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無(wú)錫市2023年秋學(xué)期高三期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)2024.1
命題單位:
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已如集合4=11。123,4},集合5={巾-2x—3?0},則公門3=()
A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1)
C,{0,1,2}D.{-1,0}
2.復(fù)數(shù)P在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()
3+1
A.第一象限B.第二象限
C.范三象限D(zhuǎn).第四象限
3.已知B是兩個(gè)不共線的向量,命題甲:向量2+B與£—2石共線;命題乙:/=一!,則甲是乙的
2
()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C,充要條件D.既不充分也不必要條件
4.從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)托油量。(單位:L)與速度v
(單位:km/h(0<v<120)的下列數(shù)據(jù):
V0406080120
Q0.0006.6678.12510.00020.000
為描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系,則下列四個(gè)函數(shù)模型中,最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是()
A.Q=av+bB.Q=av3+bv2+cv
C.。=05+〃D.Q=k\ogav+b
22
5.已知a>b〉0,設(shè)橢圓G:=+==1與雙曲線。2:=1的離心率分別為.若
ab
e2=3q,則雙曲線G的漸近線方程為()
4
B.y=±—x
-5
D.y=+-x
-5
6.已知直四棱柱ABC。-4片&A的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且ND4B=120°.若M,N分別是側(cè)棱
CCX,33]上的點(diǎn),且MC=2,NB=1,則四棱錐A—BCMN的體積為()
A.V3B.2C.3A/3D.6
7.已知S“是等比數(shù)列{4}的前九項(xiàng)和,且存在keN,使得1+3,Sk+9,S0成等差數(shù)列.若對(duì)于任意的
meN,滿足am+2+am+5=32,則am+s=()
A.m+32B.m+16C.32D.16
8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且〃力+必為奇函數(shù),/(%)-2%為偶函數(shù).令函數(shù)
/(x),x>0,
g(x)若存在唯一的整數(shù)%,使得不等式[g(Xo)1+a-g(Xo)<O成立,則實(shí)數(shù)。的取
-/(x),x<0.
值范圍為()
A.[-8,-3)U(1,3]B.[-3,-l)o(3,8]
C.[-3,0)U(3,8]D.[-8,-3)U(0,3]
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符
合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.第一組樣本數(shù)據(jù)石,%2,…,七,第二組樣本數(shù)據(jù)外,%,…,笫,其中X=2%—1(z=1,2,???,?),
則()
A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍
B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍
C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差的2倍
D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍
10.已知函數(shù)/(%)=sin1+,g(x)=cos2x+6,則下列說(shuō)法正確的是()
A.y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
jrSjr
B.g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
_2o
c.將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移$個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到“X)的圖象
6
D.函數(shù)/?(x)=/(%)+g(x)的最大值為百
11.已知過(guò)點(diǎn)(0,。的直線(與拋物線C:d=4y相交于A、B兩點(diǎn),直線小丁=履+4是線段A3的
中垂線,且4與4的交點(diǎn)為。(根,〃),則下列說(shuō)法正確的是()
A.加為定值B.〃為定值
C.—注<k<乃且左70D.-2<t<2
22
12.已知在伯努利試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為。(0<。<1),我們稱將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生「次為
止,試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布,記作X~NB(r,p),則下列說(shuō)法正確的是()
A.若X?貝|「(*=左)=\[,k=1,2,3,…
B.若X?NB(r,p),則尸—k=r,r+l,r+2,---
C.若X?NB(r,p),Y~B(n,p),則P(XW〃)=P(Y2r)
D.若乂~NB(r,p),則當(dāng)左取不小于亍■的最小正整數(shù)時(shí),P(X=k)最大
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知直線/:3x—y—6=0與圓C:/+y2—2x—4^=0相交于兩點(diǎn),貝U|A5|=.
14.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦,吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國(guó).現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員
要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念,則這3個(gè)吉祥物互不相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為.
(用數(shù)字作答)
「6一
15.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+9)在區(qū)間[-0,向上的值域?yàn)?-—,1,則。的值為.
e*x〉0
16.已知函數(shù)/(%)=;一,若函數(shù)“X)的圖象在點(diǎn)A(Xi"(xJ)a<0)和點(diǎn)
—X,x<0
3(%,/(々))(々〉0)處的兩條切線相互平行且分別交y軸于M、N兩點(diǎn),則啜^的取值范圍為
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.設(shè)數(shù)列{4}滿足q=1,4=2,an+2=4。什1-3a“+6〃一3.
(1)證明:數(shù)列{a〃+i—4+3〃}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{凡}的通項(xiàng)公式.
18.在DABC中,角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知DABC的面積為乎(/+〃—°2
(1)求sinC;
(2)若sin(5—A)=等,
求tanA.
19.如圖,在四棱錐A—BCDE中,平面ABC工平面BCDE,CD=DE=2BE,BCLCD,
BE//CD,歹是線段的中點(diǎn).
(1)若B4=5C,求證:所上平面4CD;
(2)若BE=1,NA5C=60°,且平面ABC與平面ADE夾角的正切值為公上,求線段4c的長(zhǎng).
3
20.為考察藥物M對(duì)預(yù)防疾病A以及藥物N對(duì)治療疾病A的效果,科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量動(dòng)物對(duì)照試驗(yàn).根
據(jù)100個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù),得到如下列聯(lián)表:(單位:只)
疾病A
藥物M
未患病患病合計(jì)
未服用301545
服用451055
合計(jì)7525100
(1)依據(jù)c=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析藥物M對(duì)預(yù)防疾病A的有效性;
(2)用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從患病的動(dòng)物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取1只,用藥物N進(jìn)行治療.已知藥物
N的治愈率如下:對(duì)未服用過(guò)藥物M的動(dòng)物治愈率為:,對(duì)服用過(guò)藥物M的動(dòng)物治愈率為3.若共選取3
24
次,每次選取的結(jié)果是相互獨(dú)立的.記選取的3只動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期
望.
n(ad-bc)2
附:X2~,\/,\/\?n—a+b+c+d
[a+b)[c+d)[a+c)[b7+d)
a0.1000.0500.0100.001
%2.7063.8416.63510.828
21.在直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)/(1,0)的距離和尸到定直線/:x=4的距離的比是常數(shù)
,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.
(1)求W的方程;
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)T(0j)(f<0)的直線交無(wú)軸于點(diǎn)”,交W于點(diǎn)A"(點(diǎn)M在第一象限),且
/=2市?作點(diǎn)A關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)3,連接并延長(zhǎng)交W于點(diǎn)N.證明:直線斜率不小于
22.已知函數(shù)=(qeR),/(力為/(x)的導(dǎo)函數(shù),g(x)=/(x).
⑴若a=-12,求y=〃x)在口,拆]上的最大值;
⑵設(shè)P(xi,g(xj),Q(x2,g(x2)),其中1W馬<西?若直線尸。的斜率為左,且
"<g'(xj+g'(x2),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
2
無(wú)錫市2023年秋學(xué)期高三期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)2024.1
命題單位:江陰市教師發(fā)展中心制卷單位:無(wú)錫市教育科學(xué)研究院
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已如集合4={—1,°』23,4},集合5={巾—2x—3?0},則公門3=()
A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1)
C.{0,1,2}D.{-1,0}
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式求得集合B,結(jié)合交集運(yùn)算,可得答案.
【詳解】由題意集合3=(x|(x-3)(x+l)<0}={x|-l<x<3},
AnB={-1,0,1,2,3).
故選:A.
2.復(fù)數(shù)P?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()
3+1
A.第一象限B.第二象限
C.范三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算將上&化簡(jiǎn),從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.
3+1
l-2i_(l-2i)-(3-i)_l-7i17.
【詳解】因?yàn)?------1
3+i-(3+i)-(3-i)-101010
12*[17\
所以復(fù)數(shù)二^在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,易得該點(diǎn)在第四象限.
3+111010J
故選:D,
3.已知z,B是兩個(gè)不共線的向量,命題甲:向量R+B與2石共線;命題乙:t=--,則甲是乙的
2
A.充分不必要條件B,必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量共線定理即可判斷.
【詳解】向量2+另與7—共線等價(jià)于扇+坂=雁一2可.
因?yàn)閍,b是兩個(gè)不共線的非零向量,所以〈解得:^=---
1=—2/t2
所以甲是乙的充要條件.
故選:C.
4.從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)托油量Q(單位:L)與速度v
(單位:km/h(0<v<120)的下列數(shù)據(jù):
V0406080120
Q0.0006.6678.12510.00020.000
為描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系,則下列四個(gè)函數(shù)模型中,最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是()
A.Q=av+bB.Q=av3+bv2+cv
C.2=0.5'+aD.Q=k\ogav+b
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意以及表中數(shù)據(jù)可知,函數(shù)在定義域[0/20]上單調(diào)遞增,且函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),即
可判斷出最符合實(shí)際的函數(shù)模型.
【詳解】依題意可知,該函數(shù)必須滿足三個(gè)條件:第一,定義域?yàn)椋?,120];第二,在定義域上單調(diào)遞
增;第三,函數(shù)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).
對(duì)于A選項(xiàng):Q=av+b不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故A不符合;
對(duì)于B選項(xiàng):滿足以上三個(gè)條件,故B符合;
對(duì)于C選項(xiàng):Q=0.5"+。在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,故C不符合;
對(duì)于D選項(xiàng):當(dāng)n=0時(shí),Q=—og"V+》無(wú)意義,故D不符合;
故選:B.
2222
5.已知a>b>Q,設(shè)橢圓C|:=+當(dāng)=1與雙曲線。2:二―二=1的離心率分別為,,.若
a"b~a~b~
e2=3q,則雙曲線C2的漸近線方程為()
A.y=B.y=+—x
?55
C.y=土苴-xD.y=+^-x
-25
【答案】A
【解析】
b
【分析】根據(jù)題意及橢圓和雙曲線的離心率公式求得一的值,寫(xiě)出雙曲線的漸近線即可.
U
【詳解】因?yàn)?2=36,結(jié)合離心率公式可得1+4=3/1—耳,解得2_26
=----,
\a\laa5
所以雙曲線。2的漸近線方程為y=土竽
故選:A.
6.已知直四棱柱A8CD—ABJGA的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且=120。.若M,N分別是側(cè)棱
CQ,33]上的點(diǎn),且MC=2,NB=1,則四棱錐A—BCMN的體積為()
A.V3B.2C.3GD.6
【答案】A
【解析】
【分析】通過(guò)分析得到A〃為四棱錐A-BCMN的高,計(jì)算體積即可.
【詳解】取的中點(diǎn)連接AH,
由直四棱柱ABC。-A81cl2的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且ND4B=120。
所以NABC=60°,易得AB=BC=AC,
所以AHL3C,
又因?yàn)?3],面ABC。,且AHu面ABC。,
所以3四,AH,
又因?yàn)閏3C=3,且,BCu面BBCQ,
所以AH,面B耳CC「故AH為四棱錐A—BCMN的高.
易得到AH=6,四邊形BCMN的面積為S=1x(l+2)x2=3,
所以四棱錐A—BCMN的體積為丫=j5-44=工*3乂百=百,
33
故選:A.
7.已知S“是等比數(shù)列{%}的前九項(xiàng)和,且存在左eN,使得1+3,Sk+9,S1t+6成等差數(shù)列.若對(duì)于任意的
meN,滿足am+2+am+5=32,則am+s=()
A.m+32B.m+16C.32D.16
【答案】D
【解析】
々1
【分析】借助等比數(shù)列知識(shí),利用Sk+3,Sk+9,Sk+6成等差數(shù)列,求出q=-5,再利用區(qū),+2+4”+5=32,
求出“加+21再計(jì)算4+8即可.
【詳解】因?yàn)?+3,Sk+g,1+6成等差數(shù)列,所以21+9=*3+1+6
即3左+9—1+6+Sk+9_Sk+3=0,
即以+9+以+8+以+7+以+9+/+8+4+7+以+6+以+5+/+4=0,
所以2(,+9+。左+8+〃左+7)+ak+6+ak+5+%+4=。,
因?yàn)閿?shù)列{4}是等比數(shù)列,且?!ā?,
32
所以2(。左+4d+aM-q+aM-<y)+aM-q+aM-q+aM=0,
『+4[2/(q-+q+1)+q-+q+1]=0,
所以27(q-+q+l)+q-+q+l=0,即(27+l)(q-+q+l)=0,
所以/+q+l=0(無(wú)解)或2^+1=0,即0*=—;
又因?yàn)?32,所以4+2+冊(cè)+2-/=4+2(1+/)=32,
所以4+2=64,
所以冊(cè)+8=冊(cè)+2M=64x[—g]=16,
故選:D.
8.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且f(x)+x2為奇函數(shù),/(%)-2x為偶函數(shù).令函數(shù)
y(x),x>o,
g")若存在唯一的整數(shù)%,使得不等式[g(/)T+a-g(Xo)<O成立,則實(shí)數(shù)“的取
-/(x),x<0.
值范圍為()
A.[-8,-3)U(1,3]B.[-3,-l)u(3,8]
C.[-3,0)U(3,8]D.[-8,-3)U(0,3]
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義求出/(%),表示出g(x),畫(huà)出圖象,分類討論即可.
【詳解】令/?(%)=+/,m(x)=/(x)-2x,
因?yàn)椋?%)+爐為奇函數(shù),2x為偶函數(shù)
所以力(一%)=-A(x)=/(-x)+x2,m(-x)=m(x)=/(-%)+2%,
堂丁儼:2,可得/(尤)+/(f)=-…①,
所以
〔里7代2:,可得小)_"—)加…②,
同理V
=/(-x)+2x
由①+②得/(%)=-爐+2%,
-x2+2x,x>0
所以g(x)
x2-2x,%<0
要滿足存在唯一的整數(shù)號(hào),使得不等式[g(%)丁+。?g(5)<0成立,
而[g(Xo)T+a,g(Xo)=g(Xo)[g(Xo)+a]<O,
當(dāng)。=0時(shí),[g(Xo)]一<O,顯然不成立,
當(dāng).<0時(shí),要使g(Xo)e(O,—a)只有一個(gè)整數(shù)解,
因?yàn)間⑴=l,g(—1)=3,
所以1<—。<3,即—3Wa<—l.
當(dāng)a>0時(shí),要使g(xo)e(—a,0)只有一個(gè)整數(shù)解,
因?yàn)間(2)=0,g(3)=—3,g(4)=—8,
所以—84—。<—3,即3<aW8.
綜上所述:實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-3,-1)。(3,8].
故選:B.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符
合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.第一組樣本數(shù)據(jù)X1,馬,…,七,第二組樣本數(shù)據(jù)%,%,…,笫,其中%=2x,—1。=1,2,…,〃),
則()
A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍
B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍
C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差的2倍
D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)以及中位數(shù)和極差的概念可得答案.
【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)為,…,玉,的樣本平均數(shù)為最,樣本中位數(shù)為冽,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s,極差為
Xmax-'
對(duì)于A,C選項(xiàng):由%=2%-1,根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)可知,
樣本數(shù)據(jù)X,%,…,%的樣本平均數(shù)為2^-1,故A錯(cuò)誤;
樣本數(shù)據(jù)X,%,…,%的樣本方差為/S2=4S2,所以第二組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差2S,故C正確;
對(duì)于B選項(xiàng):根據(jù)中位數(shù)的概念可知,樣本數(shù)據(jù)%,%,…,”的中位數(shù)為力〃-1,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于D選項(xiàng):根據(jù)極差的概念可知,樣本數(shù)據(jù)%,%,…,V”的極差為
ymax-ymin=(241axT)—(2%minT)=2(%max—/n),故D正確.
故選:CD.
10.已知函數(shù)/(x)=sin[2x+m1,g(x)=cos12x+W,則下列說(shuō)法正確的是()
A.y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
jrjTT
B.g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
_26
C.將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移F個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到“X)的圖象
6
D.函數(shù)人⑴=)(%)+g(x)的最大值為6
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)::將x=《■代入/(X)驗(yàn)證即可;對(duì)于B選項(xiàng):換元后結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷
即可;對(duì)于C選項(xiàng):利用三角函數(shù)得圖象變換化簡(jiǎn)整理即可;對(duì)于D選項(xiàng):借助和差角公式計(jì)算即可.
兀.C兀兀.兀兀
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):將戶乙代入“X),得了sm2x---F—=sm—=1,故y=/(x)的
121232
圖象不關(guān)于點(diǎn)后,0對(duì)稱,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
兀
對(duì)于B選項(xiàng):在g(x)=cosf+,令%=24+2,貝ijy=cos/,
6
t,「兀5兀]八7i「7兀11兀
因?yàn)楣ぁ辍?所以%=2%+:£—
26666
71]
根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知丁=cos/在單調(diào)遞增,故選項(xiàng)B正確;
66
對(duì)于C選項(xiàng):將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移$個(gè)單位長(zhǎng)度,
6
項(xiàng)C正確;
對(duì)于D選項(xiàng):/z(x)=/(%)+(?(%)=sin12x+yl+cosl2%+6
數(shù)的性質(zhì)可知:A(x)=V3cos2x<V3,故選項(xiàng)D正確.
故選:BCD.
11.已知過(guò)點(diǎn)(0,。的直線(與拋物線c:d=4y相交于A、B兩點(diǎn),直線小丁=履+4是線段A3的
中垂線,且4與4的交點(diǎn)為。(根,〃),則下列說(shuō)法正確的是()
A.加為定值B.〃為定值
C.—注<k<乃且左70D.-2<t<2
22
【答案】BD
【解析】
【分析】由兩直線位置關(guān)系設(shè)出直線4的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),代入丁=履+4
即可判斷選項(xiàng)A和B,利用已知條件找出左與。的關(guān)系,結(jié)合A>0即可判斷選項(xiàng)C和D.
【詳解】由題意可知,直線/]的斜率存在且不為0,
因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(0/)且與拋物線C:V=4y相交于A、8兩點(diǎn),直線6:y=履+4是線段A3的中垂
線,所以設(shè)直線乙:y=--x+t,k^0,
k
1
y——x+14
聯(lián)立方程《k,可得x9H—%—4%=0,
2k
x-AAy
4
16x+=—
所以△二記+16%>0,j?2k
展[xrx2=-4t
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)
22
由題意可知,點(diǎn)。(加,幾)是AB的中點(diǎn),所以加=—工,n—+1,
因?yàn)椤#?〃)在直線4:)=丘+4上,所以〃=加+4,
22
因?yàn)楦?---,所以〃=---x%+4=2,所以〃為定值,故選項(xiàng)B正確;
kk
因?yàn)樽笫亲兞?,所以加不是定值,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
2即心
因?yàn)椤?正+彳,n=2,所以后■+/=2,
又因?yàn)榘硕?+歷/〉。,所以1+1612一>0,即32告〉0,
k
解得上〉Y1或左<一也
,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
22
,12
對(duì)選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C可得〃~〉5,/=2-必*,
,21
所以《=——>-,解得—2<f<2,故選項(xiàng)D正確.
2-t2
故選:BD.
12.已知在伯努利試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為。(0<。<1),我們稱將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生/次為
止,試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布,記作X~NB(r,p),則下列說(shuō)法正確的是()
A.若X?貝|」尸"=左)=8],左=1,2,3,…
B.若X~NB(r,p),則尸(X=4)=//(1一2產(chǎn),k=r,r+l,r+2,---
C,若乂~NB(r,p),Y~B[n,p),則尸(XV〃)=P(Y2r)
D.若乂~NB(r,p),則當(dāng)左取不小于二的最小正整數(shù)時(shí),P(X=k)最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用負(fù)二項(xiàng)分布的概念可判斷AB選項(xiàng);利用二項(xiàng)分布和負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式可判斷C選項(xiàng);分
P(X=k)>P(X>k-l)
析可得<,結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式可判斷D選項(xiàng).
P(X=k)>P(X>k+l)
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閄~N3A
~k-L^
對(duì);
對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閄?NB(r,p),
則尸(X=左)=C£;“T(1一p廣p=C2;//(1—p)k~r,左=+1,+2,…,B錯(cuò);
對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閺模?,2,…,科中取出r+/(0</W”一一)個(gè)數(shù)%<出<…<ar+j的取法有C1種,
這些取法可按ar的值分類,即4=廠+i(0〈云”一-力時(shí)的取法有種,
n-r-j
r-,r+j
/所/i以/、,y/ic^r-l+!+z.cn'-r-i.=cn',
i=0
因?yàn)閄~NB(r,p),Y?B(%p),^q=l-p,則p+q=l,
〃一rn—r
所以,P(X<n)=Sc",=£C(P+「
i=0i=0
n-rn-r-in-r-iiz-r
XQIPW…=sXc=:
i=Qj=Qj=0z=0
八一r
=2C*P"0"T=P(y?r),C對(duì);
J=o
P(X=k)>P(X>k-l)
對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)閄?NB(r,p),P(X=k)最大,則<
尸(X=k)2尸(X2左+1),
后獷(i-,rnc"a解得匕<y+3
所以,
c?a-P廣di-尸pp
所以,當(dāng)左取不小于7的最小正整數(shù)時(shí),尸(X=k)最大,D對(duì).
故選:ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查負(fù)二項(xiàng)分布的問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵在于正確理解負(fù)二項(xiàng)分布的定義,知
曉負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式,結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式求解.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知直線/:3x—y—6=0與圓C:/+y2—2x—4y=。相交于兩點(diǎn),則|A5|=.
【答案】Vio
【解析】
【分析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑,計(jì)算圓心到直線的距離,再計(jì)算弦長(zhǎng)即可.
【詳解】圓0:/+/—2%—4y=0,
(x—l)2+(y—2)2=5,圓心(1,2),半徑廠=6.
圓心到直線的距離d=叱上?=亞.
V9+12
\AB\=2.
故答案為:Vio
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題,熟練掌握弦長(zhǎng)公式為解題的關(guān)鍵,屬于簡(jiǎn)單題.
14.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦,吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國(guó).現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員
要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念,則這3個(gè)吉祥物互不相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為.
(用數(shù)字作答)
【答案】144
【解析】
【分析】先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序,然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)
員形成的4個(gè)空位中,利用插空法可得出不同的排隊(duì)方法種數(shù).
【詳解】先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序,
然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)員形成的4個(gè)空位的3個(gè)空位中,
所以,不同的排隊(duì)方法種數(shù)為A:A:=6x24=144種.
故答案為:144.
「6一
15.已知函數(shù)〃x)=sin(3x+9)在區(qū)間[-上的值域?yàn)?-—,1,則。的值為.
【答案】
O
【解析】
【分析】先得到?!?,根據(jù)9,9]得到3x+oe[-2。,4向,根據(jù)值域得到方程,檢驗(yàn)后求出答案.
【詳解】由題意得夕〉0,當(dāng)9,夕]時(shí),3x+^e[-2^,49?],
「6'
由于〃x)=sin(3x+°)在區(qū)間[-9,9]上的值域?yàn)?--,1,
。兀5兀
-2展-z
故①<U或②〈
兀/5兀兀
—<469<——--<-2(p<0
[2"4
IT7T、兀
解①得9=2,滿足乙4°?弓
8816
71
解②得°=”,不滿足舍去,
loo
7T
綜上,9的值為?.
O
7T
故答案為:7
O
e%x〉0
16.已知函數(shù)=[j;<0,若函數(shù)〃x)的圖象在點(diǎn)A(Xi,〃Xi))a<0)和點(diǎn)
8(々,/(々))(/〉0)處的兩條切線相互平行且分別交y軸于V、N兩點(diǎn),則^^的取值范圍為
【答案】
【解析】
xIAA/1e"?
【分析】由/'(玉)=/'(々)可得出國(guó)=—匚2,利用弦長(zhǎng)公式得出看端=廠,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)
8(力=《在(0,+“)上的值域,即可為所求.
【詳解】當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2,f'(x)=-2x,則廣(再)=-2九i,
當(dāng)x>0時(shí),/(x)=ex,f'(x)=ex,則/'(X2)=e*,
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)A(x"(xJ)a<0)和點(diǎn)3(々,〃%2))(々〉0)處的兩條切線相互平行,
則/'(再)=/'(%2),即一2X1=e*,則芯=—孑,
|喇=J1+4才.聞,\BN\=y/l+e^-\x2\,
\AM\+
所以‘"一…歸一『4
令g(x)=,,其中X>。,則g,a)=e]:」,
當(dāng)0<x<l時(shí),g'(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
當(dāng)%>1時(shí),g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)在(1,+。)上單調(diào)遞增,
eIAMIe
所以,g(x)>g(l)=-,因止匕,kJ的取值范圍是—,+<30
BN2
e
故答案為:~2,+a0
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵在于利用切線斜率相等得出、2、玉所滿足的關(guān)系式,然后將
\AM\
片馬轉(zhuǎn)化為含巧的函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題求解.
\BN\2
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.設(shè)數(shù)列{q,}滿足q=1,々=2,?!?2=4?!?1-3a”+6〃-3.
(1)證明:數(shù)列{%計(jì)1-an+3n]為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
13n(n—\\
(2)4=2一3"-1——―』
【解析】
【分析】(1)整理題目中的等式,根據(jù)等比數(shù)列的定義,可得答案;
(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用累加法,可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由4+2=4?!?]—3a“+6〃-3,
則為+2一%+1+3(〃+1)=3a“+i—3ali+9n,
。小一凡0+3(〃+1)
所以上一2_V——L=3,
%-4+3〃
由q=l,%=2,則g―q+3=2—1+3=4。0
故數(shù)列{a“+i-%+3〃}為等比數(shù)列.
【小問(wèn)2詳解】
由(1)可知數(shù)列{4+i-4+3〃}是以4為首項(xiàng),以3為公比,
H-1
故G?+I-a?+3n=4x3"T,an+l-an=4x3-3n,
貝!Ja2_"i=4x30_3x];a3-a2=4x3-3x2;???
4f=4x3"-2一3x(7).
由里如注司汨4x(1—3"T)「3+3(〃——1),3n(n-l)
由累加法可得:a_n=—-----L_L——1——工3——^=2x3?i—2————上,
"11-322
由囚=1,則4=2X3“T_]_3〃(;―1).
18.在DABC中,角A3,C的對(duì)邊分別為。,b,c,已知口43。的面積為乎(/+〃_02).
(1)求sinC;
(2)若sin(5-A)=與,,求tanA.
【答案】(1)垃;
8
⑵叵.
3
【解析】
【分析】(1)借助面積公式與余弦定理以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算即可.
(2)借助三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求出tan(3-A),tan(A+3),利用配湊角及二倍角公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
結(jié)合題意:HABC的面積為5=3仍5由。=孚(/+/—°2),
a2+從―/
sinC=3V7
lab
結(jié)合余弦定理可得:sinC=3j7cosC〉0,
,「3S
sinC=3-77COSCsinC=----
解得48
所以<
sin2C+cos2C=1c1
cosC=—
8
所以sinC=牙.
8
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閟in(B—A)=地>0,所以3〉A(chǔ),易得A為銳角,
,)32
/\/77r31/_.\sin(B—A)3^7
所以cos(5-A)=Jl-sin(B-A)=—,所以tan(5-A)=----——=,
由上問(wèn)可知51!10=5111(4+5)=h?,cos(A+B)=—cosC=—1
8
/、sin(A+B)/-
所以tan(A+B)=嬴3"
tan(A+5)—tan—A)
tan2A=tan[(A+B)-(B-A)]-3H萼
1+tan(A+_B)tan(_B-A)r-3y[l
~X^r
r\,A
所以tan2A=--=377,整理得3#jtan2A+2tanA—3s=0,
1-tan2A
即(J7tanA+3)(3tanA—J7)=0,解得tanA=—?近(舍去),或tanA=[^.
19.如圖,在四棱錐A—BCDE中,平面ABC工平面BCDE,CD=DE=2BE,BC1CD,
BE//CD,歹是線段A£>的中點(diǎn).
(1)若B4=5C,求證:所上平面4CD;
⑵若BE=1,ZABC^60°,且平面ABC與平面ADE夾角的正切值為拽,求線段4c的長(zhǎng).
3
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)拒
【解析】
【分析】(1)首先證平面ACD,通過(guò)證明四邊形BGFE是平行四邊形,得E
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