2022-2023學年上海市青浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年上海市青浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設a,夕是兩個不同的平面，直線mua,則“對夕內(nèi)的任意直線I,都有機12”是“a10”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.某高級中學高一年級、高二年級、高三年級分別有學生1400名、1200名、1000名，為了

解學生的健康狀況，用分層隨機抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，若從高三

年級抽取25名學生，貝加為（）

A.75B.85C.90D.100

3.點4為橢圓攝+，=l（a>6>l）的右頂點，P為橢圓C上一點（不與力重合），若麗?

方=0（0是坐標原點），則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,1）B.存,1）C.（展1）D.（0,華

4.己知非常數(shù)數(shù)列｛5｝滿足廝+2=竺喘酶（neN,n>1,%。為非零常數(shù)）,若a+。40,

則（）

A.存在a,0,對任意的，a2,都有數(shù)列｛&J為等比數(shù)列

B.存在a,B，對任意a2,都有數(shù)列｛a"為等差數(shù)列

C.存在的,a2,對任意a,0,都有數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列

D.存在的,a2,對任意a,B，都有數(shù)列｛廝｝為等比數(shù)列

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.點（2,—1）到直線x—y+3=0的距離為.

6.已知一組數(shù)據(jù)8.6,8.9,9.1,9,6,9.7,9.8,9.9,10.2,10.6,10.8,11.2,11.7,則該

組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

7.在空間直角坐標系中。-孫z,點（1,-2,3）關(guān)于坐標平面yOz的對稱點的坐標為

8.（x+；）i。的二項展開式中一項的系數(shù)為.

9.已知正方形4BCD的邊長為4,若并=3而，則.麗的值為.

10.若雙曲線/一、=1（》>0）的一條漸近線與直線丫=2久一1平行，則。=.

11.在長方體ABC。—A/iG/中，AD=AA1=1,AB=2,點E為棱48的中點，則二面

角Di-EC-。的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

12.設等比數(shù)列｛斯｝的公比為2,前71項和為%,若S4=2s2+1,則.

13.有3男3女共6位高三同學在高考考場外合影留念.若從這6人中隨機選取2人拍雙人照，則

選中的2人恰為1男1女的概率是.

14.某校開展“全員導師制”.有2名導師可供5位學生選擇，若每位學生必須也只能選取一

名導師且每位導師最多只能被3位學生選擇，則不同的選擇方案共有種（用數(shù)字作答）.

15.如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正

四面體，余下的多面體稱作“阿基米德體”.若一個正四面體/、>一（?、

的棱長為12,則對應的“阿基米德體”的表面積為.\/

16.對于項數(shù)為10的數(shù)列｛即｝,若滿足1<\ai+1-

a"W2（其中i為正整數(shù)，i€[1,9]），且a1=a】。€設ke｛an|an>0｝,則k的最大值

為.

三、解答題（本大題共5小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題14.0分）

記立為等差數(shù)列｛%｝的前n項和，已知59=-&5.

（1）若=4,求｛an｝的通項公式；

（2）若的>0,求使得配>與的n的取值范圍.

18.（本小題14.0分）

已知圓錐的頂點為P,底面圓心為0,底面半徑為2.

（1）若圓錐的側(cè)面積為8m求圓錐的體積；

（2）設PO=4,點4、B在底面圓周上，且滿足乙4。8=90。，M是線段2B的中點，如圖.求直

線PM與平面POB所成的角的大小.

p.

19.(本小題14.0分)

已知，如圖是一張邊長為a的正方形硬紙板，先在它的四個角上裁去邊長為x的四個小正方形,

再折疊成無蓋紙盒.

(1)試把無蓋紙盒的容積U表示成裁去邊長久的函數(shù);

(2)當比取何值時，容積廠最大？最大值是多少？(紙板厚度忽略不計)

20.(本小題18.0分)

已知拋物線廠產(chǎn)=敘的焦點為入準線為

(1)若尸為雙曲線C：盤一2y2=i(a>0)的一個焦點，求雙曲線C的方程；

(2)設1與x軸的交點為E,點P在第一象限，且在「上，若圈=好，求直線EP的方程；

(3)經(jīng)過點F且斜率為k(k*0)的直線Y與T相交于4、B兩點，。為坐標原點，直線。力、OB分

別與I相交于點M、N.試探究：以線段MN為直徑的圓C是否過定點，若是，求出定點的坐標;

若不是，說明理由.

21.(本小題18.0分)

已知函數(shù)g(%)=ax2—(a+2)%,ft(%)=Inx,令f(%)=g(%)+/i(x).

(1)當a=l時，求函數(shù)y=g。)在第=1處的切線方程；

(2)當。為正數(shù)且1<%<e時，=-2,求a的最小值；

⑶若弋？出)>—2對一切0<X]<與都成立，求a的取值范圍.

X1x2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直與面面垂直定義可解.

本題考查線面垂直與面面垂直定義，屬于基礎題.

【解答】

解：根據(jù)題意，因為a,￡是兩個不同的平面，直線mua,若對￡內(nèi)的任意直線都有機1根

據(jù)線面垂直的定義可知m10,

znua,a1)3,

所以，“對s內(nèi)的任意直線I,都有"，〃,"0“a，S”；即充分性成立，

若a_L￡,因為mua,對0內(nèi)的任意直線/,zn與/的位置關(guān)系不確定，

所以，”對￡內(nèi)的任意直線2,“a1夕'今",即必要性不成立，

故“對0內(nèi)的任意直線/,都有m11”是“a10”的充分不必要條件，

故選：A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查分層隨機抽樣的比例分配，屬于基礎題.

根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

【解答】

解：由分層隨機抽樣的比例分配可露4。。;黑+］?！?。=個

即幽=生

3600n

得n=90,

故選：C.

3.【答案】B

【解析】解：???設P(%,y),

-PO-PA=0(。是坐標原點)，

,。一獷+V=?nc2%2—a3%+a2b2=0,

b2X2+a2y2-a2b2

=>(c2x—ab2)(x—a)=0

今x=a,x=哆

.ab2

n0<&Va,

???b2<c2.

c、C

???貝哈的取值范圍是(空,1).

a2

故選：B.

2

一―一+vy=—22322

設P(久,y),由萬■YA=0,可得4=>cx—ax+ab=0=>x=a,x

22

{bx+a2y2=a2b2'

0<4<a.即可求解.

CL

本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：由題意，得與+2=吧喘維=施即+1+品即.

令"施,則扁=1，

???a,0為非零常數(shù)且a+￡力0,

.?.31—t均為非零常數(shù)，

???常數(shù)two,且tW1.

故%+2=tan+1+(1-t)an.

兩邊同時減去％i+i，可得

an+2~an+l=tan+l~an+l+Q-0an=(七一l)(an+l一an)-

??,常數(shù)tW0，且tW1.

t—1W—1,且t—1H0.

aa=a2n-1

???n+l-n~1)5-n-l)=(t-l)(an_t-an_2)=…=(t-l)(a2-。1)?

???數(shù)列5｝是非常數(shù)數(shù)列，

???g—。0，

(Y

則當t—1=1,即t=2,即由=2,即a+20=0時，

an+l~an=an~an-l=an-l—an-2=…=02-?

此時數(shù)列｛廝｝很明顯是一個等差數(shù)列.

存在a,0,只要滿足a,。為非零，且a+2。=0時，對任意的，a2,都有數(shù)列｛%J為等差數(shù)列.

故選：B.

本題先將遞推式進行變形，然后令力=而，根據(jù)題意有常數(shù)two,且tW1.將遞推式通過換元法

簡化為%+2=力⑥1+1+(11.兩邊同時減去的1+1，可得冊+2-%i+l=(t-1)(。九+1-&l).根據(jù)

2

此時逐步遞推可得a九+1—CLn=(t—1)((1rl-dn-i)=(t—l)(czn-i—。九-2)=…=(t-

(X

l)nT(a2—根據(jù)題意有a2—a170,則當t—1=1,即t=2,即函函=2,即a+20=0時，

可得到數(shù)列｛廝｝是一個等差數(shù)列.由此可得正確選項.

本題主要考查遞推式的基本知識，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，換元法的應用，邏輯

思維能力和數(shù)學運算能力.本題屬中檔題.

5.［答案］3AT2

【解析】解：點(2,—1)到直線x-y+3=。的距離為d=導詈=3<7.

故答案為：3/攵.

由題意，利用點到直線的距離公式，計算求得結(jié)果.

本題主要考查點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題.

6.【答案】10.8

【解析】解：由題設知：數(shù)據(jù)共有12個，貝U12x0.8=9.6,即第80百分位數(shù)在第10位，

.?.第80百分位數(shù)是10.8.

故答案為：10.8.

根據(jù)題設及百分位數(shù)的求法，得到第80百分位數(shù)所在的位次，找到對應位次上的數(shù)，即為所求.

本題考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎題.

7.【答案】(—1,—2,3)

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于坐標平面yOz的對稱點的坐標的特點，可得點(1,-2,3)關(guān)于坐標平面yOz的對稱

點的坐標為(一1,一2,3),

故答案為：(-1,-2,3).

【解答】根據(jù)關(guān)于誰對稱誰不變這一結(jié)論直接寫結(jié)論即可.

本題考查空間向量的坐標的概念，考查空間點的對稱點的坐標的求法，屬于基礎題.

8.【答案】210

【解析】解：在(久+；)1°的二項展開式中，通項公式為T「+i=碼0-爐°一2,，

令10—2r=2,求得r=4,可得/項的系數(shù)為置。=210.

故答案為：210.

由題意，在二項展開式的通項公式中，令x的幕指數(shù)等于2,求得r的值，可得展開式中含/項的

系數(shù)的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎題.

9.【答案】6

【解析】解：如圖所示建立平面直角坐標系：

則4(0,4),8(0,0),C(4,0),D(4,4),

設P(x,y),則喬=(x,y),4=(4一心4一y)，

因為麗=34，

則麗=|BD,

4

則P(3,3),

所以兩=(-3,1),PF=(-3,-3)，

所以刀?~PB=(-3)x(-3)+1x(-3)=6.

故答案為：6.

先建立平面直角坐標系，求得點P的坐標，進而得到同，麗的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算求

解.

本題主要考查平面向量的坐標表示和數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

10.【答案】2

【解析】解：雙曲線廣―，=13>0),

則Q=1,

雙曲線/一，=>0)的一條漸近線與直線y=2x-1平行，

則2=人=2.

a

故答案為：2.

先求出a=l,再結(jié)合漸近線的定義，以及直線平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎題.

11.【答案】arctan號

【解析】解：由題意，過點。作DO1EC,垂足為E,連接

則ADE2為二面角％-EC-。的平面角

在△DEC中，DEXEC=2x1

???DE=7-2

在RMDEDi中，tanNDE￡?i=?

二二面角—EC—。的大小為arctan

故答案為arctan號

由題意，過點。作DO1EC,垂足為E,連接。1E,貝ikDEDi為二面角Di-EC-D的平面角，求DE

長，即可求得二面角的平面角.

本題以長方體為依托棉球二面角的平面角，關(guān)鍵是利用定義作出二面角的平面角，從而在三角形

中求解.

12.【答案嗎

【解析】解：由題意，可得S4=也#=15的，

S?=+。2=+2al=3a],

S4=2s2+1,

???15al=2?3al+1,

解得的=上，

14

???%=§?2o'2=》

故答案為：

先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式寫出S4與S2關(guān)于首項的的表達式，再代入題干已知條件列出關(guān)于首項

%的方程，解出的的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可計算出的的值.

本題主要考查等比數(shù)列的基本運算.考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比數(shù)列的通項公式與

求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬基礎題.

13.【答案】|

【解析】解：設選中的2人恰為1男1女為事件4

故P（a）=警4=1,

故答案為：

根據(jù)組合數(shù)公式結(jié)合古典概率公式即可得到答案.

本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎題.

14.【答案】20

【解析】解：有2名導師可供5位學生選擇，若每位學生必須也只能選取一名導師且每位導師最多

只能被3位學生選擇，

故可將學生分組為2,3,共有量程=10種，

再將分好的學生分配給2名導師，共犯=2種，

故不同的選擇方案共有10X2=20種.

故答案為：20.

根據(jù)題意可知，將學生分組為2,3,分好之后再對其進行分配，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理計算即可.

本題考查排列組合的應用，屬于基礎題.

15.【答案】112/3

【解析】解：正四面體的表面積為華x122x4=144，忑，

4

截去頂角所在的小正四面體以后，對應的“阿基米德體”的表面積為144「-4X2X厚X42=

4

112AT3.

故答案為：112小年.

先求出正四面體的表面積，由阿基米德體定義，分析減去的面積和增加的面積分別是多少，即可

得出結(jié)論.

本題考查多面體的表面積求法，屬基礎題.

16.【答案】8

【解析】解：因為1W|七+1-四|W2,

所以1W%+1—<2或—1>%+i—a；>—2,

設d=ai+1-a(￡[—2,-1]U[1,2],

則｛斯｝中相鄰兩項相差最大為2,要保證的=的06[-1,。]，則數(shù)列｛即｝中的項有增有減，

假如仇中有x個2,增量最大為2久，則有9-x項是減少的，

則必有念e[1,2],所以久6[3,4.5],解得x=3或4,

取x=4,出取最大值0,按最大連續(xù)增量8計算，有口5=%+8,

即｛廝｝中有最大值為=8，

即k的最大值為8.

故答案為：8.

由已知根據(jù)數(shù)列的增減性計算即可.

本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列最值項的求解中的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，等差數(shù)列｛廝｝中，設其公差為d,

若S9=—a5,貝況=S+；9)x9_9a§=—a5,

可得as=0,即的+4d=0,

若=4,則d="#=-2,

則+(九—3)d——2.71+10；

(2)若S九>an,則幾的+Dd>a-t+(n—l)d,

當九=1時，不等式成立，

當九之2時，有當之d-Q「變形可得(荏一2)d之一2a3

又由(1)得的+4d=0,即d=-y,

則有(九一2)等之一2%,

又由的>0,則有n<10,

則有2WnW10,

綜合可得：lWnWl(kaneN*.

【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項和公式，涉及數(shù)列與不等式的綜合應用.

(ai+9)X9

(1)根據(jù)題意，等差數(shù)列｛an｝中，設其公差為d,由S9=-。5,即可得59=；=9a5=-a5,

可得a5=0,結(jié)合。3=4,計算可得d的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式計算可得答案；

71

(2)若%>an,貝1仇％_+(7)d4-(n-l)d,分n=1與n>2兩種情況討論，求出n的取值

范圍，綜合即可得答案.

18.【答案】解：(1)因為圓錐的底面半徑為2,側(cè)面積為兀x2/=8?r,「本

所以圓錐母線長為1=4,

所以圓錐的高為％=742-22=2^3,//：?\\

圓錐的體積為^=**22*2q=殍兀；/\

(2)取。8的中點N,連接PN和MN,如圖所示：B

因為PO=4,P。！平面2。8,MNc^^AOB,所以P。1MN,A

又因為乙4OB=90。，所以4。1OB,

又因為M是線段4B的中點，N是。B的中點，所以MN〃AO,所以MN10B,

又因為P。C08=。，所以MN1平面POB,

所以NMPN是直線PM與平面POB所成的角，

-MPV=MN=11

Rt4MPN中,TANZY7NI=717,

J4Z2+12Z

所以Z_MPN=arctan

17

即直線PM與平面P08所成的角是arctan/.

17

【解析】(1)求出圓錐的母線長和高，再計算圓錐的體積.

(2)取B。的中點N,連接MN、PN,證明MN_L平面POB,乙MPN是直線PM與平面POB所成的角.由

此求出直線PM與平面POB所成角的大小.

本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與體積計算問題，也考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角計算問題，

是中檔題.

19.【答案】解：(1)由題意可知，正方體的底面的長與寬都為a-2x,高為x,

則U(久)=K(a—2x)2,%e(0,|)；

(2)由⑴可知，7(%)=x(a-2x)2,x6

則『(x)=(a-2x)2-4x(a-2x)=(a—2%)(a—6x),

當xe(o,$時，V'(x)>o,即VO)在(0*)上單調(diào)遞增，

當久e(靚)時,V'(X)<0,即。(X)在(猊)上單調(diào)遞減,

故心)在久建取得極大值，也為最大值，最大值為飛)=梟3

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合體積的公式，即可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，并利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

本題主要考查函數(shù)的實際應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

(2乂與x軸的交點為E(-l,0),設點P(x,y)。>0),

???點「在『上’盟=9,

y2=4%

.?-％+l_=C,%>0,解得％=1,y=2,

J(x+l)2+y22

???E(l,2),

?,?直線EP的方程為：y-0=何(、+1),化為：x—y+1=0.

—1—12

(3)設8(%2①)，

直線Y的方程為：y=/c(%—l),(fc0),

聯(lián)立—D,化為：ky2-4y-4k=0,

4

■■■yi+y2=pyiy2=-4，

直線oa的方程為：丫=部=打，可得M(—i,一白)，

X1Z1Z1

直線。B的方程為：y=,x，可得N(—1,—/

二線段MN的中點c(—l,W),

_2__A=-2(力+力)=2

yiy-i一巧巧一覺

2

???C(-l.p.

2

其半徑靜T竺電器嚴M+4.

???以線段MN為直徑的圓C方程為：(x+l)2+(y—，=5+4,化為Q+l)2+y2—N=0,

令y=0,則x=-3,或1.

???以線段MN為直徑的圓C過定點(一3,0),或(1,0).

【解析】由拋物線「y2=4%,可得焦點尸(1,0),準線/：x=—1.

(1)由F為雙曲線C：胃—2必=1Q>0)的一個焦點，可得c=Ja2+-=解得a，即可得出

雙曲線C的離心率e.

(2乂與無軸的交點為E(-1,0),設點P(x,y)。>0),根據(jù)點P在「上，罌=苧，可得

I產(chǎn)七IN

y2=4x

%+1―士,x>0,解得％,y,進而得出直線E尸的方程.

J(x+l)2+y22

(3)設A(%i，yi),5(%2，y2)，直線，'的方程為：y=k(x—1),(fcH0),與拋物線方程聯(lián)立化為：ky2—

4y—4k=0,可得根與系數(shù)的關(guān)系，直線。4的方程為：y=^x=^x,可得M坐標，直線。8的

九1>1

4

方程為：y=-x,可得N坐標，可得線段MN的中點C,進而得出以線段MN