2024屆上海市數(shù)學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)試題含解析

2024屆上海市曹楊中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

7T

1.函數(shù)/（x）=2sin（2x—丁）的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是（）

O

①圖象C關(guān)于直線x=』乃對(duì)稱；

12

冗

②圖象C關(guān)于點(diǎn)（-1,0）對(duì)稱；

③由j=2s加2上的圖象向右平移？個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.

A.①B.①②C.②③D.①②③

2.將函數(shù)〃x）=sin+圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將圖像向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

A.信0）B.與0）C.（%,0）D.（亨,0）

3.對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天

數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是（）

發(fā)芽所需天數(shù)1234567>8

種子數(shù)43352210

A.2B.3C.3.5D.4

4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）

.326.

A---------+6乃B.8百+6萬(wàn)

3

「32x/316)D.8石+等

33

5.已知命題p：若a>l,h>c>\,貝!!log〃a<log/；命題q：3^（0,+oo）,使得2M<kgx0”，則以下命題為真

命題的是（）

A.pzqB.C.D.（-^?）A（—

6.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額了（單位：億元）的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是（）

A.從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；

B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；

C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；

D.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,…，7）

建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型.￡=99+173,根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為

256.5億元.

7.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造

業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為1

3

B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%

C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%

D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%

8.已知數(shù)列｛4｝滿足。用一%=2,且%四，4成等比數(shù)列.若［《』的前"項(xiàng)和為S“，則S”的最小值為()

A.-10B.-14C.-18D.-20

22

9.設(shè)《，F(xiàn)2分別為雙曲線二一與=1(?>0,*>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)冗作圓f+y2的切線與雙曲線的左

crZr

支交于點(diǎn)尸，若［P用=2儼用，則雙曲線的離心率為()

A.0B.V3C.V5D.V6

10.若小+q(2x—1)+a?(2x—1)~+<2,(2x—I)'*+4(2x—1)，+4(2x—l)s—,則a,的值為()

11.總體由編號(hào)01,,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1

行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

12.已知x=0是函數(shù)/(x)=x(依-tanx)的極大值點(diǎn)，則。的取值范圍是

A.(-oo,-l)B.(-oo,ll

C.f0,+oo）D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線八*）=（/+*）比x在點(diǎn)（1,犬1））處的切線方程為.

14.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,P為C上一點(diǎn)，PQ垂直/于點(diǎn)。，M,N分別為PQ,尸尸的中點(diǎn)，

MN與x軸相交于點(diǎn)R,若NNK尸=60。，則尸R|等于.

一71

15.已知平面向量“，b'c滿足|。|=1,仍1=2,a,6的夾角等于不，且（匕一，）?（0-c）=0，則Idl的取值

范圍是.

16.已知隨機(jī)變量XN（4,〃），且P（2<XW6）=0.8,則P（X<2）=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.（12分）已知弓（-1,0）,與（1,0）分別是橢圓。：=+當(dāng)=1,3>。>0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓。的離心率為

a~b~

48是橢圓C上兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足

52

（1）求C的方程；

⑵若點(diǎn)/在圓f+>2=1上，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求Q4-QB的取值范圍.

2

18.（12分）已知函數(shù)=—皿2+m21的€夫）的導(dǎo)函數(shù)為了，（?.

（1）若函數(shù)8（幻=/（幻一/（幻存在極值，求，〃的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)〃（x）=/'（e'）+r（lnx）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)任意機(jī)eR,若關(guān)于x的不等式7z（x）2加？+二在

（0,+8）上恒成立，求正整數(shù)A的取值集合.

19.（12分）設(shè)點(diǎn)E（l,0）,動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且和直線x=-l相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.

（1）求曲線W的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)M（0,2）的直線/與曲線W交于A、B兩點(diǎn)，且直線/與x軸交于點(diǎn)C,設(shè)M4=aAC，MB=/3BC,

求證：4為定值.

x=t

20.（12分）已知直線/的參數(shù)方程：\,一。為參數(shù)）和圓C的極坐標(biāo)方程：Q=2sin6

y=l+2t

（1）將直線/的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(2)已知點(diǎn)"(1,3),直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求的值.

21.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是直角梯形且AZ)〃BC，AB1BC,AB=BC=2AD=2,

側(cè)面B鉆為等邊三角形，且平面248,平面A3CD.

(1)求平面Q46與平面PDC所成的銳二面角的大??；

(2)若CQ=/ICP(噴收1),且直線BQ與平面PDC所成角為(，求X的值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|x+2|+|x-4|.

⑴求不等式/(x)<3x的解集；

⑵若/(x)2左|x-11對(duì)任意xeR恒成立，求k的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.

【題目詳解】

JT

因?yàn)?(x)=2sin(2x--),

0

又/(—)=2sin(2x---)=2sin—=2,所以①正確.

121236

/(-1)=2sin(2x^-1)=2sin(-萬(wàn))=0,所以②正確.

將.y=2sin2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=2sin[2(x—g)]=2sin(2x-*),所以③錯(cuò)誤.

JDD

所以①②正確，③錯(cuò)誤.

故選:B

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到y(tǒng)=g(可解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.

【題目詳解】

解：〃x)=sin[x+"圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到sin(gx+j

再將圖像向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=sin的圖象

4萬(wàn)

g(x)=sin

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.

3、C

【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).

【題目詳解】

3+4

由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為二;一=3.5,

2

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

4、B

【解題分析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.

【題目詳解】

由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐

1,1,

半個(gè)圓柱體積為：乂=—乃廣。=—;rx2~x3=6萬(wàn)

22

四棱錐體積為：％=；S〃=；X4X3X2G=86

原幾何體體積為：V=K+%=8g+6?

本題正確選項(xiàng)：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.

5、B

【解題分析】

先判斷命題P，4的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【題目詳解】

,1.111

log/,a=------7?log,a=；------?因?yàn)椤?gt;1,b>c>\,所以°<108“(?<108〃/7,所以----->-----即命題p

log,/log“clog(iclog*

為真命題；畫(huà)出函數(shù)y=2"和y=log3》圖象，知命題q為假命題，所以pA(->q)為真.

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題p，q的真假，難度較易.

6、D

【解題分析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).

【題目詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于3選項(xiàng)，2000-2004投資總額為

11+19+25+35+37=127億元，小于2012年的148億元，故描述正確.2004年的投資額為37億，翻兩翻得到

37x4=148,故描述正確.對(duì)于O選項(xiàng)，令r=10代入回歸直線方程得99+17.5x10=274億元，故。選項(xiàng)描述不正

確.所以本題選D.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解題分析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.

【題目詳解】

41

對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看，尸值不低于50%的月份有4個(gè)，所以12個(gè)月的尸值不低于50%的頻率為二=；,

故A正確：

對(duì)B,由圖可以看出，PM/值的平均值低于50%,故3正確；

對(duì)C,12個(gè)月的PM/值的眾數(shù)為49.4%,故C正確，；

對(duì)O,12個(gè)月的PM/值的中位數(shù)為49.6%,故。錯(cuò)誤

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

8,D

【解題分析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得S“，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)〃=4或5時(shí)，S“取到最小值.

【題目詳解】

根據(jù)題意，可知｛4｝為等差數(shù)列，公差d=2,

由4，%,4成等比數(shù)列，可得"；=6%，

；.(%+4)2=4(q+6),解得4=-8.

/.Sn=-871+二［x2=A?-9〃=(〃-少一肛.

"224

根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)〃=4或5時(shí)，S“取到最小值，最小值為-20.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前”項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)“=4或5時(shí)同時(shí)取到最值.

9、C

【解題分析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)6作圓V+y2=〃的切線的切點(diǎn)為了，根據(jù)切線的性質(zhì)可得且|OT|=a,再由|尸用=2|P用和

雙曲線的定義可得IPK1=2。,|尸鳥(niǎo)|=4。，得出T為白尸中點(diǎn)，則有O77/P%，得到P「2，PE，即可求解.

【題目詳解】

設(shè)過(guò)點(diǎn)片作圓Y+y2=〃的切線的切點(diǎn)為了，

±尸22

OT5,|FtT\=7lOFt|-b=a

\PF^=2\PF^PF^-\PF]=2a]PF2\=4a,\PF]=2a,

所以T是甲5中點(diǎn)，??.0T//Pg,，P￡lP6，

?2

?.IP￡F+1PF25=20/=|FtF2\=4c,

2

―-=5,e—A/5?

a：

故選:c.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

10、C

【解題分析】

根據(jù)V=二[(21-1)+1]5,再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】

因?yàn)闋t=啦[(21一1)+葉，所以二項(xiàng)式[(2x—l)+lF的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

7；M=C>(2X-1=C；<2x-1)5-"令廠=3,所以4=C；-(2X—1)2,因此有

1「31「215x45

%=?Ce=*Cc=X----------=.

-32§32532216

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

11、D

【解題分析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.

考點(diǎn)：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.

12、B

【解題分析】

方法一：令g(x)=ox—tanx,則/(x)=x-g(x),g\x)=a----「，

cosX

當(dāng)a?l,時(shí)，g'(x)40,g(x)單調(diào)遞減，

rr

xe(——,0)時(shí)，g(x)>g(0)=0,/(x)=x-g(x)<0,且尸(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

TT

"'(x)>0,即/(》)在(一一,0)上單調(diào)遞增，

2

7T

xe(0,一)時(shí)，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/'(x)=xg?)+g(x)<0,

2

：.f'(x)<0,即/(x)在(0,耳)上單調(diào)遞減，.?.x=0是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意；

兀1

當(dāng)時(shí)，存在re(0,5)使得。岡=蘇，即g'Q)=0,

1JT

又gH)=a--9在(0t)上單調(diào)遞減，，?！?0,/)時(shí)，ga)>g(0)=(),所以/a)=x?g(x)>0,

cos~x2

這與x=0是函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)矛盾.

綜上，a<\.故選B.

方法二：依據(jù)極值的定義，要使x=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，須在x=0的左側(cè)附近，fM<0,即or-tanx>0；

在x=0的右側(cè)附近，/(幻<0,即ar—tanx<0.易知，。=1時(shí)，>=依與y=tanx相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)丁=依

與y=tanx的圖象關(guān)系，可得awl,故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2x—y—2,=0

【解題分析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.

【題目詳解】

解：V/(x)=(x2+x)lnx,

/(x)=(2x+l)lnx+(x2+x)--=(2x+l)lnx+x+l,

則/⑴=2,

又/(1)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

則函數(shù)在點(diǎn)(1,/U))處的切線方程為y=2(x—1),

即2x-y-2=0,

故答案為：2x-y-2=0.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

14、2

【解題分析】

由題意知：|五川=2,|P月=|PQ|,MNHQF,PQ//OR油NNRF=6Q。,可得△P0?為等邊三角形，MFLPQ,

可得尸為"A的中點(diǎn)，即求|FR|.

【題目詳解】

?.?拋物線C；y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,P為C上一點(diǎn)

：.\FH\=2,\PF\^\PQ\.

?；M,N分別為P。，尸尸的中點(diǎn)，

/.MNHQF,

???尸。垂直/于點(diǎn)Q,

：.PQIIOR,

??1P月=IPQ|,NNR尸=60。，

.../\PQF為等邊三角形,

：.MF±PQ,

易知四邊形MQ”尸和四邊形MQER都是平行四邊形,

二尸為HR的中點(diǎn),

：.\FE\^\FH\^2,

故答案為：2.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

幣-6^7+A/3

15、，

22

【解題分析】

L*+1

計(jì)算得到I6+BI=J7，C2=^\c\cosa-1,解得cosa=-^~.,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.

“C

【題目詳解】

_兀

2>99

由一c)=0可得c=(a-^-b>c-a-b=\a+b\\c\cosa-lx2cos—=\a+b1*1c\cosaT,a為a+b

與C的夾角.

再由(a+Z?)—+Z?"+2n*/j=l+4+2xlx2cos——7可得la+bl=>

C2=>/7\c\cosa-1,解得cosa

...管：<1，即卜「一近mi+IWO,解得近一石VlclK"+6

V0<a<7i,:.~l<cosa<l,

,7c；22

幣-677+6

故答案為

F-，-T~

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了向量模的范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.

16、0.1

【解題分析】

根據(jù)2。原則，可得2（X<2）JP（2：X.6）,簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

【題目詳解】

由題可知：隨機(jī)變量XN（4,b2）,則期望為4

1-P(2<X<6)1-0.8

所以P（X<2）=0.1

22

故答案為：0.1

【題目點(diǎn)撥】

本題考查正態(tài)分布的計(jì)算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2211

17、(1)土+匕=1；(2)

54

【解題分析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得”,上。的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)出直線AB的方程為)，=依+〃?，由題意可知M為|A8|中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出

%+%2，%％2,由判別式1>0可得5M+4>機(jī)2；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)Q4-O6可得

____1__2

OAOB^l—AB,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入圓的方程/+>2=1,化簡(jiǎn)可得

4

謂=七”'代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn),120f-8)

由換元法令”公+i，代入可得O4OB=l_20x

(5I)(25f-9)

25—+16

1(20.8)

再令s=-及。=5-2s,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定。25.的取值范圍，即確定的取值范圍,

t96yH-----1-5n0(51-1)(251-9)

co

因而可得。4?08的取值范圍.

【題目詳解】

22

(1)F\(-L0),F2(1,0)分別是橢圓C：二+4=1,(a>b>0)的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),

ab

則c=l,橢圓。的離心率為g,

則e=￡二2二或^解得a=V5，

aa5

所以房=。2一。2=5.1=4，

22

所以。的方程為三+匯=1.

54

(2)設(shè)直線AB的方程為y="+"，點(diǎn)”滿足比則M為|45|中點(diǎn)，點(diǎn)”在圓f+y2=i上，設(shè)

A（W，%）,B（W，y2），

y=kx+m

2

聯(lián)立直線與橢圓方程＜x丁_,化簡(jiǎn)可得tF+4x2+1Qkmx+5m2-20=0,

,T+T-

-10krn5機(jī)2一20

所以畫(huà)+%2

貝！|A=（10加）2—4x卜42+4）x（5機(jī)2-20）＞0,化簡(jiǎn)可得5Z：2+4＞m2，

1^OAOB=（OM+MA）（OM+MB）

=OM2+OMMB+MAOM+MA-MB

22

=OM-MB

=1--AB2

4

I.oi,.Xi+xo-5km”（西+工2）+2”4m

"為中點(diǎn)，則.=，^-二/7==」一=/引

點(diǎn)M在圓V+y2=l上，代入化簡(jiǎn)可得2一9"+4）,

m-o

25/+16

77?

八1八r1&+15k+4-77?

由八］OAOB=1---------x80x.................-

所以4/o\2

.+4）

（/+1乂20戶+12）

=l-20x

（5/+4）（25/+16）

，（20T）

令/=r+1，貝ijOAO8=l-20x

（51）（25/-9）'

1/(20r-8)20-85

^s=-,O<s<\,則伊_])(25-9)

(5-s)(25-9s)

4(5-25)

-(5-5)(25-9.V)

令0=5—25,/€[3,5),則$=三絲，

4(5—2s)_16。_16

所以(5-s)(25-9s)=(5+功(5+9。)=7+生+50，

CO

16r43

因?yàn)?(啰)=90+，+50在℃[3,5)內(nèi)單調(diào)遞增，所以募汽工*〔不'記

CO

即^M獲

1111

所以O(shè)4QB=]_20x，(2了-8)g

(51)(25.9)T

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系，平面向量的線性

運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，計(jì)算量大，屬于難題.

18、(1)me(-2,2)(2){1,2}.

【解題分析】

(1)求解導(dǎo)數(shù)，表示出g(x),再利用g(x)的導(dǎo)數(shù)可求"，的取值范圍;

(2)表示出〃(x),結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求出/?！?=/-2(e'+lnx)根+2e2*+2(lnx)2-左2的最小值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及

基本不等式求出G(x)=ex-lnx的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合.

【題目詳解】

2

22

(1)因?yàn)閒(x)=§工3-7nx2+IU/\x)=2x-2nvc+m,

2

所以g(x)=/(尤)一f'(x)=§兀3一(加+2)x2+(m2+2m)x-m2,

則g'(x)=2x2-2(根+2)x+m2+2m,

由題意可知△=4(根+2)2-8(/+2m)>0,解得me(-2,2)

(2)由(1)可知，ff(x)=2x2-2iwc+m2,

所以h(x)=2e2x-2mex+2(lnx)2-2mInx+2m2

因?yàn)閔(x)=2e2x-2mex+2(lnx)2-2m\nx+2m2>m2+k2

x2x22

整理得機(jī)2_2(e+Inx)m+2e+2(lnx)-k>Of

設(shè)H(x)=e'+lnx,則“'(x)=e，+,>0,所以"(x)單調(diào)遞增，

X

又因?yàn)镠(d〃T)=/I+—1>機(jī)，

所以存在xe(e-7,en,-'),使得”(x)="+lnx=m,

設(shè)F(m)=/w2-2(/+Inx)m+2elx+2(lnx)2-k2,是關(guān)于加開(kāi)口向上的二次函數(shù),

則F(Mmin=F(e*+Inx)=(ex+lnx)2-k2,

設(shè)G(x)="—lnx,則G'(x)=e'-LL\x)=ex,則〃(x)="+L>0,

XXX

所以G'(x)單調(diào)遞增，因?yàn)镚'd)=八一2<0,G/(l)=e-l>()

2

1G1

所以存在使得G'(Xo)=O,即e~=一,

2x。

當(dāng)xw(0,x())時(shí)，G'(x)<0,當(dāng)xe(Xo，+8)時(shí)，G\x)>0,

所以G(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(X。,+8)上單調(diào)遞增，

所以G(x)min=G(Xo)=-\nx=x+—,

Qn%

因?yàn)閤()e(：,l),所以G(x())=Xo+」-e(2,5),

2X。2

2222

又由題意可知(G(x))一代20,所以(G(x)mm)2-k=(G(x0))-k>0,

解得ZVG(Xo),所以正整數(shù)A的取值集合為{1,2}.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究極值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，恒成立問(wèn)題要逐步消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為

最值問(wèn)題求解，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

19、(1)：/=4x；(2)見(jiàn)解析.

【解題分析】

(1)已知P點(diǎn)軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x=T為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線W的方程；

2

(2)設(shè)直線方程為丁=依+2,左。0,則。(一一,0),設(shè)A(玉,必),5(々,必)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)

K

用韋達(dá)定理得玉+々，西電，由MA=aAC，MB=￡BC,用橫坐標(biāo)表示出a,△，然后計(jì)算a+尸，并代入西+々，

用電可得結(jié)論.

【題目詳解】

(D設(shè)動(dòng)圓圓心P(x,y),由拋物線定義知：P點(diǎn)軌跡是以尸為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為

丁=2a(〃>0),則5=1,解得"=2.

二曲線W的方程為丁=4尤；

2

(2)證明：設(shè)直線方程為丁=區(qū)+2,攵。0,則丁,0),設(shè)A(M，y),B(X2，%),

k

y=kx+2、,

由得42/+(4%-4?+4=0,①，

_y=4x

nl4Z—44公

則%+工2=9=~j~29②，

由M4=aAC，MB=BBC,得

2八2

(%，乂-2)==(一%一：，一乂)，(x,y-2)=/?(一/一：，一%)，

kk22

-kx萬(wàn)一"

整理得a=—4x-,P=~~~二，

g+202+2

:.a+B=二^+二^二:2《中2一23+占）,代入②得

kx1+23+2攵~%工2+2%（X+W）+4

_2公小_2心（—竺當(dāng)

a+B=—1~~-^―

/xp>+2%x（——p—）+4

【題目點(diǎn)撥】

本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問(wèn)題中的定值問(wèn)題.解題方法是設(shè)而不求的思想方

法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)A(玉,必),3(々,必)，設(shè)直線方程了=云+加，直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次

方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得王+々，當(dāng)々，代入題中其他條件所求式子中化簡(jiǎn)變形.

20、(1)/：y=2x+\,C：x2+(y-l)2=1；(2)275

【解題分析】

(1)消去參數(shù)「求得直線/的普通方程，將Q=2sin。兩邊同乘以。，化簡(jiǎn)求得圓C的直角坐標(biāo)方程.

(2)求得直線/的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求得

的值.

【題目詳解】

(1)消去參數(shù)/,得直線/的普通方程為y=2x+l,

將/?=2sin6兩邊同乘以「得"=2/?sinJ,x2+(j-l)2=1,

.?.圓。的直角坐標(biāo)方程為Y+(y-l)2=l；

f,也

x=1+——t

/、x=t5

(2)經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)M(l,3)在直線/上，jy_]+2/可轉(zhuǎn)化為j短①，

y=3+-^-r

將①式代入圓C的直角坐標(biāo)方程為V+(y-i)2=i得[1+乎4+(半f+2)=1,

化簡(jiǎn)得產(chǎn)+26+4=0,

設(shè)44是方程產(chǎn)+26『+4=0的兩根，則％+，2=—2石，巾2=4,

?.?印2=4>0,與弓同號(hào)，

由,的幾何意義得|M4|+國(guó)網(wǎng)=川+同=,+寸=2逐.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問(wèn)題，

屬于中檔題.

21、(1)-；(2)也!1.

46

【解題分析】

(D分別取ABCD的中點(diǎn)為O,E,易得OP,OE,OB兩兩垂直，以O(shè)E,OB,QP所在直線為羽y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，易得AO=(1,0,0)為平面Q4B的法向量，只需求出平面PDC的法向量為〃，再利用

cos0=|cos<n-AD>|=計(jì)算即可；

l〃llAD\

(2)求出B0,利用|cos<〃,8Q>|=sin。計(jì)算即可.

【題目詳解】

(1)分別取AACD的中點(diǎn)為O,E,連結(jié)PQEO.

因?yàn)锳D〃8C,斫以O(shè)E〃BC.

因?yàn)锳5L3C,