2022年河北省唐山市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2022年河北省唐山市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題（含答案）

學(xué)校:________班級：________姓名:_________考號:_________

一、單選題（30題）

1.

函數(shù)）=.-------（8<十8）是（）

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函教

2.

計算積分[產(chǎn)小=

（）

A.0B.1C.-iD.i

3.

.極限土二變的值是

lim（）

x-*osin]

A.--B.~-C.0D.8

63

4.

產(chǎn)+1,z）0

曲線/（JT）=J’在點（0,1）處的切線斜率是（）

11+sirurV0

A.0B.1C.2D.3

5.

汲y=Ini,財⑺二（）

(—1)nn!JC-,?

A.

(—1)〃(7Z—1)!一〃

B.

(—1)〃T(〃一

C.

(—l)fI"】

6.

ll知G,b,c為非零向量.且Q?b.=O,bXc=0,則)

A.a〃b且bcB.aJ_b且》〃c

C.Q〃c且bJ_cI、aJ_c且b上c

7.

則極限lim&。+③)一/&)=C

已知/'(x°)=3,)

1。X

1

A.一B.1C.3D.9

3

8.

JZ%-，5-

()

A.1B.0C_1-2e-,D.c-1-1

H_ix<0.

小)=W(x)存在,則〃=()

\2x+a,x>0.”

9,A--，B.OC1D.2

下列結(jié)論不正確的是（）

A.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

B.極限存在的數(shù)列必為有界數(shù)列

C.lim/（x）存在的充分必要條件是左、右極限都存在

1號＞

io.0.o是無窮小量

11.

I----dr=)

JVx(1+x)

A.-^-arctanG+CB.-^-arccotx+C

C.2arccotG+CD.2arcian>/x+C

12.

.過曲線y=arctani+F上的點(0,1)處的法線方程為()

A.21—y+1=0B.JC—2y+2=0

C.ZJC—y—1=0D..r+2y—2=0

13.

空間直線L：與2與平面〃:x+7y-2z=0的位置關(guān)系是（.）

A.垂直B.斜交C.直線在平面上D.平行

14.

1

曲線》=在1處的切線方程是)

A.3v—2x=5B.—3y+2x=5

C.3v+2JC=-5D.3y+2x=5

15.

p?a+r>

設(shè)/(x)在(0.-oo)上連續(xù)?且J,J\t)dt=M,則/(2)=()

A.5B.3C.1D.41

16.

函數(shù)f（jc'）在丁=j-（）處有定義是/'（.r）在x=x0處極限存在的（）

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.無關(guān)條件

17.

曲線夕=々+2丫+2的拐點是（)

A.（0,-2）B.（2,-2）C.(-2,2)D.(0,10)

18.

若lim（2）=■，則lim---=

-r-*OX，1\

A.-j-B.2

19.

設(shè)，，階方陣A滿足T=AArE,則

A.A是滿秩B.A是零矩陣C.A的秩小于"D.以上均不對

20.

如果方陣力可逆，那么（）

A.閡>0B.|j|<0C.|/|=0D.閡工0

21.

.由曲線y=與直線i=0,l==o所圍成的平面圖形的面積是（）

A.e",B.1

C.1-e-1D.14-e-1

22.

若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,6］上連續(xù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點￡使得/(e)=0

B.在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點&使得/'(?=0

C.在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點￡使得片6)一/(。)=/($)(6-?)

D.在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點￡,使得『/'(z)clz=/(￡)"一0)

23.

1=0是函數(shù)f(r)=---笠^的()

x

A.可去間斷點B.連續(xù)點

C.無窮間斷點D.跳躍間斷點

24.

設(shè)/(工)的定義域為［-2,2),則/(3_r+1)的定義域為()

A.[-5,7)B-[-14)

若函數(shù)f(X)=Y-3/+1在區(qū)間口,2］上().

A.單調(diào)增加且凹B.單調(diào)增加且凸

單調(diào)減少且是凸

25C.單調(diào)減少且凹D.

26.

在下列函數(shù)中不存在拉氏變換的是()

A./B.〃(/)

C.sin2/D.小(a>0)

27.

設(shè)A.B,C為同階方陣，若ABC=E，其中E為單位矩陣.則()

A.ACB=EB.CAB=E

C.CBA=ED.BAC=E

28.

極限lim(l22)+=()

工30

A.e2B.1C.e2D-f

29.

1234

1230

行列式=()

1200

1000

A.0B.12C.24D.-24

30.

設(shè)/(z)在(0,+8)上連續(xù)，且『/⑴出=12.則八2016)=()

A.OB.1C.2D.無法求出

、填空題(20題)

「010、

設(shè)矩陣/=001,則矩陣加的秩是

ao0y

由方程e++xyz=e:確定的隱函數(shù):c=的偏導(dǎo)數(shù)三=

33.

B(x+1)"

騫級數(shù)z收斂半徑是.,收斂域是

n=05+1)2"

sin2x

函數(shù)/(刈=(="，x>。，在x=0點連續(xù)，則^二

x2+a,x<0

35.

rx+1ri,

.已知函數(shù)/Q)=J則點w=1是/(i)的___________間斷點.

11,①=1,

.設(shè)A,b為三階方陣.|A|=4.AB=E.則IB|=

36._____

37.

設(shè)向量a=(1,1,0)p=(2,0,1)，則a與尸的數(shù)量積a-ft=，向量積

ax°=.

線性方程組I；二0。只有零解，則-

函數(shù)/(x)=?a+x)x，%＞。，在x=0點連續(xù)，則常數(shù)a=

x2+a,x40

4。微分方程3—3、=/的通解為

我已知極限也(一占X

=『1,則常數(shù)A=

心級數(shù)W8(看1內(nèi)一言Q的和為

T■乙.

1V0,

函數(shù)/(-r)=在.「=0處連續(xù).則“=

a十工?

工20

~1~

43.

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(i)滿足/(，)=sin/+1-/(jr)d.N,則/(1)=

44.JT

已知之=e-T，，汽■=

ojcdy

45.'

1

[312'

已知▲=.B=—23.則AB=

231

4-5

46.

47.

已知函數(shù)/(.r)=ln.r為可導(dǎo)函數(shù).則f(x)在點才=1.01處的近似值為.

(1+2彳)2djr=

48.

曲線》=2亡，的拐點為

微分方程/smx-7cosx=0滿足初始條件y\x_n=2的特解是一

50.2

三、計算題（15題）

求定積分「一^7=.

51."3

52.

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需兩種原料/、B,且產(chǎn)品的產(chǎn)量z與所需4原料數(shù)x及3原

料數(shù)V的關(guān)系式為z=x?+8盯+7/.已知/原料的單價為1萬元/噸，3原料的單價為

2萬元/噸，現(xiàn)有100萬元，如何購置原料才能使該產(chǎn)品的產(chǎn)量最大？

判斷級數(shù)￡的斂散性.

53.

54.

設(shè)平面區(qū)域。是由圓周》?+/=1所圍成的閉區(qū)域，計算二重積分］卜/+/仁（1），.

D

55.

設(shè)函數(shù)z=/（siru、/J,2）,其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求魯.

dxdy

f1

求不定積分廠jdw

56.

57.

已知函數(shù)X=7（？）由方程arctan—=In所確定，求孚?.

求函數(shù)之（立.了）=爐—/+6矛—12y+10的極值.

58.

1

求極限lim/In/2+——ln2172.

77fOOJ\

求不定積分|arctan/

60.

M.解方程—.

H?nn

求塞級數(shù)2”r的和函數(shù)-

62.i"!

計算不定積分f/J，

“J（1IeT）u

63.

求不定積分「半生di.

64.Je

求極限lim/1H---\e-J.

四、證明題（10題）

66.

21.設(shè)函數(shù)在［0,1］上可微,當(dāng)0&H41時0V人］）＜1且/（X）力1,證明有且

僅有一點1e（0,1），使得/（J-）=

67.

設(shè)/（X）二階可導(dǎo)，且滿足方程r（x）+f'（x）-2/（x）=0.若f（a）=f（b）=0,求

證：E[a,b],/(x)=0.

證明：當(dāng)xA0,n>1時，x"-n(x-1)>1.

68.

69.

設(shè)函數(shù)下之)=其中〃工)在區(qū)間0.+8)上連續(xù)，/“(外在

2、-a

(a.+8)內(nèi)存在且大于零,求證：FQ)在(a.+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

70.

證明不等式<In%〈生二工其中n<m為正整數(shù).

mnn

證明：對于0VaV〃,有arctan人一arctanaV6—a.

71.

證明：當(dāng)z〉0時，有(1+z)ln(l+JC)〉arclartr.

72.

73.

證明不等式:才>0時，1+j'lnCf.

74.

求由拋物線3=1—*及其在點(1,0)的切線和3,軸所圍成的平面圖形的面積.

75.

設(shè)函數(shù)/(Z)在閉區(qū)間［0,1］上可導(dǎo)，且八o)?/(D<o.證明在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在

一點f,使得2/(?)+&■'(0=0.

五、應(yīng)用題(10題)

76.

求曲線段y=/(04工WD上一點處的切線?使該切線與直線3--0,T=1和曲線

3-=^所圍成圖形的面積最小.

77.

求由曲線卬=2,4'=/及了=4所圍成的圖形的面積，并求此圖形繞7軸旋轉(zhuǎn)所得

的旋轉(zhuǎn)體的體積.

78.

某立體聲收音機廠商測定,為了銷售一新款立體聲收音機工臺，每臺的價格(單位:元)

必須是p⑺=800一丁,廠商還測定，生產(chǎn)z臺的總成本為C(z)=2000+lOz.為使利潤最大

化，廠商必須生產(chǎn)多少臺?最大利潤是多少？

79.

在笫?象眼內(nèi).求曲線2f+y'=l上?點，使在該點處的切線?州線及兩個

坐軸所用成的面積最小，并求最小值.

80.

已知D是拋物線L：y=2才和直線/=所圍成的平面區(qū)域.試求：

(1)區(qū)域D的面積；

(2)區(qū)域D繞。式軸旋轉(zhuǎn)所形成空間旋轉(zhuǎn)體的體積.

81.

某商品的需求函數(shù)為

Q=25—P,

求：(1)P=2時的需求彈性；

(2)在P=2時,若價格P上漲1%,總收益的變化情況；

(3)P為何值時，總收益最大.

82.

將長為。的鐵約成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵吆長各是多

少時，正方形與圓形的面積之和最??？

83.

設(shè)平面圖形D由曲線)=-和直線y=n=2及.r軸圍成.求：

(1)平面圖形D的面積；

(2)這圖形繞I軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

84.

求曲線y=73—6z與.y所圍成圖形的面積.

85.

設(shè)5是由拋物線3=2/和直線.r=a,z=2及)，=0所圍成的平面區(qū)域；Dz是由

拋物線y=2M和直線y=o,*=a所圍成的平面區(qū)域，其中0VaV2.

(1)試求D,繞了軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積％;外繞.v軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積匕；

(2)問當(dāng)a為何值時％+匕取得最大值?試求此最大值.

六、綜合題(2題)

86.

根?八..3卡、：?.：....?

求該曲線和該切線及直線yH0所圍成的平面圖形的面積S；

87.

設(shè)f(x)對任意實數(shù)八y恒有/(x+y)=/(x).f(y).且/(0)#0,/(0)=1.

(1)證明/(X)=/(X)；

⑵求/⑺.

參考答案

令/(#)=--------，則

ln(，］+X?—7)

/'(—=--------------------=--------］----------

ln(v1+x24-x),(>—x2

In---,-----

z

\1+J72—x

_________1________=_________1________

in/------1------\ln(十z?—JC)

=-，

即:y=/(由為奇函數(shù)，故選B.

1i.nD

［答案］C

M1D1

【精析】=dr=丁/=一1+i)z=-i.

2.C」i+iNIL

3.A

.?1Ji2

r才―sin.r「x-sin.r「1-cosw「21

【精析】hm——=Imi-------5-----=hm———=hm-r-=

l。sin\rLOILO"x->oS廠b

4.B

【精析】1=0為函數(shù)的分段點，故在該點的導(dǎo)數(shù)需要分別求左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)(O)=

lim1+加丁1=lim—=1,/+(0)=lim八+11=1，故/(0)=1,則函數(shù)在

「0-1―0-0-1「。+1—0

點(0,1)處的切線斜率為1.

5.C

【精析】由y二向可衢，=-^'=-^/=--T=\=W，y⑷

1X1X1

二T，一鵬解雕可虬/二H)M雌C

X1

6.B

由a?萬=0,得。，匕.由b/c=O.得b〃c,故選B.

7.D

?］pl

2,r3dr=~/d(—c-jr)

JoJo

?fl

=—.r2c**2+2;re-^Zdj

oJo

2I

=-e-1-c-J=1-2d

8.C°

9.A

［答案］A

【精析】由于li哪x)存在，則liW(x)=linV"),由題可知liW(x)=lini(.r2-1)=-1,

x^O-x-O-x-4)-

lim/(x)=lim(2x+a)=a,故a=-L

10.C

c

【評注】C不正確，因為lim/(x)存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等.

XT%

11.D

［dx—2［―-------dx=2—d^/x=2arctan5/r+C.

J-/JTCI+.N)J2石(1+工)JI-

12.D

【精析】，=號一+ely'(O)=2,法線斜率為4=一［.

k2

所以法線方程為)—1=-大一0)e即z+2y—2=0?故應(yīng)選D.

13.D

D

【評注】直線三三=一匕1=三的方向向量是:二(3」,5),平面〃:x+7y—2z=0的法

315

向量是〃=(1,7,-2),可知=0,所以直線與平面的位置關(guān)系是平行，選擇D.

14.D

【精析】￡=一梟+.：/|=一■!?.則切線方程為=一。(了-1),整理得3什

31i=iJJ

Zx=5.故應(yīng)選D.

15.D

［答案］D

【精析】方程兩邊同時對J，求導(dǎo)得,71>2(1+幻］?(2X4-3JT2)=1,

令#=1.則/(2)?5=1,/(2)=!,故選D.

16.D

1答案」D

【精析】函數(shù)在某?點處有定義與函數(shù)在該點處有極限是無關(guān)的?舉反例說明.例如.

1,1及1.

函數(shù)/(1)=V函數(shù)/O)在1=1處有定義.但在I=1處左右極限不同.

i—1,h<［1?

故極限不存在；又例如函數(shù)g(1在①=0處沒有定義.但g(］)卻在才=0處有

極限.故應(yīng)選D.

17.C

C

【評注】y=3(x+2)2,/=6(x+2),令y"=o得：*=一2.當(dāng)xv-2時，/<0,

x>-2時，/>0.

18.C

［答案］C

「"fl1BD1.4fl1當(dāng)。葉小)工

【精析】5-二0,即如七Nl,TZf°時,/(2)?不

2

即彳->。時?/(l)?/?所以/(告)?Jim---=lim—=3?故選C.

33LQ，/工、LCx

T

19.C

［答案］C

【精析】A?=A可得|解|=|A/=|4|.則IA|=0或1.若|A1=1,則A可逆,

此時工=A兩邊同時左乘AR得到A=E.又ArE,產(chǎn)生矛盾?故|A|#L則|A|=

0,故A的秩小于n.

20D【評注】因為方陣力可逆的充要條件是,艮0,所以選D.

21.C

【精析】由題可知所求面積A=k&=-=-仁-1=1-b’故

應(yīng)選C.

22.D

【精析】要得到人項結(jié)論，還需滿足了(外在(。,6)內(nèi)可導(dǎo)以及/((/)/(6)<0；要得到

C項結(jié)論，還需滿足/(z)在",，)內(nèi)可導(dǎo)；要得到B項結(jié)論，不僅要滿足C項所需條件，

還需滿足f(a)=f(b).所以A、B、C項均不正確.

23.A

［答案］A

【精析】lin"⑺=lim=lim取=4■?因此工=0為的可去間斷點.

LOL0L04JTZ

24.B

【精析】由/(工)的定義域為［-2,2)得一2<3了十1<2,從而一14.》〈《，所以

/(3j-+1)的定義域為［—1，￡)，故應(yīng)選B.

25.C

26.A

［答案］A

【精析】B項中，令M=1,C=0,則有|?(r)|《1?c""；

C項中，令M=1,C=0.則有|sin2f|<1.

D項中.令M=1,C=".則有|e"|41???；

故B、C、D項均為指數(shù)級函數(shù)且滿足拉氐變換的存在定理，而A項中.不論選M及('多

大，總有IJ故豈不是指數(shù)級函數(shù).故應(yīng)選A.

27.B

【精析】ABC=(AB)C=E,則有C(AB)=CAB=E,故應(yīng)選B.

［答案：］C

【精析】lim(12.r)^=lim(l2i)土"=e2,故選C.

28.Cl。l。

.C

1234l

］234

【評注】1233?

%,230=-24=24

123

°°200°

1000

29.C

30.B

【精析】兩邊對乏求導(dǎo)得fez?)?21=24所以/(./)=1,從而/(2016)=1,故選B.

31.

1

32.

c-y+沖

e=-jry

【精析】令F(x,.y,s)=+盯，之一e，，有

az一"(工，3,2)_e-，I1yz_e"'+"

3x￡(工，y,z)xy—ereT—xy"

33.

2[-311)

34.

2

35.

可去

【精析】limf(i)=lim(jr+1)=2.而f(1)=1,故z=1為f(T)的可去間斷點.

j>-I4-l

36.

]_

7

【精析】AB=E,則IA||B|=|E|.即4|ZJ|=1,故|B|=5.

4

37.

2(1-1-2)

2(l,-l,-2)【評注】本題考查的是向最的數(shù)量積與向量積.

38.

0-4

【評注】方程組只有零解的充要條件為1—2工0,即4+4。0,無。-4.

2k

39.

e2

40.

y=Ci3一,r2

【精析】方程化為y-1v=才,尸⑴一,?Q⑺=才,

=e31nj(Pre-31njd.r+C)

=j-3(1;&r+Cj=Cr3—x2.

41.

1

［答案］-2

【精析】￡,,>\,v=i—^-+4—+…+—vf

K—1k(k1)Z23M〃+1

故SIL-］、=lin“1--4TT)=1，

Y13-3V1—32(12")_o/I_

々K—3々環(huán)一3一3(12)

2

422故g(尋萬一/)=1-"I.

43.0

［答案1o

【精析】由于/(.r)在-r=0處連續(xù)?故lim./,(J)=lime+=0=/(0)=￡

*-*III--*/I

故《=。.

44.

sinj:+—

0

【精析】令［J（1）dr=K則對等式兩邊積分得IJ（7）djr=J（sinx+1一力五=

COST|+了|-fo*|=2—23即4=22"解得々=弓，故/（力）=sinw+1

2.1

—=sirkr+-.

oJ

45.

一12+，小

【精析】"?（-3）=-⑵菖―.

axdjcdy

46.

14l

,Qb、『312][951

95【精析】AB=-23=.

231012

I。n"JIJ[4-5]

47.

0.01

【精析】由/（。+&1）內(nèi)/（4）+//（叁）/^.故/（1+0.01）N/（1）+/（1）-0.01=

Ini+（：]「）?0.01=0.01.

48.

①4+《彳3++C

3

【精析】原式=（1+41r2+423）di=/+-yjr++C.

49.

［答案］(2高

-JrJn-J，-J-，-2-J

【精析】y'=e—xe~>y=-e—(e—JCJ)=JCC~J—2c=e(.r-2),

令『=0得i=2,即拐點為

50.

y=2sinx

y=2sinx

【評注】y'sinx=ycosx,型sinx=ycosx，

蟲=也”心,兩邊同時積分得lny=lnsinx+lnC,由y,=2得，C=2,于是

ysinx吃

由少=。5也%，得到y(tǒng)=2sinx.

51.

解：「一令4=一「9=21nq+1)2=2111a.

x+4x/+112

52.

解：依題意，有x+2y=100,即x=100-2y,代入z=f+8盯+7y?,整

dzAz

理得2=10000+400夕一59.上式對丁求導(dǎo)，有一=-10y+400,令一=0得

dyay

d，

y=40.又—-=-10<0,知產(chǎn)量z在y=40時取最大值.由y=40,得x=20,故

dy

購置4原料20噸、8原料40噸能使產(chǎn)量最大.

53.

【精析】方法一耳>《對于級數(shù)jlim皿=lim］烏=

n!n!￡〃！lrun—g(k-1)!n

<*3txi3

㈣(皇尸=e>1.故級數(shù)W梟發(fā)散,所以級數(shù)與舄發(fā)散.

方法二lim皿=lim2-田”！.=.尊;=8,所以￡斗發(fā)散.

-Un-E(〃十］)!2h-E?I1仁〃！

54.

,21

解:Jje，t/dxdp=JjerdrdO=[d^ferrdr=2TC--er2=K(e-l).

DDJoJo20

55.

【精析】言=COSJ-y\+23f2?

32

,，

i…”；—codify,?(—2y)+2工fn,(-2y)=-2ycosxf—4卬，也.

dxayl?

56.

J

原式=f1<i「e"=fdx—W]：)=x—ln(1+e)+C.

J1+eJJ1+e

57.

方程arctan—=In〃?—一兩邊對y求導(dǎo)，得

x

].>r—yz'_].2xr，+21y

14-Z*/—"+.2'2"+#

x2

即尋=珀，'-'=（'+?"，

即用=1工一？

#+?,

58.

jZj——2x4-6=0,

【精析】解得駐點(3.2),(3,—2),

=3j,2—12=0,

Z的二階偏導(dǎo)數(shù)為之門=—2,Zxy=0,Zyy

對于駐點（3.2）,因為

A=之百(3,2)=—2<0,13=%.(3,2)=O.C=2A(3,2)=12*

所以B2-AC=24>。.點(3,2)不是函數(shù)的極值點.

對于駐點(3.-2),

A=(3.-2)=—2V0.B=%(3,—2)=0,C=z“(3.-2)=—12,

于是B2-AC=-24V0,又AV0，

所以函數(shù)在點(3,—2)處取極大值2(3,-2)=35.

59.

.【精析】limn/In/2-|——\—ln2\=lirawin/1+\=limlnf1+77-

L8\yn)f8\)l—\Zzz)

2nJ

limln「(1+-^―

〃-?00L\zTI]

,±1

Ine2=—.

60.

【精析】令=，?貝I]i=F,d.r=2tdt,

[arctant?a

原式=d產(chǎn)=產(chǎn)arctanrdz

H-Z2

1+r-1

=〃arctan/dZ

-J1+r

=42arctanZ—|d￡+1山

14-r2

=rarctanr-t十a(chǎn)rctanz十C.

將r=\[x代入得arctanZrd.r=zarctan6-G+arctan+C.

61.

【精析】原微分方程可變形為y'—Ly=>.

所以方程的通解為y="(卜2?ehX&+C)=.r(adr+C)

=i(J—+C)=-y,r3+Cr,

C為任意常數(shù).

62.

c,、(2"尸R2\r"1R(2i)".酎1「,、

S(x)=y.—―=>,-：1=>,——：1=e—16(—8,4-00).

J)1tj'fl'

n=\"?n=0"?n=0

63.

zd(e'+1)

(1+e，)"

(l+eJ)2

+

ex—1

=——￡_+峙i

er+1

=--------+z-ln(1+d)+C

r

eT1

=-^-r-lnd-reO+C.

e*+1

64.

'arctane^.f.._,,,Tdj'

--------dr=—arctanede=——earctane+；-----

JeJJ1-re-

re2-r

=-barctane/+/1--~~：—TT

J\1+e)

=-e-rarctaneJ+才----^-ln(14-e2r)+C.

65.

2

['2]“J、5Cjln(14-y>-J1

【精析】limH+-\c°=limci"*；〉?c-'=].令，=工，則

jToo\JT/j：*4-co1

lim也芋=Ito群,

原式==e'-°+=e"7.

66.

【精析】令F(H)=/(工)一工.則由題意得FG)在[0,1]上可微.

因為當(dāng)0工工01時OV/(a)<1，

所以F(0)=/(0)>O.F(l)=/(I)-1<0,

由零點定理可知，至少存在一點/e(0,1).使得F(.r)=0,即/(X)=ar.

又因為當(dāng)04丁<1時，/(工)#1,

所以F'Q)=/Q)—1/0.

假設(shè)存在另外一點v6使得/(y)=則F(y)=/<>')-y=0.

當(dāng)丁〉y時，由羅爾中值定理得存在一點=W(yu)，使得F'(x)=0,與F'(k)#

0矛盾.

同理可證當(dāng)了Vy時也不成立.

綜上可得，有且僅有一點丁e(0,1)，使得八丁)=x.

67.

證明：r(x)+尸(x)—2〃x)=0的特征方程為r2+r-2=0,

解之得a=1,弓=一2,所以/(x)=Ge'+C2e-2x.

Cea+CeT2a=0

由/⑷=〃b)=0得二bJ一);解此方程組得G=G=o，

C】e+C2e=0

所以/(x)三0,Vxe［a,b\.

68.

令F(x)=/-〃(x-1)—1=/—nx+”-l,并且F(1=l-n+nT=O.

當(dāng)xNl,F'(x)=njii_,=亞/1一1)

由于xN耐，“21,所以尸(x>0,即網(wǎng)x)在口，力］是遞增函數(shù)，

所以Fx)>F(l),

x—ZLY+H—120」也即

父—n(x-l)>l.

當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)'(x)=nx^~'—n=”(才'一1),由于0<x<1,n>1,

所以一<1,即尸(x)<0,以Fx)在［0,1上是遞減函數(shù)，所以

F(x)>F(l),

x"—1)N1

得證.

69.

【證明】?.卡⑺=△?必三二9二一解三)一二幺切

(x-a)

由Lagrange定理工.)(型_。)