第1講數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應用（原卷版）

第1講數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應用數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想,又是常用的數(shù)學方法。把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究,或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究,這種解決問題過程中"數(shù)"與"形"相互轉(zhuǎn)化的研究策略,就是數(shù)形結(jié)合的思想。平面向量加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積等運算中既有幾何意義又有代數(shù)意義。因此，在進行有關(guān)向量的運算時將“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來，有時數(shù)轉(zhuǎn)化為形、有時形轉(zhuǎn)化為數(shù)，通過這種轉(zhuǎn)化可以更好求解相關(guān)問題，而本文會重點就數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的幾類應用展開詳細講解。【應用一】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量建系問題中的應用我們在學習平面向量的綜合運用時，經(jīng)常會遇到求數(shù)量積最值及范圍的綜合問題，這類問題如果用平面向量的基本定理及相關(guān)數(shù)量積的幾何運算，計算量往往偏大且不易求得答案；那有沒有簡潔且方便的解題方法呢，通過細心讀題我們會發(fā)現(xiàn)題干中包含“正方形、矩形、菱形、等邊三角形、等腰三角形”等特殊幾何圖形，于是我們可以想到從建系角度建立平面直角坐標系來求解，例如下面這道例題：【例1】（2017·全國·高考真題）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．本題以等邊三角形為載體，是特殊幾何圖形，如圖所示：我們可以以BC邊的中點為坐標原點建立如圖的平面直角坐標系，即，，，設，則，，，所以，即可求得最值?！舅季S提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于給定“正方形、矩形、菱形、等邊三角形、等腰三角形”等特殊幾何圖形，我們可以依據(jù)圖形的特殊性來建立平面直角坐標系，進而通過平面向量的坐標運算求解相關(guān)問題，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復雜型建系問題?！咀兪?.1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【變式1.2】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1.3】（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設、分別為線段、上的動點，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【應用二】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量投影問題中的應用我們在學習平面向量的數(shù)量積及向量投影時，可以運用坐標運算求解，但有時不具備坐標運算條件或不具備建系條件時，我們也可以從定義角度來求解，而向量投影的本質(zhì)及運算就很重要了，我們不妨先回顧下向量投影的相關(guān)知識。（1）若a在b方向上的投影向量為m,則a（2）b在a方向上的投影向量為bcosθ?a在b方向上的投影向量為acosθ?（3）設a在b上的投影向量為λb,則a對于向量投影或數(shù)量積問題求解時，我們可以從定義角度求解，例如下面這道例題：【例2】（2019秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考）在中，已知為邊上的高，為的平分線，，，，則______本題以數(shù)量積為背景，實則考查向量的投影問題，如圖所示由向量投影可知:AE?過點E作EF垂直于AB，交AB于點F,則ABBE所以∠BAE=所以AB【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于給定數(shù)量積為背景考查向量投影問題，我們可以用定義來求解，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復雜型投影問題?！咀兪?.1】（2020春·四川眉山·高一期中）如圖，在半徑為的圓中，已知弦的長為，則A． B． C． D．【變式2.2】（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式】（2022·江西南昌·高三南?？迹┤鐖D，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個不同的點，記，則的值為A． B．45 C． D．180【應用三】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量隱圓問題中的應用我們在學習平面向量模長及其相關(guān)最值的求解計算中，會遇到形如“的最大值、的最小值”等問題，我們在用坐標運算或向量線性運算把模長表示出來后會發(fā)現(xiàn)對應的幾何意義為對應圓及圓上一點到對應點或?qū)本€的最值問題，我們稱隱藏的圓為“隱圓”，進而我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合幾何意義快速求解，例如下面這道例題：【例】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，是單位向量，且．若向量滿足，則的最大值是．本題由，得，我們可以先建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨記，設，由，得，所以點C在以Q(1,2)為圓心，1為半徑的圓上，進而結(jié)合幾何意義可求得的最大值【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于在平面向量模長及其最值的運算中，我們都可以用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合具體隱圓作出圖象，從而可直觀用幾何意義求解出對應問題，未來我們也可以用同樣的方法來研究較為復雜型的隱圓綜合問題。【變式3.1】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3.3】（2016·四川·高考真題）已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足，，則的最大值是A． B． C． D．鞏固練習1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）正八邊形上存在一動點（點與，不重合），已知正八邊形邊長為2，則的最大值為（

）A． B．C． D．2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點分別在上，且，點是圓弧上的動點（包括端點），則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形的邊長為2，點，，分別是邊，，的中點，點是線段上的動點，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．484．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量上的投影向量為．（用表示）5．（2018秋·上海閔行·高二閔行中學?？计谥校┰谶呴L為1的正方形中，若是邊上的動點，則6．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知半圓的直徑，點是弦（包含端點，）上的動點，點在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為.7．（2020秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┤鐖D，已知半圓的直徑，是等邊三角形，若點是邊（包含端點）上的動點，點在弧上，且滿足，則的最小值為．8．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最