2023-2024學(xué)年廣東省珠海市高三年級上冊冊新起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題（附答案）

o

20232024學(xué)年廣東省珠海市高三上冊新起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

i(l+i),

1.1-i(

A.-iB.iC.-1D.1

2.已知集合”={°，1，2,3},從={y|w=2'-2…則神=（）

O

而A.J}B.{0』，3}

抑

c.{123}D.{。/，2}

3.已知向量"（I）,）=（2,1）,且a*-2否）=（）

A.5B.一5C.11D.-11

喙4.已知夕￡R,則“tan”0，，是“點(diǎn)（sin&cos。）在第一象限內(nèi),，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

O

c.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)/（'）=然m（5+9）的圖象如圖所示，則/（、）的表達(dá)式可以為（）

教

013兀

T12

O

/(x)=2cos]2x-￡f(x)=2cos[2x一：

A.B.

sin2A型7兀

f(x)=2sinx----

I3

C.D.12

a

1-tan—

2

.3』兀，型

01+tan—

sma=——I2.

6.若5,且，則2)

O

A.B.C.2D.-2

兀

f(x)=2sin|+—是區(qū)間1%

7.若函數(shù)3上的減函數(shù)，則。的取值范圍是（）

5

—oo,------

A.3B.

sin2x

f(x)=sinx+F-的最大值為（

8.函數(shù)

33百5—5

A.2B.4C.8D.4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.

9.下列說法正確的是（)

A.一組數(shù)1,5,6,7,10,13,15,16,18,20的第75百分位數(shù)為16

B.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程＞=-S6x+2中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，相應(yīng)變量〉增加06個

單位

C.數(shù)據(jù)a—％的方差為〃,則數(shù)據(jù)組+1，3%+1,3%+1,…,36+1的方差為9M

150°

22

s=—V（xz.-2）

D.一個樣本的方差50日，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于100

10.已知函數(shù)"x）=x-sinx,則（）

A./（“）為其定義域上的增函數(shù)B./卜）為偶函數(shù)

C.f（X）的圖象與直線丁=1相切D.）（X）有唯一的零點(diǎn)

11.已知在等比數(shù)列｛""｝中，滿足%=1,4=2,S”是也｝的前〃項(xiàng)和，則下列說法正確的

是（）.

A.數(shù)列包"｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛bg?%｝是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛“"｝中，號。,50,現(xiàn)仍成等比數(shù)列

.已知函數(shù)esin(vx+—）

12I33>o[°'可上有且僅有3個對稱中心，則下列說法

在區(qū)間

不正確的是（）

A.）（X）在區(qū)間（°二）上至多有3條對稱軸

B.。的取值范圍是13'3）

C./（X）在區(qū)間221上單調(diào)遞增

71

D./（X）的最小正周期可能為萬

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在1卜2YxTJ的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)為_______.

f（X）=ln^+m

14.已知函數(shù)xT是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為.

71

f(x)=/sinCOXH---（-y4>0,?y>0）1且/（X）的

15.已知函數(shù)4的最小正周期為7,若

圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則當(dāng)切取最小值時,

16.已知“，b,。分別為“8C的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=4,且

（4+"sinN-sin8）=（c-b）sinC,則“BC面積的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛""｝滿足由3+嬉+城+…+端=2"""+1）一

⑴求的通項(xiàng)公式;

⑵若",求數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和.

18.在A/5C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

becosA+abcosC=laccosB

(1)證明：/，b2,o'成等差數(shù)列；

(2)若sin/=3sinC,求cos5

19.在如圖所示的四棱錐尸一/BCD中，四邊形NBC。為矩形，尸/，平面/BCD,E為PD的

中點(diǎn),

⑴證明：尸2〃平面/CE；

(2)若P4=ND=1,AB=2,求平面/8C與平面亞右的夾角的余弦值.

20.素質(zhì)教育是指一種以提高受教育者諸方面素質(zhì)為目標(biāo)的教育模式.它重視人的思想道德素

質(zhì)、能力培養(yǎng)、個性發(fā)展、身體健康和心理健康教育.由此，某校的一位班主任在其班的課后

服務(wù)課中展開羽毛球比賽，采用五局三勝制，經(jīng)過一段時間緊張激烈的角逐，最終甲、乙兩人

2

進(jìn)行總決賽，在總決賽的比賽中，甲每局獲勝的概率為且各局比賽之間沒有影響.

⑴求甲獲勝的概率；

(2)比賽結(jié)束時，甲比賽的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及其期望.

21,已知函數(shù)"x)=(Aa)lnxT("0).

⑴若曲線蚱/(")在x=。處的切線方程為(。-1卜7+6=°,求實(shí)數(shù)。，6的值；

(2)若。=2,關(guān)于％的方程/(*)=機(jī)芯有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

22.己知拋物線T：V=2"(p>0),點(diǎn)尸為其焦點(diǎn)，直線/:x=4與拋物線交于兩點(diǎn)，

°為坐標(biāo)原點(diǎn)，SVOMN=8屈.

(1)求拋物線？的方程；

(2)過x軸上一動點(diǎn)E(a，°)(">°)作互相垂直的兩條直線，與拋物線T分別相交于點(diǎn)48和

c，D,點(diǎn)a,K分別為/瓦。的中點(diǎn)，求WK

的最小值.

1.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接計(jì)算即可.

一+i)i(l+1)0+i)=-2=］

【詳解】1(1-i)0+i)2,

故選：C.

2.D

【分析】列舉法表示集合/再求/C8.

［詳解］4={0,1,2,3},B=^\y=2--2X.XeA}={0,1,2}；_={0,1,2}

故選：D

3.A

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

［詳解］"25=(1,-2)-(4,2)=(-3,-4),「?G一24=1義(-3)+(-2)x(-4)=5

故選：A

4.B

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的想先符號判斷即可.

【詳解】若tan6>0,則夕在第一或三象限，

則sin6>0,cos^>0或sine<0,cos6<0,則點(diǎn)(sin6?,cose)在第一或三象限，

若點(diǎn)(smacose)在第一象限，

則sin6>0,cos6>>0；貝“ane〉。.

故，，tan0>0，，是，，點(diǎn)(sin仇cos°)在第一象限內(nèi)，，的必要不充分條件.

故選：B

5.A

O

.

,2.

0確定

【分析】根據(jù)振幅可確定4根據(jù)周期可確定。，進(jìn)而根據(jù)最高點(diǎn)

(p=-+—+2kn,k\Z/-/x

62，代入,(叼中化簡即可求解.

13K?！剐　?兀八

-T---------PT=式口co———2

【詳解】由圖可知：4=2,4123

d

±

,2-T——+(p=—+2A：7i,A：lZ(p=-----—+—+2hi,A：fZ

0故12平2，故+62

/(x)=2sin[2x—+-^+2左兀_.兀兀71

=2sin2,x-----1—=2cos2x-----

I62)I6

所以

故選：A.

6.D

.aa

2sm一cos—2t嗚

..aa22

sma=2sin—cos—二

22.2a2aa

sin——+cos——tan2—+1tan一

【分析】由222,可解得2,即可求解

c.aa

2sin—cos—2ta吟

223

.c?aa3.2。2a2OL15

sincr=2sm-cos一=sm——+cos—tanl+1

【詳解】225,故222

1-tan—

——1=-2

a1a-r3兀aia

tan—tan———3ae兀,萬tan——=—31+tan—

可解得23或2,又,故2,故2

故選：D

7.B

f(x)=2sincox-\--\

【分析】根據(jù)函數(shù)I3J在區(qū)間2」上是減函數(shù)，對。進(jìn)行分類討論，再分別

解之即可.

71

f(x)=2sin|a)x+—

【詳解】???函數(shù)3是區(qū)間L2」上的減函數(shù)，則。N°

71兀，兀71717171

—<G)X+—<—CD+—一,—G+一u—+2k7r,-+2k7r,keZ

①當(dāng)0>0時，貝|3323,則由L323~22得

k--h

兀兀7

2kji+—<—<4k+—

233

7T兀，c,3兀G)>0

—a)+—<H-----

232,故則口無解.

717171兀

----<-CDX-----<-----CO----

②當(dāng)0<o時，則3323,則由

k<—

12

0721兀乃-/-兀<---CD>---4k

233

71兀兀兀C7兀C77rz兀兀,C7兀69<0

——CD----U——+247T,—+2左7T，上wZ-----①——<2k7i+—

~3

23—[232故,則有

--<<2?<0

3

--<a)<0

綜上①②知.3

故選：B

8.B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

〃/、sin2x

f(x)=smxd---------

【詳解】因?yàn)?

/'(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-l)(cosx+1)

所以

易矢口一IWCOSXWI,貝ijcosx+l?0,

1i

所以當(dāng)時，以x)>。；當(dāng)—，時，/，3<o；

J[兀

2kn—<x<2kji+—,keZ”、

即當(dāng)33時，/(x)單調(diào)遞增；

JI5兀

2ATI+—<x<2kji-\-----,keZ“、

當(dāng)33時，/⑴單調(diào)遞減；

兀

“、x=2kji+—,kGZ

故/(x)在3處取得極大值即最大值，

乙、.，兀1.「2兀...兀1.2兀也13G

/(x)max=smw+2E+-sm—+4lat=sin-+-sin—

所以13)2V3)3232+22=4

故選：B.

9.ACD

【分析】由百分位數(shù)的定義，即可判斷A,由回歸方程的性質(zhì)即可判斷B,由方差的性質(zhì)即可

判斷CD.

【詳解】因?yàn)?°X75%=7.5,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)，即為16,A正

確;

由回歸方程可知，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，相應(yīng)變量V減少66個單位，B錯誤;

選項(xiàng)C,由D（X）="，可得D（3X+1）=9O（X）=9M,c正確；

150

/=一￡（K-2）2_

由50I',得（=2,所以這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于50x2=100,故D正確;

故選：ACD

10.AD

【分析】求出-x）判斷函數(shù)奇偶性，通過對函數(shù)求導(dǎo)，即可求出其單調(diào)性，切線和零點(diǎn)是否

唯一.

【詳解】由題意,

在/（x）=x-sinx中，定義域?yàn)镽.

/"(x)=l-cosx>0

.?J（x）為R上的增函數(shù)，A正確;

fx)=-x+sinx=-f(x)

??JG）為奇函數(shù)，B錯誤;

...當(dāng)/'3=0時，解得：x=2E/eZ）,

止匕時f(%)=2歷i-sin2析=2版w1(左￡Z)

???斜率為。的切線為2?/eZ）,不可能為直線廣1,

??.C錯誤;

/（x）為R上的增函數(shù)，"0）=0,

...）（X）有唯一的零點(diǎn)，D正確.

故選：AD.

11.AC

【分析】根據(jù)等比數(shù)列、遞增數(shù)列、等差數(shù)列等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.

【詳解】依題意可知"''1-2

2//-1

%=242〃+2_22〃+i

，所以數(shù)列｛的〃｝是等比數(shù)列，選項(xiàng)正確.

所以'2'A

1

五=空」

±=J_J__22f-21=1

a-2"，所以，且％，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，B選項(xiàng)錯誤.

設(shè)“=log2%="T,貝也+］_a="（"—1）=1,

所以數(shù)列｛bg?%｝是等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確.

220-1230-1

102030

5110=2-1,5120=2-1,S30=2-1；因?yàn)?1。一產(chǎn)2207，故數(shù)列｛氏)中，5”$2。，$3。不成等比

數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯誤.

故選：AC.

12.ABD

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，周期性，單調(diào)性逐一判斷即可.

7171兀

r1COXH—￡一,兀。+一

【詳解】由xJOn,兀J,得333

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在區(qū)間［0戶］上有且僅有3個對稱中心,

C/兀/8,11

3兀4①兀+一<4兀-4。<—

所以3,解得33,

31,36TI27t3:t兀/6兀3?！?/p>

—<—<-——<—<——任——,——

所以1108,所以11co4,2<114」，故選項(xiàng)B,D不正確;

c,兀7兀8<^<19

371<0)71+—<——即3一“<6時，函數(shù)/（%）有3條對稱軸,

當(dāng)32,

兀+女<4兀—<co<—

23，即63時,函數(shù)/（x）有4條對稱軸,

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（“兀）上至少有3條對稱軸，故選項(xiàng)A錯誤;

兀710兀兀

X￡—<cox+—<——+—

當(dāng)時,33223

811。兀兀兀11兀兀

—<C0<------F—<——X------\--=—

因?yàn)?3,所以22322332

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間

上單調(diào)遞增，故C正確.

故選：ABD.

13.-160

2xp

【分析】先求出二項(xiàng)式l,尤J展開式的通項(xiàng)，把廠=3代入求解第四項(xiàng)系數(shù)即可.

■"1(2尤)?［一；］=(-1)3」

【詳解】因?yàn)椴?、x)展開式的通項(xiàng)為I

所以第四項(xiàng)的系數(shù)為(T)3c=-160

故答案為.T6°

14.-1

【分析】根據(jù)/(x)+/(f)=°得到機(jī)的方程求解即可.

(、e(x+l)

【詳解】解：由‘⑴一"知函數(shù)的定義域?yàn)?-。，-l)u(L+"),

\1e(-x+l)?e(x-l)

/(-x)=In---------+加=In-+m

定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又-xTx+l,

/、e(x+l)

“力必二+加是奇函數(shù)，，“T)+/(X)=。.

1e(x+l)ie(x-l)

/.In-------+m+ln—------+m=0

x-\x+1,gpIne+2m-0y

2+2m=0,

解得相=T.

故T.

15.2V2

TA0=2

【分析】首先根據(jù)最小正周期為。，結(jié)合求得A的值，再根據(jù)對稱中心公式得

eZ)

34,求出。關(guān)于上的表達(dá)式；找出。取最小值時對應(yīng)的上，即可求出。的具

體取值，寫出,(X)的解析式然后計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】第一步：求工的值

T2/田一sin傳+耳=也/=2

由題意可得3,貝U［24J2,故/=2亞.

第二步：求。的最小值

兀兀G71

_A兀\

=Asin——+—TLC01

由/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)―0——+—=kR(keZ)

對稱可得34，故34，即

3Q

60=3k——(keZ)—

4,又。>0,所以當(dāng)4=1,。取得最小值4.

第三步：求/(的A值.

f(x)=2>/2sin/嗚［低=20s嗚=2立

此時

故2及

16.4^3

71

【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊角互化可得從+/-。2=A，再結(jié)合余弦定理可得"5,利用

基本不等式可得兒416,進(jìn)而可得面積的最大值.

［詳解］由a=4,得(a+6)(sinN-sing)=(c_b)sinC,

由正弦定理得("+6)(。-6)=-6)。，化簡得b2+c2-a2=bc,

b2+c2-a21

cosAA=--------=—

故2bc2,

A=—

所以3.

2222

又因?yàn)?=b+c-2bccosAt§,\］l6=b+c-bc>2bc-bc=bc,

所以6c416,

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=4時取等號.

SABC=—fecsin—<4>/3

故23,

故答案為.4人

17.⑴。"=2"

S=-———

⑵n22〃+2

【分析】(1)利用退一相減法可得端=8/,進(jìn)而可得a,=2〃；

(2)利用裂項(xiàng)相消法求和.

33332(、2

［詳解］(1)由<+。2+。3+…+?！?2〃(n+1)

得當(dāng)〃=1時a；=2xFx(l+l)=8即％=2,

當(dāng)〃22時，+W+d+…+。3=2("-1)21

貝IJ%：=2/6+1)2-2("-1)2n-=8",即%=2n

當(dāng)〃=1時，也滿足上式,

綜上所述，a"=2n

（2）由（1）得瑪=2”,

22?]

b

n=2〃.2(〃+1)H+1J

則%%+1

11

所以22〃+2

18.（1）證明見解析

5

⑵6

【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合所給方程，即可證明結(jié)論；

（2）利用正弦定理結(jié)合（1）中結(jié)論求出6與。的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求出cosB的值.

【詳解】（1）由題意證明如下,

在^ABC中，

bccosA+abcosC=2accos5,

b2+c2-a2a2+b2-c2a2+c2-b2

bcx+ab義=2acx

由余弦定理可得,2bclab2ac

整理得/+。2=2/，

b2,/成等差數(shù)列.

(2)由題意，

在AABC中，sinZ=3sinC,

a_c

由正弦定理得，sin4sinC,

12

???a+c=2b2,

...9c2+c2=2b2,即力=右。.

由余弦定理可得,

lac2c?3c6

19.（1）證明見解析

2

⑵孑

【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

證明：連接2。，交/C于點(diǎn)°,連接

為助中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，：.EO〃PB

又...EOu平面NCE,尸3,平面/CE,

...尸2〃平面4CE

(2)

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.

則/(O,O,O),C(2,l,o)；3(2,0,0),

則就=（2，1，0）,但。

???PN,平面ABCD，二平面ABC的一個法向量為m=（°，°/）,

設(shè)平面/EC的法向量為"=GJ，z),

n-AC=2x+y=0

...平面ABC與平面AEC的夾角的余弦值為口

64

20.(1)81

107

(2)分布列見解析；期望為27

【分析】(1)甲獲勝有三種情況，分別是3：0,3：1,3：2,對應(yīng)的局?jǐn)?shù)分別3局，4局，5

局且各種情況相互獨(dú)立，分別計(jì)算其概率并相加即可；

(2)比賽結(jié)束時必有一方贏另一方輸,至少為3局，至多為5局，每種情況可能是甲贏或者

乙贏，分別計(jì)算其概率，列出分布列，再根據(jù)期望公式即可求得數(shù)冊望.

【詳解】(1)甲獲勝有三種情況，第一種甲以3：0獲勝，其

228

X—二——

第二種甲以3：1獲勝，其概率為13>327.

c/1一1(2丫216

]X3=81.

第三種甲以3：2獲勝，其概率為413>13.

色+&+3="

所以甲獲勝的概率為：27278181.

(2)由題知，X的所有可能的取值為3,