2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市普通高中高二下學(xué)期期中考試（C卷）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（C卷）試題時間：120分鐘滿分：150分命題范圍：選擇性必修二第四章概率統(tǒng)計，選擇性必修三第五章數(shù)列．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列，，，，…的第10項是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，根據(jù)數(shù)列，可求得數(shù)列的通項公式，所以數(shù)列的第10項為，故選C．【『點石成金』】本題主要考查了歸納數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的數(shù)字排布規(guī)律，得出數(shù)列的通項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．2.離散型隨機變量X的概率分布列如下：則c等于()X1234P0.20.30.4cA.0.1 B.0.24 C.0.01 D.0.76〖答案〗A〖解析〗由離散型隨機變量的概率分布列知：1﹣0.2﹣0.3﹣0.4﹣c＝0，解得c＝0.1．故選A．3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（）A.7 B.21 C.14 D.17〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列性質(zhì)，數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則，因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以，又，所以，因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以，故選：C.4.設(shè)隨機變量，若，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗因為隨機變量，且，所以由對稱性知，由正態(tài)分布知方差.故選：A.5.已知為數(shù)列的前項和，，，那么（）A.-64 B.-32 C.-16 D.-8〖答案〗B〖解析〗時，，，可得：，化為．時，．?dāng)?shù)列從第二項起為等比數(shù)列，公比為2，首項為．那么．故選：B．6.在3重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A發(fā)生的次數(shù)X的期望和方差分別為（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為，則，因為事件A至少發(fā)生一次的概率為，可得，解得，所以，所以.故選：D.7.明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭兒盞燈？”你的〖答案〗是（）A.2盞 B.3盞 C.4盞 D.7盞〖答案〗B〖解析〗，解得，故選B．8.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習(xí)．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記事件A為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，則數(shù)列的通項公式是（）A.an＝3n，n∈N＋ B.an＝3n－1，n∈N＋ C.an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D.an＝2n－1，n∈N＋〖答案〗AC〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，當(dāng)時，.當(dāng)時，.故選：AC.10.對兩個變量與進行線性相關(guān)性和回歸效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說法正確的是（）A.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好B.由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過樣本點的中心C.用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，則變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由殘差的意義可得，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，A正確；對于B，若回歸方程為，則，即回歸方程表示的直線必過樣本點的中心，B正確；對于C，相關(guān)指數(shù)越大，說明殘差的平方和越小，即模型的擬合效果越好，C正確；對于D，變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，故相關(guān)系數(shù)較為接近，所以變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性.D正確；故選：ABD.11.等差數(shù)列的公差，前n項和為，若，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時， B.C.當(dāng)時， D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意，等差數(shù)列的公差，前項和為，因為，可得，即，對于A中，由，可得數(shù)列單調(diào)遞減，由，可得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，所以，A錯誤；對于B中，由等差數(shù)列的前項和公式，可得，所以B正確；對于C中，因為，，故，C正確；對于D中，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以D正確.故選：BCD.12.若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.有一批燈泡壽命超過500小時的概率為0.9，壽命超過800小時的概率為0.8，在壽命超過500小時的燈泡中壽命能超過800小時的概率為_________．〖答案〗〖解析〗記事件A為“燈泡壽命超過500小時”，事件AB為“燈泡壽命超過800小時”，則在壽命超過500小時的燈泡中壽命能超過800小時的概率為．故〖答案〗為：．14.設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．〖答案〗-8〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項公式可得.15.同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X，則X的方差是_________；〖答案〗〖解析〗因為一次同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好出現(xiàn)2枚正面向上的概率為，所以，所以.故〖答案〗為：.16.設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.四．解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項和為10，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知，解得，，或，（舍去），所以.（2），將這個數(shù)列分為兩部分，一部分是等差數(shù)列，一部分是等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到：.18.某地政府為解除空巢老年人缺少日常護理和社會照料的困境，大力培育和發(fā)展養(yǎng)老護理服務(wù)市場.從2016年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)，下表是該地近五年新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)數(shù)量對照表：年份20162017201820192020年份代碼（）12345新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)（）1215202528（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）若該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人，他們的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少人？參考公式：線性回歸方程，，.參考數(shù)據(jù)：，解：（1）由題意知，，，，所以，，故所求經(jīng)驗回歸方程為；（2）由題可知，，該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有（人）該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人約有人.19.已知數(shù)列滿足，．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記，設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：．證明：（1）因為，所有，又因為，所有是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，因此求的通項公式．（2）由（1）知，，所以，因為，所以．20.為了強調(diào)考前仔細研究教材內(nèi)容（稱“回歸教材”）對高考數(shù)學(xué)成績的重要性，2016年高考結(jié)束后，某班級規(guī)定高考數(shù)學(xué)成績115分以上（含115分）為優(yōu)秀，制作下表：高考數(shù)學(xué)成績是否回歸教材非優(yōu)秀人數(shù)優(yōu)秀人數(shù)合計未回歸教材人數(shù)8210回歸教材人數(shù)21820合計102030（1）能否有99%的把握認(rèn)為高考數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與回歸教材有關(guān)？（2）以該班數(shù)據(jù)為樣本來估計全市總體數(shù)據(jù)，從全市2016年參加高考的考生中任取3人，設(shè)3人中高考數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀且回歸教材的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，0.0500.010k3.8416.635解：（1）由，，，，，，，，，所以．因為，所以有的把握認(rèn)為高考數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與回歸教材有關(guān)．（2）可取0，1，2，3，設(shè)“回歸教材”且成績優(yōu)秀為事件A，．則，，，．的分布列為．21.已知是正項數(shù)列的前n項和，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）化為，可知，可得，即，由于，可得，又，解得，所以是首項是1，公差是2的等差數(shù)列，所以通項公式是；（2）設(shè)前項和為，由（1）知，則，，兩式相減得，即，所以．22.現(xiàn)有A、B兩個部門進行投籃比賽，A部門有4人參加，B部門有6人參加，已知這10人投籃水平相當(dāng)，每人投中的概率都是p．比賽之前每人都進行投籃練習(xí)，投中則停止投籃練習(xí)，最多進行三次投籃練習(xí)．若甲投籃練習(xí)次，統(tǒng)計得知的數(shù)學(xué)期望是．（1）求p；（2）現(xiàn)從這10人中選出5人，每人投籃兩次，設(shè)5人中能夠投中的人數(shù)為為，求的數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)從這10人中選出3人參加投籃練習(xí)，設(shè)A部門被選中的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．解：（1）由已知的取值有1，2，3，所以，，，所以的分布列為123，由于，，因為，所以；（2）依題意，每人投中一次的概率，所以，每人至少投中一次的概率為，隨機變量的取值有，服從二項分布，；（3）可取，，，，，．遼寧省鞍山市普通高中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（C卷）試題時間：120分鐘滿分：150分命題范圍：選擇性必修二第四章概率統(tǒng)計，選擇性必修三第五章數(shù)列．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列，，，，…的第10項是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，根據(jù)數(shù)列，可求得數(shù)列的通項公式，所以數(shù)列的第10項為，故選C．【『點石成金』】本題主要考查了歸納數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的數(shù)字排布規(guī)律，得出數(shù)列的通項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．2.離散型隨機變量X的概率分布列如下：則c等于()X1234P0.20.30.4cA.0.1 B.0.24 C.0.01 D.0.76〖答案〗A〖解析〗由離散型隨機變量的概率分布列知：1﹣0.2﹣0.3﹣0.4﹣c＝0，解得c＝0.1．故選A．3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（）A.7 B.21 C.14 D.17〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列性質(zhì)，數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則，因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以，又，所以，因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以，故選：C.4.設(shè)隨機變量，若，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗因為隨機變量，且，所以由對稱性知，由正態(tài)分布知方差.故選：A.5.已知為數(shù)列的前項和，，，那么（）A.-64 B.-32 C.-16 D.-8〖答案〗B〖解析〗時，，，可得：，化為．時，．?dāng)?shù)列從第二項起為等比數(shù)列，公比為2，首項為．那么．故選：B．6.在3重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A發(fā)生的次數(shù)X的期望和方差分別為（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為，則，因為事件A至少發(fā)生一次的概率為，可得，解得，所以，所以.故選：D.7.明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭兒盞燈？”你的〖答案〗是（）A.2盞 B.3盞 C.4盞 D.7盞〖答案〗B〖解析〗，解得，故選B．8.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習(xí)．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記事件A為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，則數(shù)列的通項公式是（）A.an＝3n，n∈N＋ B.an＝3n－1，n∈N＋ C.an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D.an＝2n－1，n∈N＋〖答案〗AC〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，當(dāng)時，.當(dāng)時，.故選：AC.10.對兩個變量與進行線性相關(guān)性和回歸效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說法正確的是（）A.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好B.由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過樣本點的中心C.用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，則變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由殘差的意義可得，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，A正確；對于B，若回歸方程為，則，即回歸方程表示的直線必過樣本點的中心，B正確；對于C，相關(guān)指數(shù)越大，說明殘差的平方和越小，即模型的擬合效果越好，C正確；對于D，變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，故相關(guān)系數(shù)較為接近，所以變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性.D正確；故選：ABD.11.等差數(shù)列的公差，前n項和為，若，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時， B.C.當(dāng)時， D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意，等差數(shù)列的公差，前項和為，因為，可得，即，對于A中，由，可得數(shù)列單調(diào)遞減，由，可得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，所以，A錯誤；對于B中，由等差數(shù)列的前項和公式，可得，所以B正確；對于C中，因為，，故，C正確；對于D中，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以D正確.故選：BCD.12.若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.有一批燈泡壽命超過500小時的概率為0.9，壽命超過800小時的概率為0.8，在壽命超過500小時的燈泡中壽命能超過800小時的概率為_________．〖答案〗〖解析〗記事件A為“燈泡壽命超過500小時”，事件AB為“燈泡壽命超過800小時”，則在壽命超過500小時的燈泡中壽命能超過800小時的概率為．故〖答案〗為：．14.設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．〖答案〗-8〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項公式可得.15.同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X，則X的方差是_________；〖答案〗〖解析〗因為一次同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好出現(xiàn)2枚正面向上的概率為，所以，所以.故〖答案〗為：.16.設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.四．解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項和為10，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知，解得，，或，（舍去），所以.（2），將這個數(shù)列分為兩部分，一部分是等差數(shù)列，一部分是等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到：.18.某地政府為解除空巢老年人缺少日常護理和社會照料的困境，大力培育和發(fā)展養(yǎng)老護理服務(wù)市場.從2016年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)，下表是該地近五年新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)數(shù)量對照表：年份20162017201820192020年份代碼（）12345新建社區(qū)養(yǎng)老機構(gòu)（）1215202528（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）若該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人，他們的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少人？參考公式：線性回歸方程，，.參考數(shù)據(jù)：，解：（1）由題意知，，，，所以，，故所求經(jīng)驗回歸方程為；（2）由題可知，，該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有（人）該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人約有人.19.已知數(shù)列滿足，．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記，設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：．證明：（1）因為，所有，又因為，所有是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，因此求的通項公式．（2）由（1）知，，所以