考向24 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）

考向24平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．（2021·全國高考真題（理））已知向量，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以由可得，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．2．（2019·江蘇高考真題）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____.【答案】.【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點(diǎn)睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.1.應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等．2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系．4.兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2．向量坐標(biāo)的求法（1）若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.3．向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.5．向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.【知識拓展】向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為()，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3．三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價于與共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解.1．（2021·天水市第一中學(xué)高一期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且，記，，則（）A． B． C． D．2．（2021·廣東高三其他模擬）在四邊形中，，單位向量與平行，是的中點(diǎn)，，若在???中選兩個作為基本向量，來表示向量，則___________.3．（2021·全國高三其他模擬（文））已知向量，，，，___________.4．（2021·全國高三其他模擬（理））若向量，，則___________.1．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（理））在平行四邊形中，，，，為的中點(diǎn)，則（）A．9 B．12 C．18 D．222．（2021·全國高三其他模擬（文））已知向量，，，，則的值為（）A． B． C．2 D．103．（2021·福建三明一中高三其他模擬）已知向量，，且與共線，則x=（）A． B． C． D．4．（2021·北京高一其他模擬）已知向量，向量，若，則（）A． B．5 C． D．5．（2021·云南省文山壯族苗族自治州第一中學(xué)高一期末）在中，，D是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)x的值為（）A． B． C． D．6．（2021·全國高三其他模擬（文））在中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，滿足，，，則的最大值為（）A． B． C． D．7．（2021·全國）（多選題）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．，使得B．，使得C．小于D．8．（2021·河北唐山一中高三其他模擬）（多選題）設(shè)是已知的平面向量且，向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，關(guān)于向量的分解，下列說法正確的是（）A．給定向量，總存在向量，使；B．給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；D．給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使.9．（2021·全國高三其他模擬（文））已知向量+=(0，5)，2﹣=(3，1)，則的值為___________.10．（2021·全國高三其他模擬（理））在平行四邊形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，則________．11．（2021·寧夏高三其他模擬（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，為線段上一點(diǎn)，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.12．（2021·遼寧高三其他模擬）在邊長為2的正三角形中，D是的中點(diǎn)，，交于F．①若，則___________；②___________．1．（2013·陜西高考真題（文））已知向量，，若，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C．或 D．02．（2012·廣東高考真題（文））若向量=（1,2），=（3,4），則=A．（4,6） B．(-4，-6) C．(-2，-2) D．(2,2)3．（2015·四川高考真題（理））設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2013·廣東高考真題（文））設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．45．（2014·福建高考真題（理））在下列向量組中，可以把向量表示出來的是A． B．C． D．6．（2013·安徽高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)滿足，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是A． B． C． D．7．（2016·四川高考真題（文））已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是A． B． C． D．8．（2014·上海高考真題（文））已知曲線C：，直線l：x=6.若對于點(diǎn)A（m，0）,存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得，則m的取值范圍為.9．（2018·全國高考真題（理））已知向量，，．若，則________．10．（2017·江蘇高考真題）在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．1．【答案】D【分析】取，作為基底，把用基底表示出來，利用向量的減法即可表示出.【詳解】取，作為基底，則.因?yàn)?，所以，所?故選：D.2．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可得解.【詳解】；故答案為：3．【答案】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，進(jìn)而求出，，結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】，又，利用向量的數(shù)量積公式可知故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算與向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟悉公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．【答案】48【分析】直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】.故答案為：481．【答案】B【分析】利用基底向量表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及定義即可求出．【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：B．2．【答案】C【分析】先求出的坐標(biāo)，再借助向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因，，則，而，，于是得，即，解得，所以的值為2.故選：C3．【答案】B【分析】先表示出向量和的坐標(biāo)，然后由與共線，列方程可求出的值【詳解】∵，，與共線，∴，解得．故選：B．4．【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，求出的值，從而得到的坐標(biāo)，然后由向量模長的坐標(biāo)公式求出.【詳解】向量，向量，且，所以，解得，所以，所以．故選：A.5．【答案】D【分析】由得到，然后帶入，進(jìn)而得到，然后根據(jù)B，D，E三點(diǎn)共線，即可求出結(jié)果.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三點(diǎn)共線，∴，∴．故選：D．6．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合解三角形余弦定理可得，再利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，，又，所以，，所以，即，，故，根據(jù)基本不等式可得，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故的最大值為.故選：C.7．【答案】AC【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積、線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示一一驗(yàn)證即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，因?yàn)椋宜耘c異號，故A正確；，若，則，解得，即當(dāng)時，故B錯誤；設(shè)與的夾角為，則若夾角為小于，則，解得因?yàn)椋孕∮?，故C正確；因?yàn)?，所以，顯然當(dāng)時，故D錯誤；故選：AC8．【答案】AB【分析】由平面向量的加減法可判斷A，由平面向量基本定理可判斷B，舉出反例可判斷C、D.【詳解】對于A，給定向量，總存在向量，使，故A正確；對于B，因?yàn)橄蛄?，，在同一平面?nèi)且兩兩不共線，由平面向量基本定理可得：總存在實(shí)數(shù)和，使，故B正確；對于C，設(shè)，給定，則不存在單位向量和實(shí)數(shù)，使，故C錯誤；對于D,設(shè)，給定，則不存在單位向量和單位向量，使，故D錯誤.故選：AB.9．【答案】【分析】利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求出，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由+=(0，5)，2﹣=(3，1)，兩式相加可得，解得，所以，所以.故答案為：10．【答案】【分析】找一組基向量分別表示出，再用待定系數(shù)法即可求得．【詳解】，又因?yàn)?，所以，解得所以．故答案為?1．【答案】【分析】根據(jù)可得，再表示出坐標(biāo)，由條件可得，再將代入可得關(guān)于的不等式，從而可得答案.【詳解】解析：設(shè)點(diǎn)，由，得，所以.因?yàn)椋?，即，化簡得將代入，得，即，解?因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，且，所以.綜上，可知.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是由條件可得和，然后代入消去，得到關(guān)于的不等式，屬于中檔題.12．【答案】【分析】作輔助線，利用平行線的性質(zhì)，確定出F點(diǎn)是AD的幾等分點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算即可用表示，求得x,y進(jìn)而得解；再用來表示，用平面向量的數(shù)量積即可，即可得解.【詳解】如圖，過E作交于M，由，得，，又D是的中點(diǎn)，得，，故，即，所以所以，故易知由已知得所以故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用平面向量的線性運(yùn)算用表示，，考查學(xué)生的分析與轉(zhuǎn)化能力，及計算能力，屬于中檔題.1．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，且所以解得故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.2．【答案】A【詳解】.3．【答案】C【分析】根據(jù)圖形得出,,,結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,點(diǎn)M、N滿足,

根據(jù)圖形可得:,

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故選C.本題考查了平面向量的運(yùn)算,數(shù)量積的運(yùn)用,考查了數(shù)形結(jié)合的思想,關(guān)鍵是向量的分解,表示.考點(diǎn)：向量運(yùn)算.4．【答案】B【詳解】試題分析：利用向量加法的三角形法則，易知①正確；利用平面向量的基本定理，易知正確；以的終點(diǎn)作長度為的圓，這個圓必須和向量有交點(diǎn)，這個不一定能滿足，故③是錯的；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須，所以④是假命題．綜上，本題選B．考點(diǎn)：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四邊形法則和三角形法則．5．【答案】B【詳解】試題分析：由于平面向量的基本定理可得,不共線的向量都可與作為基底.只有成立.故選B.考點(diǎn)：平面向量的基本定理.6．【答案】D【詳解】，則知是等邊三角形，以為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，在軸，則，當(dāng)，表示的區(qū)域是下圖中的①；當(dāng)，表示的區(qū)域是下圖中的②；當(dāng)，表示的區(qū)域是下圖中的③；當(dāng)，表示的區(qū)域是下圖中的④；則表示的區(qū)域就是圖中的平行四邊形，其面積為【考點(diǎn)定位】考查平面向量的概念，平面向量基本定理，以及線性規(guī)劃面積，以及考查邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化思想.7．【答案】B【詳解】試題分析：如圖可得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B.【考點(diǎn)】向量的夾角，解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的夾角與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數(shù)表示出來，解題時首先對條件進(jìn)行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，同時動點(diǎn)的軌跡是圓，則，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．8．【答案】【詳解】故答案為.9．【答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可．【詳解】由題可得