專題32 與圓有關(guān)的位置關(guān)系【十六大題型】（舉一反三）（原卷）

專題32與圓有關(guān)的位置關(guān)系【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系】 5【題型2直線與圓的位置關(guān)系】 6【題型3求平移到與直線相切時圓心坐標(biāo)或運(yùn)動距離】 7【題型4根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求交點(diǎn)個數(shù)】 8【題型5判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件】 9【題型6利用切線的性質(zhì)求值】 11【題型7證明某條直線是圓的切線】 12【題型8利用切線的性質(zhì)定理證明】 14【題型9切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】 15【題型10作圓的切線】 17【題型11應(yīng)用切線長定理求解或證明】 18【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】 20【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標(biāo)】 20【題型14由三角形的內(nèi)切圓求值】 22【題型15與三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用】 23【題型16三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合】 25【知識點(diǎn)與圓有關(guān)的位置關(guān)系】1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r。性質(zhì)：不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。定義：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心。2.直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有兩個公共點(diǎn)時，我們說這條直線和圓相交。這條直線叫做圓的割線。直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個點(diǎn)叫做切點(diǎn)。直線和圓沒有公共點(diǎn)時，我們說這條直線和圓相離。設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離d，則有：直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心?！绢}型1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系】【例1】（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）

A．點(diǎn)B，C均在圓P外 B．點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外 D．點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)【變式1-1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，r為半徑作⊙A，若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在⊙A內(nèi)，則⊙A的半徑r的取值范圍是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)P不與圓心O重合），點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程ax2-12ax-20=0的兩個實(shí)數(shù)根，則⊙O【變式1-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則PD的最小值為（

）A．45 B．1 C．75 D【題型2直線與圓的位置關(guān)系】【例2】（2023·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M為圓心，r為半徑作⊙M，⊙M與線段AC有交點(diǎn)時，則r的取值范圍是．【變式2-1】（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定點(diǎn)，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．點(diǎn)P是BC上一個動點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是【變式2-2】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，線段BC=16cm，過點(diǎn)B在線段BC的上方作射線BA，且tan∠ABC=43，動點(diǎn)O從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA以1cm/s的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)O，Q都停止運(yùn)動．以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的半圓與線段BC交于點(diǎn)D，與射線BA交于點(diǎn)P．連接PQ(1)求BD的長（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時，線段PQ與半圓O相切？(3)若半圓O與線段PQ只有一個公共點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．【變式2-3】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知矩形ABCD，AD>AB

圖1

圖2(1)如圖1，若點(diǎn)B，D在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，AB=OB，求證：AD=2AB；(2)如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，若點(diǎn)D，點(diǎn)C關(guān)于直線EF對稱的點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)P，判斷直線DP與過A，E，【題型3求平移到與相切時圓心坐標(biāo)或運(yùn)動距離】【例3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=-34x-3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個單位長度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線ABA．-73,0 B．C．-37,0 D．【變式3-1】（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(-3,0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．

【變式3-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式3-3】（2023·北京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2．對于直線l和線段BC，給出如下定義：若將線段BC關(guān)于直線l對稱，可以得到⊙O的弦B'C'(B'，C'分別是B，C的對應(yīng)點(diǎn))，則稱線段BC是以直線l為軸的⊙O的“關(guān)聯(lián)線段”．例如，圖1中線段BC是以直線l為軸的⊙O

(1)如圖2，點(diǎn)B1，C1，B2，C2，①在線段B1C1，B2C2，B3C3中，以直線l1：②在線段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直線l2：(2)已知直線l3：y=-3x+mm>0交x軸于點(diǎn)A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若線段BC是以直線l3為軸的⊙O的“【題型4根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求交點(diǎn)個數(shù)】【例4】（2023·河北滄州·?？既＃╊}目：“如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以點(diǎn)B為圓心的⊙B的半徑為r，若對于r的一個值，⊙B與AC只有一個交點(diǎn)，求r的取值范圍．”對于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的對 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【變式4-1】（2023·湖南·中考真題）已知⊙O的直徑等于12cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的交點(diǎn)個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【變式4-2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.點(diǎn)O為對角線AC上一點(diǎn)（不與A重合），⊙O是以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓.當(dāng)⊙O與矩形各邊的交點(diǎn)個數(shù)為5個時，半徑OA的范圍是.【變式4-3】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P與OB、AB均相切，點(diǎn)P是線段AC與拋物線y=ax2的交點(diǎn)，則a的值為（A．4 B．92 C．112 D【題型5判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件】【例5】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，下列說法不正確的是（

）A．若DE=DO，則DE是⊙O的切線 B．若AB=AC，則DE是⊙O的切線C．若CD=DB，則DE是⊙O的切線 D．若DE是⊙O的切線，則AB=AC【變式5-1】（2023·天津西青·模擬預(yù)測）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為．【變式5-2】（2023·吉林·一模）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．（1）如圖1所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是________________．（2）如圖2所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．【變式5-3】（2023·貴州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，要使DE是⊙O的切線，還需補(bǔ)充一個條件，則補(bǔ)充的條件不正確的是（）A．DE=DO B．AB=ACC．CD=DB D．AC∥OD【題型6利用切線的性質(zhì)求值】【例6】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B．若△ABC∽△CBO，則sin∠ACB=

【變式6-1】（2023·海南三亞·統(tǒng)考二模）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，若∠ACB=32°，則∠P的度數(shù)為．【變式6-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，E是⊙O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作⊙O的切線EC,C為切點(diǎn)，D是⊙O上一點(diǎn)（在直徑AB的下方）．若∠AEC=50°，則∠ADC的度數(shù)為．【變式6-3】（2023·廣東汕頭·汕頭市第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，△ABC內(nèi)接于⊙O．AB是直徑，過點(diǎn)A作直線MN，且MN是⊙O的切線．(1)求證：∠MAC=∠ABC．(2)設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．①求證：FD=FG．②若BC=3，AB=5，試求AE的長．【題型7證明某條直線是圓的切線】【例7】（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）如圖，直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)若AC=5，∠E=30°，求CD的長．【變式7-1】（2023·江蘇淮安·?？寄M預(yù)測）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn)，連接BP并延長，交直線l于點(diǎn)C，使得AB=AC．(1)判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；(2)PC=26，OA=4，【變式7-2】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，且BC=DC，BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC的延長線上，BE=BF．(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)若EF=6,cos①求BF的長；②求⊙O的半徑．【變式7-3】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是劣弧BD上一點(diǎn)，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE與BD交于點(diǎn)F．(1)求證：PA是⊙O的切線；(2)若tan∠DAE=22，求(3)延長DE，AB交于點(diǎn)C，若OB=BC，求⊙O的半徑．【題型8利用切線的性質(zhì)定理證明】【例8】（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AB=2，C為圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作圓的切線，分別與過A，B兩點(diǎn)的切線交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)求CP?CQ的值；(2)如圖2，連接PB，AQ交于點(diǎn)M，證明直線【變式8-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考一模）如圖，PA,PB是⊙O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，連接AO并延長，與PB的延長線相交于點(diǎn)C，連接PO，交⊙O于點(diǎn)D，連接DB．

(1)求證：∠APO=∠BPO；（用兩種證法解答）(2)若DP=DB，試探究PB與PD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出并證明你的結(jié)論．【變式8-2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，圓O中內(nèi)接△ABC，過點(diǎn)A作圓O的切線l，作直線CD使得∠ACD=∠B，并交AB于E．(1)證明：CD∥l；(2)若CE=CA=2EA=2，求ED的值；(3)證明：BC【變式8-3】（2023·河南許昌·統(tǒng)考二模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，書中以23個定義、5個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個定義和465個命題．其中，命題4．2的內(nèi)容是：給定一個三角形，可作圓內(nèi)接相似三角形．小冉想嘗試對這個命題進(jìn)行證明，于是根據(jù)書中命題的內(nèi)容及圖形的畫法寫出了已知和求證：已知：如圖1，△ABC為已知三角形，如圖2，HG是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，∠EDH=∠B，∠FDG=∠C．求證：△DEF～△ACB．小冉在圖2的基礎(chǔ)上，添加了輔助線；如圖3，連接并延長DO，交⊙O于點(diǎn)P，連接PE，PF．(1)請在小冉所添輔助線的基礎(chǔ)上，求證：△DEF～△ACB；(2)若AB=AC=5，BC=8，EF=16，求⊙O的半徑．【題型9切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】【例9】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=13，AD=6．點(diǎn)E是CD上的動點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G．(1)當(dāng)E是CD的中點(diǎn)時：tan∠EAB的值為(2)在（1）的條件下，證明：FG是⊙O的切線；(3)試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時BE的長；若不能，請說明理由．【變式9-1】（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┪覀儗W(xué)習(xí)過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的．人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具-三分角器．圖1是它的示意圖，其中AB與半圓O的直徑BC在同一直線上，且AB的長度與半圓的半徑相等，DB與AC垂直與點(diǎn)B，DB足夠長．

使用方法如圖2所示，若要把∠MEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使DB經(jīng)過∠MEN的頂點(diǎn)E，點(diǎn)A落在邊EM上，半圓O與另一邊EN恰好相切，則EB，EO就把∠MEN三等分了．為了說明這一方法的正確性，需要對其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，點(diǎn)A，B，O，C在同一直線上，EB⊥AC，垂足為點(diǎn)B，．求證：．【變式9-2】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD=CB，BE切⊙O于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CF⊥OE交BE于點(diǎn)F，若EF=2BF．

(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)M，使∠MCN=60°，連接MN．請問：三條線段MN，【變式9-3】（2023·浙江杭州·?？级＃┲喝鐖D1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是⊙O的半徑OB的延長線上一點(diǎn)，將ΔABC翻折得到△ABC'，AC'

(1)求證：BC(2)若AC與⊙O相切．①如圖2，點(diǎn)C'落在⊙O上，求sin②如圖3，若OA=10，AB=12，求△BDC【題型10作圓的切線】【例10】（2023·江蘇南京·一模）過⊙O上一點(diǎn)A，可以用尺規(guī)按以下方法作出⊙O的切線；①另取⊙O上一點(diǎn)B，以B為圓心，AB為半徑作圓，將⊙B與⊙O的另一個交點(diǎn)記為點(diǎn)C；②以A為圓心，AC為半徑作弧，將⊙A與⊙B的另一個交點(diǎn)記為點(diǎn)D，作直線AD．直線AD即為⊙O的切線．如圖，小明已經(jīng)完成了作圖步驟①．(1)用尺規(guī)完成作圖步驟②；(2)連接AC，AB，BC，BD，求證：AB平分∠CAD(3)求證：直線AD為⊙O的切線．【變式10-1】（2023·福建福州·統(tǒng)考三模）如圖，已知⊙O及圓外一點(diǎn)P，請你利用尺規(guī)作⊙的切線PA．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【變式10-2】（2023·湖北·校聯(lián)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交CA于D點(diǎn)，O是BC上一點(diǎn)，經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的⊙O分別交BC、BA于點(diǎn)E、F(1)用尺規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：CA與⊙O相切：(3)當(dāng)BD=23，∠ABD=30°時，求劣弧BD【變式10-3】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠BPD=120°，點(diǎn)A、C分別在射線PB、PD上，∠PAC=30°，AC=23（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段PA、PC圍成的封閉圖形的面積．【題型11應(yīng)用切線長定理求解或證明】【例11】（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝45，以AB為直徑作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x個單位，得到⊙O′，A'B'為直徑AB(1)當(dāng)x＝0，且M為⊙O上一點(diǎn)時，求DM的最大值；(2)當(dāng)B′與C重合時，設(shè)⊙O′與CD相交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N到AB的距離；(3)當(dāng)⊙O′與CD相切時，直接寫出x的值．【變式11-1】（2023·山東威海·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的直徑AB=12，AM，BN是⊙O的兩條切線，DC切⊙O于E，交BN于C，設(shè)AD=x，BC=y．(1)求證：AB(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若x，y是方程2x2-30x+a=0【變式11-2】（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，AD是⊙O的直徑，P是⊙O外一點(diǎn)，連接PO交⊙O于點(diǎn)C，PB，PD分別切⊙O于點(diǎn)B，D，連接AB，AC．（1）求證：AB//OP；（2）連接PA，若PA=22，tan∠BAD=2，求【變式11-3】（2023·廣東中山·統(tǒng)考三模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=2，C為圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作圓的切線，分別與過A，B兩點(diǎn)的切線交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)求CP?CQ的值；(2)如圖，連接PB，AQ交于點(diǎn)M，證明直線MC⊥AB．

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】【例12】（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）下列說法：（1）三個點(diǎn)確定一個圓；（2）相等的圓心角所對的弦相等；（3）同弧或等弧所對的圓周角相等；（4）三角形的外心到三角形三條邊的距離相等；（5）外心在三角形的一邊上的三角形是直角三角形；其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式12-1】（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【變式12-2】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）當(dāng)一個三角形的內(nèi)心與外心重合時，這個三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式12-3】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標(biāo)】【例13】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點(diǎn)D．

(1)求證：∠BAC=2∠ABD；(2)若AD:DC=2:3，BC=27時，求⊙O【變式13-1】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半徑；（2）求AD的長．【變式13-2】（2023·浙江溫州·校考一模）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1)利用網(wǎng)格確定△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為______；(2)作出△ABC的外接圓；(3)利用直尺作出∠ACB的角平分線．【變式13-3】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1)以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2:1，在y軸的左側(cè)畫出△ABC放大后的△A(2)在（1）中，若點(diǎn)Mm,n為線段BC上任一點(diǎn)，寫出變化后點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M'的坐標(biāo)(3)直接寫出△A1B1C【題型14由三角形的內(nèi)切圓求值】【例14】（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過點(diǎn)M3,1，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB，若⊙O1是△ABO的內(nèi)切圓，⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2【變式14-1】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）作圖題：如圖，在矩形ABCD中，已知AD=10，AB=6，(1)用直尺和圓規(guī)在AD上找一點(diǎn)E，使EC平分∠BED，（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求△CDE內(nèi)切圓半徑r的值．【變式14-2】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在RtΔABC中，∠A=90°，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且CD?BC=AC?CE，以E為圓心，DE長為半徑作圓，⊙E經(jīng)過點(diǎn)B，與AB，BC分別交于點(diǎn)F，G（1）求證：AC是⊙E的切線；（2）若AF=4，CG=5，求⊙E的半徑；（3）在（2）的條件下，若RtΔABC的內(nèi)切圓圓心為I，直接寫出IE【變式14-3】（2014·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，(1)求⊙O的半徑；(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B沿邊BA向點(diǎn)A以點(diǎn)1cm/s的速度勻速運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心，PB長為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts，若⊙P與⊙O相切，求t的值．【題型15與三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用】【例15】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：（1）如圖（1），有一塊三角形材料△ABC，準(zhǔn)備裁剪成一個面積最大的圓形，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，求裁剪出的最大圓形面積．（2）如圖（2），市