2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元速記-計(jì)數(shù)原理（知識歸納+題型突破）+答案解析

第七章計(jì)數(shù)原理(知識歸納+題型突破)

課標(biāo)要求

1.通過實(shí)例，了解分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理及其意義.

2.理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.

3.進(jìn)一步理解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.

4.會正確應(yīng)用這兩個計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).

5.通過實(shí)例，理解排列的概念.

6.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.

7.掌握幾種有限制條件的排列.

8.能應(yīng)用排列解決簡單的實(shí)際問題.

9.通過實(shí)例理解組合的概念.

10.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會解決簡單的組合問題.

11.理解組合數(shù)的性質(zhì).能解決有限制條件的組合問題.

12.能解決有關(guān)排列與組合的簡單綜合問題.

13.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

14.掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.

15.會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.

16.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

基礎(chǔ)知識歸納

1.分類計(jì)數(shù)原理

如果完成一件事，有〃類方式，在第1類方式中有如種不同的方法，在第2類方式中有"72種不同的方

法……在第n類方式中有叫種不同的方法，那么完成這件事共有…十m”種不同的方法.

(1)分類計(jì)數(shù)原理中各類方案相互獨(dú)立，各類方案中的各種方法也相互獨(dú)立，用任何一類方案中的任何一

種方法都可以單獨(dú)完成一件事.

(2)分類計(jì)數(shù)原理的使用關(guān)鍵是分類，分類必須明確標(biāo)準(zhǔn)，要求每一種方法必須屬于某一類，不同類的任意

兩種方法是不同的，這是分類問題中所要求的“不重復(fù)”“不遺漏”.

2.分步計(jì)數(shù)原理

如果完成一件事，需要分成"個步驟，做第1步有如種不同的方法，做第2步有〃?2種不同的方法……

做第n步有加"種不同的方法，那么完成這件事共有N=""X?72義…義加”種不同的方法.

(1)分步時，要先根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn)，一般地，標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會不同.

(2)分步時還要注意：完成一件事必須連續(xù)完成〃個步驟后這件事才算完成，各步驟之間既不能重復(fù)也不能

遺漏.

3.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系

分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理

相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種類

分類完成,類類相加分步完成,步步相乘

不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法都能獨(dú)每步依次完成才算完成這件事(每步

立完成這件事中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)

注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整

4.排列的定義

一般地，從〃個不同的元素中取出項(xiàng)“W")個元素，按照一定的順序排成一列,叫作從〃個不同元素中取

出m個元素的一個排列.

(1)要求mWn.

(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.

5.排列數(shù)公式

(1)一般地，從〃個不同元素中取出〃?(冽W〃)個元素的所有排列的個數(shù)，叫作從〃個不同元素中取出加個元

素的排列數(shù)，用符號A貴表示.

(2)排列數(shù)公式A架=〃("一1)(〃一2)…①一"+1),其中〃，TMGN*,且%

(3)〃個不同元素全部取出的一個排列，叫作〃個不同元素的一個全排列.在排列數(shù)公式中，當(dāng)加=〃時，即有

&=〃(〃一1)(〃-2)X…X3X2X1,〃5一1)("-2)X…X3X2X1稱為〃的階乘，通常用小L表示，即AN=&1

(4)規(guī)定0!=1.

排列數(shù)公式還可以寫成A7=—=一.

("一加)！

注意：(1)注意排列數(shù)公式的特征，加個自然數(shù)之積，其中最大的因數(shù)是“最小的因數(shù)是"-加+1.

(2)規(guī)定0!=1,這是一種規(guī)定，不能按階乘的定義作解釋，但可以從更原始的概念作出說明：一個元素都

不取，構(gòu)成的排列的情形只有1種.

6.排列問題的方法

(1)直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素(乂稱為元素分析法)；或以位置為

考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置(又稱位置分析法).

(2)間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出總排列數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù).

7.組合的概念

一般地，從n個不同元素中取出加佃W出個元素并成一組,叫作從〃個不同元素中取出心個元素的一個

組合.

8.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系

(1)共同點(diǎn)：兩者都是從〃個不同對象中取出個對象.

(2)不同點(diǎn)：排列與對象的順序有關(guān)，組合與對象的順序無關(guān).

(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.

9.組合數(shù)及組合數(shù)公式

從n個不同元素中取出MmW出個元素的所有組合的個數(shù),叫作從

組合數(shù)定義及表示

〃個不同元素中取出俏個元素的組合數(shù)，用符號c貫表示

乘積_A?_n(n-1)(n—2)…(幾一冽+1)

形式AX；

組合數(shù)公式

階乘

-c---n-!-=----

形式加！(〃—冽)！

(1)C°=1.

(2)?=繼=…『(廣1)］常用于計(jì)算

Mnm(m-l)(m-2)X???X2X1

⑶CM=一產(chǎn)一「常用于證明.

ml\n-m)\

10.(〃+b)2的展開式

(a-\~b)2=(a~\~b)(a-\-b)=a'a~\~a'b~\~b'a~\-b'b=a22ab~\~b2.

nrr

公式(a+b)"=C&"+C,/L16H-----FC?a~b-\-----FC%"叫作二

二項(xiàng)式定理

項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式系數(shù)C￡(r=0,1,…，一)

通項(xiàng)T“=C-

二項(xiàng)式定理的特例(1+x)"=G+Ch+C方2H-----HC2H-------HC；Un

11.二項(xiàng)式系數(shù)表

二項(xiàng)式系數(shù)表

(a+6)°..................................1..............................2°

(a+6)i.............................11..............................21

V

(a+b)2........................121..........................22

3

(Q+6)3.....................1331.....................2

4

(Q+6)4................14641................2

5

(Q+6)5.................15101051.................2

6

(Q+6)6............1615201561............2

此表的規(guī)律如下：

(1)每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)都是“對捶”的.

⑵每行兩端都是1,而且除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的血.

(3)每行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

(4)第1行為1=2。，第2行的兩數(shù)之和為2,第3行的三數(shù)之和為然……第7行的各數(shù)之和為空.

12.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

一般地，(。+6)"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)C%C1,…，CN有如下性質(zhì)：

(1)C7=QR；

⑵―?Bi；

(3)當(dāng)時，a<c^；

當(dāng)小二1時，9<c;；

2一

(4)C9+&+…+CL星.

注意(1)在求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值時，要注意討論〃的奇偶性.

(2)各二項(xiàng)式系數(shù)和：C9+Q+C"…+。；=2"源于(a+6)"=C9a"+C,"F+…+C紡"中，令a=1,6=1,

即得至!]C9+Cl+C力…+0=2".

(3)在(a+6)"的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，都為2"?

重要題型

題型一分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

【例1】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為.

【答案】36

【解析】法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足

題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類計(jì)數(shù)原理知，符合條件的

兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).

法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

個位數(shù)字是9,則十位數(shù)字可以是1,2,3,8中的一個，故共有8個；

個位數(shù)字是8,則十位數(shù)字可以是1,2,3,7中的一個，故共有7個；

同理，個位數(shù)字是7的有6個；

個位數(shù)字是2的有1個.

由分類計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).

思維升華利用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時的解題流程

將完成這件事的方法分成若干類)

(求出每一類的方法數(shù))

將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果)

鞏固訓(xùn)練

1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個?

【解析】當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9,只有1個；

當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9,共3個；

當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個；

同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個，

當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個.

由分類計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個).

22

2.設(shè)集合/={1,2,3,4},m,n^A,則方程工+匕=1表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有個.

mn

【答案】6

【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以機(jī)＞〃.

當(dāng)加=4時，〃=1,2,3;

當(dāng)"?=3時，〃=1,2;

當(dāng)加=2時，n=

即所求的橢圓共有3+2+1=6(個).

題型二分步計(jì)數(shù)原理

【例2]一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，若各位上的數(shù)字允許重復(fù)，那么

這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？

【解析】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：

第1步，有10種撥號方式，所以如=10;

第2步，有10種撥號方式，所以加2=10；

第3步，有10種撥號方式，所以加3=10；

第4步，有10種撥號方式，所以加4=10.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成N=10X10X10X10=10000(個)四位數(shù)的號碼.

思維升華利用分步計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步.

(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；

(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.

鞏固訓(xùn)練

一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，若各位上的數(shù)字不允許重復(fù)，那么這個

撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？

【解析】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：

第1步：有10種撥號方式，即"21=10;

第2步：去掉第1步撥的數(shù)字，有9種撥號方式，即m2=9;

第3步：去掉前兩步撥的數(shù)字，有8種撥號方式，即加3=8;

第4步：去掉前三步撥的數(shù)字，有7種撥號方式，即〃74=7.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成N=10X9X8X7=5040(個)四位數(shù)的號碼.

2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)P(x,y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0,1,2,3}內(nèi)取值，則可以組成多少個不同的點(diǎn)

P?

【解析】確定點(diǎn)P的坐標(biāo)必須分兩步，即分步確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo).

第一步，確定橫坐標(biāo)，從0,1，2,3四個數(shù)字中選一個，有4種方法；

第二步，確定縱坐標(biāo)，從0,1,2,3四個數(shù)字中選一個，也有4種方法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所有不同的點(diǎn)P的個數(shù)為4X4=16.故可以組成16個不同的點(diǎn)尸.

題型三兩個計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用

【例3】現(xiàn)有高二年級的四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自

愿組成數(shù)學(xué)課外小組.

(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？

(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

【解析】(1)分四類：

第一類，從一班學(xué)生中選1人,有7種選法；

第二類，從二班學(xué)生中選1人,有8種選法；

第三類，從三班學(xué)生中選1人,有9種選法；

第四類，從四班學(xué)生中選1人,有10種選法.

所以，共有不同的選法"=7+8+9+10=34（種）.

（2）分四步：第一、二、三、四步分別為從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長.

正以，共有不同的選法N=7X8X9X10=5040（種）.

（3）分六類，每類又分兩步：

從一、二班學(xué)生中各選1人，有7X8種不同的選法；

從一、三班學(xué)生中各選1人，有7X9種不同的選法；

從一、四班學(xué)生中各選1人，有7X10種不同的選法；

從二、三班學(xué)生中各選1人，有8X9種不同的選法；

從二、四班學(xué)生中各選1人，有8X10種不同的選法；

從三、四班學(xué)生中各選1人，有9X10種不同的選法.

所以，共有不同的選法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（種）.

思維升華使用兩個計(jì)數(shù)原理的原則

使用兩個計(jì)數(shù)原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是把較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素

分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類計(jì)數(shù)原理；''分步"就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后

逐步解決，這時可用分步計(jì)數(shù)原理.

鞏固訓(xùn)練

1.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日

語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少種不同的選法？

【解析】由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.

法一分兩類.

第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2+1=3（種）選法.此時共有6X3

=18（種）選法.

第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選教日語的有2種選法，此時有1義2=2（種）

選法.

所以由分類加法計(jì)算原理知，共有18+2=20（種）選法.

法二設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：（1）教英語；（2）

教日語.

第一類：甲入選.

⑴甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1X2=2（種）選法；

（2）甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1X6=6（種）選法.

故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類：甲不入選.可分兩步.

第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有6X2=12（種）不同的選法.

綜上，共有8+12=20（種）不同選法.

題型四組數(shù)問題

【例4】用0,1,2,3,4五個數(shù)字.

（1）可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？

（2）可以排成多少個三位數(shù)？

（3）可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

【解析】⑴三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5X5X5

=53=125（個）.

（2）三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可

以排0,因此，共有4X5X5=100（個）.

（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4,因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0,則有4X3=12（種）

排法；一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3種排

法，十位有3種排法,因此有2X3X3=18（種）排法.因此有12+18=30（種）排法,即可以排成30個能被2

整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

遷移由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

【解析】完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)''這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一

個，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方

法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步計(jì)

數(shù)原理知共有2X3X3X2=36（個）.

思維升華對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則

（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置（末位或首位）分類，

分類中再按特殊位置（特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.

（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.

鞏固訓(xùn)練

1.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.18

C.12D.6

【答案】B

【解析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇.

如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種情況），之后十位（2種情況），最后百位（2種情況），

共3X2X2=12（種）；

如果是第二種情況偶奇奇：個位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0,一種情況），共3X2X1=6（種）,

因此總共有12+6=18（種）情況.故選B.

題型五選（抽）取與分配問題

【例5】高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班

去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）

A.360種B.420種

C.369種D.396種

【答案】C

【解析】法一（直接法）以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為四類:

第一類,四個班級都去甲工廠,此時分配方案只有1種情況；

第二類,有三個班級去甲工廠,剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4X4=16（種）；

第三類,有兩個班級去甲工廠,另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6X4X4=96（種）;

第四類，有一個班級去甲工廠,其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4X4X4X4=256（種）.

綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（種）.

法二（間接法）先計(jì)算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再去除甲工廠無人去的情況，即：5X5X5X5-

4X4X4X4=369（種）方案.

思維升華選（抽）取與分配問題的常見類型及其解法

（1）當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.

（2）當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：

①直接使用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，

則按分類進(jìn)行.

②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有4,B,C,D,E五個水閘，若上游有充足水源但下

游沒有水，則這五個水閘打開或關(guān)閉的情況有（）

A.7種

C.23種D.26種

2.從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能

從事翻譯工作，則選派方案共有（）

A.280種B.240種

C.180種D.96種

【答案】⑴C（2）B

【解析】（1）每個水閘有打開或關(guān)閉兩種情況，五個水閘的打開或關(guān)閉不同結(jié)果有25種，水閘/打開，水閘

B,C至少打開一個，水閘D,E至少打開一個，下游有水，水閘&C至少打開一個有（22-1）種，水閘，

￡至少打開一個（22-1）種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得下游有水的不同結(jié)果有1X02-1）XQ2-1）=9（種），

所以所求五個水閘打開或關(guān)閉的情況有25-9=23（種）.

（2）由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項(xiàng)工

作的選法有5X4X3種，因此共有4X5X4X3=240（種）選派方案.

題型六涂色與種植問題

【例6】用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的粉筆，

則該板報共有多少種不同的書寫方案？

英號V

理綜

產(chǎn)界數(shù)學(xué)

語文學(xué)苑\天地

【解析】完成這件事可分四步：

第一步，“英語角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；

第二步，“語文學(xué)苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有5種不同的選法；

第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學(xué)苑”用的粉筆顏色都不相同，有4種不同的

選法；

第四步，“數(shù)學(xué)天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有5種不同的選法.

由分步計(jì)數(shù)原理知，該板報共有6X5X4X5=600（種）不同的書寫方案.

思維升華求解涂色（種植）問題一般是直接利用兩個計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：

（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步計(jì)數(shù)原理分析；

（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類計(jì)數(shù)原理分析.

鞏固訓(xùn)練

1.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種

植，則有種不同的種植方法.

【答案】18

【解析】法一（直接法）若黃瓜種在第一塊土地上，則有3X2=6（種）不同的種植方法.

同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3X2=6（種）不同的種植方法.

故不同的種植方法共有6X3=18（種）.

法二（間接法）從4種蔬菜中選出3種,種在三塊地上，有4X3X2=24（種），其中不種黃瓜有3X2X1=6（種）,

故共有24-6=18（種）不同的種植方法.

題型七對排列概念的理解

【例7】判斷下列問題是否為排列問題.

（1）北京、上海、天津三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價格（假設(shè)來回的票價相同）；

（2）選2個小組分別去植樹和種菜；

⑶選2個小組去種菜；

（4）選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；

（5）選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；

（6）某班40名學(xué)生在假期相互通信.

【解析】（1）中票價只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.

(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(3),(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.

(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(6)/給2寫信與2給/寫信是不同的，所以存在順序問題，屬于排列問題.

所以在上述各題中(2),(5),(6)屬于排列問題.

思維升華判斷一個具體問題是否為排列問題的方法

|變換元1的位置)

I有［序/無『1

［排列可題〕俳排1問題)

鞏固訓(xùn)練

1.判斷下列問題是不是排列問題，并說明理由.

(1)從1,2,3,…，10這10個正整數(shù)中任取兩個數(shù)組成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個不同

的點(diǎn)的坐標(biāo)？

(2)從1,2,3,…，10這10個正整數(shù)中任取兩個數(shù)組成一個集合，可以得到多少個不同的集合？

【解析】(1)取出的兩個數(shù)組成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與以哪一個數(shù)為橫坐標(biāo)，哪一個數(shù)為縱坐標(biāo)的順

序有關(guān)，所以這是排列問題.

(2)取出的兩個數(shù)組成一個集合，由于集合中的元素具有無序性，即集合不受所選兩個數(shù)的排列順序的影響,

所以這不是排列問題.

題型八用列舉法解決排列問題

【例8】寫出下列問題的所有排列：

(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？

(2)由1,2,3,4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.

【解析】(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12個不同的兩位數(shù).

(2)畫出樹狀圖，如圖所示.

由上面的樹狀圖知，所有的四位數(shù)為

1234,1243,1324,1342,1423,I432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,

3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

思維升華在排列個數(shù)不多的情況下，樹狀圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排

出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確

定第二個元素，再按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹狀圖寫出排

列.

鞏固訓(xùn)練

1.同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分

配方式有（）

A.6種B.9種

C.11種D.23種

【答案】B

【解析】法一設(shè)四張賀卡分別為4B,C,D由題意知，某人（不妨設(shè)為/卡的供卡人）取卡的情況有3

種，據(jù)此將卡的不同分配方式分為三類，對于每一類，其他人依次取卡分步進(jìn)行，用樹狀圖表示，如圖.

「4—D—C廠A—D—B^A-B-C

B-C—D—A,（＞-D—A-BD-C—A—B

D-A-CD—B-^4JC—BT

共有9種不同的分配方式.

法二讓/,B,C,。四人依次拿一張別人送出的賀年卡，則可以分三步：

第1步，/先拿，有3種不同的方法；

第2步，讓被/拿走的那張賀年卡的主人拿，共有3種不同的取法；

第3步，剩下的兩個人都各有1種取法.

由分步計(jì)數(shù)原理知，四張賀年卡有3X3X1X1=9（種）不同的分配方式.

題型九排列數(shù)公式的應(yīng)用

【例3】計(jì)算：

⑴Ag；

c、2AW+7A3

（2）;

Ai-A5

若3A?=2A?+i+6A3,求x.

【解析】（l）Ag=6!=6X5X4X3X2X1=720.

C+7AN2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5,

(2)==1.

AbAg8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5

(3)由3Ag=2A幺］+6Ax,得3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-1).

因?yàn)閤23且xdN*,故化簡整理得，3x2-17x+10=0.

解得x=5或x=；(舍去).所以x=5.

思維升華1.排列數(shù)公式的乘積的形式適用于個體計(jì)算和當(dāng)機(jī)較小時的含排列數(shù)的方程和不等式問題.

2.排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意提取公

因式，可以簡化計(jì)算.

鞏固訓(xùn)練

1.4X5X6X…X(〃一1)〃等于()

AWB.Ar4

C.(〃一4)!D.A；f3

【答案】D

【解析】從4,5,…至U〃共"-4+1=〃-3個正整數(shù),

所以根據(jù)排列數(shù)公式知4X5X6X???X(M-l)w=A；；3.

ATKm~\Kn~m

2.①計(jì)算:怨②計(jì)算：

A,A^：l

【解析】①叫=7X6X5X4X3X2X1，

7X6X5X4

g畝4(〃-1)!/、，1(〃-1)!,、，1

②原式--------------------(n---------------------(n-m)\----------

[n~1~(m-1)]!(〃-1)!(n~m)l(九一1)!

3.解不等式：Af2<6Ai

8!,~8!

一<6X

【解析】原不等式等價于18-(x+2)]!(8-x)!

x+2W8且xdN*,

x2-15%+50<0,

整理得

X<6且xCN*.

即5<無忘6且xdN*,從而解得x=6.

題型十對組合概念的理解

【例10】給出下列問題：

(1>,b,c,d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？

(2)a,b,c,4四支足球隊(duì)爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？

(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù)，有多少種不同的選法?

(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？

在上述問題中，—是組合問題，是排列問題.

【答案】(1)(4)⑵(3)

【解析】(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.

(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題.

(3)3人分別擔(dān)任三個不同職務(wù)，有順序，是排列問題.

(4)3人參加某項(xiàng)相同活動，沒有順序，是組合問題.

思維升華區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的

方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化,

若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.

鞏固訓(xùn)練

1.(多選)下列問題是組合問題的有()

A.設(shè)集合/={a,b,c,d,e},則集合/的含有3個元素的子集有多少個

B.某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種票價

C.3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法

D.把3本相同的書分給5個學(xué)生，每人最多分得1本，有幾種分配方法

【答案】ABD

【解析】A.取出的元素與順序無關(guān)，故是組合問題.

B.甲站到乙站的車票與乙站到甲站的車票是不同的，但票價與順序無關(guān)，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種

票價，故是組合問題.

C.從5種不同的工作中選出3種，并按一定順序分給3個人去干，故是排列問題.

D.因?yàn)?本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需要考慮它們的順序，故是組合問題.

題型十一組合數(shù)公式的應(yīng)用

【例11]⑴求值：3a—20

⑵解方程：UC，=24C公i.

【解析】(1)3C[-2c3=3義”公-2義7=148.

3X2X12X1

vl(X+1)1

(2)原方程可化為11-，廣=24?，5,

3!(x-3)!2!(x+1-2)!

即1lx2-105x-50=0,解得x=10或x=-

又x23且xGN*,所以x=10.

思維升華(1)組合數(shù)公式

aa…(〃一加+1)一般用于計(jì)算,而組合數(shù)公式c#=—-------般用于含字母的

m!m!(n—m)!

式子的化簡與證明.

(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)C7的隱含條件為mW”，且“CN*,僅GN.

鞏固訓(xùn)練

1.計(jì)算:C?oo+Cioo;

【角尾析】C?oo+Cioo=10°X99+200=4950+200=5150.

2

2.證明：C/=一^Cki.

n—m

證明——/"TH、=，加、二三

n-mn-mml(n-1-m)lml\n-m)\

題型十二簡單的組合問題

【例12】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.

(1)現(xiàn)要從中選2名參加會議有多少種不同的選法？

(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有多少種不同的選法？

(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名參加會議，有多少種不同的選法？

【解析】(1)從10名教師中選2名參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，

即Go=1()^=45(種).

2X1

(2)可把問題分兩類情況：

第1類，選出的2名是男教師有C箭中方法；

第2類，選出的2名是女教師有C4種方法.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有C2+C2=15+6=21(種)不同選法.

(3)從6名男教師中選2名的選法有Cg種，從4名女教師中選2名的選法有CZ種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共

有不同的選法cl-Cl=15X6=90(種).

思維升華(1)解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在

于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān).

(2)要注意兩個計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在分類和分步時，一定注意有無重復(fù)或遺漏.

鞏固訓(xùn)練

1.現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.從中選2名教師參加會議，至少有1名男教師的選法有多

少種？最多有1名男教師的選法又有多少種？

【解析】至少有1名男教師可分兩類：1男1女有CACJ種，2男0女有C薪中.

由分類計(jì)數(shù)原理知有C&CL+Cl=39(種).

最多有1名男教師包括兩類：1男1女有CACL種，0男2女有C4種.

由分類計(jì)數(shù)原理知有C&C3+(3=30(種).

2.一個口袋內(nèi)裝有大小相同的4個白球和1個黑球.

(1)從口袋內(nèi)取出3個小球，共有多少種取法？

(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？

【解析】(1)從口袋內(nèi)的5個球中取出3個球，取法種數(shù)是C3=10.

⑵從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是需要從4個白球中取出2個，取法種數(shù)是C2c1=6.

⑶由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從4個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Cj=4.

題型十三二項(xiàng)式定理的正用、逆用

「3出+74

【例13】⑴求〔心)的展開式.

(2)化簡：C敝+l)"-a(x+l)n-1+C?(x+Q-2------h(-iya(x+1)"T-------卜(_1)?Q.

+

【解析】⑴法一6&J4=04)4+C.3心產(chǎn)日+CZ(3小產(chǎn)值2+cl(33Khcm4=8lx2+

108x+54+U12+W1

xx2

[l+Cb3x+CM3x)2+C,(3x)3+c4(3x)4]=1(1+12x+54x2+108x3+81x4)

x2

i19

U+U+54+108X+81X2.

(2)原式=C敝+1)〃+C^x+1)?-1(-1)+c?(x+1)〃一2(-1)2+...+c^x+1廣(_ly+…+Q(-1)?=[(x+1)+

(-l)]n=xn.

思維升華(1)(Q+6)〃的二項(xiàng)展開式有幾+1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的賽指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于〃；

②字母Q按降暴排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升幕排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0

逐項(xiàng)加1直到n.

(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開式的形式

靠攏.

鞏固訓(xùn)練

1.化簡：(2x+I。-5(2%+l)4+10(2x+1)3—10(2x+l)2+5(2x+1)—1.

[解析】原式=C§(2x+I)5-Cg(2x+1)4+Cg(2x+-C$(2x+I)2+Cg(2x+1)-

C*2x+1)0=[(2x+1)-I]5=(2x)5=32/

題型十四二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用

【例14】(1)求二項(xiàng)式9"—fl'的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)；

(2)求的展開式中x3的系數(shù).

【解析】⑴由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為=Cg(2&)6>1-J

3r39

=26-rC§*(-l)r,x3-y,Ts=26-5C^,(-l)5,x3--X5=-12x--

.，?第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C2=6,第6項(xiàng)的系數(shù)為-12.

99

(2)展開式的通項(xiàng)為Trt1=CSjx八Ixj=(-ly-CS-x2、

令9-2r=3,得r=3,則展開式中第4項(xiàng)含P其系數(shù)為(-1>找=-84.

思維升華(1)(。+6)"的展開式的通項(xiàng)3+1=3。"一方(「=0,1,2,…〃)是指的第，+1項(xiàng);

(2)二項(xiàng)式系數(shù)指的是G,而項(xiàng)的系數(shù)指項(xiàng)中除去字母及其指數(shù)外剩余的部分，包含符號在內(nèi).

鞏固訓(xùn)練

1.已知二項(xiàng)式

(1)求展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；

(2)求展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；

(3)求展開式的第4項(xiàng).

【解析】卜"一日的展開式的通項(xiàng)是7ki=C1o(3&)io-U'=Qio3i。]

1-3,10一3,

I3j(r=0,1,2,…，10).

(1)展開式的第4項(xiàng)&=3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C?o=120.

(2)展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C?o37[-if=-77760.

(3)展開式的第4項(xiàng)為

北=73,i=-77760^.

題型十五與展開式中的特定項(xiàng)有關(guān)的問題

3W

小~2九

【例15】已知在〔知的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

(1)求n；

(2)求含/的項(xiàng)的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).

n~rn~1r

r-r

【解析】展開式的通項(xiàng)為Tr+i=C^x3(-3)x-=CJ(-3)x3.

(1)：第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，，當(dāng)r=5時，有%千=0,即〃=10.

1A_Or1

(2)4———=2,得/=；(10-6)=2,，所求的系數(shù)為品(-3)2=405.

32

[10-2r

UL-)

(3)由題意得，?3令上1A『-=MGZ)，

，GN.

則10-2r=33即r=5-3f.

2

?."GN,.?"應(yīng)為偶數(shù).令f=2,0,-2,即r=2,5,8.

???第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405/,_61236,295245x2

思維升華(1)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常見題型

①求第r項(xiàng)，「=(2/1廢丁十%廠1;②求含靖的項(xiàng)(或城儼的項(xiàng))；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng).

(2)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法

首先寫出通項(xiàng)公式.

①對于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；

②對于有理項(xiàng)，是指其所有字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),

根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；

③對于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致.

鞏固訓(xùn)練

1.若D的展開式中爐的系數(shù)是—8%則a=.

【答案】1

【解析】展開式的通項(xiàng)為7kLe既9>(-0)0

=C§.(一。)號9一2廠(0W尸W9,r^N).

當(dāng)9-2尸=3時，解得尸=3,代入得好的系數(shù)為eg(-。)3=-84,解得Q=1.

2.已知〃為等差數(shù)列一4,—2,0,…的第六項(xiàng)，則日的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】160

【解析】由題意得〃=6,.,.展開式的通項(xiàng)為7k1=

令6-2r=0得廠=3,...常數(shù)項(xiàng)為23cg=160.

題型十六二項(xiàng)式系數(shù)表

【例16］如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,

10,5,記其前〃項(xiàng)和為S”求&6的值.

1

【解析】由題意及二項(xiàng)式系數(shù)表的特點(diǎn)可得Si6=(l+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)=(C?+Ci)

Q*(2+g)

+(C?+Cl)+(C?+cl)+-+?+ci)=?+eg+C4+…+C3)+(2+3+…+9)=c?o+——\"=164.

思維升華解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路

(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多南度觀察.

(2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律.

(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來，使問題得解.

鞏固訓(xùn)練

1.楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)

與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多規(guī)律，如圖是一個1