1).58x4正=20B

【答案】LB2.C3.A4.D

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由教師總結(jié)歸納.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.由學(xué)生小組討論匯報(bào)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請與

同伴交流.

2.教師總結(jié)歸納二次根式的乘法規(guī)定八?揚(yáng)=〃石（a^O.b^O）.

【教學(xué)說明】教師引發(fā)學(xué)習(xí)回顧知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識(shí)提煉和知識(shí)歸納.

,＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

這節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出6-四=疝（a20,b20）,

并學(xué)會(huì)它的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于事物規(guī)律的觀察、發(fā)現(xiàn)

能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

積的算術(shù)平方根

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.^M\[ab-y/a?Jb(a20,b20)；

2.isffly[ab-y/a?Jb(a》O,b》O).

【過程與方法】

利用逆向思維，得出施=&?新(a》O,b》O),并運(yùn)用它解題和化簡.

【情感態(tài)度】

讓學(xué)生推導(dǎo)=?后(a》O,b》O)以訓(xùn)練逆向思維，通過嚴(yán)謹(jǐn)解題，增強(qiáng)學(xué)生

準(zhǔn)確解題的能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

4ab-y[a?y/b(a20,b20)及其運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

4ab-4a(a20,b20)的理解與應(yīng)用.

:'教學(xué)國土

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為石?北=/常(a20,b20).反過來，

4ab=y[a?y[b(a>0,b20).

【教學(xué)說明】引導(dǎo)讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次根式的規(guī)定，利用逆向思維，得出

?4b(a》O,beO).

二、思考探究，獲取新知

例1化簡：

(I)XAT16；(2)V16x81；

(3)\/81x10()；(4)\M

解：(l)\^VT6=9X而=3X4=12；

(2)V16x8l=xMx聞=4x9=36；

(3)\/81x100=畫x7100=9x10

=90；

(4)\M=\/9x6=尺x6=3E

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生利用灰石=JZ?北(a》0,b》0)直接化簡即可.

例2判斷下列各式是否正確，不正確的請改正：

(1)7(-4)x(-9)=口x小;

(2)思義在'=4x備后

=4信x氏'=4尤=8H.

【教學(xué)說明】注意引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握積的算術(shù)平方根應(yīng)用的條件：a20,b20.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.化簡：(1)V20;(2)V18;(3)V24：(4)754.

2.自由落體的公式為s=^gt2(g為重力加速度，它的值為10m/s2),若物體下落的高度

2

為120m,則下落的時(shí)間是s.

【答案】1.(1)26(2)3J2(3)2J6

(4)3R2.2B

【教學(xué)說明】可由學(xué)生自主完成分組討論，小組代表匯報(bào)，再由老師總結(jié)歸納.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請與同伴交流.

2.教師總結(jié)歸納積的算術(shù)平方根等于各因式算術(shù)平方根的積，即

>fab=y[a?4b(a》O,b》O).

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識(shí)提煉和知識(shí)歸納.

：'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

章4教學(xué)反思

本課時(shí)教學(xué)以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，提供

學(xué)生創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學(xué)生提供一個(gè)交流合作的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究、

合作學(xué)習(xí)的能力，訓(xùn)練逆向思維，通過嚴(yán)謹(jǐn)解題，增加學(xué)生準(zhǔn)確解題的能力.

二次根式的除法

：,敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解小=

2(a>0,b>0)和(a>0,b>0),并運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算.

4b廠存

2.利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出

逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

3.理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【過程與方法】

1.先由具體數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,(a20,b>0),并用它進(jìn)行計(jì)算.

4a

2.再利用逆向思維,(a>0,b>0),并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡.

訪

3.理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【情感態(tài)度】

yfa

通過探究(a>0,b>0)培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的探究精神;讓學(xué)生推導(dǎo)

忑

(a^0,b>0)以訓(xùn)練逆向思維，通過嚴(yán)謹(jǐn)解題，增強(qiáng)學(xué)生準(zhǔn)確解題的能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

fa_4a

(a20,b>0),(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化

d廠而

簡.

2.最簡二次根式的運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.最簡二次根式的運(yùn)用.

教學(xué)畫旌

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們完成下列各題.

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向公式.

2.填空：

(/1)\J9-

\/yf6-

x/廊16

/2X口

\(/)二

畫

/3\

\|/)廊=

河

/4

\(:=

先

見

于

-二

16

36：

32

2\

二

-)一

(17zB

(3叫

也7

4JX

-Z一=

J3一5

行

J&4

.

5

?:

2

3一

7

7_

一

區(qū)

【教學(xué)說明】每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果，最后教師點(diǎn)評(píng).

二、思考探究，獲取新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)得很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我

們可以得到：

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定:

4a_[a

(a20,b>0)

4bVb

反過來,(a>0,b>0)

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.

例1計(jì)算:

3xq=23；

【教學(xué)說明】

\[a

直接利用

而(a>0,b>0)

例2化簡:

IT

(i)\M；(2)

64'

⑶匕(4)日

5臨

角翠：（I）=3氏

J3

(2)---?

64后8'

155

5一5x5-5；

(4}--6*2_B

MKx僅二爹.

觀察上面各小題的最后結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這些二次根式有這些特點(diǎn)：

（1）被開方數(shù)中不含分母；

（2）被開方數(shù)中所含的因數(shù)（或因式）的基的指數(shù)都小于2.

【教學(xué)說明】利用二次根式的乘法、除法規(guī)定來化簡，要求最后結(jié)果化成最簡二次根式.

三、運(yùn)用新知，深化理解

L化簡:

(2)-V172-132；

(4)77^,

2.已知；亍=寧，則〃的取值范圍

是

3.如圖，在RtZXABC中,NC=90°,AC=2.5cm,BO6cm,求AB的長.

A

C

【答案】1.⑴號(hào)(2)-2廊(3)

,6~3(4)3+22.0<aWl3.6.5cm

【教學(xué)說明】第1題可由學(xué)生自主完成，第2題、3題教師可給予相應(yīng)的指導(dǎo).

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

請若干學(xué)生口述小結(jié)，老師再利用電子課件將小結(jié)放映在屏幕上.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

本課時(shí)教學(xué)突出學(xué)生主體性原則，即通過探究學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，通過具體數(shù)據(jù)

得出規(guī)律，再讓學(xué)生相互交流，或上臺(tái)展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個(gè)人的體驗(yàn)，從中獲取成功

的體驗(yàn)后，激發(fā)學(xué)生探究的激情.

二次根式的加減法

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.掌握同類二次根式的概念，會(huì)判斷同類二次根式，會(huì)合并同類二次根式.

2.掌握二次根式加減乘除混合運(yùn)算的方法.

【過程與方法】

通過二次根式的加減法運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

【情感態(tài)度】

形成良好的思維習(xí)慣，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解

決問題.

【教學(xué)重點(diǎn)】

二次根式加減法的運(yùn)算.

【教學(xué)難點(diǎn)】

探討二次根式加減法的運(yùn)算方法，快速準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式加減法的運(yùn)算.

教學(xué)國旌

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

1.合并同類項(xiàng)：

(1)2x+3x；(2)2X-3X2+5X2.

解：⑴5x；(2)4x2.

這幾道題是你運(yùn)用什么知識(shí)做的？加減法則.

2.化簡：

(1)Jy;(2),48.

解：(1)*；(2)4區(qū)

3.如何進(jìn)行二次根式的加減計(jì)算?先化簡，再合并.

4.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次

根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.如2拒與30；

2冊、3冊與5冊.

二、思考探究，獲取新知

例1計(jì)算：

(1)2J2+32；

(2)2區(qū)-3區(qū)+5區(qū)；

(3)/7+2+3^9x7；

(4)3B-23+8.

解：(1)5。；(2)8優(yōu);(3)12d(4)2區(qū)

例2計(jì)算：

(1)2V12-64+3腐；

(2)("1+廊)+(5).

解：(1)14J3；(2)3回+5.

【教學(xué)說明】進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，必須先將其化簡，是同類二次根式才可合并.

例3計(jì)算:

(1)(條-5B)?6；

\I27

(2)(5+B)?(5。-28);

(3)(35+2))?(3后-2療)；

(4)(4+35產(chǎn)

解：(1)三4-152L；(2)19厲L;(3)17；

(4)61+245.

【教學(xué)說明】在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用.

三、運(yùn)用新知，深化理解.

1.下列計(jì)算是否正確？為什么？

⑴底-B二癡二T；

(2)R+9=v?+9；

(3)35-J2=2J2.

2.以卜二次根式：①注；②厄;③停；

④加7中，與8是同類二次根式的是()

A.①和②B.②和③

C.①和④1).③和④

3.計(jì)算：

(1)網(wǎng)-畫+5；

(2)+(廓-歷)；

17

(3)y(J2+3)-丁(2+歷)；

(4)3\M-9Jy+3V12.

4.已知％=8+1,y=]3-1，求下列各式的值

(1)x2+2xy+y2；(2)x2-y2.

【答案】1.解：(1)不正確，此式結(jié)果為2

區(qū)-鳳

(2)不正確，此式結(jié)果為5；(3)正確.

2.C

3.解：(1)35;

(2)10J2-38；

(3)_2_78.

-44'

(4)15B.

4.解：(1)12；(2)48.

【教學(xué)說明】這類計(jì)算的簡便方法是先變形，再代入求值.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

請學(xué)生分組討論，小組代表匯報(bào)，教師展示本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)要點(diǎn).

.＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.3”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

本節(jié)課通過復(fù)習(xí)整式的加減法合并同類項(xiàng)，引入二次根式的概念及二次根式的合并方

法，對(duì)法則的教學(xué)與整式的加減比較學(xué)習(xí)，在理解、掌握和運(yùn)用二次根式的加減法運(yùn)算法則

的學(xué)習(xí)過程中，滲透了分析、概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和興趣.

一元二次方程

22.1一元二次方程

敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax，bx+c=0(a

WO).

2.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的

過程中，使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具,增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).

【過程與方法】

通過解決實(shí)際問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，引入一元二次方程的概念，讓學(xué)生認(rèn)

識(shí)一元二次方程及其相關(guān)概念，提高學(xué)生利用方程思想解決實(shí)際問題的能力.

【情感態(tài)度】

通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

【教學(xué)重點(diǎn)】

判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根.

【教學(xué)難點(diǎn)】

由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根.

產(chǎn),教與亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長

方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程x(x+10)=900,整理可得

X2+10X-900=0.(1)

問題2學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩

年的年平均增長率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年

底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊，同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5

(1+x)?(1+x)=5(1+x)2萬冊.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得bx'+lOxN.2=0(2)

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生列出方程，解決問題.

二、思考探究，獲取新知

思考、討論

問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個(gè)方程都不是一元二次方

程.那么這兩個(gè)方程與一元二次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

共同特點(diǎn)：

(1)都是整式方程

(2)只含有一個(gè)未知數(shù)

(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2

【歸納總結(jié)】上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,

這樣的方程叫做一元二次方程.通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x、bx+c=O(a、b、c是已知數(shù),

a#0).其中ax?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng).

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

I1-x2=0(X)2(x2-1)=3〉

19

③2A2—3.x-1=0④-7-二=0

xx

(5)(久+3/=(久一3產(chǎn)(6)9%2=5-4x

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

［教學(xué)說明1(1)一元二次方程為整式方程；(2)類似⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)

系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

W：2x-13x+ll=0；2,-13,11.

【教學(xué)說明】將一元二次方程化成一般形式時(shí)，通常要將首項(xiàng)化負(fù)為正，化分為整.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及

常數(shù)項(xiàng).

(1)5X2-1=4X

(2)4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：⑴5x-4x-l=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0；4,0,-81

(3)4X2+8X-25=0；4,8,-25

(4)3x-7x+l=0：3,-7,1.

2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個(gè)長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平

方，求較短一段的長x.

解：⑴4x2=25；4x2-25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一個(gè)根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一個(gè)根.

3

/.4a+8-5=0解得：a=—.

4

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax、bx+c=0(a/0),一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)

一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.

3.在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必

要性和重要性.

.>課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

學(xué)習(xí)本課時(shí)，可讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)，小組之間充分交流后概括所得

結(jié)論，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一元二次方程的有關(guān)概念的認(rèn)識(shí)，掌握建模思想，利用一元二次方程

解決實(shí)際問題.

一元二次方程的解法

1.直接開平方法和因式分解法

敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.會(huì)用直接開平方法解形如a(x-k)2=b(ar0,ab>0)的方程.

2.靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程.

3.使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用.

【過程與方法】

創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，綜合運(yùn)用探究式、啟發(fā)式、活動(dòng)式等幾種方法進(jìn)行教學(xué).

【情感態(tài)度】

鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)的參與“教”與“學(xué)”的整個(gè)過程，激發(fā)求知的欲望，體驗(yàn)求知的成

功，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心.

【教學(xué)重點(diǎn)】

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

;J教學(xué)國外

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問：怎樣解方程(X+1)2=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xi=15,X2=-17

方法2：原方程可變形為：

(x+1)2-256=0,方程左邊分解因式，得(x+1+16)(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解x.=15,X2=-17

【教學(xué)說明】讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

二、思考探究，獲取新知

例1用直接開平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7;(2)y2+2y+l=24;(3)9n-24n+16=l1.

解:⑴一；

(2)-1±2后；

(3)4±3"

【教學(xué)說明】運(yùn)用開平方法解形如(x+m)(n20)的方程時(shí)，最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是

漏掉負(fù)根.

例2用因式分解法解下列方程:

(1)5x-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)=3x+15

4

解：(1)孫=0,*2=y

91

(2)勺=y,x2=-y

⑶=-5,x2=-2

【教學(xué)說明】解這里的(2)(3)題時(shí)，注意整體劃歸的思想.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用直接開平方法解下列方程

(1)3(x-1)2-6=0

(2)x"4x+4=5

(3)(x+5)2=25

(4)X2+2X+1=4

解：(1)町=1+J2,X2=1-J2

(2)/=2+5,町=2-5

(3)%[=0,、2=-1°

(4)孫=I,x2=-3

2.用因式分解法解下列方程：

(1)久2+%=0(2)x2-28T=0

(3)3x2-6x=-3(4)4.v2-121=0

(5)(X-4)2=(5-2%)2

解：(1=0,%2=-1

(2)町=0,x2=2B

⑶久i=、2=1

(5)%]=3,久2=1

3.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地

的半徑.

解：設(shè)小圓形場地的半徑為xm.

則可列方程2nxJn（x+5）2.

解得Xi=5+5JI,X2=5-5直（舍去）.

答：小圓形場地的半徑為（5+5J5）m.

【教學(xué)說明】可由學(xué)生自主完成例題，分小組展示結(jié)果，教師點(diǎn)評(píng).

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2.對(duì)于形如a（x-k）（aWO,b》O）的方程，只要把（x-k）看作一個(gè)整體，就可轉(zhuǎn)

化為x?=n（n20）的形式用直接開平方法解.

3.當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）時(shí)，切不可約去相同因式，而應(yīng)用因式分解

法解.

.＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學(xué)生小組討

論，歸納總結(jié)探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當(dāng)、熟練地運(yùn)用直接開平方法和因式分

解法，在整個(gè)教學(xué)過程中注意整體劃歸的思想.

2.配方法

敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程.

2.在配方法的應(yīng)用過程中體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能.

【過程與方法】

通過探索配方法的過程，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

【情感態(tài)度】

學(xué)生在獨(dú)立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法.

教學(xué)國程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m2,場地的長和寬分別是多少？

設(shè)場地的寬為xm,則長為(x+6)m,根據(jù)矩形面積為16m*12,34得到方程x(x+6)=16,整理

得至！Jx：'+6xT6=0.

【教學(xué)說明】創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性

和求知欲.

二、思考探究，獲取新知

探究如何解方程X2+6X-16=0?

問題1通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們現(xiàn)在會(huì)解什么樣的一元二次方程？舉例說明.

【教學(xué)說明】用問題喚起學(xué)生的回憶，明確我們現(xiàn)在會(huì)解的一元二次方程的特點(diǎn)：等號(hào)

左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，即(x+m):ri(n20),運(yùn)用直接開平方法

可求解.

問題2你會(huì)用直接開平方法解下列方程嗎？

(1)(x+3)J25

(2)X2+6X+9=25

(3)X2+6X=16

(4)X2+6X-16=0

【教學(xué)說明】教師啟發(fā)學(xué)生逆向思考問題的思維方式，將X2+6X-16=0轉(zhuǎn)化為(x+3)J25

的形式，從而求得方程的解.

解:移項(xiàng)得：x2+6x=16,

2

兩邊都加上9即()；使左邊配成x+bx+(b2)2的形式，得：

一2

X2+6X+9=16+9,

左邊寫成完全平方形式，得:

(x+3)2=25,開平方，得：x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程得：xi=2,X2=-8.

【歸納總結(jié)】將方程左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，從

而可以直接開平方求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

例1填空：

(1)X2+8X+16=(X+4)2

(2)x2-x+—=(x--)"

42

(3)4X2+4X+1=(2X+1)2

例2列方程：

(1)X2+6X+5=0(2)2X2+6X+2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

解：(1)(=-l,x2=-5

c5353

(2)%]=了一5,％2=~V

(3)町=5-242=-5—2

【教學(xué)說明】教師可讓學(xué)生自主完成例題，小組展示，教師點(diǎn)評(píng)歸納.

【歸納總結(jié)】利用配方法解方程應(yīng)該遵循的步驟：

(1)把方程化為一般形式ax2+bx+c=0；

(2)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

(3)方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；

(4)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

(5)此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方形式，然后利用直接開平方法來解.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用配方法解下列方程：

(1)2x-4x-8=0

(2)x-4x+2=0

21

(3)x-—x-l=0

2

2.如果x"-4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z的值.

【答案】1.(1).%=1+5,/=1-5

(2)町=2+2%2=2-優(yōu)

1V171V17

⑶町，+丁…了一丁

2.-3,二二一2,(…去

【教學(xué)說明】學(xué)生獨(dú)立解答，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.用配方法解一元二次方程的步驟.

2.用配方法解一元二次方程的注意事項(xiàng).

；'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

：,教學(xué)反思

本節(jié)課先創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入一元二次方程的解法，引導(dǎo)學(xué)生將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的

直接開平方法來解，從而探索出配方法的一般步驟，熟練運(yùn)用配方法來解一元二次方程.

公式法

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念.

2.會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

【過程與方法】

通過復(fù)習(xí)配方法解一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出求根公式，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特殊與

一般的關(guān)系.

【情感態(tài)度】

經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點(diǎn).

【教學(xué)重點(diǎn)】

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

用配方法解方程：(1)x?+3x+2=0(2)2x-3x+5=0

解：(1)xi=-l,X2=-2(2)無解

二、思考探究，獲取新知

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax、bx+c=O(aWO),你能否用上面配方法的步驟求

出它們的兩根？

問題已知ax?+bx+c=O(a￥0),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根

—/>+-4ac—I)——4ac

?V1:2；，占二五-

【分析】因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a(bǔ),b,c也當(dāng)成具體數(shù)字，根

據(jù)上面的解題步驟就可以推導(dǎo)下去.

探究一元二次方程ax、bx+c=O(a^O)的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此：

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax、bx+c=O,當(dāng)l?-4ac20時(shí)，

2

將a,b,c代入式子x=-b*'b-—4ac就得到方程的根,當(dāng)b-4ac<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.

2a

—b+Jb2—4〃，，

(2)、—空巴叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

2a

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

【教學(xué)說明】教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用配方法推出求根公式，體驗(yàn)獲取知識(shí)的過程，體會(huì)

成功的喜悅，可讓學(xué)生小組展示.

例1用公式法解下列方程：

①2X2-4XT=0②5X+2=3X?

③(x-2)(3x-5)=0④4x‘-3x+l=0

解：?xi=l+,x2=l-

22

@xi=2,x2=--

3

r5

③xi=2,\2--

④無解

【教學(xué)說明】(1)對(duì)②、③要先化成一般形式；(2)強(qiáng)調(diào)確定a,b,c的值，注意它們的

符號(hào)；(3)先計(jì)算b?-4ac的值，再代入公式.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

(1)X2+X-12=0

(2)x'-y/2x--=0

4

(3)X2+4X+8=2X+11

(4)x(x-4)=2-8x

(5)X2+2X=0

(6)X2+2Vsx+10=0

解:(1)Xi=3,X2=-4;

V2+V3V2-V3

(2)XF--------,X2=--------

22

(3)xi=l,X2=-3;

(4)XF-2+V6,X2--2-y/6；

(5)xi=0,X2=-2;

(6)無解.

【教學(xué)說明】用公式法解方程關(guān)健是要先將方程化為一般形式.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.求根公式的概念及其推導(dǎo)過程.

2.公式法的概念.

3.應(yīng)用公式法解一元二次方程.

廠,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

；,教學(xué)反思

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要求學(xué)生主動(dòng)參與，認(rèn)真思考，比較觀察，交流與表述，體驗(yàn)知識(shí)的獲

取的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用師生的雙邊活動(dòng)，適時(shí)調(diào)試，從而提高學(xué)習(xí)效率.

一元二次方程根的判別式

F,敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

i.能運(yùn)用根的判別式，判斷方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證；

2.會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍.

【過程與方法】

1.經(jīng)歷一元二次方程根的判別式的產(chǎn)生過程；

2.向?qū)W生滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想；

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力.

【情感態(tài)度】

1.體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美；

2.培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神和協(xié)作精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】

根的判別式的正確理解與運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

含字母系數(shù)的一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.

*教字亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

用公式法解下列一元二次方程

(1)X*12+35X+6=0

(2)9X2-6X+1=0

(3)x-2x+3=0

解：(1)Xi=-2,X2=-3

(2)XFX2=—

3

(3)無解

【教學(xué)說明】讓學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識(shí).

二、思考探究，獲取新知

觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn):在把系數(shù)代入求根公式之前，需先確定a,b,c的值，然后求

出b?-4ac的值，它能決定方程是否有解，我們把「Yac叫做一元二次方程根的判別式，通

常用符號(hào)“A”來表示，即A=b?-4ac.

我們回顧一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程發(fā)現(xiàn):

2

zb、2I)-4ac

(*+工廠4/

【歸納結(jié)論】(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-b+ylb2-4ac-b-yjb2—4ac

Z，M；

2a2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,Xi=xz=-2；

2a

(3)當(dāng)△<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

例1利用根的判別式判定下列方程的根的情況：

(l)2.r2-3.x-y=0；

(2)16?-24%+