第13小題 直線與圓-2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第第頁第13小題直線與圓TOC\o"1-5"\h\u第13小題直線與圓 1一、主干知識(shí)歸納與回顧 213.1直線的傾斜角與斜率 213.2直線的方程 313.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 413.4圓與方程 413.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 4（一）命題角度剖析 5（二）考情分析 5（三）高考預(yù)測(cè) 5二、題型分類與預(yù)測(cè) 5命題點(diǎn)一：直線的方程 61.1母題精析（三年高考真題） 6一．方程組解的個(gè)數(shù)與兩直線的位置關(guān)系（共1小題） 6二．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程（共1小題） 6三．兩點(diǎn)間的距離公式（共1小題） 7四．點(diǎn)到直線的距離公式（共2小題） 7五．兩條平行直線間的距離（共1小題） 8六．兩直線的夾角與到角問題（共1小題） 91.2解題模型 91.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?11一．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共1小題） 11二．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題） 11三．恒過定點(diǎn)的直線（共1小題） 12四．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程（共1小題） 12五．兩點(diǎn)間的距離公式（共1小題） 13命題點(diǎn)二：圓的方程 131.1母題精析（三年高考真題） 13一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題） 13二．圓的一般方程（共2小題） 14三．圓的切線方程（共2小題） 15四．直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題） 16五．直線與圓的位置關(guān)系（共13小題） 171.2解題模型 241.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?26一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題） 26二．軌跡方程（共7小題） 27三．圓的切線方程（共1小題） 34四．直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題） 35五．直線與圓的位置關(guān)系（共20小題） 37六．圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共2小題） 50三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 52一．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共2小題） 52二．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題） 52三．兩點(diǎn)間的距離公式（共2小題） 53四．軌跡方程（共7小題） 54五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題） 63六．圓的切線方程（共3小題） 63七．直線與圓的位置關(guān)系（共24小題） 65八．圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共2小題） 84一、主干知識(shí)歸納與回顧13.1直線的傾斜角與斜率1.傾斜角與斜率：傾斜角：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，以軸為基準(zhǔn)，軸正向和直線向上的方向之間所成的角叫直線的傾斜角，取值范圍為.斜率：直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用來表示.斜率公式：如果直線經(jīng)過兩點(diǎn),則.直線的方向向量：斜率為的直線的一個(gè)方向向量是,若斜率為的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，則.2.兩條直線平行和垂直的判定斜率分別為的兩條不重合的直線，有.斜率分別為的兩條直線，有.13.2直線的方程1.直線方程：⑴點(diǎn)斜式：（不能表示斜率不存在的直線）⑵斜截式：（不能表示斜率不存在的直線，是直線與軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)（即軸上的截距））⑶兩點(diǎn)式：⑷截距式：（是直線在軸上的截距，且）⑸一般式：（不同時(shí)為0）2.給定直線方程判斷直線的位置關(guān)系：（一）對(duì)于直線有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.（二）對(duì)于直線：（1）與直線垂直的一個(gè)向量為，平行的一個(gè)向量為.（2）對(duì)于直線有：；和相交；.13.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（1）兩點(diǎn)間距離公式：已知，則.（2）點(diǎn)到直線距離公式：到直線的距離為：.（3）兩平行線間的距離公式：：與：間的距離為：.13.4圓與方程1.圓的方程：⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：(其中圓心為，半徑為.)⑵一般方程：.().13.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系:（表示圓心到直線的距離）;;.2.直線和圓相交弦長(zhǎng)公式：（表示圓心到直線的距離）3.兩圓位置關(guān)系：（1）外離：；（2）外切：；（3）相交：；（4）內(nèi)切：（）；（5）內(nèi)含：（（一）命題角度剖析1.直線的方程★★★☆☆2.圓的方程★★★★☆（二）考情分析高考頻率：70%試題難度：容易或中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題呈現(xiàn)（三）高考預(yù)測(cè)常直線與圓的方程問題有時(shí)單獨(dú)考查，有時(shí)與圓錐曲線結(jié)合起來考查，直線與圓的位置關(guān)系是考查的熱點(diǎn)，有時(shí)也涉及點(diǎn)與圓或圓與圓的位置關(guān)系二、題型分類與預(yù)測(cè)命題點(diǎn)一：直線的方程1.1母題精析（三年高考真題）一．方程組解的個(gè)數(shù)與兩直線的位置關(guān)系（共1小題）1．（2022?上海）若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實(shí)數(shù)的值為4．【分析】根據(jù)題意，分析可得直線和平行，由此求出的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則直線和重合，則有，即，解可得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程（共1小題）2．（2015?山東）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為A．或 B．或 C．或 D．或【分析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可設(shè)反射光線所在直線的方程為：，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．【解答】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為：，化為．反射光線與圓相切，圓心到直線的距離，化為，或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反射光線的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式、對(duì)稱點(diǎn)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．三．兩點(diǎn)間的距離公式（共1小題）3．（2014?四川）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】可得直線分別過定點(diǎn)和且垂直，可得．三角換元后，由三角函數(shù)的知識(shí)可得．【解答】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線過定點(diǎn)問題，涉及直線的垂直關(guān)系和三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．四．點(diǎn)到直線的距離公式（共2小題）4．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）點(diǎn)到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．2【分析】直接代入點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式即可求解結(jié)論．【解答】解：方法一：因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離；要求距離的最大值，故需；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．方法二：由可知，直線過定點(diǎn)，記，則點(diǎn)到直線距離．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2018?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離．當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意，當(dāng)時(shí)，．由此能求出的最大值．【解答】解：由題意，當(dāng)時(shí)，．的最大值為3．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．五．兩條平行直線間的距離（共1小題）6．（2020?上海）已知直線，，若，則與的距離為．【分析】由求得的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計(jì)算即可．【解答】解：直線，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)與重合，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，；則與的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的定義和平行線間的距離計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．六．兩直線的夾角與到角問題（共1小題）7．（2021?上海）直線與直線的夾角為．【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【解答】解：直線的斜率不存在，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題．1.2解題模型1.傾斜角與斜率(1)由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時(shí)，常借助正切函數(shù)y=tanx在上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，正切函數(shù)在上并不是單調(diào)的.(2)求形如的最值，利用的幾何意義：連接定點(diǎn)(a,b)與動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線的斜率，借助圖形，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率的取值范圍問題.2.直線方程綜合應(yīng)用的類型與解題策略(1)求直線方程.若已知點(diǎn)和直線的方向求直線方程，則可由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.在應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在.在應(yīng)用“截距式”方程時(shí)，要注意討論截距是否為0.若已知兩直線的位置關(guān)系求直線方程，則可利用直線系直接設(shè)出方程，用待定系數(shù)法即可求解.歸納總結(jié)：常用的直線系方程如下：①與Ax+By+C=0(A,B不全為0)平行的直線方程設(shè)為Ax+By+D=0(D≠C).②與Ax+By+C=0(A,B不全為0)垂直的直線方程設(shè)為Bx-Ay+D=0.③過l?:A?x+B?y+C?=0(A?,B?不全為0),l?:A?x+B?y+C?=0(A?,B?不全為0)交點(diǎn)的直線方程設(shè)為A?x+B?y+G+λ(A?x+B?y+C?)=0(不包括l?).(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解.(3)求參數(shù)值或取值范圍.注意若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.(4)求解與直線方程有關(guān)的面積問題.應(yīng)根據(jù)直線方程求出相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長(zhǎng)度，進(jìn)而求得多邊形面積.(5)求含有參數(shù)的直線方程過定點(diǎn)問題.可將已知方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程.若直線恒過定點(diǎn)，則關(guān)于參數(shù)的方程恒成立，進(jìn)而求出定點(diǎn).如整理成f(x,y)+ag(x,y)=0,而該方程關(guān)于a恒成立，則有，其解就是所求定點(diǎn)。3.對(duì)稱問題的處理方法(1)中心對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)關(guān)于點(diǎn)O(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)Q(x0,y0)滿足(2)軸對(duì)稱①設(shè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)為B(m,n),則有解得m,n,即可得對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo).②直線關(guān)于直線的對(duì)稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決.1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市模考）一．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共1小題）1．（2022?莆田模擬）若直線與直線互相平行，則A． B． C．或0 D．0【分析】直接利用直線平行的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：直線與直線互相平行，故，解得或．當(dāng)時(shí)，兩直線重合；故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線平行的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題）2．（2021?漳州一模）已知，則直線和直線的位置關(guān)系為A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合【分析】由，得或．當(dāng)時(shí)，兩直線垂直；當(dāng)時(shí)，兩直線重合．【解答】解：因?yàn)?，所以或．?dāng)時(shí)，，斜率為,，斜率為,,兩直線垂直；當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)性考查落實(shí)，試題以含參數(shù)的直線方程為背景，考查兩直線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．三．恒過定點(diǎn)的直線（共1小題）3．（2023?南平模擬）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)，則直線的一個(gè)方向向量為．【分析】由直線系方程求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【解答】解：由，得，解得，則．又，則．即直線的一個(gè)方向向量為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線方向向量的求法，是基礎(chǔ)題．四．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程（共1小題）4．（2020?寧德一模）已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，斜率為的直線過點(diǎn)交于點(diǎn)，若的面積為2，則的值為A．3或 B．0 C． D．3【分析】設(shè)直線為，求出直線與的交點(diǎn)，利用，求出即可．【解答】解：設(shè)直線為，點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)到直線的距離為，由，故，所以，由，得，由，化簡(jiǎn)得，即，故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查直線的交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形面積，中檔題．五．兩點(diǎn)間的距離公式（共1小題）5．（2019?福州一模）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，則的最小值是．【分析】由題意畫出圖形，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解．【解答】解：動(dòng)點(diǎn)所滿足的可行域如圖：則的最小值轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．命題點(diǎn)二：圓的方程1.1母題精析（三年高考真題）一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）1．（2022?甲卷）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)半徑相等，求得的值，可得圓心和半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由于點(diǎn)和均在上，圓的半徑為，求得，可得半徑為，圓心，故的方程為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎(chǔ)題．二．圓的一般方程（共2小題）2．（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A． B．4 C． D．7【分析】根據(jù)題意，設(shè)，分析和，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得有，解可得的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，即，其幾何意義是以為圓心，半徑為3的圓，設(shè)，變形可得，其幾何意義為直線，直線與圓有公共點(diǎn)，則有，解可得，故的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?上海）已知圓的面積為，則．【分析】先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的半徑為1求解即可．【解答】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓的面積為，圓的半徑為1，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．三．圓的切線方程（共2小題）4．（2023?新高考Ⅰ）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，再計(jì)算和的值．【解答】解：圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題．5．（2022?新高考Ⅰ）寫出與圓和都相切的一條直線的方程（填，都正確）．【分析】由題意畫出圖形，可得兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．分別求出三條切線方程，則答案可求．【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，如圖：，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．，的斜率為，設(shè)直線，即，由，解得（負(fù)值舍去），則；由圖可知，；與關(guān)于直線對(duì)稱，聯(lián)立，解得與的一個(gè)交點(diǎn)為，在上取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，則，解得對(duì)稱點(diǎn)為，．，則，即．與圓和都相切的一條直線的方程為：（填，都正確）．故答案為：（填，都正確）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程的求法，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四．直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）6．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知圓，過點(diǎn)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由相交弦長(zhǎng)和圓的半徑及圓心到過的直線的距離之間的勾股關(guān)系，求出弦長(zhǎng)的最小值，即圓心到直線的距離的最大時(shí)，而當(dāng)直線與垂直時(shí)最大，求出的最大值，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)的最小值．【解答】解：由圓的方程可得圓心坐標(biāo)，半徑；設(shè)圓心到直線的距離為，則過的直線與圓的相交弦長(zhǎng)，當(dāng)最大時(shí)弦長(zhǎng)最小，當(dāng)直線與所在的直線垂直時(shí)最大，這時(shí)，所以最小的弦長(zhǎng)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．五．直線與圓的位置關(guān)系（共13小題）7．（2023?乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為A． B． C． D．【分析】設(shè)，則，根據(jù)題意可得，再將轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，最后通過函數(shù)思想，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)，則，根據(jù)題意可得：，，又，當(dāng)，，時(shí)，取得最大值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解，函數(shù)思想，屬中檔題．8．（2023?全國(guó)）為原點(diǎn)，在圓上，與圓相切，則A．2 B． C． D．【分析】由題意利用勾股定理即可求解．【解答】解：為原點(diǎn)，在圓上，與圓相切，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線長(zhǎng)問題，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022?北京）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則A． B． C．1 D．【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)，代入直線方程即可求得值．【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，直線是圓的一條對(duì)稱軸，圓心在直線上，可得，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，明確直線過圓心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10．（2021?北京）已知直線為常數(shù)）與圓交于，，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則A． B． C． D．【分析】將直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離的最大值，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，得到等式關(guān)系，求解即可得到答案．【解答】解：圓，直線，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為2，設(shè)弦長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離，當(dāng)弦長(zhǎng)取得最小值2時(shí)，則有最大值，又，因?yàn)?，則，故的最大值為，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了直線被圓所截得的弦長(zhǎng)問題，點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題．11．（2021?全國(guó)）已知點(diǎn)在圓上，則到直線距離的最小值為A． B． C． D．【分析】求出圓心到直線的距離，減去半徑，即可得出結(jié)論．【解答】解：的圓心到直線的距離等于，故圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離是解題的關(guān)鍵．12．（2021?新高考Ⅱ）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是A．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓相切 B．若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離 C．若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相切 D．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相離【分析】中，由點(diǎn)在圓上，可得，，的關(guān)系，求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得的真假；中，由點(diǎn)在圓外，可得，，的關(guān)系，求出圓心到直線的距離，與半徑比較，可得的真假；中，點(diǎn)在直線上，可得，，的關(guān)系，求出圓心到直線的距離，與半徑比較，可得的真假；中，由點(diǎn)在圓內(nèi)，可得，，的關(guān)系，求出圓心到直線的距離，與半徑比較，可得的真假．【解答】解：中，若在圓上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，即正確；中，點(diǎn)在圓外，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以不正確；中，點(diǎn)在直線上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，所以正確；中，點(diǎn)在圓內(nèi)，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)與圓，點(diǎn)與直線的關(guān)系的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2021?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則A．點(diǎn)到直線的距離小于10 B．點(diǎn)到直線的距離大于2 C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，【分析】求出過的直線方程，再求出圓心到直線的距離，得到圓上的點(diǎn)到直線的距離范圍，判斷與；畫出圖形，由圖可知，當(dāng)過的直線與圓相切時(shí)，滿足最小或最大，求出圓心與點(diǎn)間的距離，再由勾股定理求得判斷與．【解答】解：，，過、的直線方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離的范圍為，，，，，點(diǎn)到直線的距離小于10，但不一定大于2，故正確，錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)過的直線與圓相切時(shí)，滿足最小或最大點(diǎn)位于時(shí)最小，位于時(shí)最大），此時(shí)，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．14．（2023?新高考Ⅱ）已知直線與交于，兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的的一個(gè)值2（或或或．【分析】由“面積為，求得，設(shè)，得到，進(jìn)而求得圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解．【解答】解：由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)榈拿娣e為，可得，解得，設(shè)所以，可得，，或，或，圓心到直線的距離或，或，解得或．故答案為：2（或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．15．（2023?天津）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為6．【分析】不妨設(shè)直線方程為，由直線與圓相切求解值，可得直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由列式求解的值．【解答】解：如圖，由題意，不妨設(shè)直線方程為，即，由圓的圓心到的距離為，得，解得，則直線方程為，聯(lián)立，得或，即．可得，解得．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．（2022?新高考Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是，．【分析】求出的斜率，然后求解直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程，利用圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，列出不等式求解的范圍即可．【解答】解：點(diǎn)，，，所以直線關(guān)于對(duì)稱的直線的斜率為：，所以對(duì)稱直線方程為：，即：，的圓心，半徑為1，所以，得，解得，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．17．（2022?天津）若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則2．【分析】先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓中的弦長(zhǎng)公式建立方程，最后解方程即可得解．【解答】解：圓心到直線的距離，又直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，，，解得．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相交的弦長(zhǎng)問題，點(diǎn)到直線的距離公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題．18．（2022?全國(guó)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最小值為2．【分析】由圓的參數(shù)方程可得的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式寫出，結(jié)合三角函數(shù)求最值．【解答】解：如圖，令，，得，，即，，則當(dāng)時(shí)，有最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的應(yīng)用，考查圓的參數(shù)方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（2021?天津）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則．【分析】由題意如圖可得與半徑的關(guān)系，再由切線的斜率可得的值．【解答】解假設(shè)在軸的上方，斜率為的直線與軸交于，則可得，所以，如圖所示，由圓的方程可得，圓的半徑為，由于為切點(diǎn)，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，直線斜率的應(yīng)用，屬于中檔題．1.2解題模型1.求圓的方程的方法(1)待定系數(shù)法：①根據(jù)題意，選擇圓的方程的形式，若已知條件與圓心、半徑有關(guān)或與切線、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、距離等有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);若已知圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，則設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);若求過直線與圓或圓與圓的交點(diǎn)的圓的方程，則可利用圓系方程直接設(shè)出圓的方程.②根據(jù)條件列出關(guān)于相應(yīng)參數(shù)的方程組.③解出相應(yīng)參數(shù)，代入所選的方程中即可.(2)幾何法：在求圓的方程的過程中，常利用圓的一些性質(zhì)或定理直接求出圓心和半徑，進(jìn)而可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.常用的幾何性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心在一條直線上.歸納總結(jié):常見的圓系方程有如下幾種：(1)過直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(a∈R).(2)過圓C:x2+y2+D?x+E?y+F?=0(D12+E12-4F?>0)和圓C:x2+y2+D?x+E?y+F?=0(D22+E22-4F?>0)交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D?x+E?y+F?+λ(x2+y2+D?x+E?y+F?)=0(λ≠-1)(其中不含圓C?,因此注意檢驗(yàn)C?是否滿足題意，以防漏解).當(dāng)λ=—1時(shí)，表示兩圓公共弦所在直線的方程.2.有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問題的解法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長(zhǎng)為L(zhǎng),則有L=2.(2)代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于A(x?,y?),B(x?,y?)兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與圓的方程得y=kx+b,消去y后得到一個(gè)關(guān)(x-a)2+(y-b)2=r2,于x的一元二次方程，從而求出x?+xz,x?x?,則弦長(zhǎng)|AB|=(k為直線的斜率),注意此弦長(zhǎng)公式用于直線斜率存在的情況.3.圓的切線問題(1)求過圓上一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程的方法①若切線斜率存在且不為零，先求切點(diǎn)和圓心連線的斜率k,由垂直關(guān)系知切線斜率為一方，由點(diǎn)斜式可求切線方程；②若切線斜率不存在或?yàn)榱?，則可直接寫出切線的方程為x=x0或y=y0歸納總結(jié):過圓上一點(diǎn)的切線的結(jié)論如下：(1)圓x2+y2=r2上點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)圓(x—a)2+(y-b)2=r2上點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為(x?-a)(x-a)+(y0-b)·(y-b)=r2(2)求過圓外一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程的方法(必有兩條切線)①幾何法：當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,則切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx一y+y0-kx0=0,由圓心到切線的距離等于半徑列出關(guān)于k的方程，解方程即可得到k的值，從而可得切線方程；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可直接寫出切線的方程為x=x0.②代數(shù)法：當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,則切線方程為y-y0=k(x-x?),即kx-y+yo-kx?=0,代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由△=0求得k的值，從而得到切線方程；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可直接寫出切線的方程為x=x0.4.與圓有關(guān)的最值問題解決與圓有關(guān)的最值問題的步驟：(1)定圓：確定已知圓的圓心與半徑；(2)定距：確定動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、定點(diǎn)、定直線間的距離，以及相互間的等量關(guān)系，必要時(shí)數(shù)形結(jié)合：(3)尋轉(zhuǎn)化：一般將動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)直線間的距離問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(如圓心)間的距離問題，或者表示為函數(shù)形式，結(jié)合圓上的點(diǎn)(x,y)滿足的條件求解；(4)下結(jié)論：把所求問題與上述距離問題相聯(lián)系，從而求出結(jié)果.1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市模考）一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）1．（2022?福州模擬）已知，，，，，則外接圓的方程為A． B． C． D．【分析】由題意可得所求外接圓的圓心在軸上，由圓的半徑的定義解方程可得圓心和半徑，進(jìn)而得到所求圓的方程．【解答】解：由，，，，可得外接圓的圓心在軸上，設(shè)圓心為，由，可得，解得，則外接圓的半徑為，可得外接圓的方程為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．軌跡方程（共7小題）2．（2022?泉州模擬）四邊形為梯形，且，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)及其邊界上的點(diǎn)．若，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是A． B． C． D．【分析】由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，即動(dòng)點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上．證明后，可得點(diǎn)的軌跡為線段，即可得到答案．【解答】解：，即．設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，即動(dòng)點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上．在中，，，，由余弦定理得，所以；則，所以．因?yàn)槭撬倪呅蝺?nèi)及其邊界上的點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為線段．所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量中的軌跡問題，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?漳州模擬）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是A． B．平面 C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 D．與所成角的余弦值為【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法判斷各選項(xiàng)．【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，0，，，2，，，0，，，1，，，，，所以，，，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得，所以動(dòng)點(diǎn)在直線上，選項(xiàng)：，，，所以與不垂直，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，平面，平面，所以平面，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：動(dòng)點(diǎn)在直線上，且為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則在線段上，，所以，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定，空間角的計(jì)算，立體幾何中的軌跡問題，空間向量及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．4．（2022?廈門模擬）已知是圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)在軸上，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的軌跡可以是A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【分析】分點(diǎn)在圓內(nèi)、圓外、圓上、圓心，作圖，結(jié)合橢圓、雙曲線定義以及圓的性質(zhì)可得軌跡方程．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)在的垂直平分線上，所以，所以，又，所以由橢圓定義知，此時(shí)軌跡為橢圓；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖2，，且，由雙曲線定義可知，此時(shí)軌跡為雙曲線；當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，易知點(diǎn)為定點(diǎn)，即圓心；當(dāng)點(diǎn)在于點(diǎn)重合時(shí)，易知為的中點(diǎn)，軌跡為圓．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求解，橢圓的定義及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．5．（2021?福州模擬）在中，，為的中點(diǎn)，且，則下列說法中正確的是A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線 B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．是鈍角三角形 D．面積的最大值為【分析】由聯(lián)想到雙曲線的定義，可以考慮以，兩點(diǎn)作為焦點(diǎn)，然后通過的取值對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可得到答案．【解答】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)，因?yàn)椴皇嵌ㄖ?，即不是定值，故的軌跡不是雙曲線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以一定有關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；設(shè)，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的動(dòng)圓上，由，可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，的雙曲線上，且，對(duì)于點(diǎn)，有，，所以，當(dāng)時(shí)，最大，故，所以，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，得到的點(diǎn)，使得為直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，涉及了雙曲線的定義以及圓的性質(zhì)的應(yīng)用，要掌握求解動(dòng)點(diǎn)軌跡的常見方法：直接法、定義法、代入法、消元法、交軌法等，屬于中檔題．6．（2022?龍巖模擬）已知是等腰直角三角形，點(diǎn)在平面的同一側(cè)運(yùn)動(dòng)，到平面的距離為6，三棱錐的體積為18且其外接球的半徑為5，則滿足上述條件的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．【分析】根據(jù)題意求得外接球的球心到平面的距離為4，進(jìn)而得到球心到點(diǎn)軌跡所在圓的距離為2，求得點(diǎn)的軌跡所在圓的半徑為，利用圓的周長(zhǎng)公式，即可求解．【解答】解：如圖所示，由是等腰直角三角形，可得，又由到平面的距離為6，三棱錐的體積為18，可得，解得，所以，因?yàn)槠渫饨忧虻陌霃?，可得，解得，即圓心到平面的距離為4，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為6，所以球心到點(diǎn)軌跡所在圓的距離為2，設(shè)點(diǎn)的軌跡所在圓的半徑為，可得，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球與多面體的切接問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．7．（2022?莆田模擬）已知為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為．【分析】首先根據(jù)條件確定點(diǎn)所處的平面，再建立坐標(biāo)系求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，據(jù)此求出軌跡的長(zhǎng)．【解答】解：由，，可知正方體表面上到點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以點(diǎn)只可能在面，面，面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由，得，即，即點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，因?yàn)?，，故，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)為，同理，點(diǎn)在的情況亦為，點(diǎn)在面上時(shí)，因?yàn)?，，所以，，，所以此時(shí)點(diǎn)軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，其長(zhǎng)度為，綜上所述，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體性質(zhì)，考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（2021?漳州模擬）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為．【分析】利用線面關(guān)系證明平面，從而得到，即，在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，進(jìn)而求出，再利用，即可得到點(diǎn)的軌跡方程，由此求解軌跡長(zhǎng)度即可．【解答】解：如圖1，設(shè)為，的交點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，，平面，故平面，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，正方體的棱長(zhǎng)為4，則，，故，在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，所以，，設(shè)，則，，所以，又，所以，整理可得，故點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，所以軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及了線面位置關(guān)系的判斷，要掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題．三．圓的切線方程（共1小題）9．（2023?莆田模擬）寫出一個(gè)被直線平分且與直線相切的圓的方程：．【分析】根據(jù)題意可得圓心在直線上，且圓心到直線的距離等于半徑，取特列分析驗(yàn)證即可．【解答】解：由題意可知，圓心過直線，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，又因?yàn)閳A心到直線的距離，即符合題意．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．四．直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）10．（2022?龍巖模擬）已知點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，則A．當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．的取值范圍為， C．當(dāng)為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．直線過定點(diǎn)，【分析】根據(jù)距離公式及圓心切點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形求解，再利用過定點(diǎn)的判斷法則進(jìn)行判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，則，則圓，，又點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，設(shè)，，，即，該方程△，無解，故不存在點(diǎn)使得為正方形，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由知，，，，則，即的取值范圍是，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：若三角形為等邊三角形為等邊三角形，易知，又平分，，在中，由于，，又點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，即，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，，記中點(diǎn)為，則以為圓心，為半徑的圓與圓的公共弦為，圓方程為，整理得，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，即得直線方程為，將代入方程恒成立；故直線過定點(diǎn)，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．五．直線與圓的位置關(guān)系（共20小題）11．（2023?福建模擬）設(shè)圓，若直線在軸上的截距為1，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能【分析】利用直線過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可．【解答】解：直線在軸上的截距為1，直線過定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題．12．（2023?泉州模擬）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則的最大值等于A．2 B．4 C．8 D．16【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心坐標(biāo)，再求出直線過定點(diǎn)，又根據(jù)對(duì)稱性，可知恰好為圓心坐標(biāo)，即可求出圓的方程，再由圓過原點(diǎn)，則，利用基本不等式計(jì)算可得．【解答】解：圓，即，圓心為，直線，因?yàn)?，所以直線的斜率不為0，又，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，又圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，所以，解得，所以圓，半徑，顯然，即圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)榕c交于，兩點(diǎn)，即為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值等于4．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．（2023?龍巖模擬）已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線，，相交于點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【分析】直線，令，，可得直線經(jīng)過的定點(diǎn)；同理直線經(jīng)過點(diǎn)，由，可得直線直線，得出點(diǎn)的軌跡方程，可得，．【解答】解：直線，令，則，解得，，直線經(jīng)過定點(diǎn)；同理直線經(jīng)過點(diǎn)，由，可得直線直線，點(diǎn)在以，為圓心，以為半徑的圓上，其方程為，，，，即，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線經(jīng)過定點(diǎn)問題、兩圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（2023?福州模擬）已知，關(guān)于直線對(duì)稱的圓記為，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度的最小值為4，則A．或 B．或 C．或 D．或【分析】由題意可得，到直線的距離的最小值為2，進(jìn)而得，求解即可．【解答】解：由題意可得，到直線的距離的最小值為2，，整理得，解得或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．15．（2022?漳州模擬）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先求出的充要條件，利用包含關(guān)系即可判斷．【解答】解：因?yàn)橹本€與圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則等價(jià)于，，，解得或，“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?泉州模擬）已知為圓的直徑，直線與軸交于點(diǎn)，則A．與恒有公共點(diǎn) B．是鈍角三角形 C．的面積的最大值為1 D．被截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為【分析】求得直線過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷，；進(jìn)而可求三角形的最大面積，以及最短弦長(zhǎng)判斷，．【解答】解：直線過定點(diǎn)，又，點(diǎn)在圓內(nèi)，故與恒有公共點(diǎn)，故正確；點(diǎn)在圓內(nèi)，，故正確；當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；到直線的距離，被截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的方程，直線與圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬中檔題．17．（2023?莆田模擬）已知圓，點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則A．不在圓上 B．軸被圓截得的弦長(zhǎng)為3 C．，，三點(diǎn)共線 D．的最大值為【分析】把點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可判斷；求得圓心到軸的距離，利用垂徑定理可求弦長(zhǎng)判斷；求得直線的方程，可判斷；利用圓與軸相切可判斷．【解答】解：圓，可得圓心為，半徑為，又，，，兩點(diǎn)均在圓上，故不正確，圓心到軸的距離為2，軸被圓截得的弦長(zhǎng)為，故正確；由點(diǎn)，，可得直線的方程為，又，故圓心在直線上，，，三點(diǎn)共線，故正確，圓心到軸的距離為，故圓與軸相切于點(diǎn)，當(dāng)為時(shí)，的最大值為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證問題，屬中檔題．18．（2023?泉州模擬）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，記到的距離為，則A． B．的最大值為 C．是等腰三角形 D．的最小值為【分析】對(duì)于，根據(jù)垂徑定理以及弦長(zhǎng)公式，可得答案；對(duì)于，根據(jù)題意作圖，結(jié)合圓上點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，可得答案；對(duì)于，求弦的中垂線的直線方程，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于，由題意，作圖，根據(jù)線段組合，求得答案．【解答】解：對(duì)于，由圓，可得，半徑為2，點(diǎn)到直線的距離為，則，故正確；對(duì)于，由題意，可作下圖：點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由選項(xiàng)與題意，如圖：易知，，則直線的斜率，由，則直線的斜率，由，則直線的方程為，則，即點(diǎn)在直線上，為的中垂線，是等腰三角形，故正確；對(duì)于，由題意，可作圖：則，顯然，則，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了分析解決問題的能力，屬于中檔題．19．（2022?三明模擬）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是A．的最小值為 B．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則 C．若，則或 D．若，，，四點(diǎn)共圓，則【分析】判斷出直線過定點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、圓的對(duì)稱性、點(diǎn)到直線的距離公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：直線過點(diǎn)，圓，即①，圓心為，半徑為，由于，所以在圓內(nèi)．，所以，此時(shí)，所以選項(xiàng)正確．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過，兩點(diǎn)，斜率為，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．設(shè)，則，此時(shí)三角形是等腰直角三角形，到直線的距離為，即，解得或，所以選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)，若，，，四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，，的中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線為，，則②，圓的方程為，整理得③，直線是圓和圓的交線，由①②并整理得，將代入上式得，④，由②④解得，，所以直線即直線的斜率為，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2022?泉州模擬）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是A．點(diǎn)到的最大距離為8 B．若被圓所截得的弦長(zhǎng)最大，則 C．若為圓的切線，則的取值范圍為， D．若點(diǎn)也在圓上，則到的距離的最大值為3【分析】直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，可判斷；被圓所截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)，則過圓的圓心，可求，可判斷；由，可求判斷；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為圓的半徑3，可判斷．【解答】解：直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大距離為，故到直線的最大距離為，故正確；被圓所截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)，則過圓的圓心，所以，解得，故正確；若為圓的切線，，解得，故錯(cuò)誤；若點(diǎn)也在圓上，則圓與直線有公共點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為圓的半徑3，所以到的距離的最大值為3，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到線的距離的最大值，屬中檔題．21．（2022?莆田模擬）已知直線與圓相切，則下列說法正確的是A． B． C． D．【分析】由直線與圓相切可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的范圍，可判斷正確性．【解答】解：直線與圓相切，圓心到直線的距離，即．，，故錯(cuò)誤；，故正確；，故正確；，故錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．22．（2021?莆田模擬）已知曲線的方程為，，則A．表示一條直線 B．當(dāng)時(shí)，與圓有3個(gè)公共點(diǎn) C．當(dāng)時(shí)，存在圓，使得圓與圓相切且圓與有4個(gè)公共點(diǎn) D．當(dāng)與圓的公共點(diǎn)最多時(shí)，的取值范圍是【分析】將曲線化簡(jiǎn)，可得或，可判斷；考慮圓與軸、直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷；可取圓心，半徑為2的圓，可判斷；考慮時(shí)，直線與圓相切，可得與圓的公共點(diǎn)最多時(shí)，的取值范圍，可判斷．【解答】解：曲線的方程為，兩邊平方可得，化為或，即曲線表示兩條直線，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，圓的圓心為，半徑為4，圓與有兩個(gè)交點(diǎn)；又圓心到直線的距離為，所以與圓有3個(gè)公共點(diǎn)，故正確；當(dāng)時(shí)，圓的圓心為，半徑，存在圓，圓心，半徑為2，圓與圓相切且圓與有4個(gè)公共點(diǎn)，故正確；當(dāng)與圓的公共點(diǎn)最多時(shí)，且為4個(gè)．由或5時(shí)，與圓有3或2個(gè)公共點(diǎn)，可得當(dāng)與圓的公共點(diǎn)最多時(shí)，的取值范圍是，，，故不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．23．（2023?福建模擬）寫出過點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的一條直線的方程，答案不唯一）．【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心、半徑．根據(jù)弦長(zhǎng)，得出圓心到直線的距離．先判斷斜率不存在時(shí)是否滿足，然后設(shè)出斜率，得出直線方程，表示出圓心到直線的距離，得出方程，即可解出的值．【解答】解：圓的方程可化為，圓心為，半徑，由弦長(zhǎng)為可得，圓心到直線的距離．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心在直線上，弦長(zhǎng)為，不滿足題意，所以直線的斜率存在．設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，此時(shí)圓心到直線的距離，解得．所以，直線的方程為或．故答案為：，答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023?廈門模擬）寫出與直線，，和圓都相切的一個(gè)圓的方程（答案不唯一，只需滿足與直線，，和圓都相切即可）．【分析】根據(jù)相切關(guān)系，列出圓心和半徑應(yīng)該滿足的條件即可．【解答】解：設(shè)圓的方程為：，和與直線，相切可以得：，和圓相切得：或，若，則，，此時(shí)圓的方程：．故答案為：（答案不唯一，只需滿足與直線，，和圓都相切即可）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023?龍巖模擬）寫出一個(gè)與圓外切，并與直線及軸都相切的圓的方程或或或（寫出其中一個(gè)即可）．【分析】設(shè)出圓的方程，由已知條件及幾何關(guān)系建立等量關(guān)系，用待定系數(shù)法求解即可．【解答】解：設(shè)所求圓的方程為：，因?yàn)榕c圓外切，所以，又因?yàn)榕c直線及軸都相切，所以圓心在上或上，當(dāng)圓心在上，所以，，聯(lián)立得：，解得：，，所以求得圓的方程為：或，當(dāng)圓心在上，所以，，聯(lián)立得：，解得：，，所以求得圓的方程為：或．故答案為：或或或（寫出其中一個(gè)即可）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．26．（2023?泉州模擬）已知圓，，．若上存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)可以是4．（只要寫出一個(gè)符合條件的即可）【分析】由題意可得點(diǎn)在以為直徑為圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，寫出圓的方程，求出圓的圓心與半徑，可得圓與圓有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)，，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在以為直徑為圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，，所以圓的方程為，圓，圓心為，半徑為，則；若圓上存在點(diǎn)，滿足，則圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得：，所以的取值可以4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．27．（2022?南平模擬）已知為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為．【分析】根據(jù)題意，設(shè)，變形分析的幾何意義，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，變形可得，則即的幾何意義為直線的斜率，為圓上任意一點(diǎn)，則有，即，解可得：，即的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及斜率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．28．（2021?泉州二模）已知圓，直線和，與圓相切于點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則到的距離為或．【分析】由與圓相切求得的方程，進(jìn)一步求得的坐標(biāo)，利用圓的性質(zhì)求得圓心到直線的距離，利用垂徑定理列式求的值，可得的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求解．【解答】解：直線與圓相切，，解得，，聯(lián)立，解得或，不妨?。O(shè)圓心到直線的距離為，，，，，解得，則．時(shí)，到直線的距離為；時(shí)，到直線的距離為．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．29．（2021?南平模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，定義，、，兩點(diǎn)間的直角距離為，如圖是圓當(dāng)時(shí)的一段弧，是與軸的交點(diǎn)，將依次以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)五次，得到由六段圓弧構(gòu)成的曲線．則．若點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，則的最大值為．【分析】由已知求得、的坐標(biāo)，直接由兩點(diǎn)間的直角距離公式求；據(jù)對(duì)稱性，只需討論點(diǎn)在第一象限的兩類情況，求得，取最大值即可．【解答】解：由圖可得，點(diǎn)，，；根據(jù)對(duì)稱性，只需討論點(diǎn)在第一象限的情況：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí)，所在圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)，，可得，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．綜上所述，的最大值為．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角距離、三角換元、三角函數(shù)化簡(jiǎn)求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，體現(xiàn)創(chuàng)新性和綜合性，是中檔題．30．（2021?福州一模）已知圓的方程為，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第四象限）．若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．【分析】利用三角形的補(bǔ)角以及，推出，結(jié)合點(diǎn)在圓上，利用待定系數(shù)法求解點(diǎn)，即可得到答案．【解答】解：圓的方程為，因?yàn)?，由三角形的補(bǔ)角可知，，所以，故為等腰三角形，所以，設(shè)，則，解得，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，其中推導(dǎo)出為等腰三角形是解題的關(guān)鍵，考查了化簡(jiǎn)計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．六．圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共2小題）31．（2022?泉州模擬）若圓與圓交于、兩點(diǎn)，則的最大值為A． B． C． D．【分析】分析出為圓與圓的公共弦，且圓的半徑為1，，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定時(shí)，最大，此時(shí)最大，最大值為．【解答】解：圓與圓交于、兩點(diǎn)，可化為，故圓的圓心為，半徑為，由題意可知：為圓與圓的公共弦，且圓的半徑為1，所以且，故，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，在中，，又，，在上單調(diào)遞減，故為銳角，且當(dāng)時(shí)，最大，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，且最大值為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．32．（2023?福建模擬）已知，，則下列說法正確的是A．若，兩圓的公切線過點(diǎn) B．若，兩圓的相交弦長(zhǎng)為 C．若兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，分別過點(diǎn)的兩圓的切線相互垂直，則 D．若時(shí)，兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩圓半徑比可確定的位置，可判斷；由兩圓方程作差可得公共弦所在直線方程確定的正誤，根據(jù)兩圓交點(diǎn)處的切線垂直可知兩圓圓心距，半徑可構(gòu)成直角三角形即可判斷；通過圓心距與半徑差的大小關(guān)系可判斷．【解答】解：當(dāng)時(shí)，兩圓公切線分別與，切于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，，故，故正確；當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在的直線方程可由兩圓方程相減得到，相交弦直線方程為，相交弦長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；若，則，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故兩圓關(guān)系是內(nèi)含，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：一．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共2小題）1．（2021?思明區(qū)校級(jí)模擬）已知直線和，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】先求出對(duì)應(yīng)的的取值，根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷．【解答】解：直線和，當(dāng)時(shí)，，解得且，因此當(dāng)時(shí)，不能推出；所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的充要條件的應(yīng)用，以及充分條件，必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?三明模擬）已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)A． B．3 C．5 D．或3【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，求出的值．【解答】解：直線與直線平行，，求得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共1小題）3．（2023?新羅區(qū)校級(jí)模擬）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是A． B． C． D．【分析】由題意，根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，求出要求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程．【解答】解：中，，，，直線的斜率為，則邊上的高所在的直線的斜率為，故邊上的高所在的直線方程是，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．三．兩點(diǎn)間的距離公式（共2小題）4．（2014?泉州模擬）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為A． B． C． D．【分析】求兩個(gè)曲線上不同兩點(diǎn)的距離的最小值，顯然沒法利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，可結(jié)合函數(shù)上的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在其反函數(shù)的圖象上把問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)與上的點(diǎn)到直線的距離之和最小問題，而與平行的直線同時(shí)與曲線和切于同一點(diǎn)，所以的距離的最小值為點(diǎn)到直線距離的2倍．【解答】解：如圖，因?yàn)榈姆春瘮?shù)是，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離等于在曲線上的對(duì)稱點(diǎn)到直線的距離．設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上有最小值（1），則當(dāng)時(shí)，除點(diǎn)外函數(shù)的圖象恒在的上方，在處兩曲線相切．求曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，可看作是求曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離的最小值的和，而函數(shù)與在時(shí)的導(dǎo)數(shù)都是1，說明與直線平行的直線與兩曲線切于同一點(diǎn)則的距離的最小值為點(diǎn)到直線距離的2倍，所以的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是分析得到函數(shù)的圖象除點(diǎn)外恒在的上方，且在處兩曲線相切．此題屬中檔題．5．（2023?思明區(qū)校級(jí)三模）已知點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，，過點(diǎn)，且與直線相切，若存在定點(diǎn)，使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【分析】先利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡是拋物線，利用拋物線的定義即可求出點(diǎn)．【解答】解：設(shè)，由已知得的半徑為，．因?yàn)槭菆A的弦且是弦的中點(diǎn)，所以，則，故可得，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為．由的軌跡方程可知該拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線為．則到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，該距離，又，由拋物線方程可知，則，顯然，是定值，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為定值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用拋物線的定義求定點(diǎn)，屬于中檔題．四．軌跡方程（共7小題）6．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)模擬）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，直線，過點(diǎn)且方向向量為的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，則A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條拋物線 B．直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn) C． D．【分析】將方程化簡(jiǎn)可得，即可得軌跡，從而可判斷，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，即可聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：將兩邊平方可得，當(dāng)時(shí)，，這表示拋物線，當(dāng)時(shí)，，表示射線，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條拋物線和一條射線，故錯(cuò)誤，聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，令，所以直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為，，故錯(cuò)誤，由題意可知直線的方程為，由于直線與射線無交點(diǎn)，所以，設(shè)，，，，所以，由于直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，所以，故正確，由于，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．7．（2022?漳州模擬）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是A． B．平面 C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 D．與所成角的余弦值為【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法判斷各選項(xiàng)．【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，0，，，2，，，0，，，1，，，，，所以，，，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得，所以動(dòng)點(diǎn)在直線上，選項(xiàng)：，，，所以與不垂直，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，平面，平面，所以平面，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：動(dòng)點(diǎn)在直線上，且為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則在線段上，，所以，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定，空間角的計(jì)算，立體幾何中的軌跡問題，空間向量及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．8．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡，若，在曲線上，則下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于軸對(duì)稱 B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱 C． D．【分析】設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)題意列式化簡(jiǎn)求出曲線的軌跡方程，再結(jié)合圖象判斷，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：由題可知，曲線上任意一點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，且；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)可得，且，畫出曲線的圖象：對(duì)于，，顯然圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，故錯(cuò)誤，正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，解得，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榧吹慕裹c(diǎn)為，故拋物線的焦點(diǎn)為，同理，也是拋物線的焦點(diǎn)．故的最小值為到的距離1，最大值為方程左右端點(diǎn)，到的距離，故，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的軌跡方程，屬于中檔題，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．9．（2022?薌城區(qū)校級(jí)模擬）已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B．若，則四邊形的面積為6 C．若，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)最小時(shí)，【分析】依次作出圖形，軌跡勾股定理計(jì)算即可判斷、；根據(jù)兩點(diǎn)求距離公式求出當(dāng)時(shí)的值，進(jìn)而即可判斷；當(dāng)最小時(shí)與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，利用兩點(diǎn)求直線斜率公式和零點(diǎn)的存在性定理即可判斷．【解答】解：由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，：如圖，當(dāng)時(shí)，，故不正確；：如圖，當(dāng)時(shí)，，，四邊形的面積，故正確；：如圖，當(dāng)時(shí)，，，又，則，解得，所以當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)和之間水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故正確；：如圖，當(dāng)最小時(shí)，與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，所以兩直線斜率之積，即，令，得，，所以，由零點(diǎn)的存在性定理，得，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程及其應(yīng)用，圓的方程及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．10．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為；若動(dòng)點(diǎn)在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．【分析】第一空：由題，先得出三棱錐為直三棱錐，則其外接球相當(dāng)于以，，為棱的長(zhǎng)方體的外接球，則直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則可求外接球表面積；第二空：要使，則在的角平分面上，則的軌跡為圓，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，求出球心到角平分面的距離即可求出的軌跡圓的半徑，即可求的軌跡長(zhǎng)．【解答】解：由平面，得，三棱錐為直三棱錐，其外接球相當(dāng)于以，，為棱的長(zhǎng)方體的外接球，故外接球半徑為，故三棱錐外接球的表面積為；如圖，中點(diǎn)為，則易得以，，為棱的正方體，由正方體的對(duì)稱性，要使，則在的角平分面上，即面，故的軌跡為面與外接球相交出的圓．取、中點(diǎn)，，由正方體的對(duì)稱性易得面面，且，，故由余弦定理得，故上的高，故的軌跡圓的半徑，故軌跡長(zhǎng)為．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體圖形的外接球及軌跡問題，屬于中檔題，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．11．（2021?龍巖一模）正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．【分析】判斷點(diǎn)所在的三個(gè)平面內(nèi)，結(jié)合距離推出弧長(zhǎng)，得點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度．【解答】解：正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若，所以點(diǎn)在不含點(diǎn)的三個(gè)平面上，如圖，是3個(gè)的圓周，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度的求法，考查正方體、球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．12．（2021?漳州模擬）設(shè)動(dòng)圓，則圓心的軌跡方程為；若直線被所截得的弦長(zhǎng)為定值，則．【分析】設(shè)動(dòng)圓圓心，消去可得圓心的方程，利用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，結(jié)合弦長(zhǎng)為定值，可求出的值．【解答】解：設(shè)動(dòng)圓圓心，則依題意可得，消去得，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為；動(dòng)圓的半徑為，設(shè)動(dòng)圓圓心到直線的距離為，則直線被動(dòng)圓所截得的弦長(zhǎng)，依題意可得為定值，故為定值，因?yàn)閳A心的軌跡方程為，所以可設(shè)，則，若為定值，則，解得，故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的綜合應(yīng)用，涉及了圓的弦長(zhǎng)，同時(shí)考查了學(xué)生邏輯推理能力以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）13．（2021?城廂區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，，，，，．若存在實(shí)數(shù)，使得成立，稱點(diǎn)為“”點(diǎn)，則“”點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個(gè)【分析】集合，都是不連續(xù)的點(diǎn)集．“存在實(shí)數(shù)，使得成立”的含義就是“存在實(shí)數(shù)，使得有解”，時(shí)，再抓住主參數(shù)，，則此問題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)在直線上，且與圓相交或在內(nèi)部．【解答】解：由得，，時(shí)，對(duì)于任意的整數(shù)，動(dòng)點(diǎn)的集合是直線，由于圓的圓心到直線的距離．為整數(shù)，上式不能取等號(hào)，所以直線和圓相離．所以兩者無有公共點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題將集合轉(zhuǎn)化為曲線，用集合的方法研究，利用了數(shù)形結(jié)合的思想．六．圓的切線方程（共3小題）14．（2023?晉安區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．則直線的方程為A． B． C． D．【分析】求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程．【解答】解：圓的圓心為，半徑為2，以、為直徑，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)圓的兩條切線切點(diǎn)分別為，，是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（2022?三元區(qū)校級(jí)模擬）已知圓，圓，若圓上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由題意求出的距離，得到的軌跡，再由圓與圓的位置關(guān)系求得答案．【解答】解：由題可知圓的半徑為，圓上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，使得，則，在中，，所以點(diǎn)在圓上，由于點(diǎn)也在圓上，故兩圓有公共點(diǎn)．又圓的半徑等于1，圓心坐標(biāo)，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（2022?城廂區(qū)校級(jí)模擬）與直線垂直，且與圓相切的直線方程是A．或 B．或 C．或 D．或【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線垂線的性質(zhì)，設(shè)出所求直線方程為，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【解答】解：所求直線與直線垂直，所求直線斜率，可設(shè)所求直線方程為，直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，故所求直線方程為或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線方程的求解，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．七．直線與圓的位置關(guān)系（共24小題）17．（2023?福建模擬）設(shè)圓，若直線在軸上的截距為1，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能【分析】利用直線過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可．【解答】解：直線在軸上的截距為1，直線過定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題．18．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）若點(diǎn)是圓上的任一點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，則的最小值為A． B．2 C． D．8【分析】由題意可知，，設(shè)，利用圓的參數(shù)方程可得，可求的最小值．【解答】解：由題意可知，，設(shè)，由圓，得，圓的參數(shù)方程為，為參數(shù)，，，，其中，當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．19．（2023?惠安縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓的半徑為3，直線，互相垂直，垂足為，且與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為A．10 B．12 C．13 D．15【分析】設(shè)圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，可得，，可求四邊形的面積的最大值．【解答】解：設(shè)圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，直線，互相垂直，垂足為，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查重要不等式的應(yīng)用，屬中檔題．20．（2023?思明區(qū)校級(jí)三模）若，為圓上任意兩點(diǎn)，為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線與圓的幾何分析得出當(dāng)與直線垂直時(shí)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，此時(shí)最大；即可在中計(jì)算得出，即，即可得出答案．【解答】解：過作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，根據(jù)切線的性質(zhì)得，在中，根據(jù)已知可得，則當(dāng)越小，則越大，，越大，越大，則當(dāng)與直線垂直時(shí)，此時(shí)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)可得此時(shí)最大，此時(shí)，則，即，則的最大值為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的幾何性質(zhì)，函數(shù)思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬中檔題．21．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為A． B．1 C． D．2【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到直線的距離，根據(jù)直線和圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，則直線和圓相離，則的最小值為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，求出圓心到直線的距離，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．22．（2022?集美區(qū)校級(jí)模擬）過軸正半軸上一點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則的最小值為A．1 B． C．2 D．3【分析】根據(jù)題意，由直線與圓的位置關(guān)系可得，由射影定理可得，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，過作圓的兩條切線，，切點(diǎn)為，，連結(jié)，，與交于點(diǎn)，則、為兩個(gè)全等的直角三角形，若，則，又由，即，則有，必有，解可得，即的最小值為1；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的切線方程，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)最小時(shí)的值最小，是中檔題．23．（2021?上杭縣校級(jí)模擬）已知圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是A．1 B．8 C．2 D．4【分析】求出圓的圓心，代入直線方程，推出，關(guān)系，利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：圓的圓心，圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，可得，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是4．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．24．（2023?泉州模擬）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于A．2 B．3 C．4 D．5【分析】求得圓心與半徑，直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線與圓相交的弦的取值范圍．【解答】解：由圓，可得圓心，半徑，由直線方程，可知直線過定點(diǎn)，由，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)垂直直線時(shí)，的長(zhǎng)最短，又，，直線過圓心時(shí)，的最大值為圓的直徑，的長(zhǎng)度的取值范圍為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線圓的位置關(guān)系，考查圓中的弦長(zhǎng)的求法，屬中檔題．25．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)二模）已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的可能取值為A．7 B．6 C．5 D．8【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，可得圓心到的距離為5，得到圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，再由，可得，從而得到的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案．【解答】解：圓的圓心，半徑為1，圓心到的距離為5，圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，再由，可得以為直徑的圓和圓有交點(diǎn)，得，即，結(jié)合選項(xiàng)可得，的值可能取6和5．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的解題思想，是中檔題．26．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線，和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，圓，則下列說法正確的有A．直線過定點(diǎn) B．直線與圓相交最短弦長(zhǎng)為2 C．動(dòng)點(diǎn)的曲線與圓相切 D．最大值為5【分析】由直線的方程可得直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓到直線的距離，由弦長(zhǎng)，圓心到直線的距離及圓的半徑的關(guān)系可得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性可得弦長(zhǎng)的范圍，由題意可得點(diǎn)的軌跡為圓，圓心的坐標(biāo)及半徑，求出兩圓的圓心距，可得與兩圓的半徑的關(guān)系，由均值不等式可得，可判斷所給命題的真假．【解答】解：由直線，可得過定點(diǎn)，動(dòng)直線，可得恒過定點(diǎn)，所以正確；由圓的方程可得圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為，，，所以弦長(zhǎng)的最小值為2，所以正確；因?yàn)閮蓷l直線始終互相垂直，是兩條直線的交點(diǎn)，所以，可得的軌跡為圓，且圓心為的中點(diǎn)，，，半徑，圓心距為，所以兩圓相交，所以正確；因?yàn)閮蓷l直線始終互相垂直，是兩條直線的交點(diǎn)，所以，可得，由均值不等式，可得，即，所以不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求直線恒過定點(diǎn)的方法，直線與圓相交的弦長(zhǎng)的求法，均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2023?仙游縣校級(jí)模擬）已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，設(shè)圓與圓相交于，兩點(diǎn)．則下列選項(xiàng)正確的是A．當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，圓的面積最小 B．直線過定點(diǎn) C．點(diǎn)到直線的距離為定值 D．【分析】由題意圓的面積最小只需最小，結(jié)合圓的性質(zhì)判斷；應(yīng)用特殊點(diǎn)，討論為圓在軸交點(diǎn)分別判斷直線的位置即可判斷；由兩圓相交