2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 圓綜合解答題 訓(xùn)練

2024年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合解答題》專(zhuān)題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB.CD是。。的直徑，￡是。4長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NCED=

ACAB.

⑴求證：CE是。。的切線;

(2)若。E=3V5,tanB=求線段CE的長(zhǎng).

2.如圖，在AABC中，AB=AC,以4B為直徑作。。交BC于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)。作DE12C,

垂足為E,延長(zhǎng)C4交。。于點(diǎn)F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若tanB=2，。。的半徑為5,求線段CF的長(zhǎng).

3.如圖，AABC內(nèi)接于國(guó)。，直徑。EEL4B于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)M,OE的延長(zhǎng)線與AC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接AM.

(1)求證：

(2)若4M08M,DE=8,0A^=15O,求的長(zhǎng).

4.如圖，△力BC內(nèi)接于O。，4B是。。的直徑，。是。。上的一點(diǎn)，CO平分NBCD,CE1

AD,垂足為E,與CD相交于點(diǎn)八

(1)求證：CE是。。的切線;

(2)當(dāng)。。的半徑為5,sinB=|時(shí)，求CE的長(zhǎng).

5.如圖1,銳角及43。內(nèi)接于回。，WAC=60°,若回。的半徑為2百.

圖1圖2

(1)求BC的長(zhǎng)度;

⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)A作A/70BC于點(diǎn)H,若A8+AC=12,求AH的長(zhǎng)度.

6.如圖，是。。的直徑，〃是。力的中點(diǎn)，弦CD14B于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作DE1C4交

C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

⑴連接加貝此4。。=

(2)求證：DE與。。相切；

⑶點(diǎn)廠在8C上，ZCOF=45°,DF交AB于點(diǎn)、N.若DE=6,求FN的長(zhǎng).

7.如圖，力B是。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，OF工BC,垂足為E交。。于點(diǎn)E,

2E與BC交于點(diǎn)X,點(diǎn)。為0E的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且N0DB=N4EC.

⑴求證：BD是。。的切線；

(2)求證：CE2=EH?EA；

⑶若。。的半徑為asinA=￡求和DF的長(zhǎng).

8.如圖，在回ABC中，13c=90。，點(diǎn)。在AC上，以0A為半徑的交AB于點(diǎn)D,BD的

垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.

(1)求證：直線DE是回0的切線；

(2)若AB=5,BC=4,OA=1,求線段DE的長(zhǎng).

9.如圖，4B是。。的直徑，弦CD與4B交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B的切線BP與CD的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)P,連接。C,CB.

(1)求證：AE?EB=CE?ED；

⑵若。。的半徑為3,0E=2BE,*求tan/OBC的值及DP的長(zhǎng).

DE5

10.如圖，菱形4BCD中，AB=4,以力B為直徑作。0,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF1AD

于點(diǎn)?

(2)連接。尸，若NBA。=60°,求OF的長(zhǎng).

⑶在(2)的條件下，若點(diǎn)G是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段CG的取值范圍是什么？

11.如圖，點(diǎn)C在以力B為直徑的半圓。上(點(diǎn)C不與4B兩點(diǎn)重合)，點(diǎn)。是弧AC的中

點(diǎn)、DE14B于點(diǎn)E,連接4C交DE于點(diǎn)尸，連接OF,過(guò)點(diǎn)。作半圓。的切線DP交84的

(2)求證：AC=2DE；

⑶連接CE,CP,若=l回2,求生的值.

12.如圖1,AB為。。直徑，CB與。。相切于點(diǎn)8,。為。。上一點(diǎn)，連接力。、0C,

若AD“OC.

圖1圖2

(1)求證：CD為。。的切線；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作4E14B交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD交。。于點(diǎn)F,若4B=3AE=

12,求BF的長(zhǎng).

13.已知：如圖，在。。中，/.PAD=AAEP,AF=CF,是。。的直徑，CD14B于

點(diǎn)G.

(1)求證：&P是。。的切線.

(2)若4G=4,tanzDXG=2,求44DE的面積.

⑶在(2)的條件下，求。。的長(zhǎng).

14.如圖，已知是回。的直徑，點(diǎn)￡是回。上異于A,B的點(diǎn)，點(diǎn)尸是弧EB的中點(diǎn)，

連接AE,AF,BF,過(guò)點(diǎn)F作FCSAE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,SADC

的平分線QG交AF于點(diǎn)G,交FB于點(diǎn)H.

(1)求證：C￡)是國(guó)。的切線；

(2)求sinElfT/G的值；

(3)若GH=4VLHB=2,求回。的直徑.

15.如圖，。。的兩條弦48、CD互相垂直，垂足為E,且4B=CD.

⑴求證：AC=BD.

(2)若。FlCD于R0Gl48于G,問(wèn)，四邊形0FEG是何特殊四邊形？并說(shuō)明理由.

⑶若CE=1,DE=3,求。。的半徑.

16.【問(wèn)題提出】如圖1,△ABC為。。內(nèi)接三角形，已知BC=a,圓的半徑為R,探究

a,R,sin/A之間的關(guān)系.

【解決問(wèn)題】

如圖2,若乙4為銳角，連接8。并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)D,連接DC,則乙4=AD,在4DBC中，

BD為O。的直徑，BC=a,所以BD=2R/BCD=90。.

所以在RtADBC中建立a,R,sin乙D的關(guān)系為.

所以在。。內(nèi)接三角形AABC中，a,R,sinzA之間的關(guān)系為.

類(lèi)比銳角求法，當(dāng)N4為直角和鈍角時(shí)都有此結(jié)論.

【結(jié)論應(yīng)用】

已知三角形AABC中，Z.B=60°,AC=4,則△ABC外接圓的面積為.

17.已知，4B為。。的直徑，PA,PC是。。的的切線，切點(diǎn)分別為2,C,過(guò)點(diǎn)C作CD〃4B

交O。于。.

(1)如圖，當(dāng)P,D,。共線時(shí)，若半徑為r,求證CD=r；

(2)如圖，當(dāng)P,D,。不共線時(shí)，若DE=2,CE=8,求tan/POA.

18.如圖1,已知矩形ABC。中AB=2b，AD=3,點(diǎn)E為射線8c上一點(diǎn)，連接。E,

以。E為直徑作回。

(1)如圖2,當(dāng)2E=1時(shí)，求證：A2是回。的切線

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，連接AE交回。于點(diǎn)F連接CR求證：CF=CD

(3)當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CF長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在請(qǐng)

直接寫(xiě)出CF長(zhǎng)度的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知四邊形4BCD為O。的內(nèi)接四邊形，直徑"與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)E,作CH1BD

于H,CH與過(guò)2點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)F,AFAD=^ABD.

DDD

(1)求證：4F為O。的切線；

(2)若BD平分N4BC,求證：DA=DC.

(3)在(2)的條件下，N為4F的中點(diǎn)，連接EN,若乙4ED+NAEN=135。，。。的

半徑為2vL求EN的長(zhǎng).

20.如圖1,直線匕！%于點(diǎn)加，以k上的點(diǎn)。為圓心畫(huà)圓，交％于點(diǎn)A,B,交辦于點(diǎn)

C,D,OM=4,CZ)=6,點(diǎn)E為弧AO上的動(dòng)點(diǎn)，CE交AB于點(diǎn)EAGEICE于點(diǎn)G,

連接。G,AC,AD.

(1)求。。的半徑長(zhǎng);

(2)若回。1。=40。，求劣弧弧AD的長(zhǎng);

(3)如圖2,連接。E,是否存在常數(shù)%,使CE-DE=k-EG成立？若存在，請(qǐng)求出

上的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

(4)若DG&4B,則。G的長(zhǎng)為」

(5)當(dāng)點(diǎn)G在的右側(cè)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出0AQG面積的最大值.

參考答案

1.(1)證明：團(tuán)48是。。的直徑，

^Z.ACB=90°,

^CAB+Z-B=90°,

0ZCED=乙CAB,Z-B=乙D,

^CED+ZD=90°,

團(tuán)乙OCE=AACB=90°,

團(tuán)CD1CE,

回CD是。。的直徑，即OC是。。半徑，

ME是。。的切線；

(2)由(1)知，CD1CE,

在RtAABC和RtADEC中，

HzB=ZD,tanB=

2

_CE1

[zltanzB=tanzD=—=一，

CD2

回CD=2CE,

在RtACDE中，CD?+CE2=DE?,DE=3小,

2

EI(2CE)2+CE2=(3V5),

解得CE=3(負(fù)值舍去)，

即線段CE的長(zhǎng)為3.

2.解：(1)WB=OD,

回乙48c=/-ODB,

^\AB=AC,

團(tuán)乙ABC=Z.ACB,

^ODB=Z-ACB,

回。。||AC,

WELAC,。。是半徑，

WE1OD,

EIDE是O。的切線.

(2)連接BF、AD,

團(tuán)。。的半徑為5,為直徑，

團(tuán)48=10,乙ADB=90°,Z.BFC=90°,

-1

團(tuán)tanB=設(shè)AD=x,貝ijBD=2%,

在中，由勾股定理得：

AD2+BD2=AB2,即久2+(2x)2=102,

解得：x=26或％=-2-/5(舍去)，

回=2x=4V5,

^\AB=AC,AADB=90°,

^\BD=CD,

團(tuán)BC=2BD=8V5,

由(1)知，OD||AC,

超乙ODB=Z.C,

回。8=OD,

團(tuán)=乙ODB=ZC,

團(tuán)tanC=tanF=即CT7=2BF,

在中，BF2+CF2=BC2,^BF2+(2BF)2=(8V5)2,

解得BF=8或BF=-8(舍去)，

團(tuán)CF=2BF=16.

3.(1)證明：團(tuán)直徑。比1A3于點(diǎn)R

^1AF=BF,

(2)連接A。，BO,如圖,

由（1）可得AM=BM,

胤4M

^\MAF=^MBF=45°,

WCMN=^BMF=45°,

^\AO=BO,DE^AB,

^\AOF=^BOF=-ZAOB,

2

WN=15°,

^ACM=^\CMN^N=60°,即MC3=60°,

00ACB=iZAOB.

2

回朋。尸=明。3=60°.

團(tuán)OE=8,

明0=4.

在RfflAO尸中，由sinNAOF=竺，得4尸=2百，

A0

在RtHAMF中，AM=V2AF=2V6.得BM=AM=2逐,

在RtEACM中，由tan/ACM=%，得CM=2同

CM

回BC=CM+BM=2五+2班.

4.（1）證明：EIMAC=MAC,

^Z-ADC=Z-B.

團(tuán)。B=OC,

回乙8=（OCB.

團(tuán)CO平分乙BCD,

團(tuán)乙。。8=(OCD,

團(tuán)乙4DC=(OCD.

團(tuán)CELAD,

^ADC+Z.ECD=90°,

回匕OCD+(ECD=90°,即CE1OC.

團(tuán)。C為O。的半徑，

團(tuán)CE是。。的切線.

(2)連接。。，得。。=OC,

⑦乙ODC=Z.OCD.

團(tuán)乙。。。=Z.OCB=乙B,

回乙。。。=乙B,

M。=CO,

OCD=△OCB,

回CD=CB.

MB是。。的直徑，

^Z.ACB=90°,

團(tuán)4c=AB?sinB=10x-=6,

MB=y/AB2-AC2=V102-62=8,

回CD=8,

324

團(tuán)CE=CD?sin^ADC=CD-sinB=8x-=—.

55

5.解：（1）連接03,OC,過(guò)點(diǎn)。作。。魴。于點(diǎn)

A

圖1

⑦BD=CD』BC,

2

甌A=60°,

^\BOC=2^A=120°,

團(tuán)05=0C,

mOBC=BOCB=180°-zgQC=30o,

2

團(tuán)。慶2后

0BD=Oi5*cos3Oo=2V3xy=3,

^\BC=2BD=6.

（2）設(shè)點(diǎn)G為此三角形ABC內(nèi)切圓的圓心（角平分線的交點(diǎn)），過(guò)G分別向AB,AC,BC

作垂線GM,GN,GQ,

圖2

RGM=GN=GQ,CQ=CN,BQ=BM,AM=AN,

^\AM^AN=AB+AC-BC=6,

^\AM=AN=3.

在RtLAGM中，

00GAM=3O°,

0GM=V3,

^S?ABC=^BC?AH=S^ABG+S^BCG+S^ACG

=-AB?GM+-BC*GQ+-AC*GN

22上2

-1

=-GM(AB+AC+CB)

2

=9遍，

???BC=6,S?ABC=^BC?AH

E1A/7=3V3.

6.(1)解:如圖1,連接。D,AD,

圖1

0AB是。。的直徑，CD14B,

EL4B垂直平分CD,

國(guó)四是。4的中點(diǎn)，

11

WM=-0A=-0D,

22

riC八X〃OM1

團(tuán)cos/DOM=—=

OD2

^DOM=60°,

即NA。。=60°；

故答案為：60°；

(2)解：[BCDLAB,48是O。的直徑,

EICM=MD,

團(tuán)0是。4的中點(diǎn)，

團(tuán)4M=MO,

又團(tuán)4AMC=乙DM0,

[?]△AMC=△OMD,

回4/CM=乙ODM,

回C/||OD,

^\DE±CA,

國(guó)4E=90°,

^ODE=180°-/.E=90°,

^DE1OD,

SDE與O。相切；

(3)如圖2,連接CF,CN,

圖2

團(tuán)。41CD于M,

團(tuán)M是CO中點(diǎn)，

I3NC=ND,

回NCDF=45°,

回NNCD=Z.NDC=45°,

國(guó)乙CND=90°,

BACNF=90°,

由(1)可知NA。。=60°,

“CD=-Z40D=30°,

2

在Rt△￡!)￡1中，NE=90。，AECD=30°,DE=6,

DR

團(tuán)CD=*-=12,

sin30

在Rt/XCNO中，乙CND=90。,4CON=45。，CD=12,

團(tuán)CN=CD?sin45°=6VL

^AOD=60%OA=OD,

[?]△。4。是等邊三角形，

⑦乙OAD=60°,

/-CAD=2Z,OAD=120°,

0ZCFD=180°-/.CAD=60°,

在RtACNF中，4CNF=90°,乙CFN=60°,CN=6&,

7.(1)證明：如圖1所示,

圖1

BZ-ODB=Z.AEC,Z-AEC=乙ABC,

^ODB=(ABC,

回。尸1BC,

團(tuán)乙BFD=90°,

^ODB+/-DBF=90°,

國(guó)匕ABC+Z.DBF=90°,即=90°,

^BD1OB,

她3是。。的直徑，

團(tuán)BD是。。的切線；

(2)證明：連接AC,如圖2所示，

圖2

EOF1BC,

回弧BE=MCE,

^Z-CAE=乙ECB,

BZ-CEA=乙HEC,

0AAECCEH,

團(tuán)「C一E=EA

EHCE

團(tuán)CE2=EH-EA；

（3）解：連接BE,如圖3所示,

圖3

團(tuán)/B是。。的直徑,

^Z-AEB=90°,

回O。的半徑為I，sin^BAE=

^\AB—5,BE=AB?sinZ-BAE=5x|=3,

回E4=y/AB2—BE2—4，

團(tuán)弧BE=MCE,

團(tuán)BE=CE=3,

0CE2=EH,EA,

9

團(tuán)

EH=4

222215

回在RtABE“中，BH=y/BE+EH=J3+（?=T

團(tuán)NA=zf,

團(tuán)sinC=sin/,

團(tuán)。FIBC,垂足為尸,

團(tuán)在RtACFE中，F(xiàn)E=CE-sinC=3x|=|

2

22_12

0CF=y/CE-EF=3i.一5

12

國(guó)BF=CF=—5

團(tuán)。F=yjBO2-BF2=J(I,一=1_

^ODB=乙ABC,

團(tuán)tan/ODB=tan乙4BC,

「BFOF

回--=---,

DFBF

WF2=OF?DF,

8.解：（1）連接OD,如圖,

0ED=EB,

配1EDB二回B,

團(tuán)OA=OD,

RO1A二回ODA,

麗A+回B=90°,

回回ODA+團(tuán)EDB=90°,

fflODE=90°,

團(tuán)OD團(tuán)DE,

團(tuán)直線DE是回O的切線；

(2)作OH團(tuán)AD于H,如圖，則AH=DH,

在.RtAOAB中，sinA=—=-,

AB5

,.CH4

在RtAOAH中，sinA=—=-,

OA5

4

回0吟

回AH=J12_

團(tuán)AD=2AH*,

團(tuán)BD=5-,

55

119

團(tuán)BF二—BD二一，

210

在RtEIABC中，cosB=1,

在RtEIBEF中，cosB=—=",

BE5

「CL51919

回BE=一x——=—,

4108

回線段DE的長(zhǎng)為

o

9.((1)證明：連接AD,

Z.A=乙BCD,Z-AED=乙CEB,

???XAED-ACEB,

.AE_ED

??CE~EB9

???AE?EB=CE?ED；

(2)解：:。。的半徑為3,

OA=OB=OC=3,

???OE=2BE,

??.OE=2,BE=1,AE=5,

..CE_9

?DE~5f

???設(shè)CE=9x,DE=5%,

???AE?EB=CE?ED,

5x1=9%-5%,

解得：%=%2=—J(不合題意舍去)

，3乙3

CE=9x=3,DE=5x=

3

過(guò)點(diǎn)C作CF148于F,

OC=CE=3,

???OF=EF=-0E=1,

2

??.BF=2,

在RtAOCF中，

???乙CFO=90°,

??.CF2+OF2=OC2,

??.CF=2V2,

在RtACFB中，

???Z.CFB=90°,

..nnrCF2A/2B

tanZ-OBC=—=—=72,

BF2

???CF1ZB于F,

???乙CFB=90°,

???BP是。。的切線，AB是。。的直徑,

???乙EBP=90°,

???Z.CFB=乙EBP,

在ACFE和APBE中

2CFB=乙PBE

EF=BE，

/FEC=乙BEP

???ACFE=APBE(ASA),

.?.EP=CE=3,

10.:解:(1)

證明：如圖，連接。E.

回四邊形A8CD是菱形

???Z-CAD=乙CAB

??,0A=0E

???Z.CAB=Z.OEA

Z.CAD=Z.OEA

???OEWAD

EF1AD

???OE1EF

又回OE是O。的半徑

回EF是。。的切線.

(2)解：如圖，連接8解

回AB是O。的直徑

???乙AEB=90°

???/.BAD=60°

^CAD=^CAB=30°

在RtAABE中，AE=AB-cos30°=2g，

在Rt△4EF中，EF=AE-sin30°=V3,

在RtAOEF中，OE=1AB=2,

0OF=y/OE2+FF2=V4T3=V7.

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM垂直4B,交4B延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

由(2)知，ABAD=60°

AACB=/.CAB=30°,乙CBM=60°

AB=BC=4,BM=2,CM=2百

AM=6,OM=6-2=4.

HOC=70M2+0M2=J42+(2V3)2=2V7

0CGw=2v7-2,CE遠(yuǎn)=2v7+2

El線段CG的取值范圍是：2位一2WCGW2V7+2

???。為弧AC的中點(diǎn)，

OD1AC,

又???￡＞「為。。的切線，

OD1DP,

???ACWDP-,

(2)證明：???DELAB,

：.乙DEO=90°,

由(1)可知。D12C,設(shè)垂足為點(diǎn)M,

^OMA=90°,

.-./.DEO=^OMA,AC=2AM,

又丫乙DOE=ZXOM,OD=OA,

?-.AODE=AOXM(AAS),

???DE=AM,

：.AC=2AM=2DE；

(3)解：連接。D,OC,CE,CP,

???"DP=乙OED=90°,乙DOE=4DOP,

DOE~△POD,

.OD_OE

??OP-OD9

??.OD2=OE-OP,

???OC=OD,

??.OC2=OE-OP,

OC_OP

''OE-OC9

又???乙COE=乙POC,

COE~△POC,

.CE_OE

??CP-oc9

???AE\EO=1:2,

OE_2

??——，

OA3

OE_2

,,——，

OC3

CE_2

,t,——?

CP3

12.解:(1)連接。D

EICB與O。相切于點(diǎn)B,EOF1BC

EL4D//OC,=ACOB,^ADO=/-DOC

WA=OD,0ZX=/.ADO=/.COB=乙DOC,

SADOC=ABOC(SAS),

E1ZODC=ZOBC=90°,

WD1DC

又。。為O。半徑，回CD為。。的切線

(2)解：設(shè)CB=x

EL4￡1EB,固4E為O。的切線，0CD>CB為。。的切線，(BED=4E=4,CD=CB=

x,乙DOC=^BCO,^BD1OC

過(guò)點(diǎn)E作EMIBC于M,貝jEM=12,CM=%-4,

0(4+%)2=122+(%-4)2

解得久=9,

團(tuán)CB=9,

團(tuán)0c=V62+92=3V13,

團(tuán)AB是直徑，且AD回OC

團(tuán)團(tuán)OFB二回ADB二回OBC=90°

又回團(tuán)COB二團(tuán)BOF

團(tuán)團(tuán)OBFRHIOCB,

「080C

0-=—

BFBC

.=等=髭隹舊

13.(1)證明：如圖所示，連接AC,

財(cái)B是。。的直徑，CDLAB,

團(tuán)弧AD=弧AC,

^AEP=^ADC,

團(tuán)乙PAD=Z.AEP,

^Z-PAD=Z-ADC,

團(tuán)4PIICD,

國(guó)4尸VAB,

團(tuán)是OO的直徑,

幼產(chǎn)是。。的切線;

p

(2)解：如圖所示，連接BD,

0XF=CF,

^Z.FAC=乙FCA,

國(guó)弧CE=MAD,

回弧AD=弧AC

回弧AD=弧AC=弧CE,

^Z.ADG=乙QDG,

EL4F1CD,

ON力GD=乙QGD=90°,

又回。G=OG,

EIAXGD=△OGD(ASA),

回QG=AG=4,乙DQG=Z-DAG,

在RtAADG中，tanN￡MG=^=2,

^\DG=2AG=8,

團(tuán)QO=y/DG2+QG2=4V5；

連接。D,過(guò)點(diǎn)石作于H,設(shè)圓O的半徑為r,則。G=r—4,

在Rt2\ODG中，由勾股定理得。。2=。弓2+￡)G2,

0r2=(r—4)2+82,

解得丁=10,

團(tuán)48=20,

團(tuán)BQ=12,

團(tuán)NAEQ=乙DBQ,Z.EAQ=乙BDQ,

回△ZQE八DQB,

回笠=絲，即竺=三，

BQDQ124V5

0QE=?，

⑦乙EQH=Z-DQG=乙DAG,

團(tuán)在RtAEQH中，tan/EQH=爵=2,

0FW=2QH,

0FW2+QH2=QE2,

04QW2+QH2=?，

回Q"=當(dāng)，

24

團(tuán)E”=y,

回S-OE=S^ADQ+SRAEQ

11

=2加-DG+-AQ-EH

1124

=-x8x8+-x8x—

225

=70.4.

(3)解：由(2)得DQ=4V5.

14.(1)證明：連接。尸.

瓦F

團(tuán)04=0尸，

mOAF=^\OFA9

團(tuán)麗=FB,

^1CAF=^FAB,

團(tuán)團(tuán)CA尸=她尸0,

0OFIIAC,

她CWCQ,

回。用。。，

團(tuán)。廠是半徑，

團(tuán)CD是團(tuán)。的切線.

(2)她B是直徑，

甌AFB=90°,

團(tuán)。死CD,

團(tuán)團(tuán)。尸。=財(cái)尸3=90°,

^\AFO=WFB,

^OAF=^OFA,

^\DFB=^OAF,

0GD平分她OF,

^\ADG=^\FDG,

^FGH=0OAF+^\ADG,^\FHG=BDFB^FDG,

^\FGH=^FHG=45°,

團(tuán)sin回尸HG=sin45。=—

2

(3)解：過(guò)點(diǎn)X作于點(diǎn)M,HN3A。于點(diǎn)N.

c

F

WD平分她DF,

?HM=HN,

SADH脫S』DHB=FH^\HB=DFWB

釀bG”是等腰直角三角形，GH=4y[2

回FH=FG=4,

^-=-=2

DB2

設(shè)。8=攵，DF=2k,

團(tuán)團(tuán)尸08=朋0尸，^\DFB=^\DAF,

^\DFB^DAF,

^\DF2=DB*DA,

BA￡>=4t,

EIG。平分HADE

「FGDF1

回..----=—

AGAD2

0AG=8,

回她尸B=90°,AF=12,FB=6,

???AB=^AF2+BF2=J122+622=訴

EHO的直徑為6小

15.(1)證明：EL45=CD,

回弧AB=?!I1CD,

回弧AB-弧BC=弧CD—弧BC,即弧AC=MBD,

EL4C=BD；

(2)解：四邊形OFEG是正方形.

理由如下：SAB1CD,OF1CD,OG1AB,

^AED=NOGE=乙OFE=90°,

團(tuán)四邊形。FEG是矩形.

如圖，連接。4,0D.

團(tuán)。尸1CD,OG1AB,

0CF=￡>F,AG=BG.

0CZ)=AB,

^\AG=DF.

團(tuán)0G=y/OA2-AG2,OF=yJOD2-DF2,OA=OD,

^OG=OF,

團(tuán)四邊形。FEG是正方形；

(3)解：0CE=1,DE=3,

團(tuán)CQ=4,

團(tuán)CF=DF=2,

^EF=CF-CE=2-1=1.

團(tuán)四邊形。FEG是正方形，

^OF=EF=1.

在R30ED中，=7OF2+DF2=遮,

團(tuán)。。的半徑為遍.

16.:解：【解決問(wèn)題】如圖，連接8。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接DC,則乙4=ND,

在中，回80為。。的直徑，BC=a,

汕。=2R/BCD=90°,

n?「BCa

團(tuán)sm。=—=一,

BD2R

團(tuán)sinZ=——；

2R

故答案為：sin。=~sinX=弓

NH2H

【結(jié)論應(yīng)用】解：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,

EZB=60°,4c=4,

HsinB=—,

2R

解=￡,

22R

解得：/?=|V3,

ABC外接圓的面積為7TX(1V3)2=y7T.

故答案為：T7r

17.(1)證明：連接。C,

團(tuán)24,PC是。。的切線，切點(diǎn)分別為A,C,

團(tuán)PA=PC,APAO=乙PCO=90°,

在和RMPC。中,

.PA=PC

%。=PO'

^RtAPAO=RtAPCO(HL),

^POA=乙POC,

^\CD//ABf

團(tuán)4C。。=/-DOA,

團(tuán)"。。=乙COD,

團(tuán)CD=OC=r；

(2)解：設(shè)。P交CD于E,

B

連接。C,過(guò)。作?！?CD于點(diǎn)”，

由（1）可知，RtAPAO=RtAPCO,

^POA=乙POC,

^\CD//AB,

回Z_CE。=Z.EOA,

^\Z-CEO=Z-COE,

團(tuán)CE=CO=8,

團(tuán)CD=CE+ED-10,

團(tuán)。H1CD

團(tuán)C”=DH=5,

團(tuán)E”=DH—DE=3,

在RMC”。中，

SOH=VOC2-CH2=V82-52=V39.

在Rt/OHE中，

EltanNPOA=tanzHFO=—=—,

EH3

EltanNPOA=—.

3

18.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)0作。M14B,且OM的反向延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)N.

由題意可知四邊形BCNM為矩形，

0MN=AD=3,

00為圓心，即O為DE中點(diǎn)，

I3N為DC中點(diǎn)，即線段ON為△DEC中位線，

又回CE=8C—BE=3—1=2,

1

WN=-CE=1,

2

0OM=MN-ON=3-1=2.

在RtADEC中，DE=y/CD2+CE2=J(2V3)2+22=4.

0OD=DE=OM=2.

即AB為的切線.

(2)設(shè)團(tuán)。與AD交于點(diǎn)G,連接CG、EG、DF、FG,

0DE為直徑，

回NEGD=乙EFD=90°.

0ZGFC=90°,

0CG為直徑.

0ZCFG=乙CDG=90°,

0E為BC中點(diǎn)，

回G為AD中點(diǎn)，

在Rt△力尸。中，F(xiàn)G為中線，

回AG=DG=FG,

在RtACFG^ARtACDG中，=,

ICG=CG

CFG三ACD乳HL).

團(tuán)CF=CD.

(3)如圖，取AD中點(diǎn)H,連接CH、FH、FD.

-1q

由(2)可知FH==|,

在RtACDH中，CH=y/CD2+HD2=J(2V3)2+(|)2=殍,

0CF>CH-FH=—-

22

團(tuán)當(dāng)F點(diǎn)在CH上時(shí)CF長(zhǎng)有最小值，最小值為亨-|.

19.解：(1)團(tuán)4。為團(tuán)。的直徑,

甌ADC=90°,

^\DAC^DCA=90°.

團(tuán)弧AD=弧AD,

^\ABD=^DCA.

mFAD=^\ABD,

團(tuán)團(tuán)月4。二團(tuán)。CA,

團(tuán)團(tuán)班。+回D4C=90°,

^CA^AF,

胤4方為回。的切線.

D

(2)連接0D

團(tuán)弧AD=MAD,

1

回媯2然。D

團(tuán)弧DC=MDC,

mc=^DOC.

團(tuán)3。平分財(cái)BC,

^\ABD=^DBC,

^1DOA=^DOC,

^\DA=DC.

D

(3)連接0。交CT于M,作成唱A。于尸.

SAC為回。的直徑，

配1ADC=9O°.

WA=DC,

回。0朋