2024屆高三年級下冊一?？荚嚁?shù)學試題含答案

2024年高三一?？荚?/p>

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為％1、K2、久3、久4、久5、為6、去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的

數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

2.已知復數(shù)z滿足z(l+i)=i2024,其中i為虛數(shù)單位，貝|Jz的虛部為

.111.V2

A.—DB.—Cr.—iDn.—

2222

3.已知集合A={x\x=3n,nEZ},B={x|0<%<6},貝U力Cl8=

A.{1,2}B.{3,6}C.{0,1,2}D.{0,3,6}

4.p\m-2,q\(mx+y)5的展開式中x2y3項的系數(shù)等于40,則p是q的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知向量a-(sin0,cos8),b—(V2,l),若a?b=\b\,則tan6—

A.yB.V2C.V3D.y

6.已知f(x)=xh(x),其中/i(x)是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則

A./(log21)>/(2-1)>/(2-|)B./(2-l)>/(2-|)>/(log21)

C.7(log20>/(2-|)>/(2-1)D./(2-|)>/(2-I)>/(log21)

2222

7.已知圓Ci：%+(y—3)=8與圓C2:(x—a)+y=8相交于A、B兩點，直線AB交工軸

于點P,則Sgpcz的最小值為

A-B.2C.二D.運

2222

8.若數(shù)列{冊}的通項公式為an=(-ly^n,記在數(shù)列{冊}的前n+2(nCN*)項中任取兩數(shù)

都是正數(shù)的概率為Pn,則

2

A.P]=§B.<P10C.Pio<PiiD.Pu<Pi2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)f(x)-Asin(a)x+<p)(A>0,o>>0,0<<p<71)的部分圖像如圖所示，令g(x)=

/(%)-2sin2(j+^)+1>則下列說法正確的有

A.f(x)的最小正周期為71

B.g(x)的對稱軸方程為x-/cn:+1(A:Gz)

C.g(%)在［0,目上的值域為［-1,|］

D.。(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為［k兀+p/CTT+y］(/CGZ)

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A^B^C^D^中，P為側面ADD^上一點，Q為B?的

中點，則下列說法正確的有

A.若點P為AD的中點，則過P、Q、Di三點的截面為四

邊形

B.若點P為A±D的中點，則PQ與平面BDD1B1所成角

的正弦值為?

C.不存在點P,使PQ1A±C

D.PQ與平面ADDrAr所成角的正切值最小為y

11.如圖，過點C(a,O)(a>0)的直線AB交拋物線y2=2Px(p>0)于A,B兩點，連接4。、BO,

并延長，分別交直線％=-a于M,N兩點，則下列結論中一定成立的有

A.BM//AN

B.以AB為直徑的圓與直線％=—a相切

C.S4A0B—SAM0N

D-S【MCN~4sA4NC.SABCM

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，在正四棱臺4BCD—&/的。1中，AiB、=^,AB=2也

該棱臺體積V=軍，則該棱臺外接球的表面積為一

A

22

13.已知斜率為V3的直線過雙曲線a=l(a>°力>°)的右焦點F且交雙曲線右支于

4B兩點，A在第一象限，若\0F\=\AF\,則C的離心率為

14.關于X的不等式Ke。*+6%-In%2l（a>0）恒成立，貝U，的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且%=2an-2（nGN*）.

（1）求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

11

（2）若"=log2a2n-l，Cn=77-，求證：c1+c2+c3+--+c?l<-.

16.（15分）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中

裝有若干個標號為1,2,3的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語.每次隨機抽取2個小球，答對一

個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲.已知標號為1,2,3的小球個數(shù)比

為1:2:1,且取到異號球的概率為

（1）求盒中2號球的個數(shù)；

（2）若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語

的順序（猜對謎語的概率相互獨立）

球號1號球3號球

答對概率0.80.5

獎金100500

17.（15分）如圖，已知ABCD為等腰梯形，點E為以BC為直徑的半圓弧上一點，平面

ABCD1平面BCE.M為CE的中點，BE==4。=DC=2,BC=4.

（1）求證：DM//平面ABE;

（2）求平面ABE與平面DCE所成角的余弦值.

18.（17分）如圖，已知橢圓C:fJ+《=l（a>b>0）與y軸的一個交點為2（0,企），離心率為

?。?2為左、右焦點，M,N為粗圓上的兩動點，且乙MAF1=LNAF1.

（1）求粗圓C的方程；

（2）設AM,AN的斜率分別為匕后求女住2的值;

（3）求&AMN面積的最大值.

19.（17分）帕德近似是法國數(shù)學家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個

正整數(shù)m,n,函數(shù)/（%）在久=0處的|m,n］階帕德近似定義為：

R（x）=二宵,且滿足:f（°）=R（o）/（°）=R'（0）/'（0）=R"（0），…，/（m+n）（o）=R（m+m（o）.

（注：/1（%）=［/'（%）］,/'',（%）=［/1（%）］=［/1（%）］=［/⑷（%）］,,?,；/（"）（%）為y（n-1）（x）

的導數(shù)）

已知/（%）=In（%+1）在x-0處的［1,1］階帕德近似為R（x）-瑞;.

（1）求實數(shù)a,b的值；

⑵比較/（%）與/?（%）的大?。?/p>

（3）若九（久）=緇一G-7H）/（久）在（0,+8）上存在極值，求m的取值范圍.

2024.03高三數(shù)學一模試題參考答案

一、單選題1—8.CADABCBC

二、多選題9—11.ACDABACD

三、填空題12.16〃13]+814.-1

3

四、解答題15題

解析：

⑴由%=2an-2①

當=1時，S]=2al—2=a1解得a1=2

當n>2時，=2an_1-2②

①—②得an=2%1_1

n

an=的2"-1=2

經(jīng)驗證的符合上式，所以時=2幾-----6分

(2)證明：由(1)知azn-i=22"T二,=log2a2Ti-i=2n-1,bn+1=2n+1---------8分

16.(1)由題意可設1,2,3號球的個數(shù)分別為n,2n,n,則取到異號球的概率

p_2c湛配n+C湛黨_52分

C*7

2-5n25口“。

???—7-------—=-即幾2=2n

4n(4n—1)7

解得幾=2——4分

所以盒中2號球的個數(shù)為4個.--5分

(2)若甲先回答1號球再回答3號球中的謎語，因為猜對謎語的概率相互獨立，記X為甲

獲得的獎金總額，則X可能的取值為0元，100元，600元，

p(x=0)=0.2

P{X=100)=0.8x(1-0.5)=0.4

P{X=600)=0.8X0.5=0.4

X的分布列為：--8分

X0100600

P0.20.40.4

X的均值為E(X)=280-—9分

若甲先回答3號球再回答1號球，因為猜對謎語的概率相互獨立，記丫為甲獲得的獎金總額,

則y可能的取值為。元，500元，600元，

P(Y=0)=0.5

P(Y=500)=0.5x(1-0.8)=0.1

P(Y=600)=0.8X0.5=0.412分

y的分布列為：

Y0500600

P0.50.10.4

丫的均值為E(y)=290-—13分

因為E(y)>E(X),所以推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語.--15分

17.(1)取BE的中點N,連接AN,MN,則

又???ADU-BC：.MN//AD

???ANDM為平行四邊形DM//AN-——3分

又DM,平面ABE

ANu平面ABE

???DM〃平面ABE--5分

(2)取an中點為F,過點。作直線BC的垂線交優(yōu)于點G,分別以。G,OC,OF所在直線為x軸，

y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

???BC為直徑，,BE=泗

???^BCE=30°,ZBOE=60",Z.EOG=30°,

在梯形4BCD中易求高為百--7分

S，-1,0),C(0,2,0),D(0,1,V3),B(0,-2,0),2(0,-1,⑻

：.CE=(V3,-3,0),CD=(0,-1,V3),BE=(V3,1,0),BA=(0,1,V3)

--9分

設平面DCE的法向量為沆=(x,y,z)

則,里?星=°./，"一?=°令丫=百則“=3,2=1

31,CD=01—y+V3z=0

m=(3,V3,1)同理求得平面ABE的法向量為元=(1,一百，1)——13分

設平面4BE與平面CDE所成的角為a

則cosa=|且已|=迤

Jl|m|.|n|l65

平面ABE與平面CDE所成角的余弦值為卑.--15分

65

C5/2/=4

18.解：(1)由題意得，，，解之得<

a2b2=2

a2=Z>2+c2

22

所以橢圓C的程為土+工=1一,3分

42

(2)由(1)知分=c=所以乙/O=?

設直線AM、AB、AN的傾斜角分別為

a、9、,、/^^=4/義=7，則1<1=1311%1<2=13112,。=工,貝!|<a-Vy-O

4J3-y=e

所以a+p=26=2-----------------------------------6分

2

所以tana=tan(--B)=—i—,所以tanatanB=1,即4A,=1

2tanp12

-----------------------------------------------------------8分

y-&x+亞

(3)設直線AM：y=k、x+0,解方程組，22得

—+^-=1

I42

二一需洞理得打

(1+2Al2)/+40Kx=0,AxM

1+2左2?

.zx14立尢

由(2)知k^k=1,x=-------,--------------------------10分

2N2+左；

g|^Af||ZV|sinAMAN:||^W||AV|yj1-cos2ZMAN

=/皿2M2_(|皿⑷|cosAMAN?=\AN^-(AM-A^f

又=x/+(y“-62uxJ+WxJ=(1+及2)x“2

22

同理|AAf=(]+42)/2=巖1靖，|4叫2|4Af=(1+fc)22

—71—均一演,

ki

XX

AM-AN=(%M,yM-及)(赤，％一&)=MN+左述”左2凝=2%標，

、_(1_i_"2)2

(AM-AN)2=4%/凝2,\AM「|AN|一(AM-AN)2=1xJx；一?J%；

勺

(1+”2)21

2222

=(F——4)XM\=(^--)XMXN12分

K、rVj

11148,4岳]、

XX、

..uk、一；\MN\=^K一((------T)v------7)

AMN221+2尢22+婷

16k]--16^，--

132婷116V尢

左(1+2婷)(2+婷)

2區(qū)2婷+5^+22靖+馬+52(^-—)2+9

k、k、

“樂W理當吟明半Y時

=

令tkx--->o,則S

k、

取等號，所以SAMN的最大值是￥

17分

19.解：(1)由/(x)=lnfx+l),R(x)=-^-

1+bx

知/'⑴二W""⑴"一六W⑴二

/7—11

由題意f(0)=R(0),/'(0)=R(0),所以<2"=-『所以?3分

(2)由(1)知，R(%)=2x,令0(%)=/⑴一R(X)=1rl(%+1)-2"(%>一1),

x+2x+2

14X2

則9'(x)=>o,所以9(x)在其定義域(-1,+8)內(nèi)為增函

x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

數(shù)又夕(0)=/(0)-火(0)=0,；々2。時，夕(x)=/(%)-R(x)>0(0)=0;

-1<x<0時。(無)=f(x)-R(x)<夕(0)=0

所以xNO時，/(x)>7?(x);

-1<x<0時J(x)<R(x).

7分

(3)由h(x)=~--(---m)f(x)=(—Frn)ln(x+1),

R(x)2x

[,,、1[/八/I、I+x-(x+l)ln(x+l)

/z(x)=一一ln(x+1)+(—+m)----=--------------

X7Xx+1X9

ZW_(l_y在(0,+oo)上存在極值，所以"(X)在(0,+oo)上存在變號零點.

由力(%)=m)(%)

R(x)2

令g(%)-加%?+x-(x+l)ln(x+1),貝!Jgf(x)=2mx+l-[ln(x+1)+1]=2mx-ln(x+l),

g〃(…一匕

①當機<0時，g"(x)<0,g〈x)為減函數(shù)，8'(乃<8'(0)=0七(%)在(0,+8)上為減函數(shù),

g(x)<g(0)=0,無零點，不滿足條件.

②當2加>1,即加>;時，g"(x)>0,g'(x)為增函數(shù)，8'。)>8'(0)=0,8。)在(0,+8)上為增函數(shù),

g(x)>g(0)=0,無零點，不滿足條件.

③當0<2相<1,即0<冽<4時，令g"(x)=0即2m=—-—x=———1

2x+12m

當0<%<工-1時，g"(x)<0,g'(x)為減函數(shù)；x>—--1時，g"(x)>0,g'(x)為增函數(shù)，

2m2m

；?g'min(X)=g'(7^--1)=--l)-ln(-^--l+l)=l-2m+ln2m;

2m