2024屆上海浦東新區(qū)高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)卷及答案

浦東新區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷共21道試題，滿分150分，答題時間120分鐘；2.請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分．一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，題每個空格填對得4分，題每個空格填對得5分，否則一律得零分．，集合Bx2x．A2AIB已知集合12izzz（i是虛數(shù)單位），則若復(fù)數(shù)z．a(chǎn)3aa16a7已知等差數(shù)列，．n4514.3x2的二項展開式中x4項的系數(shù)為．（用數(shù)值回答）x已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N95,2PXPX．28fxxfyfx是奇函數(shù)，當(dāng)x03．的值是1257.某校面向高一全體學(xué)生共開設(shè)3門體育類選修課，每人限選一門．已知這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為6:3:120%16%和12%優(yōu)秀的概率為．C2:x2y24y50a，若兩圓相交，則實數(shù)的取值范8.已知圓1:x2y22axa210（a0），圓．fxx33的解集為．2x，則不等式f2x10.3A面的中心．當(dāng)光源點(diǎn)A沿著上底面圓周運(yùn)動半周時，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過的面積為____________．x22y222π3213已知雙曲線10ab的焦點(diǎn)分別為．F1、FMDFMF=OM=b，212ab則雙曲線的離心率為rra×a+AC=a×ABb×b+=b×，rurrrrrab()()SABC2棱AS3，rrab則的最大值為．184題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分．13.“a1”“220y與直線110xay”A．充分非必要條件．必要非充分條件．充要條件D．既非充分又非必要條件aR，則下列結(jié)論不恒成立的是（．已知）．1411a1a23A．a(chǎn)1a．a(chǎn)+32C.D．sina0a2sina15.A克）的散點(diǎn)圖．若去掉圖中右下方的點(diǎn)后，下列說法正確的是（A“每千克價格”“年需求量”這兩個變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān)．“每千克價格”“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)程度不變．“每千克價格”“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)系數(shù)變大D“每千克價格”“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)系數(shù)變小1fxaxmam1xmLaxa(am10mZ)fxx(nL,mf16.設(shè)0m10mnn1零點(diǎn)的個數(shù)，則有以下兩個結(jié)論：nL,m1有窮數(shù)列bfx為nn①，使得為常數(shù)列；fxn0②，使得為公差不為零的等差數(shù)列．fxn0那么（）．A．①正確，②錯誤．①錯誤，②正確．①②都正確D．①②都錯誤三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知函數(shù)yfx，其中fxx．π（fx43在x0,π上的解；2π212π2g(x)3f(x)fxfxfxπ，若關(guān)于x的方程在0,xgxm（2）已知時有解，求實數(shù)m的取值范圍．．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．在四棱錐P中，底面為等腰梯形，平面PAD底面，其中AD∥BC，AD2BC4，AB3,23E為PD中點(diǎn)．1）證明：EC∥；2）求二面角PABD的大?。ū绢}滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分．，，，…，某商店隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名客戶的消費(fèi)金額，并分組如下：1000,1200（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（）若該店當(dāng)天總共有1350名客戶進(jìn)店消費(fèi)，試估計其中有多少客戶的消費(fèi)額不少于800（800元的客戶中共抽取66人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人中至少有1人的消費(fèi)金額不少于1000元的概率是多少；（）為吸引顧客消費(fèi)，該商店考慮兩種促銷方案．方案一：消費(fèi)金額每滿300元可立減50元，并可疊加使用；1方案二：消費(fèi)金額每滿1000元即可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響．中獎1次當(dāng)天3消費(fèi)金額可打9折，中獎2次當(dāng)天消費(fèi)金額可打6折，中獎3次當(dāng)天消費(fèi)金額可打3若兩種方案只能選擇其中一種，小王準(zhǔn)備購買的商品又恰好標(biāo)價1000元，請幫助他選擇合適的促銷方案并說明理由．．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．x2已知橢圓C:y1F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．2122（）若橢圓上點(diǎn)PFFPF的值；2121Tt,0SxS（A在取得最小值時點(diǎn)恰與點(diǎn)At重合，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知m為常數(shù)，過點(diǎn)F且法向量為m的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)R滿足2uOR（R），求的最大值．．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．yfxyfxyfxx,fx00已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為D0Dn1在點(diǎn)fx處的切線交軸于點(diǎn)n1x,0x切線交軸于點(diǎn)1,0yx,fxxnn稱得到的數(shù)列為函數(shù)yfx的“N數(shù)列．xx0n1fxx，是函數(shù)的“N數(shù)列的值；xyfx01（nen2n2（fxx24是函數(shù)的“N數(shù)列”ax，yfx03annn3比數(shù)列，并求出其公比；xfxa，則對任意給定的非零實數(shù)，是否存在yfx，使得函數(shù)關(guān)于的“x00x0N數(shù)（3）若ax2”為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由．xnx0浦東新區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試卷考生注意：1、本試卷共21道試題，滿分150分，答題時間120分鐘；2、請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分．一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分．A2Bx2xAIB1.已知集合，集合．【答案】：21izzz（是虛數(shù)單位），則2.若復(fù)數(shù)z．【答案】：43.已知等差數(shù)列【答案】：a3aa16a7，．n45514.3x2的二項展開式中項的系數(shù)為4x．（用數(shù)值回答）x【答案】：N95,2P(75XP(X5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布．【答案】：823yfxfx0是奇函數(shù)，當(dāng)?shù)闹凳牵甪(x)x【答案】：47.某校面向高一全體學(xué)生共開設(shè)3門體育類選修課，每人限選一門．已知這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為6:3:120%和是優(yōu)秀的概率為．【答案】：1:x2y22a210（a0C2:x2y4y50，若兩圓相交，則實28.已知圓），圓a數(shù)的取值范圍為．【答案】：23)xf2x3|)3x，則不等式的解集為f(x)2．【答案】：13A面的中心．當(dāng)光源點(diǎn)A沿著上底面圓周運(yùn)動半周時，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積為．【答案】：2x22y22abF1F2MF為雙曲線上一點(diǎn)，若1211.已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，，ab3b，則雙曲線的離心率為．36【答案】：212.正三棱錐S中，底面邊長2，側(cè)棱3，向量a，ba(aAC)a，bbAC)bab的最大值為．【答案】：4184題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分．a(chǎn)1”是“直線220yxay10平行”的（13.“與直線.充分非必要條件【答案】：C.必要非充分條件C.充要條件.既非充分又非必要條件aR，則下列結(jié)論不恒成立的是（14.已知1411aa).a2|a1||a23sina.0.C.a2sina【答案】：B15.通過隨機(jī)抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價格（單位：百元）與該商品消費(fèi)者年需求量（單位：A千克）的散點(diǎn)圖．若去掉圖中右下方的點(diǎn)后，下列說法正確的是（.“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān).“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)程度不變C.“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)系數(shù)變大.“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)系數(shù)變小【答案】：Dmm1x(nL,m，n1fxaxam1xLaxa(am10mZ)fxf16.設(shè)0m10mnnnL,m1，則有以下兩個結(jié)論：令有窮數(shù)列b為fx零點(diǎn)的個數(shù)為常數(shù)列；nnfx，使得b0fx，使得b那么（為公差不為零的等差數(shù)列．n0）．.①正確，②錯誤【答案】：C.①錯誤，②正確C.①②都正確.①②都錯誤三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知函數(shù)yfxfxx．π（）求fx43在x0,π上的解；2π212π2g(x)3f(x)fxfxfxπ，若關(guān)于的方程x在0,x（2）已知gxm時有解，求實數(shù)m的取值范圍．1112,1.【答案】：（1）、；（）43【詳解】：（1）由題，原式等價于求sinx在x上的解.2從而有或或112xkxk,kZx2kx2k,kZ434311xxx又，所以或.11π43xπfx在上的解為、.2π2（2）由題，gxsinxsinxπ3sinxsinx3sinxxsin2x31cos2xsin2x22π162sin2x12π2故g(x)m在x時有解ππ2msin2xx等價于在6時有解.ππ5π66π1622x,sin2x,1,61,1.2m所以，實數(shù)的取值范圍是18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．在四棱錐P中，底面為等腰梯形，平面PAD底面，其中//，AD2BC4，AB3,23E為PD中點(diǎn)．（1）證明：//；（2）求二面角PABD的大小．2【答案】：（1）證明見詳解；（2）arccos.【詳解】：解法1：（1）證明：取F，連接BF,，中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)、點(diǎn)F為的中點(diǎn)，1∥，.212又∥,.∥，.所以，四邊形為平行四邊形.得∥FB在平面所以，.，垂足為G，連接（2）取HP作由題，23，H為的中點(diǎn)，所以.又平面，I，ABCD,.又.得ABGH.又，就是二面角PD的平面角.所經(jīng)計算，在△22；在△3，12SABH2222221143又SABH3,得2.223因而，在△tan23所以二面角PD的大小.2解法2：（1）取中點(diǎn)O，23，O為中點(diǎn)，所以.又平面，I，，.取M，顯然，.如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線、、xy為軸的正半軸，建z立空間直角坐標(biāo)系.E2C22,1,022,0,2.由題意得，、B22,P0,0,22A2,0又故、、，uu，.22,1,022r2v22w0的法向量nu,v,w，則有設(shè)平面2uv0r1v22，2n22,2,即.不妨取urr經(jīng)計算得n0n..又在平面外，所以n，n22,2（2）由題（1）知，平面的法向量，平面的法向量12uunn2213131u1221,n2,1312PD的大小為arccos.因此，二面角19．（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分．，，，…，某商店隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名客戶的消費(fèi)金額，并分組如下：1000,1200（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該店當(dāng)天總共有1350名客戶進(jìn)店消費(fèi)，試估計其中有多少客戶的消費(fèi)額不少于800（2）若利用分層隨機(jī)抽樣的方法從消費(fèi)不少于800元的客戶中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人中至少有1人的消費(fèi)金額不少于1000元的概率是多少；（3）為吸引顧客消費(fèi)，該商店考慮兩種促銷方案．方案一：消費(fèi)金額每滿300元可立減50元，并可疊加使用；1方案二：消費(fèi)金額每滿10001次當(dāng)天消3費(fèi)金額可打9折，中獎2次當(dāng)天消費(fèi)金額可打6折，中獎3次當(dāng)天消費(fèi)金額可打3若兩種方案只能選擇其中一種，小王準(zhǔn)備購買的商品又恰好標(biāo)價1000元，請幫助他選擇合適的促銷方案并說明理由．【答案】：（1）人；（2）；（3）選擇第二種促銷方，理由見詳解.35（1）我們利用通過抽樣獲得的100名客戶的樣本信息來估計總體的分布情況可得：人.3（2）當(dāng)日消費(fèi)金額在和1000,1200（單位：元）的人數(shù)所占比例為:2:1，所以抽取的6人中有2人消費(fèi)金額在1000,1200（單位：元），有4人消費(fèi)金額在（單位：元）.C14CC12CC23記“抽到的2人中至少1人消費(fèi)額不少于1000元”為事件APA+226=，2653所以抽到的2人中至少1人消費(fèi)金額不少于1000元的概率為.5（3）若選方案一，只需付款1000503850若選方案二，設(shè)付款金額為X元，則X可分別取300、600、900、元，其中03111300600900100033PXC1，332712112923PXC1，3321114913PXC1，333011803PXC1，33271248EX=300840.7600900100027因為，9927所以應(yīng)選擇第二種促銷方案.20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．x2已知橢圓C:y1F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．2122（1）若橢圓上點(diǎn)PFFPF的值；2121Tt,0SSxA在取得最小值時點(diǎn)恰與點(diǎn)At重合，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知m為常數(shù)，過點(diǎn)F且法向量為m的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)R滿足2uOR（,R），求的最大值．2m22322,；（）【答案】：（1）；（2）.2412【詳解】：（1）由題得，F(xiàn)(1,0)，設(shè)點(diǎn)P(1,y)，代入橢圓方程，得y2，因而2.2PP22322由22.121x2x212211t（2）設(shè)動點(diǎn)S(x,y)(xt)2y2x2t2t21(xt)22221由題，取得最小值時點(diǎn)S恰與點(diǎn)A重合，即函數(shù)y(xt)1t在22x2處取得最小值，22又x[2,2]，因而2t2t.22因此，實數(shù)t的取值范圍為,.2（3）設(shè)M(x,y)，N(x,y)，R(x,y)1122xx21y1y2x由,得，(xx)2yy)2，2R在橢圓上，代入得12122(12212)2(2222)(xx2yy)2，12122又點(diǎn)M、N在橢圓上，得22(122yy)2*221由題，可設(shè)直線l:(xmy0.xmy1x22y22聯(lián)列直線與橢圓方程，得(m22)y2my.210m1故yy，yy12122m22m21m22m2m2m22xx2yy(2yy(m2m1.12121212m222m2代入（*）式，得224222,m22m2221，（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）m22m22即（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）.4m22所以，的最大值為.421．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．yfxyfxyfxx,fx0已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為D0D0n1fxxx,0處的切線交軸于點(diǎn)x切線交軸于點(diǎn)1,0yx,fxnnn1fxN的“數(shù)列”．xyx0稱得到的數(shù)列為函數(shù)n1fxxxyfxx的“數(shù)列”，求的值；Nx，是函數(shù)n01en2n2fxx2fxNalog3a是n4xyx03，是函數(shù)nn等比數(shù)列，并求出其公比；xfxa，則對任意給定的非零實數(shù)yfx，使得函數(shù)x00x0N數(shù)ax2xx0為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由．n2【答案】：（1）；（2）證明見詳解，公比為2；（3a<0時，不存在x0,xn為周期數(shù)列；e3a