2022-2023學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.若復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)（）A. B.3 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，，即，故，故選：B2.若，則z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故選：C3.如圖，平面平面，，，，直線（點(diǎn)不同于），過(guò)三點(diǎn)確定的平面為，則平面，的交線必過(guò)（）A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C，但不過(guò)點(diǎn)D D.點(diǎn)C和點(diǎn)D〖答案〗D〖解析〗對(duì)于AB，假設(shè)，又，則，又，所以，又，所以，與矛盾，則，即平面，的交線不過(guò)點(diǎn)A，故A錯(cuò)誤，同理，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在與的交線上，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，∴，又∵向量，∴向量在的投影為，所以，向量在方向上的投影向量為.故選：A.5.已知向量，，，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，，即故選：A6.已知，，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以?又，所以，解得，所以.故選：D.7.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，為使此三角形有兩個(gè)，則滿足的條件是（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因?yàn)橛袃山?，且，，則，即.故選：A.8.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，而，在中，設(shè)，則，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．部分選對(duì)的得2分．9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中為真命題的是（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根〖答案〗BD〖解析〗由題意得，故，A錯(cuò)誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，即z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，D正確，故選：BD10.如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，在原立方體中，以下關(guān)系判斷正確的是（）A. B.與相交 C. D.與異面〖答案〗BCD〖解析〗畫出原正方體如圖所示，不平行，所以A錯(cuò)；與相交，所以B正確；由正方體的性質(zhì)知，所以C正確；與即不平行也不相交，所以與是異面直線，所以D正確.故選：BCD.11.設(shè)非零向量的夾角為為任意非零向量，定義運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.C. D.若，則的最大值為1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)椋⑶?，所以，解得或，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，不妨取，設(shè)與的夾角，與的夾角為，與的夾角為，則，，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12.在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（）A.B.C.的最大值為3D.的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯(cuò)誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）的虛部是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為.故〖答案〗為：.14.已知點(diǎn)，，是直線上的一點(diǎn)，且，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，即，解得；所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：15.如圖，已知A，B，C共線，且向量，，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，不共線，故,所以.故〖答案〗為：16.在平面四邊形中，是等邊三角形，，，，則________；的面積是________．〖答案〗①.②.〖解析〗由為等邊三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得，整理得，解得（負(fù)值舍去），設(shè)，則，易知，則，所以，則的面積為．故〖答案〗為：；．四、解答題：本小題共6小題，共70分．17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，.（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍.解：（1）因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以，解得.（2）因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以m的取值范圍為.18.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角．解：（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因?yàn)?，所?又，所以，所以與的夾角為．19.如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，．（1）證明：點(diǎn)F在平面內(nèi)；（2）若，求三棱錐的體積．（1）證明：如圖，連接，，在長(zhǎng)方體中，，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）解：在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，即為；所以．20.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，點(diǎn)在邊上，，求．解：（1）方法一：因?yàn)?，由余弦定理得，，整理得，所以，因?yàn)?，所以方法二：因?yàn)椋?，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以，整理得因?yàn)?，所以，所以，又，所?（2）因?yàn)?，由余弦定理得：，整理得，又，所以方法一：所?因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，，所以為邊上靠近的三等分點(diǎn)，所以.在中，，又，所以.方法二：，又，所以.21.從以下三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足________（填寫序號(hào)即可）．①，②，③（1）求B；（2）若，求的取值范圍．解：（1）選①：因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?選②：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，故由余弦定理得，又因?yàn)?，所?選③：因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，所?（2）由（1）知，又，所以由正弦定理，得，，則，由銳角得且，所以，則，所以，從而，故取值范圍為.22.在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬．設(shè)燈柱高，．（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；（2）求燈柱的高（用表示）；（3）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，又所以是等邊三角形，所以，所以中，，即，所以；（2），，，在中，由正弦定理得，所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以，所以；（3）在中，由正弦定理得，所以，所以所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，S取最小值，故S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，S最小值為.福建省三明市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.若復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)（）A. B.3 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，，即，故，故選：B2.若，則z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故選：C3.如圖，平面平面，，，，直線（點(diǎn)不同于），過(guò)三點(diǎn)確定的平面為，則平面，的交線必過(guò)（）A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C，但不過(guò)點(diǎn)D D.點(diǎn)C和點(diǎn)D〖答案〗D〖解析〗對(duì)于AB，假設(shè)，又，則，又，所以，又，所以，與矛盾，則，即平面，的交線不過(guò)點(diǎn)A，故A錯(cuò)誤，同理，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在與的交線上，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，∴，又∵向量，∴向量在的投影為，所以，向量在方向上的投影向量為.故選：A.5.已知向量，，，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，，即故選：A6.已知，，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以?又，所以，解得，所以.故選：D.7.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，為使此三角形有兩個(gè)，則滿足的條件是（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因?yàn)橛袃山?，且，，則，即.故選：A.8.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，而，在中，設(shè)，則，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．部分選對(duì)的得2分．9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中為真命題的是（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根〖答案〗BD〖解析〗由題意得，故，A錯(cuò)誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，即z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，D正確，故選：BD10.如圖是一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，在原立方體中，以下關(guān)系判斷正確的是（）A. B.與相交 C. D.與異面〖答案〗BCD〖解析〗畫出原正方體如圖所示，不平行，所以A錯(cuò)；與相交，所以B正確；由正方體的性質(zhì)知，所以C正確；與即不平行也不相交，所以與是異面直線，所以D正確.故選：BCD.11.設(shè)非零向量的夾角為為任意非零向量，定義運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.C. D.若，則的最大值為1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，并且，所以，解得或，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，不妨取，設(shè)與的夾角，與的夾角為，與的夾角為，則，，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12.在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（）A.B.C.的最大值為3D.的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯(cuò)誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）的虛部是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故〖答案〗為：.14.已知點(diǎn)，，是直線上的一點(diǎn)，且，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，即，解得；所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：15.如圖，已知A，B，C共線，且向量，，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，不共線，故,所以.故〖答案〗為：16.在平面四邊形中，是等邊三角形，，，，則________；的面積是________．〖答案〗①.②.〖解析〗由為等邊三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得，整理得，解得（負(fù)值舍去），設(shè)，則，易知，則，所以，則的面積為．故〖答案〗為：；．四、解答題：本小題共6小題，共70分．17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，.（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍.解：（1）因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以，解得.（2）因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以m的取值范圍為.18.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角．解：（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因?yàn)?，所?又，所以，所以與的夾角為．19.如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，．（1）證明：點(diǎn)F在平面內(nèi)；（2）若，求三棱錐的體積．（1）證明：如圖，連接，，在長(zhǎng)方體中，，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）解：在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，即為；所以．20.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，點(diǎn)在邊上，，求．解：（1）方法一：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，，整理得，所以，因?yàn)椋苑椒ǘ阂驗(yàn)?，所以，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以?/p>