2023屆江蘇無(wú)錫高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題含答案

無(wú)錫市2023年秋學(xué)期高三期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)2024.1

命題單位：

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已如集合4=11。123,4},集合5={巾-2x—3?0},則公門(mén)3=（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1）

C,{0,1,2}D.{-1,0}

2.復(fù)數(shù)P在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

3+1

A.第一象限B.第二象限

C.范三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知B是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，命題甲：向量2+B與￡—2石共線(xiàn)；命題乙：/=一!，則甲是乙的

2

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

4.從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)托油量。（單位：L）與速度v

（單位：km/h（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）

A.Q=av+bB.Q=av3+bv2+cv

C.。=05+〃D.Q=k\ogav+b

22

5.已知a>b〉0,設(shè)橢圓G：=+==1與雙曲線(xiàn)。2：=1的離心率分別為.若

ab

e2=3q,則雙曲線(xiàn)G的漸近線(xiàn)方程為（）

4

B.y=±—x

-5

D.y=+-x

-5

6.已知直四棱柱ABC。-4片&A的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且ND4B=120°.若M,N分別是側(cè)棱

CCX,33］上的點(diǎn)，且MC=2,NB=1,則四棱錐A—BCMN的體積為()

A.V3B.2C.3A/3D.6

7.已知S“是等比數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和，且存在keN,使得1+3，Sk+9,S0成等差數(shù)列.若對(duì)于任意的

meN,滿(mǎn)足am+2+am+5=32,則am+s=()

A.m+32B.m+16C.32D.16

8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且〃力+必為奇函數(shù)，/(%)-2%為偶函數(shù).令函數(shù)

/(x),x>0,

g(x)若存在唯一的整數(shù)%,使得不等式［g(Xo)1+a-g(Xo)<O成立，則實(shí)數(shù)。的取

-/(x),x<0.

值范圍為()

A.[-8,-3)U(1,3]B.[-3,-l)o(3,8]

C.[-3,0)U(3,8]D.[-8,-3)U(0,3]

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.第一組樣本數(shù)據(jù)石,％2,…,七，第二組樣本數(shù)據(jù)外,%，…，笫，其中X=2%—1(z=1,2,???,?),

則()

A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍

B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍

C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差的2倍

D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍

10.已知函數(shù)/(%)=sin1+,g(x)=cos2x+6，則下列說(shuō)法正確的是()

A.y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

jrSjr

B.g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

_2o

c.將g（x）圖象上的所有點(diǎn)向右平移$個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到“X）的圖象

6

D.函數(shù)/?（x）=/（%）+g（x）的最大值為百

11.已知過(guò)點(diǎn)（0,。的直線(xiàn)（與拋物線(xiàn)C：d=4y相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)小丁=履+4是線(xiàn)段A3的

中垂線(xiàn)，且4與4的交點(diǎn)為。（根，〃），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.加為定值B.〃為定值

C.—注<k<乃且左70D.-2<t<2

22

12.已知在伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為。（0<。<1）,我們稱(chēng)將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生「次為

止，試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記作X~NB（r,p）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若X?貝|「（*=左）=\[,k=1,2,3,…

B.若X?NB（r,p）,則尸—k=r,r+l,r+2,---

C.若X?NB（r,p）,Y~B（n,p）,則P（XW〃）=P（Y2r）

D.若乂~NB（r,p）,則當(dāng)左取不小于亍■的最小正整數(shù)時(shí)，P（X=k）最大

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線(xiàn)/：3x—y—6=0與圓C：/+y2—2x—4^=0相交于兩點(diǎn)，貝U|A5|=.

14.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國(guó).現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員

要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個(gè)吉祥物互不相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為.

（用數(shù)字作答）

「6一

15.已知函數(shù)f（x）=sin（3x+9）在區(qū)間[-0,向上的值域?yàn)?-—,1,則。的值為.

e*x〉0

16.已知函數(shù)/（%）=；一，若函數(shù)“X）的圖象在點(diǎn)A（Xi"（xJ）a<0）和點(diǎn)

—X,x<0

3（%，/（々））（々〉0）處的兩條切線(xiàn)相互平行且分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則啜^的取值范圍為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.設(shè)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=1,4=2,an+2=4。什1-3a“+6〃一3.

（1）證明：數(shù)列｛a〃+i—4+3〃｝為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

18.在DABC中，角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知DABC的面積為乎（/+〃—°2

(1)求sinC；

（2）若sin（5—A）=等，

求tanA.

19.如圖，在四棱錐A—BCDE中，平面ABC工平面BCDE,CD=DE=2BE,BCLCD,

BE//CD,歹是線(xiàn)段的中點(diǎn).

（1）若B4=5C,求證：所上平面4CD；

（2）若BE=1,NA5C=60°,且平面ABC與平面ADE夾角的正切值為公上，求線(xiàn)段4c的長(zhǎng).

3

20.為考察藥物M對(duì)預(yù)防疾病A以及藥物N對(duì)治療疾病A的效果，科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量動(dòng)物對(duì)照試驗(yàn).根

據(jù)100個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）

疾病A

藥物M

未患病患病合計(jì)

未服用301545

服用451055

合計(jì)7525100

(1)依據(jù)c=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物M對(duì)預(yù)防疾病A的有效性；

(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患病的動(dòng)物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取1只，用藥物N進(jìn)行治療.已知藥物

N的治愈率如下：對(duì)未服用過(guò)藥物M的動(dòng)物治愈率為:，對(duì)服用過(guò)藥物M的動(dòng)物治愈率為3.若共選取3

24

次，每次選取的結(jié)果是相互獨(dú)立的.記選取的3只動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

n(ad-bc)2

附：X2~,\/,\/\?n—a+b+c+d

[a+b)[c+d)[a+c)[b7+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)/(1,0)的距離和尸到定直線(xiàn)/：x=4的距離的比是常數(shù)

,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

(1)求W的方程；

(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)T(0j)(f<0)的直線(xiàn)交無(wú)軸于點(diǎn)”，交W于點(diǎn)A"(點(diǎn)M在第一象限)，且

/=2市?作點(diǎn)A關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)3,連接并延長(zhǎng)交W于點(diǎn)N.證明：直線(xiàn)斜率不小于

22.已知函數(shù)=(qeR),/(力為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，g(x)=/(x).

⑴若a=-12,求y=〃x)在口,拆］上的最大值；

⑵設(shè)P(xi，g(xj),Q(x2,g(x2)),其中1W馬<西?若直線(xiàn)尸。的斜率為左，且

"<g'(xj+g'(x2),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

無(wú)錫市2023年秋學(xué)期高三期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)2024.1

命題單位：江陰市教師發(fā)展中心制卷單位：無(wú)錫市教育科學(xué)研究院

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已如集合4={—1，°』23,4},集合5={巾—2x—3?0},則公門(mén)3=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1)

C.{0,1,2}D.{-1,0}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式求得集合B,結(jié)合交集運(yùn)算，可得答案.

【詳解】由題意集合3=(x|(x-3)(x+l)<0}={x|-l<x<3},

AnB={-1,0,1,2,3）.

故選：A.

2.復(fù)數(shù)P?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()

3+1

A.第一象限B.第二象限

C.范三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算將上&化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

3+1

l-2i_（l-2i）-（3-i）_l-7i17.

【詳解】因?yàn)?------1

3+i-（3+i）-（3-i）-101010

12*[17\

所以復(fù)數(shù)二^在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,易得該點(diǎn)在第四象限.

3+111010J

故選：D,

3.已知z，B是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，命題甲：向量R+B與2石共線(xiàn)；命題乙：t=--,則甲是乙的

2

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量共線(xiàn)定理即可判斷.

【詳解】向量2+另與7—共線(xiàn)等價(jià)于扇+坂=雁一2可.

因?yàn)閍，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，所以〈解得：^=---

1=—2/t2

所以甲是乙的充要條件.

故選：C.

4.從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)托油量Q（單位：L）與速度v

（單位：km/h（0<v<120）的下列數(shù)據(jù):

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）

A.Q=av+bB.Q=av3+bv2+cv

C.2=0.5'+aD.Q=k\ogav+b

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意以及表中數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在定義域［0/20］上單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即

可判斷出最符合實(shí)際的函數(shù)模型.

【詳解】依題意可知，該函數(shù)必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：第一，定義域?yàn)椋?,120］；第二，在定義域上單調(diào)遞

增；第三，函數(shù)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

對(duì)于A選項(xiàng)：Q=av+b不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故A不符合；

對(duì)于B選項(xiàng)：滿(mǎn)足以上三個(gè)條件，故B符合；

對(duì)于C選項(xiàng)：Q=0.5"+。在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故C不符合;

對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)n=0時(shí)，Q=—og"V+》無(wú)意義，故D不符合；

故選:B.

2222

5.已知a>b>Q,設(shè)橢圓C|：=+當(dāng)=1與雙曲線(xiàn)。2：二―二=1的離心率分別為,，.若

a"b~a~b~

e2=3q,則雙曲線(xiàn)C2的漸近線(xiàn)方程為（）

A.y=B.y=+—x

?55

C.y=土苴-xD.y=+^-x

-25

【答案】A

【解析】

b

【分析】根據(jù)題意及橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率公式求得一的值，寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)即可.

U

【詳解】因?yàn)?2=36,結(jié)合離心率公式可得1+4=3/1—耳，解得2_26

=----,

\a\laa5

所以雙曲線(xiàn)。2的漸近線(xiàn)方程為y=土竽

故選：A.

6.已知直四棱柱A8CD—ABJGA的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且=120。.若M,N分別是側(cè)棱

CQ,33］上的點(diǎn)，且MC=2,NB=1,則四棱錐A—BCMN的體積為()

A.V3B.2C.3GD.6

【答案】A

【解析】

【分析】通過(guò)分析得到A〃為四棱錐A-BCMN的高，計(jì)算體積即可.

【詳解】取的中點(diǎn)連接AH,

由直四棱柱ABC。-A81cl2的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且ND4B=120。

所以NABC=60°,易得AB=BC=AC,

所以AHL3C,

又因?yàn)?3］，面ABC。，且AHu面ABC。,

所以3四,AH,

又因?yàn)閏3C=3,且,BCu面BBCQ,

所以AH,面B耳CC「故AH為四棱錐A—BCMN的高.

易得到AH=6，四邊形BCMN的面積為S=1x(l+2)x2=3,

所以四棱錐A—BCMN的體積為丫=j5-44=工*3乂百=百，

33

故選：A.

7.已知S“是等比數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和，且存在左eN,使得1+3，Sk+9,S1t+6成等差數(shù)列.若對(duì)于任意的

meN,滿(mǎn)足am+2+am+5=32,則am+s=()

A.m+32B.m+16C.32D.16

【答案】D

【解析】

々1

【分析】借助等比數(shù)列知識(shí)，利用Sk+3,Sk+9,Sk+6成等差數(shù)列，求出q=-5，再利用區(qū),+2+4”+5=32,

求出“加+21再計(jì)算4+8即可.

【詳解】因?yàn)?+3,Sk+g,1+6成等差數(shù)列，所以21+9=*3+1+6

即3左+9—1+6+Sk+9_Sk+3=0,

即以+9+以+8+以+7+以+9+/+8+4+7+以+6+以+5+/+4=0，

所以2(，+9+。左+8+〃左+7)+ak+6+ak+5+%+4=。,

因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且?！ā?,

32

所以2(。左+4d+aM-q+aM-<y)+aM-q+aM-q+aM=0,

『+4[2/(q-+q+1)+q-+q+1]=0,

所以27(q-+q+l)+q-+q+l=0,即(27+l)(q-+q+l)=0,

所以/+q+l=0(無(wú)解)或2^+1=0,即0*=—；

又因?yàn)?32,所以4+2+冊(cè)+2-/=4+2(1+/)=32,

所以4+2=64,

所以?xún)?cè)+8=冊(cè)+2M=64x[—g]=16,

故選：D.

8.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且f(x)+x2為奇函數(shù)，/(%)-2x為偶函數(shù).令函數(shù)

y(x),x>o,

g")若存在唯一的整數(shù)%,使得不等式[g(/)T+a-g(Xo)<O成立，則實(shí)數(shù)“的取

-/(x),x<0.

值范圍為()

A.[-8,-3)U(1,3]B.[-3,-l)u(3,8]

C.[-3,0)U(3,8]D.[-8,-3)U(0,3]

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義求出/(%),表示出g(x),畫(huà)出圖象，分類(lèi)討論即可.

【詳解】令/?(%)=+/，m(x)=/(x)-2x,

因?yàn)椋?%)+爐為奇函數(shù)，2x為偶函數(shù)

所以力(一%)=-A(x)=/(-x)+x2,m(-x)=m(x)=/(-%)+2%,

堂丁儼：2，可得/(尤)+/(f)=-…①,

所以

〔里7代2：，可得小)_"—)加…②，

同理V

=/(-x)+2x

由①+②得/(%)=-爐+2%,

-x2+2x,x>0

所以g(x)

x2-2x,%<0

要滿(mǎn)足存在唯一的整數(shù)號(hào),使得不等式［g(%)丁+。?g(5)<0成立，

而［g(Xo)T+a,g(Xo)=g(Xo)［g(Xo)+a］<O,

當(dāng)。=0時(shí)，［g(Xo)］一<O,顯然不成立，

當(dāng).<0時(shí)，要使g(Xo)e(O,—a)只有一個(gè)整數(shù)解，

因?yàn)間⑴=l,g(—1)=3,

所以1<—。<3,即—3Wa<—l.

當(dāng)a>0時(shí)，要使g(xo)e(—a,0)只有一個(gè)整數(shù)解，

因?yàn)間(2)=0,g(3)=—3,g(4)=—8,

所以—84—。<—3,即3<aW8.

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-3,-1)。(3,8］.

故選:B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.第一組樣本數(shù)據(jù)X1,馬，…，七，第二組樣本數(shù)據(jù)%,%，…，笫，其中％=2x,—1。=1,2,…,〃)，

則()

A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍

B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍

C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差的2倍

D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)以及中位數(shù)和極差的概念可得答案.

【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)為,…，玉，的樣本平均數(shù)為最，樣本中位數(shù)為冽，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s,極差為

Xmax-'

對(duì)于A,C選項(xiàng)：由％=2%-1,根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)可知，

樣本數(shù)據(jù)X，%，…，%的樣本平均數(shù)為2^-1，故A錯(cuò)誤；

樣本數(shù)據(jù)X，%，…，%的樣本方差為/S2=4S2,所以第二組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差2S,故C正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)中位數(shù)的概念可知，樣本數(shù)據(jù)%,%，…，”的中位數(shù)為力〃-1，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)極差的概念可知，樣本數(shù)據(jù)%,%，…，V”的極差為

ymax-ymin=(241axT)—(2%minT)=2(%max—/n)，故D正確.

故選：CD.

10.已知函數(shù)/(x)=sin[2x+m1,g(x)=cos12x+W,則下列說(shuō)法正確的是()

A.y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

jrjTT

B.g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

_26

C.將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移F個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到“X)的圖象

6

D.函數(shù)人⑴=)(%)+g(x)的最大值為6

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：：將x=《■代入/(X)驗(yàn)證即可；對(duì)于B選項(xiàng)：換元后結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷

即可；對(duì)于C選項(xiàng)：利用三角函數(shù)得圖象變換化簡(jiǎn)整理即可；對(duì)于D選項(xiàng)：借助和差角公式計(jì)算即可.

兀.C兀兀.兀兀

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：將戶(hù)乙代入“X),得了sm2x---F—=sm—=1，故y=/(x)的

121232

圖象不關(guān)于點(diǎn)后,0對(duì)稱(chēng),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

兀

對(duì)于B選項(xiàng):在g(x)=cosf+,令％=24+2，貝ijy=cos/,

6

t,「兀5兀］八7i「7兀11兀

因?yàn)楣ぁ辍?所以％=2%+:￡—

26666

71]

根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知丁=cos/在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確;

66

對(duì)于C選項(xiàng)：將g(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移$個(gè)單位長(zhǎng)度,

6

項(xiàng)C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)：/z(x)=/(%)+(?(%)=sin12x+yl+cosl2%+6

數(shù)的性質(zhì)可知：A(x)=V3cos2x<V3,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.已知過(guò)點(diǎn)(0,。的直線(xiàn)(與拋物線(xiàn)c：d=4y相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)小丁=履+4是線(xiàn)段A3的

中垂線(xiàn)，且4與4的交點(diǎn)為。(根，〃)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.加為定值B.〃為定值

C.—注<k<乃且左70D.-2<t<2

22

【答案】BD

【解析】

【分析】由兩直線(xiàn)位置關(guān)系設(shè)出直線(xiàn)4的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入丁=履+4

即可判斷選項(xiàng)A和B,利用已知條件找出左與。的關(guān)系，結(jié)合A>0即可判斷選項(xiàng)C和D.

【詳解】由題意可知，直線(xiàn)/］的斜率存在且不為0,

因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0/）且與拋物線(xiàn)C：V=4y相交于A、8兩點(diǎn)，直線(xiàn)6：y=履+4是線(xiàn)段A3的中垂

線(xiàn)，所以設(shè)直線(xiàn)乙：y=--x+t,k^0,

k

1

y——x+14

聯(lián)立方程《k,可得x9H—%—4%=0,

2k

x-AAy

4

16x+=—

所以△二記+16%>0,j?2k

展[xrx2=-4t

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)

22

由題意可知，點(diǎn)。（加，幾）是AB的中點(diǎn)，所以加=—工，n—+1,

因?yàn)椤＃?〃）在直線(xiàn)4：）=丘+4上，所以〃=加+4,

22

因?yàn)楦?---,所以〃=---x%+4=2,所以〃為定值，故選項(xiàng)B正確;

kk

因?yàn)樽笫亲兞?，所以加不是定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2即心

因?yàn)椤?正+彳，n=2，所以后■+/=2,

又因?yàn)榘硕?+歷/〉。，所以1+1612一>0,即32告〉0,

k

解得上〉Y1或左<一也

,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

22

,12

對(duì)選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C可得〃~〉5，/=2-必*,

,21

所以《=——>-,解得—2<f<2,故選項(xiàng)D正確.

2-t2

故選：BD.

12.已知在伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為。（0＜。＜1）,我們稱(chēng)將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生/次為

止，試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記作X~NB（r,p）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若X?貝|」尸"=左）=8],左=1,2,3,…

B.若X~NB（r,p）,則尸（X=4）=//（1一2產(chǎn)，k=r,r+l,r+2,---

C,若乂~NB（r,p）,Y~B[n,p）,則尸（XV〃）=P（Y2r）

D.若乂~NB（r,p）,則當(dāng)左取不小于二的最小正整數(shù)時(shí)，P（X=k）最大

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用負(fù)二項(xiàng)分布的概念可判斷AB選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布和負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式可判斷C選項(xiàng)；分

P（X=k）>P（X>k-l）

析可得＜,結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式可判斷D選項(xiàng).

P（X=k）>P（X>k+l）

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閄~N3A

~k-L^

對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閄?NB（r,p）,

則尸（X=左）=C￡；“T（1一p廣p=C2；//（1—p）k~r,左=+1,+2,…，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閺模?,2,…，科中取出r+/（0＜/W”一一）個(gè)數(shù)％＜出＜…＜ar+j的取法有C1種,

這些取法可按ar的值分類(lèi)，即4=廠+i（0〈云”一-力時(shí)的取法有種,

n-r-j

r-,r+j

/所/i以/、，y/ic^r-l+!+z.cn'-r-i.=cn',

i=0

因?yàn)閄~NB（r,p）,Y?B（%p）,^q=l-p,則p+q=l,

〃一rn—r

所以，P（X<n）=Sc"，=￡C（P+「

i=0i=0

n-rn-r-in-r-iiz-r

XQIPW…=sXc=:

i=Qj=Qj=0z=0

八一r

=2C*P"0"T=P（y?r），C對(duì);

J=o

P（X=k）＞P（X＞k-l）

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閄?NB(r,p),P(X=k)最大,則＜

尸（X=k）2尸（X2左+1），

后獷(i-,rnc"a解得匕＜y+3

所以，

c?a-P廣di-尸pp

所以，當(dāng)左取不小于7的最小正整數(shù)時(shí)，尸(X=k)最大，D對(duì).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查負(fù)二項(xiàng)分布的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵在于正確理解負(fù)二項(xiàng)分布的定義，知

曉負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式，結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的概率公式求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線(xiàn)/：3x—y—6=0與圓C：/+y2—2x—4y=。相交于兩點(diǎn)，則|A5|=.

【答案】Vio

【解析】

【分析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可.

【詳解】圓0:/+/—2%—4y=0,

(x—l)2+(y—2)2=5,圓心(1,2),半徑廠=6.

圓心到直線(xiàn)的距離d=叱上?=亞.

V9+12

\AB\=2.

故答案為：Vio

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握弦長(zhǎng)公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.

14.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國(guó).現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員

要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個(gè)吉祥物互不相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為.

（用數(shù)字作答）

【答案】144

【解析】

【分析】先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)

員形成的4個(gè)空位中，利用插空法可得出不同的排隊(duì)方法種數(shù).

【詳解】先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序，

然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)員形成的4個(gè)空位的3個(gè)空位中，

所以，不同的排隊(duì)方法種數(shù)為A：A：=6x24=144種.

故答案為：144.

「6一

15.已知函數(shù)〃x）=sin（3x+9）在區(qū)間［-上的值域?yàn)?-—,1,則。的值為.

【答案】

O

【解析】

【分析】先得到?！?,根據(jù)9,9］得到3x+oe［-2。,4向，根據(jù)值域得到方程，檢驗(yàn)后求出答案.

【詳解】由題意得夕〉0,當(dāng)9，夕］時(shí)，3x+^e［-2^,49?］,

「6'

由于〃x）=sin（3x+°）在區(qū)間［-9,9］上的值域?yàn)?--,1,

。兀5兀

-2展-z

故①<U或②〈

兀/5兀兀

—<469<——--<-2(p<0

[2"4

IT7T、兀

解①得9=2,滿(mǎn)足乙4°?弓

8816

71

解②得°=”，不滿(mǎn)足舍去,

loo

7T

綜上，9的值為?.

O

7T

故答案為：7

O

e%x〉0

16.已知函數(shù)=[j；<0，若函數(shù)〃x）的圖象在點(diǎn)A（Xi，〃Xi））a<0）和點(diǎn)

8（々,/（々））（/〉0）處的兩條切線(xiàn)相互平行且分別交y軸于V、N兩點(diǎn)，則^^的取值范圍為

【答案】

【解析】

xIAA/1e"?

【分析】由/'（玉）=/'（々）可得出國(guó)=—匚2，利用弦長(zhǎng)公式得出看端=廠，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

8（力=《在（0,+“）上的值域，即可為所求.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=-x2,f'（x）=-2x,則廣（再）=-2九i，

當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=ex,f'（x）=ex,則/'（X2）=e*,

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)A（x"（xJ）a<0）和點(diǎn)3（々,〃％2））（々〉0）處的兩條切線(xiàn)相互平行，

則/'（再）=/'（%2），即一2X1=e*,則芯=—孑,

|喇=J1+4才.聞,\BN\=y/l+e^-\x2\，

\AM\+

所以‘"一…歸一『4

令g（x）=,，其中X>。，則g，a）=e]：」,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'（x）<0,此時(shí)函數(shù)g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減,

當(dāng)%>1時(shí)，g'（x）>0,此時(shí)函數(shù)g（x）在（1,+。）上單調(diào)遞增，

eIAMIe

所以，g(x)>g(l)=-,因止匕,kJ的取值范圍是—,+<30

BN2

e

故答案為：~2，+a0

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用切線(xiàn)斜率相等得出、2、玉所滿(mǎn)足的關(guān)系式，然后將

\AM\

片馬轉(zhuǎn)化為含巧的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題求解.

\BN\2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.設(shè)數(shù)列｛q,｝滿(mǎn)足q=1,々=2,?！?2=4?！?1-3a”+6〃-3.

（1）證明：數(shù)列｛%計(jì)1-an+3n]為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

13n（n—\\

（2）4=2一3"-1——―』

【解析】

【分析】（1）整理題目中的等式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得答案；

（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加法，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由4+2=4?！?]—3a“+6〃-3，

則為+2一%+1+3（〃+1）=3a“+i—3ali+9n，

。小一凡0+3（〃+1）

所以上一2_V——L=3,

%-4+3〃

由q=l,%=2,則g―q+3=2—1+3=4。0

故數(shù)列｛a“+i-%+3〃｝為等比數(shù)列.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知數(shù)列｛4+i-4+3〃｝是以4為首項(xiàng)，以3為公比，

H-1

故G?+I-a?+3n=4x3"T,an+l-an=4x3-3n,

貝!Ja2_"i=4x30_3x]；a3-a2=4x3-3x2；???

4f=4x3"-2一3x(7).

由里如注司汨4x(1—3"T)「3+3(〃——1),3n(n-l)

由累加法可得：a_n=—-----L_L——1——工3——^=2x3?i—2————上，

"11-322

由囚=1,則4=2X3“T_]_3〃(；―1).

18.在DABC中，角A3,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知口43。的面積為乎(/+〃_02).

(1)求sinC；

(2)若sin(5-A)=與，，求tanA.

【答案】(1)垃；

8

⑵叵.

3

【解析】

【分析】(1)借助面積公式與余弦定理以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算即可.

(2)借助三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求出tan(3-A),tan(A+3),利用配湊角及二倍角公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

結(jié)合題意：HABC的面積為5=3仍5由。=孚(/+/—°2),

a2+從―/

sinC=3V7

lab

結(jié)合余弦定理可得：sinC=3j7cosC〉0,

,「3S

sinC=3-77COSCsinC=----

解得48

所以＜

sin2C+cos2C=1c1

cosC=—

8

所以sinC=牙.

8

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閟in（B—A）=地＞0,所以3〉A(chǔ),易得A為銳角,

,）32

/\/77r31/_.\sin（B—A）3^7

所以cos（5-A）=Jl-sin（B-A）=—,所以tan（5-A）=----——=,

由上問(wèn)可知51!10=5111（4+5）=h?，cos（A+B）=—cosC=—1

8

/、sin（A+B）/-

所以tan（A+B）=嬴3"

tan（A+5）—tan—A）

tan2A=tan[（A+B）-（B-A）]-3H萼

1+tan（A+_B）tan（_B-A）r-3y[l

~X^r

r\,A

所以tan2A=--=377，整理得3#jtan2A+2tanA—3s=0,

1-tan2A

即（J7tanA+3）（3tanA—J7）=0,解得tanA=—?近（舍去），或tanA=[^.

19.如圖，在四棱錐A—BCDE中，平面ABC工平面BCDE,CD=DE=2BE,BC1CD,

BE//CD,歹是線(xiàn)段A￡＞的中點(diǎn).

（1）若B4=5C,求證：所上平面4CD；

⑵若BE=1,ZABC^60°,且平面ABC與平面ADE夾角的正切值為拽，求線(xiàn)段4c的長(zhǎng).

3

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

（2）拒

【解析】

【分析】（1）首先證平面ACD,通過(guò)證明四邊形BGFE是平行四邊形，得E