專題15 難點探究專題：線段上的動點問題壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題15難點探究專題：線段上的動點問題壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一線段上動點線段和差問題】 1【考點二線段上動點定值問題】 6【考點三線段上動點求時間問題】 9【過關(guān)檢測】 13【典型例題】【考點一線段上動點線段和差問題】例題：（2022秋·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B在直線l上，且AB＝18cm，點C是AB的中點．(1)若點P是直線l上的動點，且PB＝5cm，則CP＝cm；(2)若點Q是AB的延長線上一點，點M、N分別是AQ、BQ的中點，求線段MN的長．【答案】(1)14或4(2)9cm【分析】（1）分點P在點B的左邊和點P在點B的右邊，兩種情況計算即可；（2）首先畫出圖形，再根據(jù)線段中點的定義計算．【詳解】（1）解：∵AB＝18cm，點C是AB的中點，∴CB＝AB＝9cm，當(dāng)點P在點B的左邊時，CP＝CB﹣PB＝9﹣5＝4（cm），當(dāng)點P在點B的右邊時，CP＝CB+PB＝9+5＝14（cm），故CP＝14cm或4cm．故答案為：14或4；（2）解：如圖，∵M(jìn)為AQ的中點，N為BQ的中點，∴MQ＝AQ，NQ＝BQ，∴MN＝AQ﹣BQ＝AB＝9cm．【點睛】本題考查兩點間的距離，線段的和差關(guān)系，熟練掌握線段中點的定義與線段的和差是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒．(1)解決問題：①當(dāng)時，寫出數(shù)軸上點B，P所表示的數(shù)；②若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，問點P運(yùn)動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)探索問題：若M為AQ的中點，N為BP的中點．當(dāng)點P在A，B兩點之間運(yùn)動時，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關(guān)系（寫出過程）．【答案】(1)①點B表示-4，點P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，過程見解析【分析】（1）①根據(jù)已知可得B點表示的數(shù)為8-12；點P表示的數(shù)為8-3t；②點P運(yùn)動x秒時，與Q相距2個單位長度，則AP=3x，BQ=2x，根據(jù)AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根據(jù)點P在點A、B兩點之間運(yùn)動，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵點A表示的數(shù)為8，B在A點左邊，AB=12，∴點B表示的數(shù)是8-12=-4，∵動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，∴點P表示的數(shù)是8-3×1=5．②設(shè)點P運(yùn)動x秒時，與Q相距3個單位長度，則AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴點P運(yùn)動1.8秒或3秒時與點Q相距3個單位長度．（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右側(cè)時有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左側(cè)時有：2MN-PQ=12．【點睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，用到的知識點是數(shù)軸上兩點之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況進(jìn)行討論．2．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知，點C、D分別為線段、上的動點，若點C從點O出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動，同時點D從點B出發(fā)以的速度沿方向運(yùn)動．

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動時間為時，求的值；(2)如圖1，若在運(yùn)動過程中，始終保持，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使，點P是直線OB上一點，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根據(jù)，求出，，最后求出結(jié)果即可；（2）設(shè)運(yùn)動時間為，則，，求出，，根據(jù)，得出，求出，再根據(jù)求出結(jié)果即可；（3）當(dāng)點P在O、B之間時，根據(jù)，得出，，求出，根據(jù)求出，根據(jù)，得出，求出，最后求出比值即可；當(dāng)點P在點B右邊時，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動時間為時，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：設(shè)運(yùn)動時間為，則，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴點P在點O右邊，當(dāng)點P在O、B之間時，∴，∵，∴，∴，∴．

當(dāng)點P在點B右邊時，∵，，∴，∴；綜上，或．【點睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．【考點二線段上動點定值問題】例題：（2023秋·河南南陽·七年級南陽市實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運(yùn)動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點是的中點，點是的中點，，；（2）線段的長度不發(fā)生變化．點是的中點，點是的中點，，．【點睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，中點的含義；熟練掌握線段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．

(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想MN的長度嗎？請在備用圖中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖及理由見解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)、N分別是的中點，∴，∴∴線段的長為．（2）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖:

∵M(jìn)、N分別是的中點，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點的計算，明確題意、準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線段，點為上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若點恰好是中點，則____________；(2)若，求的長；(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)“”，請說明不論取何值（不超過），的長不變．【答案】(1)6(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，點為的中點，．點、分別是和的中點，，．故答案為：6；（2）解：，，．點、分別是和的中點，，，；（3）解：設(shè)，則，點、分別是和的中點，∴，，不論取何值（不超過），的長不變；【點睛】本題考查了線段中點的性質(zhì)，線段和差的計算，掌握線段中點的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點三線段上動點求時間問題】例題：（2023秋·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點，，，點P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動，終點為B；點Q同時從點B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動，終點為A，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點重合時，求t的值；(2)是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)滿足條件的值為4或7或【分析】（1）根據(jù)相遇時間=路程和速度和，列出方程計算即可求解；（2）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；【詳解】（1）由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時，，解得：；（2）由題意可得：，∴①當(dāng)點C是線段的中點時，，解得：；②當(dāng)點P是線段的中點時，，解得：③當(dāng)點Q是線段的中點時，，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段中點的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺漏【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為，點B對應(yīng)的有理數(shù)為8．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（）．(1)當(dāng)時，的長為______，點P表示的有理數(shù)為______；(2)若點P為的中點，則點P對應(yīng)的有理數(shù)為______；(3)當(dāng)時，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)當(dāng)時，t的值為4或6【分析】（1）根據(jù)路程速度時間進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點中點公式進(jìn)行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分點P在點B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用線段的和差關(guān)系求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，∴點P表示的數(shù)為，故答案為：6，4；（2）解：∵點P為的中點，點A對應(yīng)的有理數(shù)為，點B對應(yīng)的有理數(shù)為8，∴點P對應(yīng)的有理數(shù)為，故答案為：3；（3）解：∵，∴當(dāng)時，則，①當(dāng)點P在點B左邊時，∵，∴，∴；②當(dāng)點P在點B右邊時，∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)時，t的值為4或6．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，線段的和差計算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知線段AB，按下列要求完成畫圖和計算：（1）延長線段AB到點C，使BC＝3AB（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，如果點D為線段BC的中點，且AB＝2，求線段AD的長度；（3）在以上的條件下，若點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，到點C時停止．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒，是否存在某時刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出時間t：若不存在，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）時間t為2．【分析】（1）延長線段AB到點C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的條件下，如果點D為線段BC的中點，且AB＝2，即可求線段AD的長度；（3）在以上的條件下，若點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，到點C時停止．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒，是否存在某時刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出時間t．【詳解】解：（1）如圖所示：延長線段AB到點C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵點D為線段BC的中點，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：線段AD的長度為5；（3）點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，到點C時停止．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒，則PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：時間t為2．【點睛】本題考查作圖－基本作圖、兩點間的距離，掌握尺規(guī)作圖的方法和各線段之間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·重慶梁平·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點是線段上的一個動點，點分別是和的中點．則的長為（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【答案】D【分析】由點分別是和的中點可得，再由進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：點分別是和的中點，，，故選：D．【點睛】本題主要考查了與線段中點有關(guān)的計算，線段的和差，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，C為射線AB上一點，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)PB＝BQ時，t＝12，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)AC比BC的多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當(dāng)P與Q重合時，此時t=30s，當(dāng)P到達(dá)B時，此時t=15s，最后分情況討論點P與Q的位置．【詳解】解：設(shè)BC＝x，∴AC＝x+5∵AC+BC＝AB∴x+x+5＝30，解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，當(dāng)0≤t≤15時，此時點P在線段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M(jìn)是BP的中點∴MB＝BP＝15﹣t∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當(dāng)15＜t≤30時，此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當(dāng)t＞30時，此時點P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，綜上所述，AB＝4NQ，故②正確，當(dāng)0＜t≤15，PB＝BQ時，此時點P在線段AB上，∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝t，∴t＝12，當(dāng)15＜t≤30，PB＝BQ時，此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，當(dāng)t＞30時，此時點P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，不符合t＞30，綜上所述，當(dāng)PB＝BQ時，t＝12或20，故③錯誤；故選：C．【點睛】本題考查兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是求出P到達(dá)B點時的時間，以及點P與Q重合時的時間，涉及分類討論的思想．二、填空題3．（2023秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）已知點M是線段上一點，若，點N是直線上的一動點，且，則．【答案】1或【分析】分兩種情況：當(dāng)點N在線段上，當(dāng)點N在線段的延長線上，然后分別進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點N在線段上，如圖：

，，，，，，；當(dāng)點N在線段的延長線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，分兩種情況進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·四川綿陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點，，在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為，1，9．它們分別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左做勻速運(yùn)動，設(shè)同時運(yùn)動的時間為秒．若，，三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點，則的值為．【答案】1或4或16．【分析】當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-t+1，點C在效軸上對應(yīng)的數(shù)為-4t+9，然后分三種情況：點B為線段AC的中點、點C為線段AB的中點及點A為線段CB的中點，找出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，點A始終在點B的左側(cè)，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-t+1，點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-4t+9，當(dāng)點B為線段AC的中點時，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；當(dāng)點C為線段AB的中點時，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；當(dāng)點A為線段CB的中點時，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t=16.故答案為：1或4或16．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2023秋·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段，點為線段上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若，求的長；(2)若為的中點，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說明，不論點在線段上如何運(yùn)動，只要不與點和重合，那么的長不變．【答案】(1)(2)(3)說明見解析【分析】（1）首先根據(jù)線段的和差關(guān)系求出，然后根據(jù)線段中點的概念求出，，進(jìn)而求和可解；（2）根據(jù)線段中點的概念求解即可；（3）根據(jù)線段中點的概念求解即可．【詳解】（1）因為，所以．因為點是的中點．所以，因為點是的中點．所以，所以；（2）∵為的中點，∴∵點是的中點∴；（3）因為點是的中點．所以因為點是的中點．所以，所以，所以，的長不變．【點睛】此題考查了線段的和差計算，線段中點的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023秋·湖北武漢·七年級校考期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點，已知，點M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)向點C運(yùn)動．當(dāng)其中一動點到達(dá)C點時，M、N同時停止運(yùn)動．已知點M的速度為每秒2個單位長度，點N速度為每秒1個單位長度，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長度為________；(2)當(dāng)t為何值時，M、N兩點重合?(3)若點Р為中點，點Q為中點．問：是否存在時間t，使長度為5?若存在，請說明理由．【答案】(1)2t(2)20(3)30或50【分析】（1）由點M的速度為2即可得出答案；（2）根據(jù)題意可得出，當(dāng)M、N兩點重合時，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可；（3）根據(jù)題意可得：，，且．由此可求出．再根據(jù)或，即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可．【詳解】（1）∵點M的速度為每秒2個單位長度，∴．故答案為：；（2）根據(jù)題意可知．當(dāng)M、N兩點重合時，有，解得：．故t為20時，M、N兩點重合；（3）根據(jù)題意可得：，，且．∴．∴或，即或解得：或．故存在時間t，使長度為5，此時t的值為30或50．【點睛】本題考查與線段有關(guān)的動點問題，線段的和與差，與線段中點有關(guān)的計算以及解一元一次方程的實際應(yīng)用．根據(jù)題意找到線段間的數(shù)量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．7．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點在線段上，，，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運(yùn)動；同時，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運(yùn)動．當(dāng)點到達(dá)終點時，點也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點的運(yùn)動時間為秒．(1)線段的長為______．(2)當(dāng)點與點相遇時，求的值．(3)當(dāng)點與點之間的距離為個單位長度時，求的值．(4)當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)或時，點與點之間的距離為個單位長度(4)【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）依題意，，根據(jù)點與點相遇時，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分別列出方程，解方程即可求解；（4）分點在線段上和線段上，分別討論，列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點在線段上，，，∴，故答案為：．（2）解：依題意，，當(dāng)點與點相遇時，解得：；（3）解：相遇前點與點之間的距離為個單位長度時，，解得：，相遇前點與點之間的距離為個單位長度時，則，解得：，綜上所述，當(dāng)或時，點與點之間的距離為個單位長度；（4）∵，當(dāng)在線段上時，，此時，∵，∴，解得：（舍去）當(dāng)在線段上時，，此時，∵，∴，解得：，∴【點睛】本題考查了線段的和差計算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河北唐山·七年級?？计谀┤鐖D，是線段上一動點，沿以的速度往返運(yùn)動次，是線段的中點，，設(shè)點的運(yùn)動時間為秒（）．(1)當(dāng)時，①；②求線段的長度；(2)用含的代數(shù)式表示運(yùn)動過程中的長；(3)當(dāng)時，求的值；(4)在運(yùn)動過程中，若的中點為，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請說明理由．【答案】(1)①；②(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，(3)或(4)不變，【分析】（1）①根據(jù)即可得出結(jié)論；②先求出的長，再根據(jù)是線段的中點即可得出的長；（2）分兩種情況進(jìn)行討論即可；（3）根據(jù)時間＝路程÷速度計算即可；（4）根據(jù)中點定義即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵是線段上一動點，沿以的速度往返運(yùn)動，∴當(dāng)時，．故答案為：；②∵，，∴，∵是線段的中點，∴．∴線段的長度為．（2）∵是線段上一動點，沿以的速度往返運(yùn)動，當(dāng)點從點出發(fā)到點時，，∴當(dāng)點沿點運(yùn)動時，這時：，；當(dāng)點沿點運(yùn)動時，這時：，；（3）當(dāng)點沿點運(yùn)動時，（），∴，又∵，∴，解得：，當(dāng)點沿點運(yùn)動時，（），∴，又∵，∴，解得：，綜上所述，當(dāng)時，求的值為或；（4）不變．∵的中點為，是線段的中點，，∴，，∴，即：的長為．【點睛】本題考查兩點間的距離，線段的和與差，中點的定義，一元一次方程的應(yīng)用，本題運(yùn)用了分類討論的方法．利用線段中點的定義及線段的和差得出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．9．（2021秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動（點在點的左側(cè)，點在點的左側(cè)），若．（1）求線段，的長；（2）若點，分別為線段，的中點，，求線段的長；（3）當(dāng)運(yùn)動到某一時刻時，點與點重合，點是線段的延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個并加以說明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正確，，見解析【分析】（1）利用兩個非負(fù)數(shù)和為0，可得每個非負(fù)數(shù)為0，可求，即可；（2）分類考慮當(dāng)點在點的右側(cè)和點在點的左側(cè)時，利用中點可求AM，DN，利用線段和差求AD，可求MN=AD